平衡方程的应用

n
− FS′ cosα + FOx = 0
− FS′ sin α + FOy − G = 0
rFS′ cosα + M = 0
解得
FOx = FS′ cosα = −F r FOy = G − F l2 − r2 M = −rFS′ cosα = Fr
第三章
平衡方程的应用
第二节 平面桁架的内力分析
第三章
平衡方程的应用
静定问题：若所研究的问题的未知量的数目等于 静定问题：若所研究的问题的未知量的数目等于 少于独立平衡方程的数目时 独立平衡方程的数目时， 或少于独立平衡方程的数目时，则所有未知量都 能由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。 能由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。
第三章
平衡方程的应用
第三章
平衡方程的应用
第一节 物体系统的平衡问题
物体系统： 物体系统：由若干个物体通过约束联系所组成的系 物系。 统称为物体系统，简称为物系 统称为物体系统，简称为物系。 内力和外力：内力和外力的概念是相对的 当取整 内力和外力：内力和外力的概念是相对的。当取整 相对 为研究对象时， 个系统为研究对象时 个系统为研究对象时，系统中物体间的相互作用为 内力。 内力。但当研究物系中某一物体或某一部分的平衡 时，物系中的其它物体或其它部分对所研究物体或 部分的作用力就成为外力，必须予以考虑。 部分的作用力就成为外力，必须予以考虑。 系统平衡： 整个系统平衡时 组成该系统的每一 系统平衡：当整个系统平衡时，组成该系统的每一 也都平衡 个物体也都平衡。因此研究这类问题时， 个物体也都平衡。因此研究这类问题时，既可取系 统中的某一个物体为分离体， 统中的某一个物体为分离体，也可以取几个物体的 组合或取整个系统为分离体。 组合或取整个系统为分离体。
第三章 一、节点法
平衡方程的应用
因为桁架中各杆都是二力杆， 因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受 到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个 到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个 地取节点为研究对象 分别列出平衡方程或作出封闭 为研究对象， 列出平衡方程 地取节点为研究对象，分别列出平衡方程或作出封闭 的力多边形，即可由已知力求出全部杆件的内力， 的力多边形，即可由已知力求出全部杆件的内力，这 就是节点法。 就是节点法。 注意 由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程， 由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所 两个独立平衡方程 以应用节点法必须 只含两个未知力 必须从 两个未知力大小的节点开 以应用节点法必须从只含两个未知力大小的节点开 始计算。 始计算。
第三章
平衡方程的应用
平面桁架的受力及尺寸如图所示， 例3-4 平面桁架的受力及尺寸如图所示， 试求桁 架各杆的内力。 架各杆的内力。 解 1）先求支座反力：以整体桁架为研究对象进行 ）先求支座反力： 整体桁架为研究对象进行 受力分析，列平衡方程： 受力分析，列平衡方程：
∑ Fix = 0
i =1 n
∑ Fix = 0
n
节点 A： ：
∑ Fiy = 0
i =1
i =1 n
FS2 + FS1 cos30 = 0
o
FAy + FS1 sin 30o = 0
（ （ 得 FS1 = −2F 压） FS2 = 1.73F 拉）
∑ Fix = 0
n
节点 D： ：
∑ Fiy = 0
i =1
i =1 n
− FS′2 + FS5 = 0 FS3 − 2F = 0
∑ Fiy = 0
i =1
i =1 n
FBx − FC sin α = 0
FBx = 10 kN
FBy − F + FC cosα = 0
FBy = 10 kN
第三章 2）再取AB梁为研究 ）再取 梁为研究 对象， 对象，列平衡方程
平衡方程的应用
∑ M A (Fi ) = 0
i =1
n
1 q × 22 − F′ × 2 = 0 MA − By 2 M A = 30 kN ⋅ m
第三章
平衡方程的应用
