2019-2020学年中考数学第12讲二次函数的图象与性质(1)复习教案北师大版.doc

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《二次函数的图像和性质》复习教案

二次函数的图像和性质学习目标：1.、进一步掌握二次函数的图像和性质2、学会运用“数形结合”的思想方法来进行数量的分析与判断3、能运用“转化”的思想方法，把二次函数问题−−→−转化一元二次方程的有关知识来解决学习重点：数形结合，转化等思想方法的运用学习过程：一．前置学习：回顾二次函数的知识点 1、二次函数y=ax 2+bx+c 的性质(1)函数y= (a,b,c 是常数,a ≠ 0)叫二次函数 .当a ≠ 0,b=c=0时,y=____________当a ≠ 0,b=0,c ≠ 0时,y=___________当仅有c=0时,y=_______ 这些函数都叫_______(2)二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠ 0)通过配方写成y=a(_____)2+_____,可得出对称轴为 ________顶点坐标为___________(3)二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠ 0)的图象是一条____________线。

当 a>0，开口向___，当x_____时，函数有最___值为_______ 当 a<0，开口向___，当x____时，函数有最___值为_______（４）抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的位置由a,b,c 决定：① 的符号决定抛物线的开口方向。

② 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置。

③ ∆=______决定抛物线与___轴是否相交。

当∆>0时，抛物线与x 轴有_______交点当∆=0时，抛物线与x 轴有_______交点当∆<0时，抛物线与x 轴有_______交点2、作二次函数的图象的步骤：（）、（）、（），其中列表应在（）的左右两侧对称选取自变量x 的值，再求y 的值，通常选5或7个点作图，连线注意图象平滑。

3、在抛物线442--=x x y 上的一个点是（）Ａ（４，４）Ｂ（３，－１）Ｃ（－２，－８）Ｄ（47,21--） 4、通过配方，求下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标： ①2082--=x x y5、画出函数1)2(2--=x y 的图象，根据图像确定x 取何值时：①y=0 ②y>0 ③y<0二．小组合作探究：（1）若a<0,b>0，则抛物y=ax2）y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象则是（）（2）已知y=ax +bx+c(a ≠0)的图像如下图,则( ) A a<0,b>0,c>0 B a<0,b>0,c<0 C a<0,b<0,c>0 D a<0,b<0,c<0(3)二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0) A 、 a<0,b>0,c<0 B 、 b 2-4ac<0 C 、 a+b+c<0 D 、 a-b+c>0（4）如图：A ，B ，C 是二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象上的三点，根据图中给出的三点位置情况可得a,b,c, ∆与0的大小关系c____0 ∆____0 (填>,<或=）（5）．已知一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（）（A ）（B ）（C ）（D ）（6）已知二次函数y=x 2＋（2m+1)x ＋m 2的图象与x 轴有两个交点。

初三数学复习教案二次函数的图像与性质

初三数学复习教案二次函数的图像与性质初三数学复习教案：二次函数的图像与性质一、引言二次函数是数学中非常重要且常见的一类函数，研究二次函数的图像与性质既有助于我们对函数的理解，也对解决实际问题具有重要意义。

本篇教案将重点介绍二次函数的图像和性质，以帮助初三学生系统复习与掌握这一知识点。

二、二次函数的定义和一般式1. 定义：二次函数是形如 y = ax² + bx + c 的函数，其中a ≠ 0，且 a、b、c 是常数。

2. 一般式：二次函数通常可以用一般式表示，即 y = ax² + bx + c。

三、二次函数的图像1. 抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标的求解：二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。

3. 对称轴和对称性：二次函数的对称轴是经过顶点的一条垂直于 x 轴的直线。

二次函数关于对称轴对称，即对于任意 x，有 f(x) = f(2p - x)，其中 p 为对称轴的横坐标。

4. 零点的求解：二次函数的零点即方程 ax² + bx + c = 0 的解，可以通过求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 求得。

四、二次函数的性质1. 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac 反映了二次函数的根的情况。

- 当Δ > 0 时，函数有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，函数有两个相等的实根；- 当Δ < 0 时，函数无实根。

