经典谱估计与现代谱估计

q 1 ie j 2
i 1
p 1ie j 2
i 1
由于1 ( *)1e j 1 1e j ,故
q i －2 1 ie j 2
q
i 2
P() 2
i 1 p
＝ 2 i －2 1ie j 2
i 1 p
P( ) i 2
i 1
i 1
即不同ARMA过程具有相同形状的功率谱。这一特性 称为相关函数的多重性或模型的多重性。
量就是它们高阶矩的差。故有如下累积量的物理意义。
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高阶统计量
❖ 累积量的物理意义
➢物理意义
累积量衡量任意随机变量偏离正态(高斯)分布的程度
• 一阶累积量－数学期望:描述了概率分布的中心
• 二阶累积量－方差： 描述了概率分布的离散程度
• 三阶累积量－三阶矩： 描述了概率分布的不对称程度
➢偏态与峰态
S ( )
2 u
H
(e
j
)
2
• 这种模型只适合于高斯随机信号，因为高斯信号仅用
二阶统计量(均值和方差)就能加以描述。
5
研究高阶谱的必要性
❖ 二阶统计量方法的基本限制
前面讨论的方法中，一般都假设：
• 信号模型中的系统H(z)是最小相位的。
•
激励信号u(n)是均值为零，方差为
2 u
的高斯白噪声。
•
测量信号v(n)是均值为零，方差为
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研究高阶谱的必要性
❖ 解决问题的方法
• 从观测数据中提取相位信息 • 信号分析必须具有抗有色噪声干扰的能力
因此，必须用高阶谱(高阶统计量)来分析信号
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随机信号的高阶特征
功率谱估计，Wiener滤波器都是以信号的相关函数为工具。
相关函数的局限性 P() 2 模型的多重性：考虑功率谱
2
B(z) 2 A(z)
19
高阶谱（续）
（2）双谱估计的间接方法：2D-FT x(n) c3x (m, n)
双谱
峰度 k E x4(t)3Ex2(t)2
归一化峰度
k1
E E2
x4 (t) x2 (t)
高斯信号 亚高斯信号 超高斯信号
k1 3 k1 3 k1 3
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高阶谱（续）
归零化峰度
k2
E E2
j (11 ｋ1ｋ1 ) k 1
r1 rk1
条件：
ckx(1, , k1) “绝对可求和”
r1 rk1
通常将k 3 的累积量谱称为高阶谱或多谱。
常用:常用的高阶谱是三阶谱(双谱)和四阶谱(三谱)。
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高阶谱（续）
二阶谱即为功率谱，它是单个频率的谱。
三阶谱为双谱(bispectrum)，即两个频率的谱
❖ 性质
m1 m2
• 三阶相关函数的对称性 • 双谱的对称性、周期性和共轭性
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三阶相关与双谱及其性质
❖确定性序列的双谱
设h(n)表示有限长确定性序列，其双谱可表示为
Bh (1,2 ) H (1)H (1)H *(1 2 )
其中
H ( ) h(n)e jn
❖双谱中的相位信息n
设
Bh (1,2 ) Bh (1,2 ) e j (1,2 )
内容
❖ 经典谱估计与现代谱估计 ❖ 参数模型法概述 ❖ 基于AR模型的谱估计法 ❖ 最大熵谱估计算法 ❖ 最小方差谱估计 ❖ 基于矩阵特征分解的谱估计 ❖ 高阶谱估计
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内容
❖ 随机信号的特征 ❖ 经典谱估计与现代谱估计 ❖ 参数模型法概述 ❖ 基于AR模型的谱估计法 ❖ 最大熵谱估计算法 ❖ 最小方差谱估计 ❖ 基于矩阵特征分解的谱估计 ❖ 高阶谱估计
高阶统计量
❖ 累积量生成函数与高阶累积量(cumulant)
➢累积量生成函数
(v) ln (v)
(3a)
或
(s) ln (s)
(3b)
称为累积量生成函数(第二特征函数或累积量母函数)。
