等比数列讲义(教师版)
第35讲 等比数列(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第35讲：等比数列一、课程标准1.通过实例，理解等比数列的概念．2.探索并掌握等比数列的通项公式与前n 项和的公式．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.体会等比数列与指数函数的关系. 二、基础知识回顾 知识梳理1. 等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母__q__表示．2. 等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1q n －1，这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．第二通项公式为：a n ＝a m q n －m ．3. 等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝a 1（1－q n ）1－q (q ≠1)或S n ＝a 1－a n q1－q (q ≠1)． 注意：(1)当q ＝1时，该数列是各项不为零的常数列，S n ＝na 1；(2)有关等比数列的求和问题，当q 不能确定时，应分q ＝1，q ≠1来讨论． 4. 等比数列的性质(1)若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，则G 2＝ab.(2)等比数列{a n }中，若m ＋n ＝k ＋l(m ，n ，k ，l ∈N *)，则有a m ·a n ＝a k ·a l ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，a m ·a n ＝a 2p .(3)设S m 是等比数列{a n }的前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 满足关系式(S 2m －S m )2＝S m ·(S 3m －S 2m )． (4)等比数列的单调性，若首项a 1＞0，公比q >1或首项a 1＜0，公比0<q <1，则数列为递增数列；若首项a 1＞0，公比0<q <1或首项a 1＜0，公比q ＞1，则数列为递减数列；若公比q ＝1，则数列为常数列；公比q ＜0，则数列为摆动数列．(5)若{a n }和{b n }均为等比数列，则{λa n }(λ≠0)、{|a n |}、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 、{ma n b n }(m ≠0)仍为等比数列．三、自主热身、归纳总结1、 已知{}a n 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A . a 1d>0，dS 4>0B . a 1d<0，dS 4<0C . a 1d>0，dS 4<0D . a 1d<0，dS 4>0 【答案】B【解析】 由a 3，a 4，a 8成等比数列可得：(a 1＋3d)2＝(a 1＋2d)·(a 1＋7d)，即3a 1＋5d ＝0，∴a 1＝－53d ，∴a 1d＜0.又dS 4＝（a 1＋a 4）×42d ＝2(2a 1＋3d)d ＝－23d 2<0.故选B . 2、若等比数列{}a n 满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A . 2 B . 4 C . 8 D . 16 【答案】B【解析】 由a n a n ＋1＝16n ，得a n ＋1a n ＋2＝16n ＋1，两式相除得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝16n ＋116n ＝16，∴q 2＝16，∵a n a n ＋1＝16n ，可知公比q 为正数，∴q ＝4.故选B .3、[2017·新课标Ⅱ高考]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A . 1盏B . 3盏C . 5盏D . 9盏 【答案】B【解析】 设塔顶共有灯a 1盏，根据题意各层等数构成以a 1为首项，2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1()1－271－2＝()27－1a 1＝381，解得a 1＝3.故选B .4、已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________. 【答案】100【解析】因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.5、已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝________. 【答案】60【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 四、例题选讲考点一 等比数列的基本运算例1、（1）(2019苏锡常镇调研（二））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． （2）(2019苏北四市、苏中三市三调）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ．（3）、(2019南京、盐城一模）已知等比数列{a n }为单调递增数列，设其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7，则a 5的值为________．【答案】．（1）.37（2）14（3）16【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为622a a =，所以2422a q a =，故24=q ．由于1≠q ，故.372121)(1)(1111)1(1)1(23243481281121812=--=--=--=----=q q q q qq a q q a S S （2）：(基本量法) 设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q ，则由324a a -=，416a =，得21131416a q a q a q ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得 122a q =⎧⎨=⎩，2312311124814S a a a a a q a q =++=++=++=. （3）解法1(基本量为a 1，q) 设a n ＝a 1·qn －1，则a 2＝a 1·q ＝2，即a 1＝2q ，所以S 3＝a 1·(q 2＋q ＋1)＝7，即2q ·(q 2＋q ＋1)＝2q ＋2＋2q ＝7，q ＋1q ＝52，解得q ＝2或q ＝12(数列单调递减，舍)，则a 5＝a 1·q 4＝16.解法2(基本量为a 2，q) 设公比为q ，则S 3＝2q ＋2＋2q ＝7，解得q ＝2或q ＝12(数列单调递减，舍)，则a 5＝a 2·q 3＝16.解后反思 在等差数列与等比数列中常常使用基本量法，但是要注意基本量的相对性. 我们所说的基本量，往往是a 1，d(或a 1，q)，其实也可以把a 2，d(或a 2，q)等作为基本量．变式1、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________ 【答案】：2n －1【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2， 解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n，S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1.变式2、[2018·苏州模拟]已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为___．【答案】94【解析】 (1)观察得公比q 不为1，将条件代入前n 项和为S n 及通项公式，得a 1（1－q 6）a 1（1－q 3）＝－198，∴1＋q 3＝－198，∴q ＝－32，∴a 1q(q 2－1)＝－158，a 1＝1，故a 3＝a 1q 2＝94.方法总结：(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解；(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q 。
03 教学课件_等比数列(3)
∴an=3Sn-1(n≥2).②
+1
=4(n≥2).
①-②,得 an+1-an=3an,即
又
2
a2=3,a1=1,∴ =3,
1
2
因此插入的3个数分别为2，1， 或−2，1， −
1
2
归纳总结
1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的
前一项与后一项的等比中项．
2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第
一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
9 = 1 2
−243 = 1 5
解得1 = 1,q = −3，因此
8 = (−3)8−1 = −2187.
尝试与发现
探究3.如果G为与的等比中项，那么G能用与表示出来吗
根据等比中项与等比数列的定义可知
=
由此可知 = ±
，因此 2 =
，
典例解析
例6.已知数列{an}中，
木棒的长度构成数列
1
1
1
， ， ，…②
2
4
8
我们都知道，如果将钱存在银行里，那么将会获得利息，例如如果某年年初
将1000元钱存为年利率为3%的5年定期存款，且银行每年年底结算一次利息，则
这5年中,每年年底的本息和构成数列
1000×1.03, 1000× 1.032 ×，…,1000×1.035 .③
第五章 数 列
5.3.1 等比数列
课标阐释
8.3 等比数列——讲义
8.3等比数列【考纲要求】1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，了解等比数列与指数函数的关系；2. 能熟练应用等比数列的性质解决有关问题；3. 掌握等比数列的前n 项和公式；【考情分析】本节在高考中主要考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式和等比数列性质等，同时考查等差、等比数列的综合应用，方程思想，分类讨论思想，以及整体代换思想；以定义及其等比中项为背景考查等比数列的判定；以填空填的形式考查基本概念，基本公式和基本方法，综合性问题多以解答题形式出现，包括数列内部知识的综合和与其他内容的综合等.【知识回顾】一、 等比数列的定义1.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示.2.数学符号语言：在数列{}n a 中，若1(),n nq n N a q a *+∈=为常数，则{}n a 称这等比数列.二、 等比数列的通项公式1.若已知等比数列的首项为1a ，公比为q ，则11(0)n n a q a q -=≠. 2.若已知等比数列的第m 项m a 和公比q ，则(0)n mn m a qa q -=≠.三、 等比数列的递推公式：1(0)n n a q q a +≠=.四、 等比中项如果,,a G b 成等比数名，那么G 叫做a 与b的等比中项，且0)G ab =>.在等比数列中，从第二项起每一项（有穷数列最后一项除外）都是它前一项与后一项的等比中项，即211(2)n n n a a a n N n *-+=⋅∈≥且.五、 等比数列的公比公式：11n n q a a -=或n mn mqa a -=.六、 等比数列的通项公式的推导方法1. 归纳法：由定义可知：2321321431,,,a q a a a q a q a a q a q =====⋅⋅⋅归纳得：11n n a qa -=2. 迭代法：根据等比数列的定义有：232112321n n n n n n a qa q a q a q a q a -----====⋅⋅⋅==3. 累商法：由递推关系有：3241231,,,,n n a a a a a q q q q a a a -===⋅⋅⋅=累乘得：132121n nn a a a q q q qa a a --⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=即11()n n a qa n N -*=∈七、 等比数列的性质1. 若(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈，则m n p q a a a a ⋅=⋅；若2(,,)m n r m n r N *+=∈，则2m n r a a a ⋅=；2. 在有穷等比数列{}n a 中，与首末两项等距离的两项之积相等，且等于首末两项之积，即122n n a a a a -⋅==⋅⋅⋅3. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，从中每隔m 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为mq ，即2,,,k k m k m a a a ++⋅⋅⋅成等比数列，公比为mq .4. 若{}n a ，{}n b 是等比数列，则（1）{}(0)n a λλ≠仍是公比为q 的等比数列；（2）1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列；（3）{}kn a 是公比为kq 的等比数列；（4）{lg ||}n a 是公差为lg ||q 的等差数列； （5）{}n n ma b ⋅是公比为qq '的等比数列. 5. 等比数列的单调性（1） 若10,1a q >>或10,01a q <<<时，数列{}n a 为单调增数列； （2） 若10,01a q ><<或10,1a q <>时， 数列{}n a 为单调减数列； （3） 当1q =时，数列{}n a 为常数列；（4） 当0q <时，数列{}n a 为摆动数列，且正负两项交替出现.八、 等比数列前n 项和1.公式：设{}n a 为等比数列，公比为q ，则其前n 项和公式为111(1))(1)(1)11n nn na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2.推导：等比数列{}n a 前n 项和公式的推导方法——错位相减法（1） 归纲法：由定义知：3321321431,,,a a q a a q a q a a q a q =====⋅⋅⋅ 归纳得：11()n n a a qn N -*=∈（2） 迭代法：2311231n n n n n a a q a q a q a q ----====⋅⋅⋅= （3） 累商法：由递推关系式知3241231,,,,nn a a a a q q q q a a a a -===⋅⋅⋅=累乘得：2a 31a a ⋅2a 4a ⋅3a 1n n a a -⋅⋅⋅1n q q q q q-=⋅⋅⋅⋅⋅=所以1111n n n n a a qa a q--=⇒=九、 等比数列前n 项和的性质1. 等比数列{}n a 的前n 项和n S ,则232,,n n n n n S S S S S --构成等比数列.（当1,q n =-为偶数时，上述性质不成立）证明：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，当1q =时，12131,2,3,n n n S S S na na na ===显然232,,n n n n n S S S S S --成等比数列. 当1q ≠时，2311123(1)(1)(1),,,111nnnn n n S S S a q a q a q qqq ---===---则2112()(1)11nnnnn n S S a q qa q q qq---==--，2321132()(1)11nnnnn n S S a qq a qq qq---==--所以2222122((1))(1)nnn n S S a qq q --=-，2222111322(1)(1)(1)()11(1)nnnnnn nn S S S a q a q q a q q q q q ----=⋅=--- 2322()()n n n n n S S S S S ∴-=- 232,,n n n n n S S S S S ∴--成等比数列.2. 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则(,)nm n n m S S S q m n N *+=+∈. 证明：121m n n n n m S a a a a a +++=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12()n n m S q a a a =+++⋅⋅⋅+ nn m S S q =+3. 在等比数列{}n a 中，公比为q ，项数为2n ，若用,S S 奇偶分别表示奇数项与偶数项的和，则有S S q =偶奇.十、 等比数列与函数1. 通项公式与函数的关系等比数列{}n a 的通项11n n a a q -=还可以改写成1()nn a a q q=⋅.当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，所以n a 可以看成一个非零常数与指数函数的积，因此，等比数列的通项公式n a 是关于n 的函数，其各点(,)n n a 是函数1()nn a a q q=⋅上一群孤立的点.2. 前n 项和与函数的关系等比数列{}n a 的前n 项和1(1)1nn S a q q -=-可以改写成1111nnn S a a q mq m q q=-+=-+--.则n S 可以看成由一个指数式与一个常数的和，且指数式的系数与常数互为相反数，由此又可得到判定一个数列是等比数列的一种方法，公比1q ≠的等比数列是(0,1,0)n n S mq m m q q =-+≠≠≠的充要条件.十一、 判断等比数列的常用方法1.利用定义：1n n a a q -=（q 是常数且0q ≠）⇔{}n a 为等比数列.2.等比中项法：211(20)n n n n a a a n a -+=⋅≥≠且⇔{}n a 为等比数列.3.通项公式法：11n n a a q -=（,a q 均不为0的常数）⇔{}n a 为等比数列.4.前n 项和：(0,1,0)n n S mq m m q q =-+≠≠≠⇔{}n a 为等比数列.。
《等比数列的前 n 项和》 讲义
《等比数列的前 n 项和》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32，就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＼times q^｛n 1}＼），其中\（a_1\）为首项，＼（n\）为项数。
通项公式的作用在于，只要知道等比数列的首项和公比，就可以求出任意一项的值。
三、等比数列的前 n 项和公式推导我们先来考虑一个简单的等比数列：＼（a_1\），＼（a_1q\），＼（a_1q^2\），＼（a_1q^3\），，＼（a_1q^｛n 1}＼）。