2. 函数的增减性：当 a > 0 时，二次函数在顶点左侧（对称轴左侧）是单调递增的；当 a < 0 时，二次函数在顶点右侧（对称轴右侧）是单调递增的。

3. 函数的最值：若 a > 0，则二次函数的最小值是顶点的纵坐标；若 a < 0，则二次函数的最大值是顶点的纵坐标。

中考数学第12讲二次函数的图象与性质(1)复习教案(新版)北师大版【精品教案】

第十二讲二次函数（1）教学目标：1.理解二次函数的有关概念，掌握二次函数表达式的两种形式．2.会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3.会运用配方法或公式法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．4.掌握二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的特征与a ，b ，c 及ac b 42-的符号之间的关系.教学重点与难点：重点：掌握二次函数的图象与性质.难点：会运用配方法或公式法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．课前准备：教师准备：多媒体课件．学生准备：（提前一天布置）①预习新课程初中复习指导丛书55～56页二次函数的图象与性质的知识梳理；②完成新课程初中复习指导丛书57～60页强化训练第1、2、3、7、8题．教学过程:一、知识梳理，建构网络1. 二次函数的两种形式：⑴ 一般形式：（a , b , c 是常数，a ≠0）.⑵ 顶点式：（a , h , k 是常数，a ≠0）. 2. 二次函数的图象与性质：3. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的特征与a ，b ，c 及ac b 42-的符号之间的关系：4.二次函数图象的平移：抛物线2ax y =与k h x a y h x a y +-=-=22)(,)(中a 相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置不同，它们之间可以通过适当的平移得到.具体平移方法如下图所示：（口诀“上加下减，左加右减”）2y ax = 2y ax k =+2()y a x h =- 2()y a x h =-+k5.二次函数关系式的确定：⑴ 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式：y= (a ≠0),将已知三点的坐标代入，求出其，，的值．⑵ 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式： y= (a ≠0),将已知条件代入，求出的值．⑶ 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1 , 0）,(x 2 ，0)，则设交点式：y= (a ≠0),将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出的值，最后将关系式化为一般式．处理方式：利用多媒体出示二次函数的知识点，以问题串的形式让学生回顾,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，需要教师强调的地方教师要结合具体的例子先简单分析，在后面的例题讲解中再着重强调．设计意图：以问题串的形式让学生回顾二次函数的相关知识,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，为后面的题组训练打好基础，让学生掌握课堂的主动权，完成知识脉络的梳理后，让学生在小组交流讨论中完成建构并从中感受到知识间的内在联系，感受到数形结合思想，让学生在数学学习活动中完成二次函数的知识要点复习, 为下一步激活运用这些知识打好基础．二、专题探究，归纳整合活动内容1：二次函数的表达式向右向左平移单位向左向右平移单位（h ＞0）（h ＜0）︱h ︱个（h ＞0）（h ＜0）︱h ︱个向上（k ＞0），向下（k ＞0）平移︱k ︱个单位平移︱k ︱个单位向上（k ＞0），向下（k ＞0）1．抛物线322+-=x x y 的顶点坐标是．2．已知对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交与（1 ，0），(3 ，0)两点，则它的对称轴为．处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，理解和认识二次函数的两种表达式之间的相互转化关系，掌握求二次函数顶点坐标的方法．活动内容2：二次函数的图像与性质1．.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）A ．a ＜0B ．c ＞0C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞02．已知二次函数c bx ax y ++=21（0≠a ）与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2）（如图所示），则能使21y y >成立的x 的取值范围是．处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生利用展台展示说明解决问题的方法，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，理解和认识二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等，进而使学生知道从这五个方面探究二次函数的性质．活动内容3：二次函数的图像的平移1．将抛物线2x y =平移得到抛物线2)2(+=x y ，则这个平移过程正确的是（） A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位 C ．向上平移2个单位 D ．向下平移2个单位处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．设计意图：本题的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，使学生理解和认识抛物线的平移不改变图象的形状和大小都相同，只是位置不同．三、典例精析，方法总结【例1】若562)1(--+=m m x m y 是二次函数，则m ＝( )A ．7B ．－1C ．－1或7D ．以上都不对．处理方式：让一名学生板演，其余学生认真在练习本上解题，完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对二次函数的概念有更深层次的理解和认识．【例2】抛物线c bx ax y ++=2的顶点为D （-1 ，2），与x 轴的一个交点A 在点（-3 ，0）和（-2 ，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：① 240b ac -<； ②0a b c ++<；③2c a -=；④方程220ax bx c ++-=有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个处理方式：让一名学生板演，教师巡视，解题后，教师放幻灯片，小组兵教兵校对、更正错误．点拨：由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac ＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x =﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0 ，0）和（1 ，0）之间，所以当x =1时，y ＜0，则a +b +c ＜0；由抛物线的顶点为D （﹣1 ，2）得a ﹣b +c=2，由抛物线的对称轴为直线12-=-=abx 得b =2a ，所以c ﹣a =2；根据二次函数的最大值问题，当x =﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x =1时，ax 2+bx +c =2，所以说方程ax 2+bx +c ﹣2=0有两个相等的实数根．设计意图：通过本题的设置，使学生进一步理解二次函数的图象与性质，理解二次函数对称性、增减性以及与方程、不等式的关系．【例3】已知二次函数c bx ax y ++=2中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：则当y ＜5时，x 的取值范围是．处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，由一位同学展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨．点拨：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x =4时，y =5，然后写出y ＜5时，x 的取值范围即可．方法总结：本题考查了二次函数与不等式等有关知识，观察图表得到y =5的另一个x 的值是解题的关键．【例4】在同一平面直角坐标系内，将函数1422++=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后，再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（）A.（-1 ，1）B. （1 ，-2）C. （2 ，-2）D. （1 ，-1）方法总结：抛物线的平移可以看作顶点坐标的移动，因此讨论二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的.处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，由一位同学展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨，并利用多媒体课件展示方法总结．点拨：二次函数的平移不改变二次项的系数，先把函数1422++=x x y 的图象变成顶点式1)1(22-+=x y ，求得顶点坐标（-1 ，-1），再按照“左加右减，上加下减”的规律，可求得新抛物线的顶点坐标．设计意图：二次函数的图象形状及开口与a 的值有关，抛物线的平移不改变图象的形状和开口的大小都相同，不改变a 的值，只是位置不同，改变的是抛物线的对称轴的位置，顶点坐标的位置．四、回顾反思，提炼升华经过本节课的回顾与复习, 你对这部分知识是否有了新的认识? 你还存在哪些困惑? 和你的同伴交流一下吧！峨山镇中学数学组二次函数的表达式二次函数二次函数图象的平移图象性质交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)y =a (x -h )2+k (a ≠0)一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)顶点式 1.开口方向2.顶点坐标3.对称轴4.增减性5.最值a ＜0开口向下a ＞0开口向上)442(2a b ac a b --，)442(2a b ac a b --，ab x 2-=直线a b x 2-=直线.22的值增大而减小的值随时，＞当的值增大而增大；的值随时，＜当x y abx x y a bx --.22的值增大而增大的值随时，＞当的值增大而减小；的值随时，＜当x y a bx x y a bx --.4422abac y a b x --=有最小值时，当.4422ab ac y a b x --=有最大值时，当上下平移左右平移上加下减左加右减a 看开口c 看与y 轴的交点b 看a 与对称轴b 2-4ac 看与x 轴的交点处理方式：给学生2分钟左右的时间，让学生自主交流课堂活动的经历、感受和收获，然后找3个学生尝试谈谈自己的收获，教师利用课件展示二次函数的知识树．设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本讲复习的知识进行梳理，培养学生知识归纳与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆．五、达标测试，反馈提高1．抛物线23y ax bx =+-经过点（2 ，4），则代数式841a b ++的值为（）A ．3B ．9C ．15D ．15-2．将抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（） A.1)2(32--=x y B.1)2(32+-=x y C.1)2(32-+=x y D.1)2(32++=x y 3．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与x 轴的一个交点为（3 ，0）； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6；③抛物线的对称轴是12x =；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．4．二次函数322--=x x y 的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是．5．已知二次函数342+-=x x y ⑴ 用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； ⑵ 求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标及△ABC 的面积．处理方式：学生独立完成，对学生错误较多的题目进行讲解．设计意图：设置的当堂检测便于及时获知学生对本讲知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，课后促学必做题：《新课程初中复习指导丛书》 P 57-59第1、4、9、11题.选做题：《新课程初中复习指导丛书》P59-60第12、14题. 板书设计：。

