大学物理学习指导相应教材第七章习题与解答

λl ε0
则
E2 =
λ 2π ε 0 r
r > R2 时 利用高斯定律及对 性 有 2π rlE3 = 0 则 E3 = 0 v E = 0 r < R1 λ v ˆ R1 < r < R2 即 E = E = r π ε r 2 0 v E r > R2 =0 ϖ ϖ r 4.24 如图 设真空中静电场 E 的分布为 E = ci 式中 c 为常量 求空间电荷的分布
为
图 4.25
题 4.14 图
图 4.26
题 4.15 图
4.16
有一非均匀电场
r r 场强为 E = ( E0 + kx)i
式中 k 为一常量
则通过如图 4.27
所示的边长为 0.53m 的立方体的电通量为 D A 0 B 0.45 k C 0.3 k D 4.17 对静电场高斯定理的理解 列说法中哪一个是正确的 A 如果通过高斯面的电通量 为零 则高斯面内必有净电荷 B 如果通过高斯面的电通量为零 则高斯面内必无电荷 C 如果高斯面内无电荷 则高斯面 电场强度必处处为零 D 如果高斯面 电场强度处处 为零 则高斯面内必有电荷
r2
=−
σ
2
3 ∆q = 4π r22 (σ − σ ' ) = σ ⋅ 4π r22 = 4 × 3.14 × 8.85 ×10 −12 × 300 × 0.2 = 6.67 ×10 −9 C 2
4.14 如图 4.25 所示 在坐标 a 0 处放置一点电荷 q 在坐标 -a 0 处放置另 一点电荷 q P 点是 x 轴 的一点 坐标为 x 0 当 x >> a 时 该点场强的大小为 B q qa qa q A B C D 3 3 4πε 0 x πε 0 x 2πε 0 x 4πε 0 x 2 4.15 如图 4.26 所示为一沿轴放置的无限长分段均匀带电直线 电荷线密度分 + λ ( x < 0) 和 −λ ( x > 0) 则 O-xy 坐标平面 P 点 o, a 处的电场强度矢量为 B v v v v λi λi λ (i + j ) A 0 B C D 2πε 0 a 4πε 0 a 2πε 0 a
0.15 k A
图 4.27
题 4.16 图
图 4.28
题 4.18 图
4.18 图 4.28 所示为一 有球对 性分布的静电场的 E～r 关系曲线 请指 该静电场 是由 列哪种带电体产生的 D A 半径为 R 的均匀带电球面 B 半径为 R 的均匀带电球体 C 半径为 R 电荷体密度 ρ = Ar A 为常数 的非均匀带电球体 D 半径为 R 电荷体密度 ρ = A / r A 为常数 的非均匀带电球体 4.19 电荷为+q 和−2q 的两个点电荷分 置于 x=1m 和 x = −1m 处 何处 它 到的合力等于零
一试验电荷置于 x
轴
答案
(3 + 2 2 )
4.20 如图 4.29 所示 真空中一长为 L 的均匀带电细直杆 总电荷为 q 试求在直杆延 长线 距杆的一端距离为 d 的 P 点的电场强度
答案
q 4πε 0 d (L + d )
方向沿杆的延长线方向
4.21 半径为 R 的带电细圆环 电荷线密度为 λ = λ0sinφ λ0 为一常数 φ 为半径 R x 轴所成的夹角 如图所示 试求环心 O 处的电场强度
大学物理学习指导相应教材第七章真空中的静电场习题与解答 4.5 习题一
4.1 图 4.17 所示的曲线表示某种球对 性静电场的场强大小 E 随径向距离 r 化的关 请指 该电场是由 列哪一种带电体产生的 A A 半径为 R 的均匀带电球面 B 半径为 R 的均匀带电球体 C 点电荷 D 外半径为 R 内半径为 R/2 的均匀带电球壳体 4.2 电场中 列说法中正确的是 D A 带正电的导体 电势一定是正值 B 等势面 各点的场强一定相等 C 场强为零处 电势 一定为零 D 场强相等处 电势梯度矢量一定相等
示 试求该点电荷所 的电场力
真空介电常量 ε0 = 8.85×10−12C2·N−1·m−2
图 4.23
题 4.9 图
图 4.24
题 4.11 图
答案 0.90 N 方向向左 4.10 在半径为 R 的 无限长 外的场强分布 并作 E～r 关系曲线 解 由高斯定律 斯面
1