例3-1 多跨静定梁由 AB 梁和 BC 梁用中间铰 B 连 接而成，支承和荷载情况如图所示， 接而成，支承和荷载情况如图所示，已知 F = 20kN， ， q = 5kN/m，α = 45°；求支座 A、C 的反力和中间铰 B ， ° 、 处的内力。 处的内力。 静定多跨梁一般由几个部分梁组成， 静定多跨梁一般由几个部分梁组成，组成的次序是先 固定基本部分 后加上附属部分 基本部分， 附属部分。 固定基本部分，后加上附属部分。仅靠本身能承受荷 载并保持平衡的部分梁称为基本部分， 载并保持平衡的部分梁称为基本部分，单靠本身不能 承受荷载并保持平衡的 部分梁称为附属部分。 部分梁称为附属部分。 求解这类问题通常是先 研究附属部分， 研究附属部分，再计算 基本部分。 基本部分。
∑Fix = 0
i=1
n
′ FAx − FBx = 0
FAx = 10 kN
∑ Fiy = 0
i =1
n
′ FAy − 2q − FBy = 0
FAy = 20kN
第三章
平衡方程的应用
如图所示， 所组成， 例3-2 如图所示，一构架由杆 AB 和 BC 所组成， 载荷 F = 20kN。已知 AD = DB = 1m，AC = 2m，滑轮 。 ， ， 半径均为 0.3m，如不计滑轮重和杆重，求 A 和 C 处 ，如不计滑轮重和杆重， 的约束反力。 的约束反力。 整体研究 解 （1）先取整体研究， ）先取整体研究， 列平衡方程： 列平衡方程：
∑ M C (Fi ) = 0
i =1 n
n
− FAx × 2 − F × 2.3 = 0 FAx − FCx = 0 FAx = −23kN
∑ Fix = 0 ∑ Fiy = 0
i =1 i =1 n
FAy + FCy − F = 0
FCx = −FAx = 23kN
第三章
平衡方程的应用
研究，列平衡方程： （2）再取 BC 杆研究，列平衡方程： ）
第三章
平衡方程的应用
解 （1）先以活塞Ｂ为研究对象， ）先以活塞Ｂ为研究对象， 列平衡方程： 列平衡方程：
∑Fix = 0
i=1 n
n
F + FS cosα = 0
FN + FS sin α = 0
∑ Fiy = 0
i =1
解得
l FS = − F = −F cosα l 2 − r2 FN = −FS sinα = F r 2 2 l −r
第三章
平衡方程的应用
如图所示的平面桁架， 例3-5 如图所示的平面桁架，各杆件的长度都等 于1m，在节点 上作用荷载 F1＝21kN，在节点 上作 ，在节点E上作用荷载 ，在节点G上作 试计算杆1、 和 的内力 的内力。 用荷载 F2＝15kN ，试计算杆 、2和3的内力。 解 1）先求支座反力：以整体桁架为研究对象进行 ）先求支座反力： 整体桁架为研究对象进行 受力分析，列平衡方程： 受力分析，列平衡方程：
第三章
平衡方程的应用
梁是基本部分， 解：AB 梁是基本部分， BC 梁是附属部分。 梁是附属部分。 1）先取BC梁为研究 ）先取 梁为研究 对象， 对象，列平衡方程
∑ M B (Fi ) = 0 i =1 − F ×1+ FC cosα × 2 = 0
FC = 14.14kN
n
∑ Fix = 0
n
第三章 二、截面法
平衡方程的应用
节点法用于求桁架全部杆件内力时是适宜的。 节点法用于求桁架全部杆件内力时是适宜的。但 是在工程实际中， 是在工程实际中，有时只要求计算桁架内某几个杆件 所受的内力，如仍用节点法就显得麻烦。此时， 所受的内力，如仍用节点法就显得麻烦。此时，可以 适当地选择一截面，在需求其内力的杆件处假想 假想地把 适当地选择一截面，在需求其内力的杆件处假想地把 桁架截开为两部分，然后考虑其中任一部分 平衡， 截开为两部分 任一部分的 桁架截开为两部分，然后考虑其中任一部分的平衡， 应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内 力，这就是截面法 。 注意 应用截面法求桁架内某些杆件内力的步骤和要点与 应用截面法求桁架内某些杆件内力的步骤和要点与 步骤 节点法基本相同 相同。 节点法基本相同。
得
（ FS3 = 2 F 拉） （ FS5 = 1.73F 拉）
第三章
平衡方程的应用
节点 C： ：
∑ Fix = 0
n
∑ Fiy = 0
i =1
i =1 n
− FS′1 sin 60 + FS4 sin 60 = 0
o o
− FS′1 cos 60o − FS4 cos 60o − FS′3 = 0
∑ M B (Fi ) = 0
i =1
n