《二次函数的图象及其性质》复习课(教学设计)

《二次函数的图象及其性质》复习课（教学设计）（一）教材分析函数是一种重要的数学思想，是实际生活中数学建模的重要工具。

二次函数的教学在初中数学教学中有着重要的地位，在内容上起着承上启下的作用，既与前面学习的整式乘法与因式分解、一元二次方程有着密切联系，又为今后高中阶段函数的学习打下基础，积累经验，提供可以借鉴的方法。

作为中考的必考内容和重点内容之一，二次函数的综合运用是培养学生数学思想的重要素材，是每年必考的压轴题。

本节课通过复习二次函数的图象及其性质，立足教材，指向中考常考点和热点，让学生进一步掌握用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握二次函数的图象及其性质解决求解长度，面积，最值等问题。

（二）学情分析在之前新课学习中，学生已经学习了二次函数及其性质，学生有一定的知识方法储备，笔者所教班级学生数学运算素养，直观想象，逻辑推理等数学素养较高，同时学生的综合应用能力还有待提高，特别是，学生对结合函数图象解决平面几何中长度，面积等问题解决能力偏低，分类讨论的思想还不够成熟，通过本节学习初步培养学生解析几何思想；另一方面，本教学设计从学生的认知出发，着重解决求解二次函数解析式问题，结合二次函数图象及性质的求解线段长度，面积和最值问题，以提升学生数形结合能力。

（三）教学目标1.知识点：（1）理解二次函数的定义、图象，会用待定系数法求二次函数的解析式；（2）理解与掌握二次函数图象与直线（含坐标轴）相交问题，抛物线与动点问题中用字母表示点坐标，线段长，面积大小及结合二次函数求解最值问题。

2.技能：（1）让学生理解二次函数的定义、图象，会用待定系数法求二次函数的解析式，体会与理解待定系数法的本质是列方程（组）求解未知数，从而总结此法是求解函数解析式的常规方法，认识到求二次函数解析式问题本质是列出关于未知系数的方程从而求解方程问题；掌握待定系数法的解题步骤（设，列，解，答）；熟练掌握完成本节辅例练习第 4 题，典型例题第 1，2 问，变式训练 1，变式训练 2，变式训练 4 第 1 问，课后反馈练习第 1 题第 1 问，第 2 题，第 4 题第 1 问的练习；（2）结合二次函数图象及性质的求解二次函数与直线（含坐标轴）相交中交点坐标，线段长度，面积和最值问题。

课时40_总复习_初中数学总复习第十二讲：二次函数的图像和性质-教案

初中数学总复习第十二讲：二次函数的图象和性质【教学目标】1.理解二次函数的有关概念；2.会确定二次函数表达式；3.能通过图像理解二次函数的性质；4.用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为�＝�(�－ℎ)²＋�的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标及开口方向，画出图像的对称轴；5.理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系．【教学重难点】教学重点：二次函数的开口、对称轴、顶点、最值、增减性等性质.教学难点：由二次函数的图象得出二次函数的解析式以及相应的性质。

【教学过程】教学环节教学内容设计意图1．二次函数�=− �− 6 2 + 8 的最大值是．2．已知对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于 (1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为．3.当m=时，y=(m+3)x m2+3m+2是二次函数.4．已知二次函数�1 = ��2 + �� + �(�≠ 0)与一次函数�2 = �� + �(�≠ 0) 的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)(如图所示)，则能使�1 > �2成立的�的取值范围是．通过课前小测，了解学一、课前生的学情，便于把握这小测节课的重难点，更好地实现教学目标。

知识点一：二次函数的定义一般地，形如，那么�叫做�的二次函数.例题1（1）二次函数�= �2− 2�− 3,中� = , � = , � = .（2）当�= （）时，�= (� + 3)��2+3�+2是二次函数.解：∵ �� + �� + � = �，∴ �� = �, ��− �且�+ �≠�∴ �= �【教师总结】二次函数两大条件缺一不可：（1）最高次数是二次（2）二次项系数不为零知识点二：二次函数的解析式（1）一般式：（2）顶点式：：（3）交点式：：强化学生对二次函数概二、知念的理解，强调二次函数不能没有二次项，因此二次项系数不能为 0，让学生感受数学的严谨性．识对称轴顶点坐标最值精讲增减性在对称轴左侧y随x的增大而y随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而学生对于顶点式的性质例题�（1）二次函数�=−�−�� + �的顶点坐标是,最大值是.2 已知对称轴平行于�轴的抛物线与�轴交于1,0 , 3,0两点,则它的对称轴为.独立完成例题 3 的（1）到（2）小题，然后小组校对、讨论，小组展示成果，通过举手反馈该问题的通过率。

