对《线性代数》课程教学的认识

对《线性代数》课程教学的认识

【摘要】本文针对《线性代数》课程的“抽象性”的特点，从线性代数的研究对象、研究思想、概念和方法以及应用等方面，通过一些实例，提出了如何使线性代数课程生动起来的几点认识。

【关键词】线性代数；抽象性；生动；实例

《线性代数》与《高等数学》是大学数学教学中的两个最基本的课程。相比于《高等数学》，《线性代数》课程有它独有的特点，比如：学时相对较少、概念和内容比较抽象等。但是，学生通常并没有因为它的内容少，定理、公式少而觉得容易学习，反而因为线性代数的抽象性而“望而生畏”，很难入门。教师的任务就是如何化“抽象”为“生动”，引领学生走进线性代数的奇妙世界，使学生理解并掌握线性代数的思想与精髓，并能很顺利的加以应用，同时提高学生的数学素养。

1 让线性代数的研究对象和思想生动起来

每一门课程都有它的主要研究对象，线性代数的研究对象是向量空间及线性变换的理论。线性代数以代数的方法在解决几何问题，体现了代数与几何的结合。而将代数与几何互相转换的方式融入教学中去，就使得教学过程生动、形象而又直观。

（1）在学习矩阵的运算时，矩阵乘法相对来说，会使学生觉得非常“不自然”，如果适当融入一些与空间相关的例子，会产生意想不到的效果！

例1 计算cosφ sinφ-sinφ cosφ.

通过计算，我们得到：cosφ sinφ-sinφ cosφ= cos nφ sin nφ-sin nφ cos nφ.

事实上，我们知道，矩阵cosφ sinφ-sinφ cosφ可以表示二维空间，即平面上的旋转变换，指空间中的向量都旋转φ（弧度），是线性变换的一种。而cosφ sinφ-sinφ cosφ可以理解为空间做了n次这样的旋转变换，得到旋转nφ的变换，对应表示矩阵恰好为：

cos nφ sin nφ-sin nφ cos nφ.

这样，我们就从几何空间的直观例子使矩阵乘法变得生动、形象。

（2）初等矩阵的理解也可以借助几何方法：如初等矩阵1 0 00 k 00 0 1可以理解为一个拉伸或压缩变换；1 0 00 1 00 c 1可以看做是一个投影平移变换等。

（3）利用正交变换使二次型化标准形，这是线性代数课程的一个难点，很多学生不理解为什么要化标准形？为什么要使用正交变换法？这样做有什么实际意义？下面我们举例说明。

例2 用正交变换法将二次型化为标准型：f=2x+3x+3x+4xx.

我们可以通过正交变换xxx=1 0 0 0 0 -yyy，使二次型化为标准形：f=2y+5y+y.

从几何角度理解，2x+3x+3x+4xx=1在三维线性空间中，表示什么样的曲面呢？我们知道正交变换保持正交性不变，即在变换后，在仍为空间直角坐标系的新坐标下，方程化为2y+5y+y=1，即表示的曲面是一个椭球！

二次型标准化问题是矩阵理论的一个应用，是将一个有中心的二次曲线（面）方程化为标准方程，从而对其进行分类，线性代数中将它推广到n维空间中，并给予了解决。如果将这种方法用到解析几何中，它可以解决有心曲线（面）的分类问题. 这充分反映了利用矩阵这个线性代数的重要工具，去研究问题的价值体现。也使得线性代数研究对象和思想的应用灵活起来。

2 让线性代数的概念和方法生动起来

在线性代数的教学中，教师大多以矩阵和行列式为中心展开教学，很多概念和方法直接给出，对学生来说都感觉非常“突兀”，降低了学生的学习兴趣，影响了教学效果。经过几年的线性代数的教学，笔者发现如果以“一条主线”展开教学，就会使整个教学过程变得完整而生动。这条主线就是“线性方程组”，以之为线索将主要的概念和方法紧密的联系起来。下面以几个具体例子来说明。

我们通常给出矩阵定义的时候是通过线性方程组的形式引出的，例如线性方程组：

通过对这个齐次线性方程组这个“主线”的讨论，我们引出下面几个看起来“莫名其妙”的概念和方法。

（1）矩阵

这个方程组解的情况如何？完全由数组2 3 11 1 13 4 2决定，就是决定这个齐次方程组解情形的本质：系数矩阵。因此我们通过方程组引出了“矩阵”的概念（2）矩阵的秩

当我们在解这个方程组之前，比较容易观察到：方程（2.3）为方程（2.1）和（2.2）作和得到，通过三个方程的关系，得出结论：这个线性方程组的“有用方程”的个数为“2”，这个“有用方程的个数”与决定方程组解的本质的矩阵1 1 12 3 13 4 2之间是什么关系呢？当然，它就是这个矩阵的“秩”！这个问题的提出就使得矩阵的“秩”的概念自然的提出来了。

通常如果直接提出矩阵的秩的概念，学生会觉得“莫名其妙”，”不知所谓”。如果通过线性方程组这个主线引出这个定义，矩阵的秩的定义就变得“生动”起来，学生不仅容易理解，还能把线性代数的知识内容贯穿起来，增强了学习兴趣。

（3）矩阵的初等变换

下面我们用高斯消元法解这个方程组，由此引入矩阵的“初等变换”的方法。

其中我们对方程组实施了如下变换：

1）交换两个方程的位置；

2）一个方程两端同时乘以一个非零的数；

3）一个方程两端乘以同一个数后加至另一个方程上。

在这些变换下得到的新的方程组与原方程组同解。而方程组的系数矩阵也发生了变化，但是它所决定的解的情况没有发生改变，也就是说，这个矩阵的某些“本质”没变。由此引出的矩阵的变换就是矩阵的“初等变换”。

以方程组这一“主线”将初等变换直观生动地展现在学生面前，这就使学生不会觉得“初等变换”的方法是“凭空想象”的，而是非常有意义的。

通过上面几点讨论，我们认识到，线性代数的教学也可以不枯燥无味，可以是很生动的。一些现代化的教学手段，例如多媒体教学等，也可以应用到线性代数教学当中，使教学方式更加灵活。通过这些激发学生的学习兴趣，能使学生更好地学习和理解线性代数的知识和思想，提高他们的数学素质。

【参考文献】

[1]北大数学系前代数小组.高等代数[M].3版.王萼芳，石生明，修订.北京：高等教育出版社，2003.

[2]沈阳工业大学数学教研室.线性代数[M].4版.东北大学出版社，2010.

[3]上海交通大学数学系.线性代数[M].2版.科学出版社，2007.