− FT ×1.3 − FCy × 2 + FCx × 2 = 0 FAy = F − FCy = 10kN
QFT = F
∴FCy = 10kN
第三章
平衡方程的应用
如图所示，曲柄连杆机构由活塞、连杆、 例3-3 如图所示，曲柄连杆机构由活塞、连杆、 曲柄和飞轮组成。 曲柄OA长 r ，连杆 曲柄和飞轮组成。已知飞轮重G，曲柄 长 AB 长 l ，当曲柄 OA 在铅垂位置时系统平衡，作用于 在铅垂位置时系统平衡， 不计活塞、 活塞 B 上的总压力为 F，不计活塞、连杆和曲柄的重 量，求阻力偶矩 M、轴承O的反力。 轴承 的反力。 的反力
第三章
平衡方程的应用
各种力系的独立方程数
力系 名称 独立 方程数
平面任 平面汇 平面平 平面 空间任 意力系 交力系 行力系 力偶系 意力系 3 2 2 1 6
对于n 个物体组成的系统， 平面任意力系作用下 作用下， 对于 个物体组成的系统，在平面任意力系作用下， 个独立平衡方程。 平面汇交力系作用 可以列出 3n 个独立平衡方程。在平面汇交力系作用 个独立平衡方程。 下，可以列出 2n 个独立平衡方程。
静不定问题：若未知量的数目多于独立平衡方程的 静不定问题：若未知量的数目多于独立平衡方程的 多于 数目，则未知量不能全部由平衡方程求出， 数目，则未知量不能全部由平衡方程求出，这类问 题称为静不定问题（或称超静定问题），总未知量 超静定问题）， 题称为静不定问题（或称超静定问题），总未知量 数与总独立平衡方程数两者之差称为静不定次数 静不定次数。 数与总独立平衡方程数两者之差称为静不定次数。
′ FS4 = FS1 = −2 F（压）
解得
第三章
平衡方程的应用
节点法求桁架内力的总结 1）一般先以整体桁架为研究对象，求出桁架的支座 ）一般先以整体桁架为研究对象，求出桁架的支座 桁架为研究对象 反力； 反力； 2）从只有两个未知力的节点开始，逐个选择各节点 ）从只有两个未知力的节点开始，逐个选择各节点 两个未知力的节点开始 为研究对象，用几何法或解析法求解内力 求解内力； 为研究对象，用几何法或解析法求解内力； 3）判定各杆件受拉还是受压。分析节点受力时，通 ）判定各杆件受拉还是受压。分析节点受力时， 常先假设各杆都受拉力（ 常先假设各杆都受拉力（即杆件对节点的作用力 背离节点），如求解结果为正 ），如求解结果为 背离节点），如求解结果为正，则说明该杆确实 若求解结果为负 受拉；若求解结果为负，则说明该杆实际承受的 即与假设相反。 是压力，即与假设相反。
n
Fபைடு நூலகம்x = 0
∑ Fiy = 0
i =1
n
FAy + FBy − 2F = 0
∑ M B ( Fi ) = 0
i =1
l 2 F × + FAy l = 0 2 FAy = F FBy = 2F − FAy = F
第三章
平衡方程的应用
2）取各节点为研究对象。假设各杆 ）取各节点为研究对象。 承受的均为拉力，列平衡方程： 承受的均为拉力，列平衡方程：
桁架：由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何 桁架：由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何 铰链连接而成的 的结构。 形状不变的结构 形状不变的结构。 平面桁架：桁架中所有的杆件都在同一平面内。 平面桁架：桁架中所有的杆件都在同一平面内。 节点：桁架中各杆件的连接处。 节点：桁架中各杆件的连接处。 理想桁架假设 组成桁架的各杆都是直杆； 组成桁架的各杆都是直杆； 直杆 所有外力都作用在桁架所处的平面内， 所有外力都作用在桁架所处的平面内，且都作用于 外力都作用在桁架所处的平面内 节点处； 节点处； 组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接 光滑铰链连接， 组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接，杆件自 二力杆。 重略去不计，故桁架的每根杆件都是二力杆 重略去不计，故桁架的每根杆件都是二力杆。
（2）再取飞轮和曲柄一起为研究对象为研究对象， ）再取飞轮和曲柄一起为研究对象为研究对象， 列平衡方程： 列平衡方程：
第三章
平衡方程的应用
（2）再取飞轮和曲柄一起为研究对象为研究对 ） 列平衡方程： 象，列平衡方程：
∑ Fix = 0 ∑ Fiy = 0 ∑ M O (Fi ) = 0
i =1 i =1 n i =1 n