二次函数的图象和性质课教案

二次函数的图象和性质优质课教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解二次函数的图象特征；（2）掌握二次函数的性质，并能运用其解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现二次函数的图象和性质。

3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：二次函数的图象和性质。

2. 教学难点：二次函数的性质及其在实际问题中的应用。

三、教学过程：1. 导入新课：通过复习一次函数的图象和性质，引发学生对二次函数图象和性质的探究兴趣。

2. 自主学习：让学生自行探究二次函数的图象和性质，引导学生观察、分析、归纳。

3. 课堂讲解：（1）讲解二次函数的图象特征；（2）讲解二次函数的性质；（3）运用性质解决实际问题。

4. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

四、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究；2. 利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质；3. 注重个体差异，因材施教，使每位学生都能在课堂上得到锻炼和提高。

五、课后作业：1. 请学生总结二次函数的图象和性质，并写在日记本上；2. 设计一道关于二次函数的实际问题，让学生运用所学知识解决。

六、教学评估1. 课堂问答：通过提问，了解学生对二次函数图象和性质的理解程度。

2. 练习反馈：收集学生的练习试卷，分析其解答过程和结果，以评估学生的掌握情况。

3. 课后作业：检查学生的日记本，了解其对二次函数图象和性质的总结及实际问题解决情况。

七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，包括学生的参与度、理解程度和练习情况。

根据反思结果，调整教学方法，为下一节课的教学做好准备。

八、教学拓展1. 邀请相关领域的专家或学者，进行专题讲座或实践活动，拓宽学生的知识视野。

2. 组织学生进行小组讨论或研究，深入探究二次函数图象和性质的内涵和外延。

二次函数的图像和性质复习课教案

yxOyx O二次函数的图像和性质复习课（一）一、复习目标1.掌握并理解二次函数的性质。

2.会用二次函数的性质解决相关的问题。

二、复习重、难点重点：二次函数的性质及应用。

难点：综合应用二次函数的性质解题。

三、课前准备重点知识扫描1.二次函数的定义：形如（a 、b 、c 为常数，a ）的函数是二次函数。

2.二次函数的图像：它是一条，图像是对称图形。

3．二次函数的图像和性质4．求二次函数的解析式的方法（1）若知道抛物线上任意三个点的坐标，则设为一般式：，（2）若知道抛物线的顶点坐标（h , k ），则设为顶点式：，二次函数顶点式： )0()(2≠+-=a k h x a y一般式:)0(2≠++=a c bx ax y图象a ＞0a ＜0 a ＞0a ＜0开口对称轴直线 x ＝直线 x ＝顶点坐标( , )( , )最值当x ＝时，=最小y当x ＝时，=最大y当x ＝时，=最小y当x ＝时，=最大y增减性当x 时y 随x 的增大而减小；当x 时y 随x 的增大而增大。

当x 时y 随x 的增大而增大；当x 时y 随x 的增大而减小。

当x 时y 随x 的增大而减小；当x 时y 随x 的增大而增大。

当x 时y 随x 的增大而增大；当x 时y 随x 的增大而减小。

（3）若知道抛物线与x 轴的两个交点的坐标（1x ，0），（2x ，0），则设为交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y5．抛物线的平移6．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像特征与系数a 、b 、c 及ac b 42-的关系项目字母字母符号图像特征 aa ＞0 开口向上 a ＜0开口向下 bb=0对称轴是y 轴a 、b 同号对称轴在y 轴左侧左同右异a 、b 异号对称轴在y 轴右侧cc=0 经过原点 c ＞0 与y 轴的正半轴相交 c ＜0与y 轴的负半轴相交 ac b 42-ac b 42-=0与x 轴有唯一交点（顶点）ac b 42-＞0与x 轴有两个交点 ac b 42-＜0与x 轴有没有交点四、考点剖析考点1：二次函数的定义例1.下列函数是二次函数的有（）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个考点2：二次函数的图像和性质的应用例2.已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+m 的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2考点3：二次函数图像的平移例3．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )（Ａ）23(1)2y x =-- （Ｂ）23(1)2y x =+- （C ）23(1)2y x =++ （D ）23(1)2y x =-+ 考点4：二次函数的图像与系数关系例4．如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法：①b c ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④ac b 42-﹤0其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 考点5：求二次函数的解析式例5．一条抛物线经过(－2，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．五、变式训练1．二次函数22(1)3y x =-+的图象的最低点的坐标是（）A .（1,3）B .（－1,3）C .（1,－3）D .（－1,－3）2．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是．3.如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是。