其前 n 项和为：＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋a_1q^｛n 1}＼）①两边同乘以公比 q ，得到：＼（qS_n ＝ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n 1} ＋ a_1q^n\）②由②①，可得：＼＼begin{align}qS_n S_n&＝（a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n 1} ＋a_1q^n) （a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n 1}）＼＼（q 1)S_n&＝a_1q^n a_1\＼S_n&＝＼frac{a_1(q^n 1)｝｛q 1} （q ≠ 1)＼end{align}＼当 q ＝ 1 时，等比数列变为常数列，＼（S_n ＝ na_1\）。
四、等比数列前 n 项和公式的特点1、当q ≠ 1 时，等比数列的前 n 项和公式是一个关于 n 的指数型函数。
2、当 q ＝ 1 时，前 n 项和就是首项乘以项数。
五、等比数列前 n 项和公式的应用例 1：已知等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项\（a_1 ＝ 2\），公比\（q ＝ 3\），求前 5 项的和\（S_5\）。
专题7.3---等比数列及其前n项和--教师版
专题7.3等比数列及其前n 项和练基础1．（2021·全国高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案.【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列∴24S =，42642S S -=-=∴641S S -=，∴641167S S =+=+=.故选：A.2．（2021·山东济南市·）已知S n 是递增的等比数列{a n }的前n 项和，其中S 3＝72，a 32＝a 4，则a 5＝（）A ．116B ．18C ．8D ．16【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q ，根据题意列方程，解出1a 和q 即可.【详解】解：设递增的等比数列{a n }的公比为q ，且q >1，∵S 3＝72，234a a =，∴1a （1+q +q 2）＝72，21a q 4＝1a q 3，解得1a ＝12，q ＝2；1a ＝2，q ＝12（舍去）．则5a ＝4122⨯=＝8．故选：C ．3．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列{}n a 的前n 项和为271,8,4n S a a =-=，则6S =（）A ．212-B ．152C ．212D ．632【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，由572a a q =结合已知条件求q 、1a ，再利用等比数列前n 项和公式求6S .【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则572a a q =，又2718,4a a =-=，∴12q =-，故116a =，又1(1)1-=-nn a q S q ，即666311616[1()]216421321()22S ⨯⨯--===--.故选：C4．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列{}n a 满足12451,8a a a a +=+=，则7a ＝（）A ．643B ．643-C ．323D ．323-【答案】A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的通项公式建立方程组，解之可得选项.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则345128a a q a a +==+，所以2q =，又()11121+11,3a a a a q =+==，所以6671123643a a q ==⨯⨯=，故选：A.5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（）A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里【答案】D 【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得6161[1()]2378112-==-a S ，解可得1192a =，则211192962a a q =⨯=⨯=；即此人第二天走的路程里数为96；故选：D ．6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】由112n n n S S S -++>可得出1n n a a +>，取10a <，由101n n q a a +<⇔，进而判断可得出结论.【详解】若112n n n S S S -++>，则11n n n n S S S S +-->-，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为递增数列，若10a <，101n n q a a +<<⇔>，所以，“1q >”是“112n n n S S S -++>”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列{}n a 中，44a =，且22n n a a +=，则21nni a==∑___________.【答案】122n +-【解析】由44a =，22n n a a +=，得到22a =且22n na a +=，得出数列{}2n a 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由22n n a a +=，可得22n na a +=，又由44a =，可得4224a a ==，所以22a =，所以数列{}2n a 构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1212(12)2212n nn n i a +=-==--∑.故答案为：122n +-.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则1a =_____，n S =_______．【答案】121n -【解析】利用1n n n a S S -=-求通项公式，再求出n S .【详解】对于21n n S a =-，当n =1时，有1121S a =-，解得：1a =1；当2n ≥时，有1121n n S a --=-，所以()112121=n n n n n a S S a a ----=--，所以1=2nn a a -，所以数列{}n a 为等比数列，111=2n n n a a q--=，所以122112nn n S -==--.故答案为：1，21n -.9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则3a =________，n S =________．【答案】421n -【解析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出数列的通项公式，再代入求出n S ．【详解】解：因为21n n S a =-当1n =时，1121S a =-，解得11a =；当2n时，1121n n S a --=-，所以111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=于是{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=．所以34a =，11212212n nn n S a -=-⨯-==-故答案为：4；21n -；10.（2018·全国高考真题（文））等比数列中，1=1，5=43．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若=63，求．【答案】（1）=(−2)K1或=2K1.（2）=6.【解析】（1）设{}的公比为，由题设得=K1．由已知得4=42，解得=0（舍去），=−2或=2．故=(−2)K1或=2K1．（2）若=(−2)K1，则=1−(−2)3．由=63得(−2)=−188，此方程没有正整数解．若=2K1，则=2−1．由=63得2=64，解得=6．综上，=6．练提升1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan 3a a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭（）A.B. C.33-D.【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：32343364,4a a a a a ==-∴=-，4730a a q =<，结合2764a =可得：78a =-，结合等比数列的性质可得：463732a a a a ==，即：463222tan tan tan 10tan 3333a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅==+== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭本题选择B 选项.2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第i 行第j 个数为12j -(其中i ，*j N ∈，且i j ≥).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列{}n a ，设{}n a 的前n 项和为n S .若1020n S =，则n =（）A ．46B ．47C ．48D ．49【答案】C 【解析】根据“数塔”的规律，可知第i 行共有i 个数，利用等比数列求和公式求出第i 行的数字之和，再求出前m 行的和，即可判断1020n S =取到第几行，再根据每行数字个数成等差数列，即可求出n ；【详解】解：“数塔”的第i 行共有i 个数，其和为211212222112i i i --++++==-- ，所以前m 行的和为()()()123121222222212m m m m m m +-++++-=-=-+- 故前9行所有数学之和为102111013-=，因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4，其和为10131241020+++=，易知“数塔”前m 行共有()12m m +个数，所以9103482n ⨯=+=故选：C3．（2021·江苏高三其他模拟）已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n an a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}10n a +是等比数列C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<【答案】ACD 【解析】将递推公式两边同时取指数，变形得到1110109n n a a +-=+，构造等比数列可证{}1010n a+为等比数列，求解出{}n a 通项公式则可判断A 选项；根据()()()2132101010a a a ++≠+判断B 选项；根据{}n a 的通项公式以及对数的运算法则计算()122n n n a a a ++-+的正负并判断C 选项；将{}n a 的通项公式放缩得到()lg 2101n n a n <⨯<+，由此进行求和并判断D 选项.【详解】因为()1lg 1091n an a +=++，所以()11lg 109n an a +-=+，从而1110109n n a a +-=+，110101090n n a a +=⨯+，所以()11010101010n n a a ++=⨯+，所以11010101010n na a ++=+，又1101020a +=，{}1010n a +是首项为20，公比为10的等比数列，所以110102010210n a n n -+=⨯=⨯，所以1021010n a n =⨯-，即()lg 21010nn a =⨯-，又因为21010n y =⨯-在[)1,,*n n N ∈+∞∈时单调递增，lg y x =在定义域内单调递增，所以{}n a 是递增数列，故A 正确；因为1231011,10lg19010lg1911,10lg199010lg19911a a a +=+=+=++=+=+，所以()()()()()222213101010lg191111lg19911lg 1922lg1911lg199a a a +-++=+-+=+-，所以()()()2222213361101010lg 1911lg1911lg199lg 1911lg0199a a a +-++=+-=+>，所以()()()2132101010a a a ++≠+，所以{}10n a +不是等比数列，故B 错误.因为()()()()121222lg 21010lg 21010lg 21010n n n n n n a a a ++++-+=⨯--⨯--⨯-()()()()()()2211211210102101 lglg210102101021012101n n n n n n +++-+⨯-⨯-=⨯-⨯-⨯-⨯-=，而()()()211221121012101210141041014102102101n n n n n n n n -++-⨯--⨯-⨯-=⨯-⨯+-⨯+⨯+⨯-20100.21041016.2100nnnn=⨯+⨯-⨯=⨯>，从而()()()211210121012101nn n -+⨯->⨯-⋅⨯-，于是，122n n n a a a ++>+，故C 正确.因为()()lg 21010lg 210lg 21nnn n a n =⨯-<⨯=+<+，所以()()21322nn n n n S +++<=，故D 正确.故选：ACD.4.（2019·浙江高三期末）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()11.n n a S n N ++=+∈(Ⅰ)求通项公式n a ；(Ⅱ)记12111n n T S S S =++⋯+，求证：31222n n T -≤<．【答案】(Ⅰ1) 2n n a -=；(Ⅱ)见解析【解析】(Ⅰ1)1n n a S +=+Q ①，∴当2n ≥时，11n n a S -=+②，∴-①②得()122n n a a n +=≥，又2112a S =+=Q ，212a a ∴=，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -∴=；证明：(Ⅱ1)2nn a += ，21n n S ∴=-，2n ≥Q 时，111122n n n S -≤≤，1121111113142112212n n n n T S S S -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=++⋯+≥+=--，同理：11111221221212n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭≤+=-<-，故：31222n n T -≤<．5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2382n n n a -+=；（2）存在，()21242n n n n S ++=--.【解析】（1）将1x =代入，由递推关系求出通项公式，并检验当1n =时是否满足，即可得到结果；（2）先假设存在实数x ，y 满足题意，结合已知条件求出满足数列{}n a yn +是等比数列的实数x ，y 的值，运用分组求和法求出n S 的值.【详解】（1）由题可知：当1x =时有：12n n a a n --=-，当2n ≥时，()()()()()()121321213012232n n n n n a a a a a a a a n ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=++++⋅⋅⋅+-=+，又13a =满足上式，故()()22138322nn n n n a ---+=+=.（2）假设存在实数x ，y 满足题意，则当2n ≥时，由题可得：()()111n n n n a yn x a y n a xa xy y n xy --+=+-⇔=+--⎡⎤⎣⎦，和题设12n n a xa n -=+-对比系数可得：1xy y -=，22xy x -=-⇔=，1y =.此时121n n a na n -+=+-，114a +=，故存在2x =，1y =使得{}n a yn +是首项为4，公比为2的等比数列.从而()()1112121224122nn n n n n nn n a n a n S a a a ++-++=⇒=-⇒=++⋅⋅⋅+=--.所以()21242n n n n S ++=--.6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列{}n a ，满足11a =，121n n a a n +=+-，设n n b a n =+，n n c a n λ=+（λ为实数）．（1）求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若{}n c 是递增数列，求实数λ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）2nn a n =-；（3）()1,-+∞．【解析】（1）由121n n a a n +=+-，变形为()11222n n n a n a n a n +++=+=+，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）的结论，利用等比数列的通项公式求解；（3）根据{}n c 是递增数列，由10n n c c +->,*n N ∈恒成立求解.【详解】（1）因为121n n a a n +=+-，所以()11222n n n a n a n a n +++=+=+，即12n n b b +=，又因为11120b a =+=≠，所以0n b ≠，所以12n nb b +=，所以{}n b 是等比数列．（2）由1112b a =+=，公比为2，得1222n n n b -=⋅=，所以2nn n a b n n =-=-．（3）因为()21nn n c a n n λλ=+=+-，所以()()11211n n c n λ++=+-+，所以1122121n n n n n c c λλ++-=-+-=+-，因为{}n c 是递增数列，所以*10,n n c c n N +->∈成立，故210n λ+->，*n N ∈成立，即12n λ>-，*n N ∈成立，因为{} 12n-是递减数列，所以该数列的最大项是121-=-，所以λ的取值范围是()1,-+∞．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2，4，6，8，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：2，4，8，16，….122344468858121616记第n 行第m 个数为(),f n m .