直圆柱体内均匀带电 电荷体密度为 ρ
解 如图 考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面
有
Ò ∫∫ E ⋅ d S = cx
S
v
v
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0
⋅ ∆S
v 1
由高斯定理
Ò ∫∫ E ⋅ d S = ε ∑ q
S 0 S内
v
设空间电荷的密度为 ρ ( x )
有
cx 0
∫ ⋅∆S =
x0
0
ρ ( x)∆ Sd x ε0
∫
解
x0
0
ρ ( x) d x = ∫ ε 0cd x
小球的合成 1
以 O 为圆心 过 O ′ 点作一个半径为 d 的高斯面 根据高斯定理有 v v ρ 4 3 ρd Ñ ∫ S1 E ⋅ d S = ε 0 ⋅ 3 π d ⇒ E0 = 3ε 0 方向从 O 指向 O′ 2 过 P 点以 O 为圆心 作一个半径为 d 的高斯面 根据高斯定理有 v v ρ 4 3 ρd Ñ ∫ S1 E ⋅ d S = ε 0 ⋅ 3 π d ⇒ EP1 = 3ε 0 方向从 O 指向 P 过 P 点以 O ′ 为圆心 作一个半径为 2d 的高斯面 根据高斯定理有 v v ρ 4 3 ρ r3 E ⋅ d S = − ⋅ π r ⇒ E = − P2 Ñ ∫ S2 ε0 3 3ε 0 d 2
2 2 1 2 1 2
那么
2
σ=
ε 0U 0
r1 + r2
=
8.85 × 10 −12 × 300 = 8.85 × 10 − 9 C m 2 30 × 10 − 3
则有
设外球面 放电后电荷密度 σ '
U 0 ' = (σ r1 + σ ' r2 ) / ε 0 = 0
则 放掉电荷为
σ '=−
σ r1
4.7 一个半径为 R
电荷线密度为 λ1 的均匀带电圆环 在
轴线 放一长为 l
电荷线
密度为 λ2 的均匀带电直线段 该线段的一端处于圆环中心处 如图 4.21 所示 求该直线段
到的电场力
图 4.19
题 4.6 图
图 4.21
题 4.7 图
图 4.22
题 4.8 图
答案
λ1λ2 R 1 1 − 1 / 2 2ε 0 R (l 2 + R 2 )
图 4.29
题 4.20 图
图 4.30
题 4.21 图
图 4.31
题 4.22 图
答案
−
λ0 i 4ε 0 R
4.22 两根相同的均匀带电细棒 长为 l 电荷线密度为 λ 沿同一条直线放置 两细 棒间最近距离 为 l 如图 4.30 所示 假设棒 的电荷是 能自由移动的 试求两棒间的静 电相互作用力 λ2 4 答案 ln 4πε 0 3 4.23
∫
∑
A 闭合面内的电荷代数和为零时 闭合面 各点场强一定为零 B 闭合面内的电荷代数和 为零时 闭合面 各点场强一定都 为零 C 闭合面内的电荷代数和为零时 闭合面 各点场强 一定都为零 D 闭合面内无电荷时 闭合面 各点场强一定为零 4.6 如图 4.19 所示 在点电荷 q 的电场中 选 以 q 为中心 R 为半径的球面 一点 P 处为电势零点 则 点电荷 q 距离为 r 的 P'点的电势为 B q 1 1 q q 1 1 q A B C D − − 4πε 0 r 4πε 0 r R 4πε 0 ( r − R ) 4πε 0 R r
系
图 4.17
题 4.1 图
图 4.18
题 4.3 图
4.3 如图 4.18 所示 两无限大平行平板 度的大小分 为 A σ σ A 0 ε0 ε0 C
4.4 A B C D
电荷面密度均为+σ 则图中 处的电场强 B 0
D 0
σ 2ε 0
σ ε0
σ 2ε 0
σ 0 ε0 σ 0 2ε 0
C
关于静电场中某点电势值的正负 列说法中正确的是 电势值的正负 决于置于该点的实验电荷的正负 电势值的正负 决于电场力对实验电荷作功的正负 电势值的正负 决于电势零点的选 电势值的正负 决于产生电场的电荷的正负 r 1 4.5 由真空中静电场的高斯定理 d E ⋅ dS = q 可知 C S ε0
半径为 R1 和 R2
1 r < R1 2
R1 < R2
的两无限长同轴圆柱面
3
i
单位长度分
带有电量 λ 和
−λ
试求 解