中考数学第12讲二次函数(1)二次函数的图象与性质复习教案 (新版)北师大版

课题；第十二讲二次函数（1）教学目标：1．理解并掌握二次函数的性质，能熟练运用图象性质解决简单的数学问题.2．学会灵活应用待定系数法求二次函数关系式,能正确确定抛物线的对称轴和顶点. 3．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.会通过建立坐标系来解决实际问题.4．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，解决二次函数的综合应用.教学重、难点：重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．教法与学法指导：本节课主要采用“解读考试要求----知识梳理----师生构建知识网络-----题组训练，夯实基础-----考点剖析----针对训练----回顾反思-----当堂检测----布置作业的课堂教学模式.在教学过程中，以学生总结为主，教师给予适当的指导.本节课我通过回顾知识点来巩固二次根式的主要内容，然后利用知识树,帮助学生梳理本章的内容，通过自主学习，小组合作及师生互动完成典型例题，揭示解题技巧,再通过变式训练得到发展和提高. 在整个复习过程中, 始终抓住中考这条主线, 从中考命题趋势分析入手,引导学生针对中考的热点问题复习回顾,让学生积极主动参与教学,真正体会到学习数学的成就感.课前准备：教师：导学案、课件.学生：课前完成学案：知识要点回顾，以及知识树的构建.教学过程：一、解读中考，弄清目标活动内容1：中考要求1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.2．会运用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质.3．会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并解决简单的实际问题.4．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.处理方式：先让学生独立思考，再小组交流，师生互动，补充完善，达成共识．设计意图：让学生明确中考对本节知识点的要求，使学生在复习过程中把握复习的方向,明确复习的重点，掌握解题的方法与技巧．二、知识梳理，厚积薄发（多媒体展示，课前学案完成）活动内容1：导入新课导语：华罗庚教授说：读书要从薄到厚，又从厚到薄。

二次函数的图像和性质复习课一教案

《二次函数的图像和性质》复习课一教案教学目标1、通过复习，进一步帮助学生理解二次函数的定义及相关性质、基本特征。

2、能运用二次函数的知识解决相关问题，提高学生解决问题的能力。

3、解决二次函数中学生的重点、难点、易错点问题，指导学生的学习方法。

教学重点：1、引导学生运用二次函数的性质解决问题。

2、在实际问题的解决过程中指导学生的学法，提升他们综合运用知识的能力。

教学难点：运用二次函数的相关知识解决图形问题及生活中的实际问题。

教学过程一、基础知识回顾1、结合坐标系复习二次函数的定义、图像、性质。

注意强调对二次项系数a 的限制a ≠0。

.2、复习二次函数的三种表达式，对顶点式详细分析，强调交点式的限制条件——只适用于已知抛物线与x 轴的交点坐标的问题。

3、如何求抛物线与坐标轴的交点坐标。

即：分别令表达式中的y 、x 为0，然后解方程。

课堂练习： 1、若y=(m －1)2m mx++(m+2)x －5是关于x 的二次函数，则m= 。

2、抛物线y=3(x ＋2)2+5的开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为。

3、把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式是。

4、二次函数c bx x y ++-=2①对称轴为2=x ; ②当y ≤0时,x ＜0或x大。

其中正确的结论有（）A. ①②③④B. ①②③C. 5、在平面直角坐标系中，抛物线2y x =与y 轴的交点坐标为。

要求学生在3—5学生容易忽视的。

3化为1，然后再配方。

二、二次函数性质的基本应用例1、若A （－2，y 1），B （－1，y 2），C （的大小关系是（） A ．123y y y <<B ．2y <分析：1高低从而比较出三个函数值的大小。

3、延伸：如果将三点的横坐标用x 1、x 2、x 3表示，已知x 1、x 2、x 3的大小，比较y 1、y 2、y 3的大小，请学生分析解决方法，教师点评、归纳、指导。

中考复习二次函数的图象与性质教案

九年级第一轮复习中考复习二次函数的图象与性质教案授课教师：一、中考要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式；5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

二、知识要点：1.二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而 ;在对称轴的= ;反之当右侧,y随x的增大而 ;简记左减右增,这时当x= 时,y最小值= .a<•0时,简记左增右减,当x= 时y最大值3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法(1)一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;(2)在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k，顶点是（h，k）;4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即(1)当抛物线与x轴有两个交点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根;(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根;（3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,•方程ax2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定(一) 热身练习针对实际中考考题及学生的实际情况，学生先独立完成，然后小组讨论，准确求解（教师注重个别学生的辅导，使绝大多数学生能够考好基本知识，不丢失基本分） 1. 二次函数52++=bx x y 配方后k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（）（A ）0.5 （B ）0.1 （C ）—4.5 （D ）—4.12. 如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是．3. 二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（）A ．（-1，8）B ．（1，8）C ．（-1，2）D ．（1，-4）4.把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象为y =x 2－3x ＋5，则（）A ．b =3，c =7B ．b =6，c =3C ．b =-9，c =-5D ．b =-9，c =21 5.下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是（）(二)重点练习利用实际中考考题，通过板演让学生重点突破，教师加强个别辅导例1已知实数y x y x x y x +=-++则满足,033,2的最大值为？例2如图，抛物线254y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点(54)C ，．（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．5,4）例3：（10广州）已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；（2（3）若该抛物线上两点A （1，1），B （2，2）的横坐标满足1＞2＞1，试比较1与y 2的大小．（三）课堂小结今天复习二次函数的图象与性质，你有什么收获？你做错的题目找到原因了吗？你订正了吗？ (四)当堂检测（主要是基础练习，强化学生基本分得分能力）1．已知抛物线103:2-+=x x y C ，将抛物线C 平移得到抛物线C '若两条抛物线C 、C ' 关于直线1=x 对称，则下列平移方法中，正确的是 ( ) A ．将抛物线C 向右平移25个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位2.已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞03.已知二次函数c bx axy ++=2的图象如图所示,记b a c b a q b a c b a p -+++=+++-=2,2,则p 与q 的大小关系为 ( )A.q p >B.q P =C.q p <D.p 、q 大小关系不能确定4．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．5.抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（） A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =6.将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，抛物线解析式是（）．A ．221216y x x =--+B ．221216y x x =-+-C ．221219y x x =-+-D ．221220y x x =-+- 7、提高题：（有能力的同学自己课后完成）（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x 2+4x 与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m (m >0)个单位，所得抛物线与x 轴交与C 、D 两点，与原抛物线交与点P. （1）求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理）（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）△CDP 的面积为S ，求S 关于m 的关系式。