（Ⅰ）若3n ≥，写出(),1f n ，(),2f n ，(),3f n 的表达式，并归纳出(),f n m 的表达式；（Ⅱ）求第10行所有数的和10S .【答案】（Ⅰ）(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，()()12,1m m m f n n --+=；（Ⅱ）102036=S .【解析】（I ）由数阵写出(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，由此可归纳出()()12,1m m m f n n --+=.（II ）()()()()1010,110,210,310,10S f f f f =++++ 291029282 1 =+⨯+⨯++⨯ ，利用错位相减法求得结果.【详解】（Ⅰ）由数阵可知：(),1f n n =，()(),221f n n =-，()(),342f n n =-，由此可归纳出()()12,1m m m f n n --+=.（Ⅱ）()()()()1010,110,210,310,10S f f f f =++++ 291029282 1 =+⨯+⨯++⨯ ，所以231010220292821S =+⨯+⨯++⨯ ，错位相减得291010102222S =-+++++ ()102121012-=-+-2036=.8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，12nn n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：123456,,,,,,a b a b a b ，求{}n c 的前2n 项和.【答案】（1）n a n =，*n ∈N ；（2）数列{}n c 的前2n 项和为1222++-n n .【解析】（1）由()12n n n a S S n -=-≥可得1(2)1n na a n n n+=≥+可得答案；（2）由12nn n b b +=得1122n n n b b +++=，两式相除可得数列{}n b 的偶数项构成等比数列，再由（1）可得数列{}n c 的前2n 项的和.【详解】（1）由12n n S na +=，12(1)(2)n n S n a n -=-≥，得12(1)n n n a na n a +=--，所以1(2)1n na a n n n +=≥+.因为122S a =，所以22a =，所以212n a an ==，(2)n a n n =≥.又当1n =时，11a =，适合上式.所以n a n =，*n ∈N .（2）因为12nn n b b +=，1122n n n b b +++=，所以*22()n nb n b +=∈N ，又122b b =，所以22b =.所以数列{}n b 的偶数项构成以22b =为首项､2为公比的等比数列.故数列{}n c 的前2n 项的和()()21321242n n n T a a a b b b -=+++++++ ，()122212(121)22212nn n n n T n +-+-=+=+--所以数列{}n c 的前2n 项和为1222++-n n .9．（2019·浙江高考模拟）已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈，（1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）令3nn n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值.【答案】（I）见解析（2）3,n n c =最大，即3k =【解析】（1）121221n n n n a a n a a n +++=+=++Q ，两式相减，得211221n n n n a a a a +++-=-+∴()211121n n n n a a a a +++-+=-+即：12n nb b +=21120a b ==≠Q 又，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，2nn b =即121nn n a a +-=-2121a a -=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11212n n n a a n ---=-≥()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=--2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==也满足上式21n n a n ∴=--111212233n n n n nn n n c c +++----=∴=11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=令()212nf n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，()()122nf n f n ∴+-=-()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅>()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<Q 123345...c c c c c c ∴>，∴3,n n c =最大，即3k =10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 满足112a =，123n n a a ++=，数列{}n b 满足11b =，()211n n nb n b n n +-+=+.（1）数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()1n n n n c b b a +=-，求使[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤成立([]n c 表示不超过n c 的最大整数)的最大整数n 的值.【答案】（1）112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2n b n =；（2）最大值为44.【解析】（1）由题得数列{}1n a -是等比数列，即求出数列{}n a 的通项；由题得{}n b n 是一个以111b=为首项，以1为公差的等差数列，即得数列{}n b 的通项公式；（2）先求出[]()*1,16,2,2,21,21,22n n n c k N n n k n n k =⎧⎪=⎪=∈⎨=+⎪⎪+=+⎩，再求出[][][][]()2*12221,1,3,2,231,2122n n c c c c n n n k k N n n n k ⎧⎪=⎪⎪++++=+=∈⎨⎪⎪+-=+⎪⎩即得解.【详解】解：（1）由123n n a a ++=得()11112n n a a +-=--，所以数列{}1n a -是等比数列，公比为12-，解得112nn a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.由()211n n nb n b n n +-+=+，得111n nb b n n+-=+，所以{}n b n 是一个以111b=为首项，以1为公差的等差数列，所以1(1)1n bn n n=+-⨯=，解得2n b n =.（2）由()1n n n n c b b a +=-得()12121121(1)22n nn n n c n n ⎛⎫+⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记212n n n d +=，1112321120222n n n n n n n nd d +++-++-=-=<，所以{}n d 为单调递减且132d =，254d =，3718d =<，所以[]()*1,16,2,2,21,21,22n n n c k N n n k n n k =⎧⎪=⎪=∈⎨=+⎪⎪+=+⎩，因此[][][][]()2*12221,1,3,2,231,2122n n c c c c n n n k k N n n n k ⎧⎪=⎪⎪++++=+=∈⎨⎪⎪+-=+⎪⎩ ，当2n k =时，2320212n n +≤的n 的最大值为44；当2+1n k =时，231202122n n +-≤的n 的最大值为43；故[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤的n 的最大值为44.练真题1．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．2.（2020·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A．2n–1B．2–21–nC．2–2n –1D．21–n–1【答案】B 【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-.故选：B.3.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（）A．16B．8C．4D．2【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C．4．（2019·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．【答案】58.【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---．5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +--【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.6．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33(4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n na a +=122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933(3(444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)(34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭ ，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334((4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤；4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-；所以31λ-≤≤.。
《等比数列的前 n 项和》 讲义
《等比数列的前 n 项和》讲义在数学的奇妙世界里，等比数列是一个充满魅力和挑战的概念。
而其中，等比数列的前 n 项和更是具有重要的地位和广泛的应用。
接下来，让我们一起深入探索等比数列的前 n 项和的奥秘。
一、等比数列的定义首先，咱们得清楚啥是等比数列。
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数就叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
比如说，数列 2，4，8，16，32 就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式有了等比数列的定义，那怎么表示它的每一项呢？这就引出了等比数列的通项公式：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 是首项，n 是项数。
举个例子，对于等比数列 2，4，8，16，32 ，首项 a1 ＝ 2 ，公比 q ＝ 2 ，那么第 5 项 a5 ＝ 2×2^（5 1) ＝ 32 。
三、等比数列的前 n 项和公式接下来，就是咱们的重点——等比数列的前 n 项和公式。
当公比 q ＝ 1 时，等比数列的前 n 项和 Sn ＝ na1 。
当公比q ≠ 1 时，等比数列的前 n 项和 Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
这个公式是怎么来的呢？咱们来推导一下。
设等比数列的首项为 a1 ，公比为 q ，其前 n 项和为 Sn 。
Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋＋ an ①qSn ＝ a2 ＋ a3 ＋ a4 ＋＋ an ＋ an+1 ②②①得：qSn Sn ＝ an+1 a1Sn(q 1) ＝ a1(q^n 1)所以，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) （q ≠ 1）四、公式的应用知道了公式，那得会用啊！咱们来看几个例子。
例 1：求等比数列 2，4，8，16，32 的前 5 项和。
这里首项 a1 ＝ 2 ，公比 q ＝ 2 ，项数 n ＝ 5 。
因为q ≠ 1 ，所以使用公式 Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q)S5 ＝ 2×（1 2^5) ／（1 2) ＝ 2×（1 32) ／（－1) ＝ 62例 2：一个等比数列的首项为 3 ，公比为 2 ，求它的前 10 项和。
高中数学讲义：等比数列性质(含等差等比数列综合题)
等⽐数列性质一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ¹，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,L 只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q-=×，也可以为：n mn m a a q-=×3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=Þ=（2）若{}n a 为等比数列，则n N *"Î，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+Û=4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na =当1q ¹时，则()111n n a q S q-=-可变形为：()1111111n n n a q a a S q qq q -==----，设11ak q =-，可得：n n S k q k=×-5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有①数列{}n ka （k 为常数）为等比数列②数列{}na l （l 为常数）为等比数列，特别的，当1l =-时，即1n a ìüíýîþ为等比数列③数列{}n n a b 为等比数列④数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++L L ，则有：()()212212k m n mm m m k mkn n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++L L L L 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-L L 2122332,k k k k k a a a S S +++++=-L L ，则232,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=Î（2）通项公式：n n a k q =×（指数类函数）（3）前n 项和公式：n n S kq k=-注：若()n n S kq m m k =-¹，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *"Î，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ìüíýîþ前n 项和n T 的关系()111n n a q S q-=-，因为1n a ìüíýîþ是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n n n n q a q q q T q a q q a q q-éùæö--êúç÷èøêú-ëû===---×()()1112111111n n n n n n a q a q q S a q T qq ----=×=--例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q ==答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（）A.64 B.64- C.8 D.8-思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==-×=-思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =-答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
高考数学一轮专项复习讲义-等比数列(北师大版)