➢高阶累积量：随机变量x 的k 阶累积量定义为
ck
d k (s)
dsk
s0
(3)
即累积量生成函数的k 阶导数在原点的值。
2
高阶谱估计
➢ 研究的必要性 ➢ 高阶统计量 ➢ 高阶谱 ➢ 高阶累积量和多谱的性质 ➢ 三阶相关和双谱及其性质 ➢ 基于高阶谱的相位谱估计 ➢ 基于高阶谱的模型参数估计 ➢ 多谱的应用
参考:《现代数字信号处理》(184-199；204-205)
3
研究高阶谱的必要性
❖ 关于模型参数估计问题
• 所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序列(如模 型输出端所观测到的信号y(n)来估计图中随机信号模型 的参数，)
mk
E[xk ]
[1,3,5,...,(k 0，
1)]
k
,
k为偶数 k为奇数
可见，其高阶矩仍然取决于二阶矩 2 。
• 高斯随机变量只有一阶和二阶累积量；其二阶以上的累
积量为零, 它不提供新的信息。即
c1 m, c2 2 , ck 0(k 3)
• 若任一随机变量与高斯随机变量有相同的二阶矩, 则累积
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随机信号的高阶特征（续）
两个具有零均值和相同方差的高斯白色噪声和 指数分布白色噪声显然是不同的随机过程，但它 们的功率谱相同。 用这样两个白色噪声激励同一个ARMA模型，产生的 两个ARMA过程显然是不同的随机过程，但它们的功 率谱相同。 两个灰度图相同的图像有可能是不同的图像。 以上事实说明, 要准确地刻画随机信号, 仅使用相关 函数(二阶统计量)是不够的, 还必须使用更高阶的统 计量。三阶和更高阶的统计量合称高阶统计量。
“模型的多重性” “自相关函数等价性” “功率谱等价性”
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高阶谱（续）
含义：高阶谱(Higher-order spectrum),又称多(polyspectrum), 是信号多个频率的能量谱。
定义：高阶谱定义为k阶累积量的k-1维DFT，即
Skx(1, ,k1)
c ( , , )e kx 1
• 结论: ....................
－ 二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为
零时, 就是二、三阶相关(矩)
－四阶以上的累积量不等于相应的中心矩 13
高阶统计量
❖ 累积量的物理意义
➢高斯随机变量的高阶矩与累积量
• 高斯随机变量可用二阶矩完全描述。实际上,零均值高斯
随机变量的k 阶矩(或零均值的k 阶中心矩)为
k 1
Sk,h (1,2 ,..., k1) H (1)H (2 )... H (k1)H ( i ) (8) i 1
式中
H ( ) h(n)e jn
n
23
高阶累积量和多谱的性质
❖ 用高阶累积量作为时间序列分析工具的原因
用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析工具的原因： ➢ 理论上，使用高阶累积量可避免高斯有色噪声的影响，
基于高阶谱的相位谱估计
❖ 自相关函数丢失了信号的相位特性，而累积量可以得到 信号的相位谱。
❖ 实际应用中，基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量 的三谱已经够用。
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基于高阶谱的模型参数估计
❖ 基本原理
• 与AR功率谱估计(即单谱估计)相类似，AR过程的多谱 估计与已知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多
➢ 高阶矩：对(1b)求k 阶导数，得
k (s) E{x k esx } d k(s)
则随机变量x 的k 阶矩(即dskk 阶原点矩)定义为
mk
E{xk } k (0)
d k(s)
dsk
s0
(2)
由于k 阶矩由 (s)生成，故特征函数(s)为随机变量x
的矩生成函数(矩母函数)，又成为第一特征函数。 11
• 与前面所述不同之处在于：这里考虑了观测过程所引 入的噪声v(n).