2019-2020学年九年级数学上册《二次函数的图象和性质》教案新人教版.doc

2019-2020学年九年级数学上册《二次函数的图象和性质》教案新人教版一. 教学内容：二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质（一）二. 重点、难点：1. 2ax y =的图象特征2. k h x a y +-=2)(与2ax y =的关系【典型例题】[例1] 若直线52+-=x y 与抛物线2ax y =交于A 、B 两点，且A 点的纵坐标是横坐标的8倍，求B 点的坐标。

解：设),(),,(2211y x B y x A ，则⎩⎨⎧+-==5281111x y x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧==42111y x ，代入2ax y =，得16=a由⎩⎨⎧=+-=21652x y x y 得052162=-+x x ，85,2121-==x x ∴425)85(1622=-⨯=y∴点B 坐标为)31,31(（2）依题意，直线12+-=x y 与y 轴交点D 的坐标为（0，1），则OD=1过点A 作y AH ⊥轴于H 点，则11=-=x AH ；作y BT ⊥轴于T 点，则312==x BT ∴BT OD AH OD S S S BOD AOD AOB ⋅+⋅⋅=+=∆∆∆2121 ∴32)311(121)(21=+⋅⋅=+=∆BT AH OD S AOB[例3] 抛物线2ax y =（a 为常数）上有点A 、B ，使得OAB ∆是一个等腰直角三角形，且O 为直角顶点，若OAB ∆的面积是1，求点A 、B 的坐标及a 值。

解：（1）当0>a 时，如图所示，由抛物线的对称性可知，A 、B 两点关于y 轴对称。

∴OH AB S OAB ⋅⋅=∆21，即1,22112=⨯=OH OH∴点A 、B 的纵坐标都是1又∵AB//x 轴∴OA 、OB 分别为第二象限和第一象限的角平分线 ∴)1,1(),1,1(B A -代入到2ax y =中，有1=a（2）当0<a 时，同理可知)1,1(),1,1(---B A ，有1-=aA 点，，点y ⊥轴于K 点，设MN 交y 轴于D ，则D 坐标为（0，1），OD=1由⎩⎨⎧=+=21x y kx y ，消y 得012=--kx x ，由根与系数关系得：4212+=-k x x ∴)(212121NK MH OD NK OD MH OD S OMN +=⋅+⋅=∆ 即421)(1212212+=-⨯⨯=k x x解得2±=k （舍正）∴ k 值为2-[例5] 设0>ab ，且c b a >⋅2)2(1，则二次函数c bx ax y ++=2的图象的顶点一定位于第象限。

二次函数的图像与性质复习教案人教版数学九年级上册

二次函数的图象与性质复习课一、教学目标1．复习二次函数图象与性质的基础知识（解析式、顶点坐标、对称轴、增减性）.2. 让学生经历读图过程，学会多维度的识图读图，学习一般的提取图象信息的方法. 学会对获得的信息进行归类，并纳入知识体系.3. 感受数形结合、转化思想在问题中的运用.二、学情及重难点分析本班学生数学基础较好，课堂活跃. 已基本掌握二次函数图象与性质的基础知识（解析式、顶点坐标、对称轴、增减性），从前测数据分析，学生对于二次函数的图象表面信息的获取，以及单一图象的读图和解析式的求法，问题都不大；本节课试图引导学生通过“形（图象特征）----数（数式表达）”的转换过程，充分理解具体问题中数形结合的“结合点”（解析式、顶点坐标、对称轴、增减性）.重难点在二次函数图象与性质的多维度解读,并纳入知识体系.三、前测（提前一天做线下练习，学生统一时间做，收集数据，对学生出错率高的问题重点讲解）说明：前测题目共8题，考查内容包括：二次函数的定义，二次函数解析式，系数a,b,c在图象中的体现，抛物线的图象特征与表达（与两个坐标轴的交点，顶点，对称轴，增减性），图表信息的提取与转换，抛物线与一次函数的结合.考查的数学思想方法包括：数形结合，转化思想，方程思想.四、课堂教学过程：环节对得分率不理想的题目讲清楚（小组学习----集体汇报.特别体现学生的自主学习与合作交流，鼓励学生讲出来）.老师归纳提升，重点内容板书.解析式：（一般式、顶点式、交点式）抛物线位置由a、b、c决定（各自管什么，怎么管）环节二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x取一切实数时，请将图象补充完整，写出3个以上的正确结论,并说明理由.这是一个开放性问题。

可以写出一系列的式子。

给学生足够的时间，写出结论，并交流.（1）看整体图象特征（形）数式表达（数）数形结合的结合点抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）系数a,b,c待定二次函数的图象是一条抛物线.函数图象是抛物线,且开口向下a<0a决定图象开口方向a＞0开口向上;a＜0开口向下（3）找联系设计意图：通过相关结论的挖掘，旨在帮助学生对二次函数核心知识进行重点回顾。

（教案）二次函数图象和性质复习教案（共五篇）

（教案）二次函数图象和性质复习教案（共五篇）第一篇：(教案)二次函数图象和性质复习教案《二次函数的图象和性质》复习课教案海洲初级中学初三数学备课组内容来源：初中九年级《数学（上册）》教科书教学内容：二次函数图像与性质复习课时：两课时教学目标：1.根据二次函数的图象复习二次函数的性质，体会配方、平移的作用以及在解决相关问题的过程中进一步体会数形结合的数学思想。