§6.3等比数列课标要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前n 项和公式，理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称G 为a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)．(2)前n 项和公式：S n ，＝a 1－a n q 1－q，q ≠1且q ≠0.3．等比数列的常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋.特别地，若2w ＝m ＋n ，则a m a n ＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N ＋.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N ＋)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }数列(b ，p ，q ≠0)．(4)1>0，>11<0，q <1，则等比数列{a n }递增．1>0，q <11<0，>1，则等比数列{a n }递减．4．等比数列前n 项和的常用性质若等比数列{a n }的公比q ≠－1,前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .常用结论1．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.2．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．3．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(2)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T3n T 2n ，…成等比数列．(3)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×)(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(√)2．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析若a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，数列－1，－1,1,1满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．3．在等比数列{a n }中，若a 3＝32，S 3＝92，则a 2的值为()A ．32B ．－3C ．－32D ．－3或32答案D解析由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)，得q －2＋q －1＋1＝3，即2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，∴a 2＝a 3q ＝32或－3.4．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和为S n ＝________.答案a ≠0，a ≠1解析因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，Sn ＝a (1－a n )1－a.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 5＝5S 3－4，则S 4等于()A.158B.658C ．15D ．40答案C 解析方法一若该数列的公比q ＝1，代入S 5＝5S 3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q ≠1.由1－q 51－q ＝5×1－q 31－q －4，化简得q 4－5q 2＋4＝0，所以q 2＝1或q 2＝4，因为此数列各项均为正数，所以q ＝2，所以S 4＝1－q 41－q ＝15.方法二由题知1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＝5(1＋q ＋q 2)－4，即q 3＋q 4＝4q ＋4q 2，即q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q －2)(q ＋1)(q ＋2)＝0.由题知q >0，所以q ＝2.所以S 4＝1＋2＋4＋8＝15.(2)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则Sn a n 等于()A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案B 解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，1q 4－a 1q 2＝12，1q 5－a 1q 3＝24，1＝1，＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4(q 2－1)a 3(q 2－1)＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n .思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q ＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1(1)(2023·天津)已知{a n }为等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＋1＝2S n ＋2，则a 4的值为()A ．3B ．18C ．54D ．152答案C解析由题意可得，当n ＝1时，a 2＝2a 1＋2，即a 1q ＝2a 1＋2，①当n ＝2时，a 3＝2(a 1＋a 2)＋2，即a 1q 2＝2(a 1＋a 1q )＋2，②联立①②1＝2，＝3，则a 4＝a 1q 3＝54.(2)(2023·青岛模拟)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为()A ．8B ．10C ．12D ．16答案C解析从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则{a n }是以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016，即127a 1＝1016，解得a 1＝8，∴a n ＝8×2n －1，∴log 2(a 3a 5)＝log 2(8×22×8×24)＝12.题型二等比数列的判定与证明例2(2023·长沙模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，a 2＝－1，且a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0(n ∈N ＋)．(1)证明：{a n ＋1＋3a n }为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(1)证明由a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0，可得a n ＋2＋3a n ＋1＝2(a n ＋1＋3a n )，即a n ＋2＋3a n ＋1a n ＋1＋3a n＝2(n ∈N ＋)，∴{a n ＋1＋3a n }是以a 2＋3a 1＝5为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)可知a n ＋1＋3a n ＝5·2n －1(n ∈N ＋)，∴a n ＋1－2n ＝－3(a n －2n －1)，∴a n ＋1－2n a n －2n －1＝－3，∴{a n －2n －1}是以a 1－20＝1为首项，－3为公比的等比数列，∴a n －2n －1＝1×(－3)n －1，∴a n ＝2n －1＋(－3)n －1，S n ＝1－2n 1－2＋1－(－3)n 1－(－3)＝2n －34－(－3)n 4.思维升华等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数，且n ≥2，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝cq n －1(c ，q 均为非零常数，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝kq n －k (k 为常数，且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2(2024·潍坊模拟)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝3，b 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n .(1)证明：{a n ＋b n }和{a n －b n }都是等比数列；(2)求{a n b n }的前n 项和S n .(1)证明因为a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n ，所以a n ＋1＋b n ＋1＝3(a n ＋b n )，a n ＋1－b n ＋1＝－(a n －b n )，又由a 1＝3，b 1＝2得a 1－b 1＝1，a 1＋b 1＝5，所以数列{a n ＋b n }是首项为5，公比为3的等比数列，数列{a n －b n }是首项为1，公比为－1的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋b n ＝5×3n －1，a n －b n ＝(－1)n －1，所以a n ＝5×3n －1＋(－1)n －12，b n ＝5×3n －1－(－1)n －12，所以a n b n ＝5×3n －1＋(－1)n －12×5×3n －1－(－1)n －12＝25×32n －2－14＝254×9n －1－14，所以S n ＝254×1－9n 1－9－n 4＝25×(9n －1)－8n32.题型三等比数列的性质命题点1项的性质例3(1)(2023·全国乙卷)已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________.答案－2解析方法一{a n }为等比数列，∴a 4a 5＝a 3a 6，∴a 2＝1，又a 2a 9a 10＝a 7a 7a 7，∴1×(－8)＝(a 7)3，∴a 7＝－2.方法二设{a n }的公比为q (q ≠0)，则a 2a 4a 5＝a 3a 6＝a 2q ·a 5q ，显然a n ≠0，则a 4＝q 2，即a 1q 3＝q 2，则a 1q ＝1，∵a 9a 10＝－8，则a 1q 8·a 1q 9＝－8，则q 15＝(q 5)3＝－8＝(－2)3，则q 5＝－2，则a 7＝a 1q ·q 5＝q 5＝－2.下标和相等的等差(比)性质的推广(1)若数列{a n }为等比数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则12m m a a ·…·n m a ＝12k k a a ·…·n k a .(2)若数列{a n }为等差数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则1m a ＋2m a ＋…＋n m a ＝1k a ＋2k a ＋…＋n k a .典例已知等差数列{a n }，S n 为前n 项和，且a 9＝5，S 8＝16，则S 11＝________.答案33解析S 8＝8(a 1＋a 8)2＝16，∴a 1＋a 8＝4，又∵a 9＋a 1＋a 8＝3a 6，∴a 6＝3，故S 11＝11a 6＝33.(2)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N ＋)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.答案100解析因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.命题点2和的性质例4(1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案2解析奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80，奇＝－80，偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，S 10＝20，则S 30－2S 20＋S 10的最小值为________．答案－5解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，且S 10＝20，不妨令其公比为q (q >0)，则S 20－S 10＝20q ，S 30－S 20＝20q 2，∴S 30－2S 20＋S 10＝(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝20q 2－20q ＝－5，故当q ＝12时，S 30－2S 20＋S 10的最小值为－5.思维升华(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．跟踪训练3(1)(2024·南昌模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝20，a 2a 8＝2，则1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝________.答案10解析1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝＝a 2＋a 8a 2a 8＋a 4＋a 6a 4a 6＝a 2＋a 8＋a 4＋a 6a 2a 8＝202＝10.(2)(2023·长春统考)在等比数列{a n }中，q ＝12，S 100＝150，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100的值是________．答案50解析设T 1＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99，T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100，所以T 2T 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12，所以S 100＝T 1＋T 2＝2T 2＋T 2＝3T 2＝150，所以T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50.课时精练一、单项选择题1．(2023·本溪模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ＝12，且a 3a 4＝132，则a 6等于()A.18 B.116C.132D.164答案C解析由a 3a 4＝132，得a 1q 2·a 1q 3＝132，即a 21＝132，所以a 21＝1.又a n >0，所以a 1＝1，a 6＝a 1q 5＝1＝132.2．若1，a 2，a 3,4成等差数列；1，b 2，b 3，b 4,4成等比数列，则a 2－a 3b 3等于()A.12B ．－12C ．±12D.14答案B解析由题意得a 3－a 2＝4－13＝1，设1，b 2，b 3，b 4，4的公比为q ，则b 3＝q 2>0，b 23＝1×4＝4，解得b 3＝2，a 2－a 3b 3＝－12＝－12.3．(2023·济宁模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.4．已知等比数列{a n }为递减数列，若a 2a 6＝6，a 3＋a 5＝5，则a5a 7等于()A.32B.23C.16D ．6答案A解析由{a n }为等比数列，得a 2a 6＝a 3a 5＝6，又a 3＋a 5＝5，∴a 3，a 5为方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，解得a 3＝2，a 5＝3或a 3＝3，a 5＝2，由{a n }为递减数列得a n >a n ＋1，∴a 3＝3，a 5＝2，∴q 2＝a 5a 3＝23，则a 5a 7＝1q 2＝32.5．(2024·揭阳模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人后三天所走的里程数为()A ．6B ．12C ．18D ．42答案D解析设第n (n ∈N ＋)天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列{a n }是公比为12的等比数列，1－12＝6332a 1＝378，解得a 1＝192，所以此人后三天所走的里程数为a 4＋a5＋a 6＝192×18×1－12＝42.6．(2023·新高考全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝－5，S 6＝21S 2，则S 8等于()A ．120B ．85C ．－85D ．－120答案C解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1，若q ＝1，则S 6＝6a 1＝3×2a 1＝3S 2，不符合题意，所以q ≠1.由S 4＝－5，S 6＝21S 2，可得a 1(1－q 4)1－q ＝－5，a 1(1－q 6)1－q ＝21×a 1(1－q 2)1－q ，①由①可得，1＋q 2＋q 4＝21，解得q 2＝4，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q ·(1＋q 4)＝－5×(1＋16)＝－85.方法二设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝－5，S 6＝21S 2，所以q ≠－1，否则S 4＝0，从而S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，所以(－5－S 2)2＝S 2(21S 2＋5)，解得S 2＝－1或S 2＝54，当S 2＝－1时，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6，即为－1，－4，－16，S 8＋21，易知S 8＋21＝－64，即S 8＝－85；当S 2＝54时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝(1＋q 2)S 2>0，与S 4＝－5矛盾，舍去．综上，S 8＝－85.二、多项选择题7．(2023·太原模拟)已知数列{a n }是等比数列，以下结论正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．若a 3＝2,a 7＝32，则a 5＝±8C ．若a 1<a 2<a 3，则数列{a n }是递增数列D ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则r ＝－1答案ACD 解析令等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，对于A ，a 2n ＋1a 2n ＝＝q 2，且a 21≠0，则{a 2n }是等比数列，故A 正确；对于B ，由a 3＝2，a 7＝32，得q 4＝16，即q 2＝4，所以a 5＝a 3q 2＝2×4＝8，故B 错误；对于C ，由a 1<a 2<a 31(q －1)>0，1q (q －1)>0，>0，1(q －1)>0，a n ＋1－a n ＝q n －1·a 1(q －1)>0，即∀n ∈N ＋，a n ＋1>a n ，所以数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，显然q ≠1，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1q －1·q n －a 1q －1，而S n ＝3n ＋r ，因此q ＝3，a 1q －1＝1，r ＝－a 1q －1＝－1，故D 正确．8．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且满足a 1>1，a 2022>1，a 2023<1，则()A ．a 2022a 2024－1<0B ．S 2022＋1<S 2023C ．T 2022是数列{T n }中的最大项D ．T 4045>1答案AC 解析设数列{a n }的公比为q .∵a 1>1，a 2023<1，∴0<a 2023<1，又a 2022>1，∴0<q <1.