1 2 3
R1 < r < R2
r > R2 处各点的场强
利用高斯定律
Ò ∫∫ E ⋅ dS = ε ∑ q
S
0 S内
v
v
1
r < R1 时 高斯面内 包括电荷 所以
E1 = 0
R1 < r < R2 时 利用高斯定律及对 性 有 2π r l E2 =
σ r12 当 r1 < r < r 2 时 利用高斯定理可求得 E 2 = ε0 r2 σ (r12 + r22 ) 当 r > r 2 时 可求得 E 3 = ε0 r2 2 2 2 r v r σ r1 ∞ σ ( r1 + r2 ) σ v ∞v v = + U0 = ∫ E2 ⋅ d r + ∫ E3 ⋅ d r ∫ dr ∫ d r = (r1 + r2 ) 2 r r r ε r2 r ε0 r ε0 0
0
x0
可见 ρ ( x ) 为常数 ⇒ ρ = ε 0 c 电荷体密度为 ρ 球壳内表面半径为 R1
4.25 如图 4.33 所示为一个均匀带电的球壳
外表面半径为 R2
设无穷远处为电势零点 求空腔内任一点的电势
求圆柱体内
Ò ∫∫
S
v v 1 E ⋅ dS = ∑ qi
ε0
考虑以圆柱体轴为中轴 半径为 r
长为 l 的高
S内
当r < R 时 当r > R时
2π r l ⋅ E = 2π r l ⋅ E =
ρ π r2 l ε0 ρ π R2 l ε0
有E =
ρr 2ε0 ρ R2 2ε 0 r
2
则
E=
即
ρr 2ε ( r < R ) 0 E= 2 ρ R (r > R) 2ε 0 r
如题 4.10 解图所示
题 4.10 解图
4.11 一球体内均匀分布着电荷体密度为 ρ 的正电荷 若保持电荷分布
在该球体
中挖去半径为 r 的一个小球体 球心为 O′ 两球心间距离 OO′ = d 1 在球形空腔内 球心 O′ 处的电场强度 E0
如图 4.24 所示 求
2 在球体内 P 点处的电场强度 E 设 O′ O P 点在同一直径 且 OP = d 解 利用补偿法 可将 看成是带有电荷体密度为 ρ 的大球和带有电荷体密度为 − ρ 的
Q r Qr ⋅ 3 有 E内 = ε0 R 4π ε 0 R 3 Q Q 4π r 2 E 外 = 有 E外 = ε0 4π ε 0 r 2
4π r 2 E 内=
∞
o rP
R
即
P
离球心 r 处
r<R
的电势
Ur = ∫ E内 ⋅ d r + ∫ E外 ⋅ d r
r R
R
∞
Ur = ∫
4.13
R
r
∞ Qr Q 3Q Q r2 ⋅ d r + ⋅ d r = − ∫R 4π ε 0 r 2 8π ε 0 R 8π ε 0 R 3 4π ε 0 R 3
4.8 一个细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形 沿 半部分均匀分布有电荷+Q 沿 半部分均匀分布有电荷 Q 如图 4.22 所示 试求圆心 O 处的电场强度
答案
−Q j π ε 0 R2
2
4.9 在真空中一长为 l=10cm 的细杆 均匀分布着电荷 电荷线密度 λ = 1.0×10−5C/m 在 杆的延长线 距杆的一端距离 d = 10cm 的一点 有一点电荷 q0 = 2.0 × 10−5 C 如图 4.23 所
E = EP1 + EP2 =
ρ r3 ( d − 2 ) 方向从 O 指向 P 3ε 0 4d
r<R P 点的电势
4.12 电荷量 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内 试求 离球心 r 处
解
利用高斯定律
Ò ∫∫ E ⋅ dS = ε ∑ q 可求电场的分布
S 0 S内 3
v
v
1
1 2
r < R时 r > R时
电荷以相同的面密度 σ 分布在半径为 r1 = 10cm 和 r2 = 20cm 的两个同心球面
设无限远处电势为零 球心处的电势为 U 0 = 300V .
1 2 解
ε 0 = 8.85 × 10−12 C 2 ⋅ N −1m −2
求电荷面密度 σ 若要使球心处的电势 为零 外球面 电荷面密度 σ ′ 为多少 1 当 r < r1 时 因高斯面内 包围电荷 有 E1 = 0