2.会利用二次函数的图象判断a、b、c的取值情况。

3.在解决二次函数相关问题时，渗透解题的技巧和方法，培养学生的中考意识。

教材分析：二次函数是学生在中学阶段学习的第三种函数，是中考的重要考点之一，它与学生前面所学的一元二次方程有密切的联系，也是初中数学与高中数学的一个知识的交汇点。

本节课通过二次函数的图象和性质的复习，从特殊到一般，再由普遍的一般规律去指导具体的函数问题，加深学生对函数图象和性质之间的联系，构建知识网络体系，发展技能，归纳解题方法，让学生在练习中体会数形结合思想。

学情分析学生具有初步的、零散的关于二次函数的图象和性质的知识基础，但是还没有形成系统的知识体系，缺乏解决问题有效的、系统的方法，解决问题办法单一，较难想到运用函数的图象解决问题。

本节课针对班级学生特点采取小组合作进行教学，通过小组的交流、讨论和展示，提高学生学习的积极性和有效性。

通过本节课的学习使学生把函数的图象和性质紧密联系在一起，掌握解决一类问题的常用方法。

教学过程一、旧知回顾1、已知关于x的函数y=2、已知函数y=-2x-2,化为y=a+3x-4是二次函数，则a的取值范围是.+k的形式：此抛物线的开口向，对称轴为，顶点坐标；当x= 时，抛物线有最值，最值为；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减少。

3、二次函数y=-3的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得到抛物线的解析式为4、若二次函数y=2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是5、抛物线的顶点在（-1，-2）且又过（-2，-1），求该抛物线的解析式。

二次函数的图像与性质复习课教案

《二次函数的图像与性质》复习课秦皇岛市抚宁区大新寨学区初级中学朱爱斌复习目标：知识与技能目标：1.回忆所学二次函数的基础知识，进一步理解掌握2.灵活运用基础知识解决相关问题，提高学生解决问题的能力过程与方法目标：1.学生自查遗忘的知识点，回答问题，提出问题。

2.经历例题习题的解答，提高技能。

3.讨论、交流，教师答疑、解惑、指导。

情感、态度与价值观目标：渗透二次函数在实践中的运用，使学生知道学为所用，树立服务社会的思想。

复习重点、难点：二次函数的基础知识回忆及灵活运用。

复习方法：自主探究、分组合作交流教学过程：课前的话：很高兴今天我和同学们有这一课之缘。

可能这节《二次函数图像与性质》复习课同学们已经在老师的指导下掌握的很好了，可是，每个老师都有自己教学的侧重点，不同的老师讲解同一段内容，相信会让同学们对于这一段的知识掌握的更加全面、运用得更加熟练。

另外，我还给同学们准备了一份见面礼，这个盒子里面有一个很珍贵的礼物，你在商店是绝对买不到的，我准备了6份，大家想不想要？我准备把它送给这节课表现最好的几位同学。

评委老师就是后面的几位听课老师，麻烦几位老师根据上课表现，在课程结束后，把这个小礼物送给你认为表现最好的同学。

我这里也留一个，送给第一个给我惊喜的同学。

一、导入语：二次函数这章知识点很多，其运用有一定难度，而且它的知识在中考所占比重又非常大。

这节课，老师领着大家把二次函数的图像与性质中一些基础内容复习一下。

二、二次函数解析式的复习1.出题：（小组讨论）每个小组各出一道求二次函数解析式的习题，把你出的题写在老师为你们准备的“研学卡”上面。

写完后，交到组长那里，由组长收集整理，重复的选出一道比较好的。

2.做题：出题组上来组长或由组长指派一人主持这道题的解答过程，请其他同学来回答，你来判断对错以及补充。

3.课堂预设：一共有三种解析式：一般式、顶点式、交点式。

如果缺少，老师随机应变出题。

三、图像及性质基础知识的理解和运用1.出题：（小组讨论）每个小组根据二次函数图像和性质出题若干，可以一个知识点出一道题，也可以一道题包含几个知识点，把你出的题写在老师为你们准备的“研学卡”上面。

初三数学专题复习教案第12讲：二次函数

第12讲二次函数一、教学目标1.知识与技能:能够准确绘制二次函数图像；通过图像发现和研究顶点式二次函数的性质。

2.过程与方法：经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程；体会数形结合的数学思想3.情感、态度与价值观：体验数学活动中的探索性和创造性。

二、教学重难点教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索顶点式二次函数的图像特点和性质。

教学难点：顶点式二次函数的图像特点和性质的得出过程。

三、教学用具：直尺三角板四、学情分析：学生已经掌握了二次函数的概念和性质，但是二次函数的性质应用和实际问题需要学生灵活理解和掌握，二次函数为载体的综合题是学生的一大难题。

五、教学方法：六、教学资源：教本，PPT七．教学过程：考点聚焦考点一二次函数的概念一般地,形如(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.考点二二次函数的图象及画法图象二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以①为顶点,以直线②为对称轴的抛物线用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象的步骤(1)用配方法化成③的形式;(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图考点三二次函数的性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) a>0 a<0图象开口方向抛物线开口向上,并向上无限延伸抛物线开口向下,并向下无限延伸对称轴直线x=-直线x=-顶点坐标增减性在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而减小,简记左增右减大而增大,简记左减右增最值抛物线有最低点,当x=-时,y有最小值,y最小值=抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,y最大值=二次项系数a的特性的大小决定抛物线的开口大小:越大,抛物线的开口越小,越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c考点四二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式Δ=b2-4ac的符号方程ax2+bx+c=0实根的个数①个Δ>0 ②的实根1个Δ③两个相等的实根没有Δ④⑤实根考点二二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa>0 开口向上a<0 开口向下b b=0 对称轴为y轴ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧c c=0 经过原点c>0 与y轴正半轴相交c<0 与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac>0 与x轴有两个不同的交点b2-4ac<0 与x轴没有交点特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+c若a+b+c>0,则x=1时,y>0若a-b+c>0,则x=-1时,y>0考点五二次函数图象的平移将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,而任意抛物线y=a(x-h)2+k均可由抛物线y=ax2平移得到,具体平移方法如图14-1所示.一、二次函数的定义例1、已知函数y=(m－1)xm2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。