∵a 2022a 2024＝a 22023<1，∴a 2022a 2024－1<0，故A 正确；∵a 2023<1，∴a 2023＝S 2023－S 2022<1，即S 2022＋1>S 2023，故B 错误；∵0<q <1，a 1>1，∴数列{a n }是递减数列，∵a 2022>1，a 2023<1，∴T 2022是数列{T n }中的最大项，故C 正确；T4045＝a1a2a3·…·a4045＝a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4044)＝a40451q1＋2＋3＋…＋4044＝a40451q2022×4045＝(a1q2022)4045＝a40452023，∵0<a2023<1，∴a40452023<1，即T4045<1，故D错误．三、填空题9．(2023·全国甲卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若8S6＝7S3，则{a n}的公比为________．答案－1 2解析若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不符合题意．所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·a1(1－q6)1－q＝7·a1(1－q3)1－q，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－1 2 .10．设等比数列{a n}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项的和为200，则该等比数列中间n项的和等于________．答案200 3解析设数列{a n}的前n项和、中间n项和、后n项和依次为a，b，c.由题意知a＋b＝100，b＋c＝200，b2＝ac，∴b2＝(100－b)(200－b)，∴b＝200 3.11．在等比数列{a n}中，若a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，则a59＋a60＝______.答案31104解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1.因为a 9＋a 10＝4，a 19＋a 20＝24，所以a 19＋a 20＝(a 9＋a 10)q 10＝24，解得q 10＝6，所以a 59＋a 60＝(a 9＋a 10)q 50＝4×65＝31104.12．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n ＝________，T n ＝________.答案12n解析由题意得a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2n ＝1－a n ，n －1＝1－a n －1，得a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列的性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝161－116＝四、解答题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }落入区间(10,2023)的所有项的和．解(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，又a 1＋2＝3，所以a n ＋1＋2a n ＋2＝2，所以{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，a n ＝3×2n －1－2.(2)由10<a n <2023，得10<3×2n －1－2<2023，即4<2n －1<675，即4≤n ≤10，故{a n }落入区间(10,2023)的项为a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10，所以其和S ＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3×(23＋24＋…＋29)－2×7＝3×8－10241－2－14＝3034.14．(2024·邯郸模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N ＋.(1)求{a n }通项公式；(2)设b n ＝a n n ＋1，在数列{b n }中是否存在三项b m ，b k ，b p (其中2k ＝m ＋p )成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．解(1)由题意知，在数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1，n ≥2，两式相减可得，a n ＋1－a n ＝3a n ，a n ＋1＝4a n ，n ≥2，由条件知，a 2＝3a 1＋1＝4a 1，符合上式，故a n ＋1＝4a n ，n ∈N ＋.∴{a n }是以1为首项，4为公比的等比数列．∴a n ＝4n －1，n ∈N ＋.(2)由题意及(1)得，在数列{a n }中，a n ＝4n －1，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b n ＝4n －1n ＋1，如果满足条件的b m ，b k ，b p 存在，则b 2k ＝b m b p ，其中2k ＝m ＋p ，∴(4k －1)2(k ＋1)2＝4m －1m ＋1·4p －1p ＋1，∵2k ＝m ＋p ，∴(k ＋1)2＝(m ＋1)(p ＋1)，解得k 2＝mp ，∴k ＝m ＝p ，与已知矛盾，∴不存在满足条件的三项．15．(2023·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n .若p ：数列{a n }是等比数列；q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若{a n }是等比数列，设公比为k ，则a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝k (a 1＋a 2＋…＋a n )，a 3＋a 4＋…＋a n ＋2＝k (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)，于是(a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)2＝k 2(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝(a 3＋a 4＋…＋a n ＋2)(a 1＋a 2＋…＋a n )，即q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)成立；若(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，取a n ＝0，n ∈N ＋，显然{a n }不是等比数列，故p 是q 的充分不必要条件．16．(2023·泰安模拟)若m ，n 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同零点，且m ，n ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq ＝________.答案20解析＋n ＝p >0，＝q >0>0，>0，则m ，－2，n 或n ，－2，m 成等比数列，得mn ＝(－2)2＝4.不妨设m <n ，则－2，m ，n 成等差数列，得2m ＝n －2.结合mn ＝4，可得(2m ＋2)m ＝4⇒m (m ＋1)＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，＝1，＝4＝5，＝4⇒pq ＝20.。
《等比数列》讲义
《等比数列》讲义（教师版）一．知识点1．等比数列的概念[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公差通常用字母q表示(q≠0)．可表示为(其中n∈N*)．2．等比数列的通项公式如果等比数列的首项是，公比是q，则等比数列的通项为．3．等比数列的前n项和① （）②（）③（）4．等比中项公式如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．也就是，如果G是a，b的等比中项，那么，即．5．等比数列的性质（1）等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等比数列的第项，且，公比为，则有．（2）对于等比数列，若，则．（3）是等比数列，则是等比数列(c≠0)（4）等间隔的k项和(或积)仍成等比数列．若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，，成等比数列．（5）非零常数数列既是等差数列，又是等比数列；二．主要题型题型1．应用公式题1．（2008浙江文4）已知是等比数列，，，则公比=( )A． B． C．2 D．答案：D2．(2008福建理3)设是公比为正数的等比数列，若=1，=16，则数列前7项的和为( )A．63 B．64 C．127 D．128答案：C3．（2010北京理2）在等比数列中，，公比．若，则m=( )A．9 B．10 C．11 D．12答案：C ∵，∴4．(06湖南文11)若数列满足=1, =2，n=1,2,3,…，则++…+= .答案：题型2．等比数列的性质7．（2010重庆理1）在等比数列中，，则公比的值为（） A．2 B．3 C．4 D．8 答案：A8．(2010江西文7)等比数列中，，，，则（）A． B． C． D．答案：A9．（09广东文5）已知等比数列的公比为正数，且a3a9=2a52，，则( )A． B． C． D．答案：B ∵a3a9=2a52，，又>0，∴，∴．10．（2010大纲全国Ⅰ理4）已知各项均为正数的等比数列{}中，=5，=10，则=( )A．B．7 C．6 D．答案：A解法1：∵，，，∴，∴11．(2010安徽理10)设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是( )A． B．C．D．答案：D。
等比数列及其前n项和教学讲义
等比数列及其前n 项和教学讲义1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达：a na n －1＝q (n ≥2)，q 为常数，q ≠0. (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .2．等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1；可推广为a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q. 3．等比数列的相关性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列，公比为q k .当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n，T 3nT 2n，…成等比数列．(7)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .1．概念辨析(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，则数列{lg a n }是等差数列．( )(4)若数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.( )(5)若数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2．小题热身(1)在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4 D ．±4 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则q 4＝a 7a 3＝82＝4，q 2＝2，所以a 5＝a 3q 2＝2×2＝4.(2)在等比数列{a n }中，已知a 1＝－1，a 4＝64，则公比q ＝________，S 4＝________.答案 －4 51解析 q 3＝a 4a 1＝－64，q ＝－4，S 4＝a 1－a 4q 1－q ＝－1－64×(－4)1－(－4)＝51.(3)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________．答案 2n －1解析 因为数列{a n }是等比数列，所以a 1a 4＝a 2a 3＝8. 又a 1＋a 4＝9，所以a 1，a 4是方程x 2－9x ＋8＝0的两个根． 又因为a 1<a 4，所以a 1＝1，a 4＝8，所以q 3＝a 4a 1＝8，q ＝2.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1·(1－2n )1－2＝2n －1.(4)数列{a n }中a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________.答案 6解析 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以a n ≠0，故a n ＋1a n＝2.所以数列{a n }是公比为2的等比数列，因为S n ＝126，所以2(1－2n )1－2＝126，所以2n ＝64，故n ＝6.题型 一 等比数列基本量的运算1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝6，a 4＋a 5＝48，则数列{a n }前8项的和S 8＝( )A ．510B ．126C ．256D ．512 答案 A解析 由a 1＋a 2＝6，a 4＋a 5＝48得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝6，a 1q 3＋a 1q 4＝48，得a 1＝2，q ＝2，则数列{a n }前8项的和S 8＝2(1－28)1－2＝510.2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n 3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.等比数列的基本运算方法及数学思想(1)等比数列的基本运算方法①对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题．如举例说明1.②对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，xq ，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，xq ，xq ，xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．(2)基本量计算过程中涉及的数学思想方法 ①方程思想，即“知三求二”．②分类讨论思想，即分q ＝1和q ≠1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q 当成整体求解．1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 B解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1＋r －32n －3－r ＝8·32n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32－1＋r ＝3＋r ， ∵数列是等比数列，∴当a 1满足a n ＝8·32n －3， 即8·32－3＝3＋r ＝83，即r ＝－13，故选B.2．(2018·滨海新区期中)已知递增等比数列{a n }的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列．(1)求{a n }的首项和公比；(2)设S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ，求S n .解 (1)根据等比数列的性质，可得a 3·a 5·a 7＝a 35＝512，解得a 5＝8.设数列{a n }的公比为q ，则a 3＝8q 2，a 7＝8q 2， 由题设可得⎝ ⎛⎭⎪⎫8q 2－1＋(8q 2－9)＝2(8－3)＝10，解得q 2＝2或12.∵{a n }是递增数列，可得q ＞1，∴q 2＝2，得q ＝ 2. 因此a 5＝a 1q 4＝4a 1＝8，解得a 1＝2. (2)由(1)得{a n }的通项公式为 a n ＝a 1q n －1＝2×(2)n －1＝(2)n ＋1，∴a 2n ＝[(2)n ＋1]2＝2n ＋1，可得{a 2n }是以4为首项，公比等于2的等比数列．因此S n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－2n )1－2＝2n ＋2－4. 题型 二 等比数列的判断与证明(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a nn . (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入，得a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入，得a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由题设条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a nn ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.条件探究1 将举例说明条件改为“a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，且a n >0”，求{a n }的通项公式．解 由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1.条件探究2 将举例说明条件改为“对任意的n ∈N *，有a n ＋S n ＝n .设b n ＝a n －1”，求证：数列{b n }是等比数列．证明 由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1，得a 1＝12.又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，得a n＋1－a n＋a n＋1＝1，∴2a n＋1＝a n＋1. ∴2(a n＋1－1)＝a n－1，即2b n＋1＝b n.∴数列{b n}是以b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列．等比数列的判定方法(1)定义法：若a n＋1a n＝q(q为非零常数，n∈N*)或a na n－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a n}是等比数列．见举例说明(2)．(2)等比中项公式法：若数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，n ∈N*)，则{a n}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n}是等比数列．