2020高考数学总复习二项式定理PPT课件

1．若二项式

x－2xn 的展开式中第 5 项是常数项，则正
整数 n 的值可能为( )
A．6
B．10
C．12
D．15
解析：选 C Tr＋1＝Crn( x)n－r－2xr＝(－2)rCrnxn－23r， 当 r＝4 时，n－23r＝0，又 n∈N*，所以 n＝12.
2．(2014·金华模拟)2x＋x(1－ x)4 的展开式中 x 的系数是 ________．
(2)只需求(1＋x)6 的展开式中含 x2 项的系数即可，而含 x2 项 的系数为 C26＝15，故选 C.
(3)由二项展开式的通项可得，第四项 T4＝C3512x2·(－2y)3＝ －20x2y3，故 x2y3 的系数为－20，选 A.
(4)Tr＋1＝Crn(3x)n－r·x－32r＝Crn·3n－r·xn－r－32r＝Cnr ·3n－r·xn－52r (r＝0,1,2，…，n)，若 Tr＋1 是常数项，则有 n－52r＝0，即 2n＝5r(r ＝0,1，…，n)，当 r＝0,1 时，n＝0，52，不满足条件；当 r＝2 时，n＝5.
赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其 展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数 之和，只需令 x＝y＝1 即可． (3)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项 系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
1x－2y 2
5
的展开式中
x2y3
的系数是(
)
A．－20 B．－5
C．5
D．20
(4)使
3x＋ 1 xx
n(n ∈N*)的展开式中含有常数项的最小的
n
为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
[自主解答] (1)由题意知 f(3,0)＝C36C04，f(2,1)＝C26C14，f(1， 2)＝C16C24，f(0,3)＝C06C34，因此 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1，2)＋f(0,3)＝120， 选 C.
2．若(1－2x)2 014＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013＋a2 014x2 014(x∈R)，
则a1＋a2＋…＋a2
2 22
22
013＋a2 013 22
001144的值为(
)
A．2
B．0
C．－1
D．－2
解析：选 C 令 x＝0，则 a0＝1，令 x＝12， 则 a0＋a21＋a222＋…＋a222 001133＋a222 001144＝0， ∴a21＋a222＋…＋a222 001133＋a222 001144＝－1.
1．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若 a1＋a2＋…＋an＝63，
则展开式中系数最大的项是( )
A．15x3
B．20x3
C．21x3
D．35x3
解析：选 B 在(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn 中，令 x＝1 得 2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an.
令 x＝0，得 1＝a0， ∴a1＋a2＋…＋an＝2n－1＝63，∴n＝6. 而(1＋x)6 的展开式中系数最大的项为 T4＝C36x3＝20x3.
若 13a＝7b，则 m＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
(2)若 C233n＋1＝Cn23＋6(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ anxn，则 a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.
[自主解答] (1)由题意得：a＝Cm2m，b＝Cm2m＋1， 所以 13C2mm＝7Cm2m＋1， ∴1m3！·2·mm！！＝m7！·2·mm＋＋11！！， ∴72mm＋＋11＝13，解得 m＝6，经检验为原方程的解，选 B. (2)由 C32n3＋1＝Cn2＋3 6，得 3n＋1＝n＋6(无整数解)或 3n＋1＝ 23－(n＋6)，解得 n＝4，问题即转化为求(3－x)4 的展开式中各项 系数和的问题，只需在(3－x)4 中令 x＝－1 即得 a0－a1＋a2－…＋ (－1)nan＝[3－(－1)]4＝256. [答案] (1)B (2)256
[答案] A
[名师点评] 解决本题的关键有以下几点： (1)正确识别分段函数 f(x)； (2)正确判断 f(x)的符号； (3)正确写出 f[f(x)]的解析式； (4)正确应用二项式定理求出常数项.
求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的第 n 项．可依据二项式的通项公式直接 求出第 n 项； (2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第 r＋1 项，再 由特定项的特点求出 r 值即可． (3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参 数项，再由通项公式写出第 r＋1 项，由特定项得出 r 值，最 后求出其参数．
与二项式定理有关的交汇问题 1．二项式定理作为一个独特的内容，在高考中总有所体 现，常常考查二项式定理的通项、项的系数、各项系数的和等． 2．二项式定理作为一个工具，也常常与其他知识交汇命 题，如与数列交汇、与不等式交汇、与函数交汇等．因此在一 些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题 的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系即可．
[答案] (1)C (2)C (3)A (4)B
若本例(2)中的条件“n∈N*”改为“n≥3”，其他条件不变， 则展开式中的有理项最少有________项．
解析：由本例(2)中的自主解答可知： Tr＋1＝Cnr 3n－rxn－52r(r＝0,1,2，…，n)． 即当n－52r为整数时，Tr＋1 为有理项． 显然当 n＝3 时，r 的取值最少，有 r＝0，r＝2， 即有理项为 T1、T3 两项． 答案：2