初一数学复习教案二次函数的图像与性质

初一数学复习教案二次函数的图像与性质初一数学复习教案-二次函数的图像与性质教学目标：1. 了解二次函数的定义，学习其一般形式和顶点形式的表示方法；2. 掌握二次函数图像的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点、最值等；3. 学会根据给定函数的图像描述其性质，并能应用二次函数解决实际问题。

教学重点：1. 二次函数的图像特征及其与函数的关系；2. 通过图像描述函数性质；3. 解决实际问题。

教学难点：1. 掌握二次函数的一般形式和顶点形式的变换关系；2. 运用二次函数解决实际问题。

教学准备：多媒体教学设备、黑板、白板笔、教学PPT、练习题目。

教学过程：一、引入（5分钟）老师可以通过提问或者展示一道有关二次函数图像的问题来引起学生的兴趣，如下：小明投掷一个小球，小球的轨迹是什么形状？你能通过方程来描述这个轨迹吗？二、知识讲解（15分钟）1. 二次函数的定义及表示方法：二次函数是指具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，顶点形式为f(x) = a(x - h)^2 + k。

a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，h、k表示二次函数的顶点坐标。

2. 二次函数图像的基本性质：- 开口的方向由a的正负决定，a > 0时开口向上，a < 0时开口向下；- 对称轴是二次函数图像的线对称轴，对称轴的方程为x = -b / 2a；- 顶点坐标为(h, k)，其中h和k分别表示顶点的横坐标和纵坐标；- 最值主要通过二次函数与对称轴的关系来确定，a > 0时，函数有最小值，最小值为k；a < 0时，函数有最大值，最大值为k。

三、示例演练（25分钟）1. 通过示例展示二次函数图像的性质：显示一张包含开口方向、对称轴、顶点、最值等信息的二次函数图像，让学生根据图像描述其性质。

学生可以使用以下句式进行描述：- 这是一个开口向上/向下的二次函数图像；- 对称轴为x = ...；- 顶点坐标为(..., ...)；- 这个函数有最大值/最小值，最值为...。

二次函数的图像与性质教案初三复习

二次函数的图像与性质学习目标：1．理解二次函数的概念，会画出它们的图像，能根据图像解决相关的问题. 2．理解二次函数性质并会应用.3．能根据所给信息确定二次函数的表达式，解决一些实际问题。

学习重点：掌握二次函数的图像和性质。

学习难点：运用数形结合的思想形象地解答与二次函数的有关问题。

一、复习导入1、如图，在坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．2、观察下面的表格：x0 1 2ax 2 2 ax 2+bx+c 4 6（1）求a ，b ，c 的值，并在表格内的空格中填上正确的数；（2）求二次函数y=ax 2+bx+c 图象的顶点坐标与对称轴．二、知识点复习1、二次函数定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx axy ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

3、二次函数 c bx axy ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4、二次函数c bx axy ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k ab h 4422-=-=，.5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx axy ++=2.6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx axy 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（abac a b4422--，对称轴是直线ab x 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9、抛物线c bx axy ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴； ②0>ab （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0）k axy +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x =(h ,k )c bx axy ++=2ab x 2-=(abac a b4422--，)11、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式： ()()21x x x x a y --=.例1.已知二次函数24y x x =+，(1) 用配方法把该函数化为2()y a x h k =-+ (其中a 、h 、k 都是常数且a≠0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.OyxBA(2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标.例2. （2008年大连）如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴ 求m 的值和抛物线的解析式；⑵ 求不等式m x c bx x +>++2的解集．(直接写出答案)三、课堂反馈练习四、课堂小结五、课后练习课堂反馈练习姓名___________ 学校__________满分100，每小题10分1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是． 3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（）A.－2B.2C.－1D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．7. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第7题图 8. 已知二次函数243y ax x =-+的图象经过点（－1，8）. （1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；x 0 1 2 3 4 y（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x 的取值范围是什么？9.（2006年南通市）已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示．第3题图第6题图（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x<0时的图象；（3）利用抛物线y=ax 2+bx+c ，写出x 为何值时，y>0．10.（06年长春市）如图，P 为抛物线y=34x 2-32x+14上对称轴右侧的一点，且点P 在x 轴上方，过点P 作PA 垂直x 轴于点A ，PB 垂直y 轴于点B ，得到矩形PAOB ．若AP=1，求矩形PAOB 的面积．《二次函数的图像与性质》课后作业姓名___________ 学校__________满分100，每小题10分1、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M（b，c）在（）aA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2、（2005年武汉市）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0. 其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、二次函数y=x2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A.y=x2+3B. y=x2-3C. y=（x+3）2D. y=（x-3）24、二次函数y=-（x-1）2+3图像的顶点坐标是（）A．（-1，3）B．（1，3）C．（-1，-3）D．（1，-3）5、（2006年南充市）二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则y的最值是（）A．最大值-4 B．最小值-4C．最大值-3 D．最小值-36、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；•③b2-4ac>0，其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7.（06年长春）函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．8.（06年宿迁市）将一抛物线向左平移4个单位后，再向下平移2个单位得抛物线y=x2，•则平移前抛物线的解析式是________．9.（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．AB=CD=8.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.10.[2012·来宾] 如图16－3，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c的图象与x轴交于点A(3，0)和点C，与y轴交于点B(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；(3)在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。