提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么()A．{a n＋b n}，{a n·b n}都一定是等比数列B．{a n＋b n}一定是等比数列，但{a n·b n}不一定是等比数列C．{a n＋b n}不一定是等比数列，但{a n·b n}一定是等比数列D．{a n＋b n}，{a n·b n}都不一定是等比数列答案 C解析a n＝1，b n＝(－1)n，则{a n}，{b n}都是等比数列，但{a n＋b n}不是等比数列；设等比数列{a n}的公比为p，等比数列{b n}的公比为q，则a n ＋1b n ＋1a n b n ＝a n ＋1a n ·b n ＋1b n＝pq .所以数列{a n ·b n }一定是等比数列．2．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解 (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n. 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.题型 三 等比数列前n 项和及性质的应用角度1等比数列通项的性质1．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.答案50解析因为等比数列{a n}中，a10·a11＝a9·a12，所以由a10a11＋a9a12＝2e5，可解得a10·a11＝e5.所以ln a1＋ln a2＋...＋ln a20＝ln (a1.a2.. (20)＝ln (a10·a11)10＝10ln (a10·a11)＝10ln e5＝50.角度2等比数列的前n项和的性质2．数列{a n}是等比数列，前2018项中的奇数项之积是1，偶数项之积是m，则数列{a n}的公比为()A.1009m B ．m 1009 C ．±1009m D ．±m 1009答案 A解析 设数列{a n }的公比为q ，由已知得a 1a 3…a 2017＝1，a 2a 4…a 2018＝m ，则公比q 满足q 1009＝m ，解得q ＝1009m .角度3 等差数列与等比数列的综合3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解 (1)设{a n }的公比为q .由题设可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)知a 1＝－2，q ＝－2， 所以S n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1 ＝a 1＋qS n ＝－2－2S n .S n ＋2＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋2＝a 1＋a 2＋q 2S n＝－2＋4＋4S n＝2＋4S n .所以S n ＋1＋S n ＋2＝(－2－2S n )＋(2＋4S n )＝2S n ，所以S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．1．掌握运用等比数列性质解题的两个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a 1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如： ①若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0且a ≠1)是以log a a 1为首项，log a q 为公差的等差数列．②若公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .如巩固迁移3.2．牢记与等比数列前n 项和S n 相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q .①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q 1＋q (q ≠1且q ≠－1)，S 奇－a 1S 偶＝q . (2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n＝S n ＋m －S n S m(q 为公比)．如举例说明3和巩固迁移1.1．(2018·青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，所以6a 4＝a 4(q 2－q )． 由题意得a 4>0，q >0.所以q 2－q －6＝0，解得q ＝3，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10. 2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.故选B.3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16答案 B解析 由题意知公比大于0，由等比数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.故选B.。
第二章 2.5 第1课时 等比数列前n项和公式 【教师版】
§2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和公式学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前n项和公式知识点二错位相减法1．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{b n}是公差d≠0的等差数列，{c n}是公比q≠1的等比数列，求数列{b n·c n}的前n项和S n时，也可以用这种方法．思考如果S n＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋a n q n－1，其中{a n}是公差为d的等差数列，q≠1.两边同乘以q，再两式相减会怎样？答案S n＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋a n q n－1，①qS n＝a1q＋a2q2＋…＋a n－1q n－1＋a n q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)q2＋…＋(a n－a n－1)q n－1－a n q n＝a1＋d(q＋q2＋…＋q n－1)－a n q n.同样能转化为等比数列求和．知识点三使用等比数列求和公式时注意事项(1)一定不要忽略q＝1的情况；(2)知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用S n ＝a 1(1－q n )1－q ；知道首尾两项a 1，a n 和q ，可以用S n ＝a 1－a n q 1－q；(3)在通项公式和前n 项和公式中共出现了五个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余两个．1．在等比数列{a n }中，a 1＝b ，公比为q ，则前3项和为b (1－q 3)1－q .( × )2．求数列{n ·2n }的前n 项和可用错位相减法．( √ ) 3.a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1.( √ )4．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( × )题型一 等比数列前n 项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和：(1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1281－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13，所以S 8＝a 1－a 8q 1－q ＝a 1－a 91－q ＝27－12431－⎝⎛⎭⎫－13＝1 64081.反思感悟 求等比数列前n 项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q ＝1是否成立．跟踪训练1 (1)求数列{(－1)n ＋2}的前100项的和；(2)在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，求此数列的项数．解 (1)方法一 a 1＝(－1)3＝－1，q ＝－1. ∴S 100＝－1[1－(－1)100]1－(－1)＝0.方法二 数列{(－1)n ＋2}为－1,1，－1,1，…， ∴S 100＝50×(－1＋1)＝0.(2)设此数列的公比为q (易知q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧78＝14q n ＋1，778＝14－78q1－q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项．题型二 前n 项和公式的综合利用例2 在等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q .解 由题意，得若q ＝1， 则S 3＝3a 1＝6，符合题意． 此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式， 得S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝6，解得q ＝－2.此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8. 反思与感悟 (1)a n ＝a 1qn －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ⎝ ⎛⎭⎪⎫或S n ＝a 1－a n q 1－q 两公式共有5个量．解题时，有几个未知量，就应列几个方程求解．(2)当q ＝1时，等比数列是常数列，所以S n ＝na 1；当q ≠1时，等比数列的前n 项和S n 有两个公式．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1(1－q n )1－q 比较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q 比较方便．跟踪训练2 已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝ . 答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且{a n }是递增数列，∴a 1＝1，a 3＝4，则q ＝2，∴S 6＝1×(1－26)1－2＝63.题型三 利用错位相减法求数列的前n 项和例3 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *)．反思感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是公比不为1的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，x ＝1，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.分期付款模型典例小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)解方法一设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为A k元，则A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，解得x＝5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈883.5.故小华每期付款金额约为883.5元．方法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为A k元，则A2＝x；A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；…，A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812， 即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈883.5.故小华每期付款金额约为883.5元．[素养评析] 本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1且x ≠0时，S n ＝1－x n 1－x .2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 ∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152.3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝⎝⎛⎭⎫234，且q >0，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为 ． 答案 11a (1.15－1)解析 去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a ， ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n ，则S n ＝ . 答案 (n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *) 解析 ∵a n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① ∴2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ①－②，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1 ＝(1－n )2n ＋1－2.∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，a n，n，q，S n，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列且公比为q，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和．一、选择题1．等比数列{a n}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于()A．4－2100B．4＋2100C．4－2－98D．4－2－100答案 C解析 q ＝a 2a 1＝12. S 100＝a 1(1－q 100)1－q＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫121001－12 ＝4(1－2－100)＝4－2－98.2．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝48，S n ＝93，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 显然q ≠1,由S n ＝a 1－a n q 1－q ，得93＝3－48q 1－q，解得q ＝2.由a n ＝a 1q n －1，得48＝3×2n －1,解得n ＝5.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∵a 1≠0，q ≠0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11. 4．已知数列{a n }是等差数列，若a 2＋2，a 4＋4，a 6＋6构成等比数列，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 因为a 2＋2，a 4＋4，a 6＋6构成等比数列，所以(a 4＋4)2＝(a 2＋2)(a 6＋6)，化简得d 2＋2d ＋1＝0，所以d ＝－1.故选B.5．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1 C.12 D.23答案 B解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1.6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( ) A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13， 故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列． 又a 2＝－43，可得a 1＝4. 所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)． 7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 二、填空题8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝ .答案 3解析 ∵S 6＝4S 3，∴q ≠1，∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q， ∴q 3＝3，∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.9．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝ .答案 2n －1(n ∈N *)解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1(n ∈N *)．10．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ . 答案 3n －1解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n .又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1. 11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝ .答案 －342解析 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q， 得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)， ∴q ＝－342. 三、解答题12．(2018·绵阳检测)在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．解 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)．由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1(q －1)＝2， ①q 2－4q ＋3＝0， ② 解②得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝3n －12(n ∈N *)． 13．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，∴a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，∴a n ＝13n (n ≥2)．验证当n ＝1时，a 1＝13也满足上式，故a n ＝13n (n ∈N *)．(2)∵b n ＝na n ＝n ·3n ，∴S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①①×3，得3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1，② 由①－②，得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1，即－2S n ＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1，∴S n ＝2n －14·3n ＋1＋34(n ∈N *)．14．在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于() A ．(2n －1)2 B.(2n －1)23 C ．4n －1 D.4n －13答案 D解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，∴a 1＝21－1＝1.∵a 1＋a 2＝1＋a 2＝22－1＝3，∴a 2＝2，∴{a n }的公比为2.∴{a 2n }的公比为4，首项为a 21＝1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21(1－4n )1－4＝4n －13.15．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n －12n －1＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋an －a n －12n －1－a n2n＝1－⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝⎛⎭⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1，当n ＝1时也成立． 综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1，n ∈N *.。