4.

x＋x22n 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 n 等
于________．
解析：∵展开式中只有第 6 项的二项式系数最大， ∴n＝10.
答案：10
5．(x＋1)9 的展开式中 x3 的系数是________．(用数字作 答) 解析：依题意知：(x＋1)9 的展开式中 x3 的系数为 C69＝C39＝ 93× ×82× ×71＝84.
提示：尽管(x＋y)n 与(y＋x)n 的值相等，但它们的展开式形 式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y 的位置不能随便交 换．
2．二项式系数与项的系数一样吗？ 提示：不一样．二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，它只与 各项的项数有关，而与 a，b 的值无关；而项的系数是指该项 中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关．
答案：84
1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高 考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大， 多为容易题或中档题．
2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第 n 项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．
1． 二项式定理
二项式定理
二项式系数 二项式通项
(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋ Cnnbn(n∈N*)
二项展开式中各项系数 Cnr (r＝0,1，…，n) Tr＋1＝ Cnran－rbr ，它表示第 r＋1 项
2．二项式系数的性质
1．二项式(x＋y)n 的展开式的第 k＋1 项与(y＋x)n 的展开式 的第 k＋1 项一样吗？
1．(x－y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是( )
A．Cnr
B．Crn＋1
C．Cnr－1
D．(－1)r－1Crn－1
解析：选 D 本题中由于 y 的系数为负，故其第 r 项的系 数为(－1)r－1Crn－1.
2．(1＋x)7 的展开式中 x2 的系数是(
A．42
B．35
C．28
) D．21
解析：选 D 依题意可知，二项式(1＋x)7 的展开式中 x2 的系数等于 C27×15＝21.
3．C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66的值为(
A．62
B．63
C．64
) D．65
解析：选 B 因为 C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝(C06＋C16＋ C26＋C36＋C46＋C56＋C66)－C06＝26－1＝63.
1 个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应 明确以下几点： (1)Cnr an－rbr 是第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)通项公式中 a，b 的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有 a，b，n，r，Tr＋1 五个元素，只要知 道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．
解析：2x＋x(1－ x)4 的展开式 x 的项为2x·C4410(－ x)4＋ xC0414(－ x)0＝2x＋x＝3x.所以 x 的系数为 3.
答案：3
考点二 二项式系数或各项系数和
[例 2] (1)设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式系数
的最大值为 a，(x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大值为 b，
[例 1] (1)在(1＋x)6(1＋y)4 的展开式中，记 xmyn 项的系数为
f(m，n)，则 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )
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A．45
B．60
C．120
D．210
(2)在 x(1＋x)6 的展开式中，含 x3 项的系数为( )
A．30
B．20
C．15
D．10
(3)
3 个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数 或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第 r＋1 项的二项式系数与第 r＋1 项的系数一 般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对 根式和指数的运算要细心，以防出错．
[典例]
设函数 f(x)＝
x
－1 x
6，x
<0，
－ x，x≥0，
则当 x>0 时，f[f(x)]
表达式的展开式中常数项为( )
A．－20
B． 20
C．－15 D．15
[解题指导] 先寻找 x>0 时 f(x)的取值，再寻找 f[f(x)]的 表达式，再利用二项式定理求解．
[解析] x>0 时，f(x)＝－ x<0，故 f[f(x)]＝－ x＋ 1x6，其 展开式的通项公式为 Tr＋1＝C6r·(－ x)6－r· 1xr＝(－1)6－r·Cr6·( x)6－ 2r，由 6－2r＝0，得 r＝3，故常数项为(－1)3·C36＝－20.