v(n)
u(n)
H(z)
x(n) ∑
y(n)
(h(n))
4
研究高阶谱的必要性
❖ 基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷
• 前述模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与 信号的自相关函数或功率谱包络相匹配；其功率谱不 含信号的相位特性，亦称盲相。即
双谱：
Bx (1,2 ) X (1)X (2 )X (1 2 ) X (1) X (2 ) X *(1 2 )
三谱： Tx (1,2,3) X (1) X (2 ) X (3) X (1 2 3)
X (1) X (2 ) X (3) X *(1 2 3)
（1）双谱估计的直接方法：
x(n) x( f ) B( f1, f2 ) X ( f1) X ( f2 ) X *( f1 f2 )
相关函数： 刻画信号的粗糙像 高阶统计量：刻画信号的细节
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高阶统计量
❖ 特征函数与高阶矩
➢ 特征函数：随机变量 x 的特征函数定义为
(v) E{e jvx} f (x)e jvxdx
(1a)
或
(s) E{esx} f (x)esxdx
(1b)
其中 f(x) 是随机变量x 的概率密度函数。
则有
H () H () e j ()
Bh (1,2 ) H (1) H (2 ) H (1 2 )
且有
(1,2 ) (1) (2 ) (1 2 )
By (1,2 ) Bh (1,2 )] [当y(n) h(n M )时]
这表明双谱包含信号模型的相位信息 ( )；
而功率谱 S()不含相位信息 。 26
高阶矩不能做到这一点。 ➢高阶白噪声的高阶累积量是多维冲激函数, 其谱是多维
平坦的, 但高阶白噪声的高阶矩及其谱无此特性和优点； ➢累积量问题的解具有唯一性(因特征函数唯一地确定概
率密度函数)，但矩问题不具有唯一性； ➢两个统计独立的随机过程的累积量等于各随机过程累积
量之和，这一结论对高阶矩不成立。
即用信号模型的输出信号(即观测到的信号)y(n)的高 阶累积量就能决定h(n)。
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高阶累积量和多谱的性质
❖ 主要性质(续)
➢ 确定性序列的多谱: 确定性序列{h(1),…,h(k)}的k阶累量
Ck,h (1,..., k1) h(n)h(n 1)...h(n k1)
(7)
n
其 k 阶谱为
2 v
的高斯白噪声；
且v(n)与信号x(n)统计无关，即v(n)不影响信号的谱形状
故有
S yy ( )
S xx ( )
2 v
2 u
H ()
2
2 v
Ruy
(m)
E[u(n)
y(n
m)]
2 u
h(m)
6
研究高阶谱的必要性
❖ 二阶统计量方法存在的问题
• 在许多实际应用(如地震勘探、水声信号处理、远程通 信)中，往往不能满足上述假设；甚至系统是非线性的。
• 将三阶矩除以均方差的三次方 3,得偏态系数或偏态：
sx
c3
3
• 将四阶累积量除以均方差的四次方 4,得峰态:
x
c4
4
m4 3m22
4
m4 3 4 4
m4
4
3
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高阶谱
功率谱的缺点：px ( f ) X ( f ) 2 X ( f ) X *( f ) 由功率谱只能恢复 X ( f ) ，不可能恢复 X ( f ) 自相关函数辨识系统，无法辨识非最小相位系统
• 对于非高斯信号的模型参数，如仅仅考虑与自相关函数 匹配，就不可能充分获取隐含在数据中的信息。
• 若信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基 于自相关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反 映原信号的非最小相位特点。
• 当测量噪声较大，尤其当测量噪声有色时，基于自相关 函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差。
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三阶相关与双谱及其性质
❖ 定义
• 三阶相关： 设x(n)为零均值的实平稳序列，其三阶相关函数为
•双谱 Rx (m1, m2 ) E[x(n)x(n m1)x(n m2 )]
Rx(m1,m2)的二维傅立叶变换就是双谱，其表达式为
Bx (1,2 )
Rx (m1, m2 )e j(1m12m2 ) , 1,2
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高阶统计量
❖ 累积量生成函数与高阶累积量(cumulant)
➢高阶矩与高阶累积量的关系
• 关系:(注意：k 阶中心矩定义为 x E(x )k )
c1 m1 E[x]
c2 m2 m12 E[(x m1)2 ]
c3 m3 3m1m2 2m13 E[(x m1)3 ]
(5)
c4 m4 3m22 4m1m3 12m12m2 6m14 E[(x m1)4 ]
Bx (1 2)
c ( , )e j(1122 ) 3x 1 2
r1 r2
四阶谱为三谱(trispectrum)，即三个频率的谱
Tx (1 2 3)
c ( , , )e j(1122 33 ) 4x 1 2 3
r1 r2 r3
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高阶谱（续）
来自百度文库
功率谱： px () X () 2
x4 (t) x2 (t)
3
高斯信号： 零峰度 亚高斯信号: 负峰度 超高斯信号： 正峰度
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高阶累积量和多谱的性质
❖ 主要性质 (8个性质)
最重要的性质如下:
➢ 和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。 ➢ 随机信号通过线性系统后的累积量等于该随机信号
的累积量与线性系统冲激响应累积量的卷积 ➢信号的高阶累积量能够决定信号模型的冲激响应h(n)，