第三讲等比数列及数列求和讲义
第三讲 等比数列及数列求和一.知识提要:1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示即{a n }成等比数列⇔nn a a 1+=q （n ∈N +,q ≠0）注意：等比数列的定义隐含了任一项a n≠0且q ≠02.等比数列的通项公式1:a n = a 1 q n-1（a 1 q ≠0）；等比数列的通项公式2:a n =a m q n-m（a 1q ≠0）3.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即G=±ab ;a,G,b成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）5.等比数列的性质:若m+n=p+q,则a n a m =a p a q6.等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =na 1当q ≠1时,q q a S nn--=1)1(1 ① 或qqa a S n n --=11 ②;7.特殊数列求和：⑴1+2+3+…+n=2)1(+n n ;⑵1+3+5+…+（2n-1）=n 2;⑶6)12)(1(3212222++=++++n n n n ;⑷23333]2)1([321+=++++n n n8. S n 是等比数列{a n }的前n 项和①当q=－1且k 为偶数时, S n , S 2k －S k ,S 3k －S 2k 不是等比数列.②当q ≠－1或k 为奇数时, S n ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k 仍成等比数列。
二.应用举例例 1.求下列各等比数列的通项公式:⑴a 1=-2,a 3=-8；⑵a 1=5,且2a n+1=-3a n例2.求数列1a =5, 且11+=+n n a a nn 的通项公式例3.已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n b n }是等比数列.例4. 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证：3,3,3abc ca bc ab cb a ++++ 也成等比数列。
等比数列-简单难度-讲义
等比数列知识讲解一、等比数列概念概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．即数列{}n a 的递推公式为1n na q a +=（常数）（*N n ∈）． 【注意】（1）由于等比数列每一项都可能作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0； （2）从第二项开始，因此首项没有前一项；（3）1n na a +均为同一个常数，即比值相等；（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．若常数列各项都为0的数列，它就不是等比数列，当常数列各项不为0时，是等比数列．二、等比数列的通项公式及推导1.等比数列的通项公式为：1*1n n a a q n N -=∈，．2.等比数列的公式的推导：累乘法3.等比数列通项公式的推导：2132121n n nn a q a a q a a q a a q a ---====，将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等差数列的通项公式易知：n m m n a a q -=．三、等比中项定义：如果三个数x G y ，，组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．四、等比数列的常用性质1.公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍为等比数列，公比仍为q ；2.若*(,,,)p q m n m n p q N +=+∈，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2m p q a a a =⋅；3.等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．4.若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列；5.若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列；6.101a q >⎧⎨>⎩或{}1001n a a q <⎧⇔⎨<<⎩递增；1001a q >⎧⎨<<⎩或{}101n a a q <⎧⇔⎨>⎩递减；{}1n q a =⇔为常数列；{}0n q a <⇔为摆动数列．五、等比数列的前n 项和及推导过程1.等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2.等比数列由等比数列的定义知公式的推导：方法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，，，，， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)nn n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =．方法二：由前n 项定义知211111n n S a a q a q a q -=++++， 将上式两边同乘以q 得：n qS =231111n a q a q a q a q ++++两式相减得： 11(1)n n q S a a q -=-， 以下讨论同法一．注：方法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{},{}nn n na ab b ，数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．六、等比数列前n 项和的性质1.公比为q 的等比数列，按m 项分组，每m 项之和组成一个新数列，认为等比数列，其公比为m q （也就是说：232m m m m m S S S S S --，，，为等比数列，公比为m q ．2.对于项数为*2()k k N ∈的等比数列，有=S q S 偶奇．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•保定二模）已知正项等比数列{a n}满足a3=1，a5=，则a1的值为（）A．4 B．2 C．D．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足a3=1，a5=，∴，解得，，∴a1的值为2．故选：B．2．（2018•盐湖区校级三模）在等差数列{a n}中，已知a4，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．20【解答】解：a4，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，由韦达定理可知：a4+a7=4，，故选：D．3．（2018•石家庄模拟）在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，则a6=（）A．28 B．32 C．64 D．14【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，a5=16，∴a1q=2，=16，解得a1=1，q=2．则a6=25=32．故选：B．4．（2018•泉州模拟）已知{a n}是等比数列，a1=1，a3=2，则=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1，a3=2，∴q2=2．则=q4=4．故选：C．5．（2018•香坊区校级二模）已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a3=16，a3+a4=24，则a5=（）A．128 B．108 C．64 D．32【解答】解：∵a1a3=16，∴a22=a1a3=16，∴a2=4，设公比为q，∵a3+a4=24，∴4q+4q2=24，解得q=2或q=﹣3（舍去），∴a5=a2q3=4×23=32，故选：D．6．（2018•安庆二模）设等比数列{a n}的公比q=3，前n项和为S n，则=（）A．B．4 C．D．3【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的公比q=3，则a2=a1q=3a1，S4==40a1；则==；故选：A．7．（2018•天津模拟）设{a n}是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．若a1=1，a5=4，则a3=﹣2 B．若a1+a3＞0，则a2+a4＞0C．若a2＞a1，则a3＞a2 D．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a2【解答】解：A．由等比数列的性质可得：=a1•a5=4，由于奇数项的符号相同，可得a3=2，因此不正确．B．a1+a3＞0，则a2+a4=q（a1+a3），其正负由q确定，因此不正确；C．若a2＞a1，则a1（q﹣1）＞0，于是a3﹣a2=a1q（q﹣1），其正负由q确定，因此不正确；D．若a2＞a1＞0，则a1q＞a1＞0，可得a1＞0，q＞1，∴1+q2＞2q，则a1（1+q2）＞2a1q，即a1+a3＞2a2，因此正确．故选：D．8．（2018•玉溪模拟）已知等比数列{a n}公比为q，其前n项和为S n，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣B．1 C．﹣或1 D．﹣1或【解答】解：若S3、S9、S6成等差数列，则S3+S6=2S9，若公比q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，即q≠1，则=，即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，即q3+q6=2q9，即1+q3=2q6，即2（q3）2﹣q3﹣1=0，解得q3=，故选：A．9．（2018•济宁二模）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6，a3•a5=64，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6，a3•a5=64，∴，且q＞0，解得a1=1，q=2，∴S6==63．故选：C．10．（2018•河南一模）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，∴a1a3+2a3a5+a5a7==（a2+a6）2=4，∵数列{a n}为正项等比数列，∴a2+a6=2．故选：B．二．填空题（共4小题）11．（2018•江苏模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足，且a2a8=2a5+3，则a9=18．【解答】解：各项均为正数的等比数列{a n}，公比设为q，q＞0，，且a2a8=2a5+3，可得q•q7=2•q4+3，解得q4=6（负的舍去），则a9=a1q8=×36=18．故答案为：18．12．（2017•启东市校级模拟）等比数列{a n}中，S n表示前n顶和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为3．【解答】解：∵a3=2S2+1，a4=2S3+1两式相减可得，a4﹣a3=2（S3﹣S2）=2a3整理可得，a4=3a3利用等比数列的通项公式可得，a1q3=3a1q2，a1≠0，q≠0所以，q=3故答案为：313．（2011秋•亭湖区校级期中）在等比数列{a n}中，若a1=2，a9=8，则a5=4．【解答】解：设公比为q，则由若a1=2，a9=8，可得8=2×q8，解得q4=2，∴a5=a1•q4=4，故答案为2．14．（2010•泉山区校级模拟）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则{a n}的前4项和为120．【解答】解：q3==27∴q=3∴a1==3∴S4==120故答案为120三．解答题（共1小题）15．（2005秋•成都期末）在等比数列{a n}中，a1+a n=66，a2•a n﹣1=128，且前n项和S n=126，求n以及公比q．【解答】解：由a2•a n﹣1=a1•a n=128，又a1+a n=66得，a1，a n是方程x2﹣66x+128=0的两根，解这个方程得，或，由得或．。
等比数列及其前n项和讲义
等比数列及其前n 项和讲义一、知识梳理1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)．3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b G，G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，{a 2n }，{a n ·b n }，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 注意：等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列． (4)当q <0时，{a n }为摆动数列．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( )(5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( ) (6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( )题组二：教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______. 3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．题组三：易错自纠4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________． 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．三、典型例题题型一：等比数列基本量的运算1．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D.182．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n＝________. 思维升华：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．题型二：等比数列的判定与证明典例 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．引申探究：若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 思维升华：(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．跟踪训练：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ. 题型三：等比数列性质的应用1．已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝4，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．162．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50思维升华：等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形．(2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 注意：分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)． 四、反馈练习1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．332．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1 C.12 D.233．已知等比数列{a n }中，a 3＝2，a 4a 6＝16，则a 10－a 12a 6－a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．164．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n >a nD ．T n <b n ＋15．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．5B ．9C ．log 345D ．106．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里7．已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________.8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．9．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和为________．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________.11．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n )21(，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .13．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝________.14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝________. 15．已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．716．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋12n ＝(－1)n a n (n ∈N *)，则数列{S n }的前9项和为________．。
必修五 第二章 等比数列复习讲义
等比数列公式及性质运用一．基础知识梳理1.等比数列(1)定义：成等比数列}{)0,0,2(1n n n na q a n q a a ⇔≠≠≥=- (2)通项公式：11-=n n q a a (3)前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n nn等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.2.等比数列的性质① 若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列； ② 111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩③ m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)； ④ 等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列.二．典例讲练题型1： 等比数列公式及性质的应用例1 （1）已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式。
（2）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知166n a a +=，43128n a a -=，126n S =，求n 和公比q 的值。
变式1．已知等比数列{}n a 的公比=q －31,则86427531a a a a a a a a ++++++=______.变式2．已知数列{}n a 为等比数列，(1)若,252,0644342=++>a a a a a a a n 且求.53a a +(2)na a a a a aa 求,8,7321321==++例2（1）（08浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）（A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n --21） （2）等比数列{}n a 中，93,a a 是方程20x x -+=２７６的两个根，则6a =（ ） A ．3 B ．±3 C ．± 3 D ．以上皆非变式1.等比数列{}n a 中，0n a >且5681a a =，则3132310log log log a a a +++的值是（ ）A ．20B ．10C ． 5D ．40变式2 设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根，则=+20072006a a _____.变式3 (1)在等比数列{n a }中，3,1101==a a 则98432a a a a a ⋯等于( ) A ．81 B ．27527 C. 3D ．243例3：在等比数列{}n a 中，若前10项的和10S =10，前20项和20S =30，求30S变式：(2009·辽宁卷)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S S =3，则69S S＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．3变式：（2007陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ）（A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16例4：等比数列{}n a 共有2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则求公比q变式：数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n变式：若等比数列{}n a 的前n 项之和S n =3n +a ,则a 等于（ ） A.3 B.1 C.0 D.－1变式：在等比数列{}n a 中，已知643524,64a a a a -==.求{}n a 前8项的和8S变式：等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；题型2：等比数列判定及证明例1已知数列{}n a 满足：lg 35n a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列.练习：数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+ ① 求证{1}n a +是等比数列； ② 求数列{}n a 的通项公式。
等比数列讲义
等比数列引例1：庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思是： “一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”，我们把“一尺之棰” 看成单位1，这样每日剩下的部分得到一个数列： ,161,81,41,21,1引例2：细胞进行有丝分裂，一个变成两个，两个变成四个，……，对应的细胞个数为：，16,8,4,2,1这两个数列有什么特点？ 一、等比数列的有关概念1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示注：等比数列中的任何一项0≠n a ，公比0≠q 2.用式子表示等比数列的定义：q a a n n =+1（常数）或q a an n =-1（2≥n ） 练习：判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项和公比，如果不是，说明理由 （1） ,27,9,3,1 （2） ,18,6,2,1 （3） ，，，，161814121 （4） ,5,5,5,5 （5） ,0,0,0,0 （6） ,0,1,0,1 （7） ,1,1,1,1-- （8） ,,,,132a a a （9） ,,,,32x x x x小结：（1）用定义判断一个数列是不是等比数列，只需看nn a a 1+等不等于同一个非零常数 （2）公比q 一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且0≠q （3）既是等差数列又是等比数列的数列：非零常数列 常数列： ,,,,a a a a若0=a ，则该数列 等差数列， 等比数列 若0≠a ，则该数列 等差数列， 等比数列 思考：已知等比数列{}n a 首项1a 和公比q ，如何求通项n a ？3.等比数列的通项公式：11-=n n q a a等比数列的通项公式的推导公式：mn m n q a a -=例1.在等比数列{}n a 中 （1）16,274==a a ，求n a（2）1,9,186352==+=+n a a a a a ，求n例2.已知等比数列{}n a 中，17=a 且654,1,a a a +成等差数列，求n a例3.（1）三个数成等差数列，它们的和为14，积为64，求这三个数（2）四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数小结：设等比数列的方法： （1）通项法： ,,,2111q a q a a （2）对称设：①奇数个数成等比数列： ,,,,,,22aq aq a qaq a ，公比为q ②偶数个数成等比数列：4.等比中项：如果在a 和b 之间插入一个数G ，使得b G a ,,成等比数列，那么数G 叫做a 和b 的等比中项注：（1）若G 是a 和b 的等比中项，则（2）只有同号的两个数(非零)才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数（3）一个等比数列从第2项起，每一项(又穷等比数列的末项除外)都是它前一项和后一项的等比中项 5.等比数列的性质：性质1：等比数列{}n a 中，下标和相等的项的积相等，即若*,,,N q p n m ∈且qp n m +=+则q p n m a a a a =，特别地，若p n m 2=+，则2p n m a a a =性质2：设{}n a 为有穷等比数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等，且等于首末两项的积，即123121a a a a a a a a n n n n ====--性质3：等比数列{}n a 中下标成等差数列的项成等比数列，即 ,,,2m k m k k a a a ++成等比数列，公比为mq性质4：设{}n a 是正项等比数列，则{}n a ln 为等差数列，公差为q ln 性质5：设{}n a 是等差数列，则{}0(>a ana 且)1≠a 为等比数列，公比为da性质6：若{}{}n n b a ,为等比数列，则{}{}{}{}{}{}nn n k n n n n n n n a a a a a b a b a a ,,1,,,,),0(2⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠λλ)0(>n a 也为等比数列性质7：等比数列的单调性：设等比数列{}n a 公比为q ，则 （1） {}n a ⇔单调递增 （2） {}n a ⇔单调递减 （3） {}n a ⇔为常数列 （4） {}n a ⇔为摆动数列注：若0>q ，则{}n a 各项 ；若0<q ，则{}n a 的项 ；所以等比数列的奇数项、偶数项分别性质8：既是等差数列，又是等比数列的数列：非零常数列例4.（1）已知等比数列{}n a 中，8,7321321==++a a a a a a ，求n a （2）已知正项等比数列{}n a 中，493=a a ，4153104=+a a a a ，求84a a +例5.（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，n n S n n a 21+=+，求证：数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列（2）已知数列{}n a 中，nn n a 23-=，若数列{}n n pa a -+1为等比数列，求实数p 的值（3）已知数列{}n a 中，21=a ，nn n a a 2321⨯+=+，求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列。
等比数列讲义
等比数列公式及性质运用一．基础知识梳理1.等比数列(1)定义：成等比数列}{)0,0,2(1n n n na q a n q a a ⇔≠≠≥=- (2)通项公式：11-=n n q a a (3)前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n nn等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.2.等比数列的性质① 若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列；② 111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩③ m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)； ④ 等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列.二．典例讲练题型1： 等比数列公式及性质的应用例1 （1）已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式。
（2）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知166n a a +=，43128n a a -=，126n S =，求n 和公比q 的值。
变式1．已知等比数列{}n a 的公比=q －31,则86427531a a a a a a a a ++++++=______. 变式2．已知数列{}n a 为等比数列，(1)若,252,0644342=++>a a a a a a a n 且求.53a a +(2)na a a a a aa 求,8,7321321==++例2（1）（08浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） （A ）16（n--41） （B ）16（n--21）（C ）332（n --41） （D ）332（n--21）（2）等比数列{}n a 中，93,a a 是方程20x x -+=２７６的两个根，则6a =（ ） A ．3 B ．±3 C ．± 3 D ．以上皆非变式1.等比数列{}n a 中，0n a >且5681a a =，则3132310log log log a a a +++的值是（ ）A ．20B ．10C ． 5D ．40变式2 设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根，则=+20072006a a _____.变式3 (1)在等比数列{n a }中，3,1101==a a 则98432a a a a a ⋯等于( )A ．81B ．27527 C. 3D ．243例3：在等比数列{}n a 中，若前10项的和10S =10，前20项和20S =30，求30S变式：(2009·辽宁卷)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S S =3，则69S S＝( ) A ．2B.73C.83D ．3变式：（2007陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ）（A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16例4：等比数列{}n a 共有2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则求公比q变式：数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n变式：若等比数列{}n a 的前n 项之和S n =3n +a ,则a 等于（ ）A.3B.1C.0D.－1变式：在等比数列{}n a 中，已知643524,64a a a a -==.求{}n a 前8项的和8S变式：等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；题型2：等比数列判定及证明例1已知数列{}n a 满足：lg 35n a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列.练习：数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+ ① 求证{1}n a +是等比数列； ② 求数列{}n a 的通项公式。
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、什么是等比数列在数学的奇妙世界中，等比数列是一种非常有趣且重要的数列形式。
那到底什么是等比数列呢？简单来说，等比数列就是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
这个常数被称为公比，通常用字母“q”来表示。
例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，其中公比 q＝ 2。
因为 4÷2 ＝ 2，8÷4 ＝ 2，16÷8 ＝ 2，32÷16 ＝ 2，每一项与前一项的比值都是 2。
再比如，数列 10，5，25，125，0625……也是等比数列，公比 q ＝05。
等比数列的通项公式可以表示为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 an 表示第 n 项的值，a1 表示首项，n 表示项数。
二、等比数列的性质等比数列有许多独特而有趣的性质，掌握这些性质对于我们深入理解和解决与等比数列相关的问题非常有帮助。
性质 1：若 m、n、p、q ∈ N+，且 m ＋ n ＝ p ＋ q，则 am × an ＝ap × aq 。
比如在等比数列 2，4，8，16，32……中，若 m ＝ 1，n ＝ 3，p ＝2，q ＝ 2，因为 1 ＋ 3 ＝ 2 ＋ 2，所以 a1 × a3 ＝ a2 × a2 ，即 2 × 8 ＝4 × 4 ＝ 16 。
性质2：等比数列中，连续若干项的和构成的新数列仍为等比数列。
以等比数列 1，2，4，8，16……为例，前两项的和为 3，前三项的和为 7，前四项的和为 15，新数列 3，7，15……也是等比数列。
性质 3：若数列{an}是等比数列，则数列{kan}（k 为非零常数）也是等比数列，公比不变。
例如在等比数列 2，4，8，16……中，若 k ＝ 3，则新数列 6，12，24，48……也是等比数列，公比仍为 2。
三、等比数列的求和公式当公比q ≠ 1 时，等比数列的前 n 项和公式为：Sn ＝ a1×（1 q^n)／（1 q) 。