特殊函数作业题解答
特殊角的三角函数值.130°、45°、60°三角函数值
你想知道小丽怎样计算出旗杆的高度的吗? C
?
A
1.6米 30° 10米
D E
B
23.1 锐角三角函数(4)
30 、45 、60 三角函数值
0 0 0
新知探究
1、一副三角尺中,有几种锐角?它们分别是多少度?
2、这两个直角三角形什么特殊的数量关系?你能否求 出这些角的三角函数值?
3、请完成下列表格:
回顾锐角三角函数定义
在Rt△ABC中,∠C=90° 正切:
B A
C
BC 正弦: sinA = AB AC 余弦: cosA = AB
问题引入
阳光中学运动场有一旗杆,小丽设计一个测量旗杆的高度的方案. 她拿着三角尺站在一个适当的位置B处,她的视线恰好和 斜边重合且过旗杆顶C点,30°的邻边和水平方向平行,用 皮尺测出BE=10米的高度,AB=1.6米的长度。
2.sinα=cos(90°-α), cosα=sin(90°-α)
考考你的记忆
说出下列各式值。 1 sin30°= 2 . sinA=
2 cos45°= 2 . 3 tan30°= . 3
2 ,∠A= 45° . 2 3 3
tanA= cosA=
,∠A= 30° . ∠A= 30° .
3 sin60°= . 2
作业
教材P122习题第1题
CD 解:∵在Rt△ACD中,tan30 °= AD = 3 3
∴CD= 3 AD= 3 ×10≈5.773
3 3
∴CE=DE+CD=1.6+5.773 ≈ 7.37(米)
即旗杆高度约为7.37米
?
D
A
1.6米
30°
B
10米
实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制
实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制一、复变函数图形的绘制例题:编程绘制出复变函数31/31,的图形。
z z,z解:%experiment1.mclose allclear allm=30;r=(0:m)'/m;theta=pi*(-m:m)/m;z=r*exp(i*theta);w=z.^3;blue=0.2;x=real(z);y=imag(z);u=real(w);v=imag(w);v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化M=max(max(u));m=min(min(u));axis([-1 1 -1 1 m M])caxis([-1 1]) %%指定颜色值的范围s=ones(size(z));subplot(131)mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图hold onsurf(x,y,u,v) %%画表面图xlabel('x')ylabel('y')zlabel('u')title('z^3')hold offcolormap(hsv(64)) %%画色轴w=z.^(1/3);x=real(z);y=imag(z);subplot(132)for k=0:2rho=abs(w);phi=angle(w)+k*2*pi/3;u=rho.*cos(phi);v=rho.*sin(phi);v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(max(M,u)));m=min(min(min(m,u)));surf(x,y,u,v) %%画表面图axis([-1 1 -1 1 m M])hold onends=ones(size(z));mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图xlabel('x')ylabel('y')zlabel('u')title('z^{1/3}')colormap(hsv(64)) %%画色轴w=1./z;w(z==0)=NaN;x=real(z);y=imag(z);u=real(w);v=imag(w);v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化M=max(max(max(M,u)));m=min(min(min(m,u)));subplot(133)surf(x,y,u,v) %%画表面图hold onaxis([-1 1 -1 1 m M])s=ones(size(z));mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图xlabel('x')ylabel('y')zlabel('u')title('1/z')colormap(hsv(64)) %%画色轴二、特殊函数图形的绘制1、Γ函数的绘制()()10,1,2,tz z etd tz ∞--Γ=≠--⎰% Fig1d15.mx=-3:0.01:3; y=gamma(x);plot(x,y,'linewidth',4) grid onaxis([-3 3 -5 5]) xlabel('x') ylabel('y')title('\Gamma 函数')2、勒让德函数的绘制l 阶勒让德多项式()l P x 的定义是:()()()()()()22022!1112!!2!l kl kl lk l k P x xx k l k l k ⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-=--≤≤--∑其中,()()/220,1,2,1/2212l l nl n l l n =⎧⎪⎢⎥==⎨⎢⎥-=+⎣⎦⎪⎩连带()mlP x 的定义是()()[]()221mm ml lP x x P x =-其中,0,1,2,l = ,0,1,2,,m l = ,而[]()m l P x 是()l P x 的m 阶导数。
诱导公式基础练习题(含详细答案)
数学诱导公式作业1.3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin 10α=-,tan α=______. 2.已知点()1,2P -为角θ终边上一点,则2sin cos sin cos θθθθ-=+______. 3.已知1sin cos 3αα+=,则sin cos αα的值为________. 4.若3sin cos 0αα+=,则21cos sin 2αα+的值为_ 5.已知02πα-<<,且5cos 13α=.则2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值为_____. 6.已知1tan()2πα-=-,则cos()+22cos sin cos παααα+-的值是______. 7.已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos()πα+的值为________. 8.sin 315=________.9.计算:1125sin tan 33ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭________ 10.sin 30︒=__________,11cos4π=_________.11.已知角α终边上有一点()1,P y,且sin α=(1)求tan α的值; (2)求()()sin sin 2sin cos 2ππαααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--的值.12.已知()()()π3π=cos cos 2πsin 223πsin πsin 2f a ααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⋅+ ⎪⎝⎭. (1)化简()f a ;(2)若α 是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求()f a 的值.13.已知02πα<<,且513sin α=. ()1求tan α的值;()2求()222222sin sin sin cos sin απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.14.化简或求值: (1)sin()cos()sin()cos()222cos()sin()πππααπααπαπα+--++++; (2)6sin(90)3sin08sin 27012cos180-+-+.15.已知角α的终边与单位圆交于点P(45,35).(1)写出sin αααtan ,cos ,值; (2)求)cos(2)2sin(2)sin(απαπαπ--++的值.16.已知角α的终边经过点P (m ,4),且35cos α=-, (1)求m 的值; (2)求()()()2sin sin cos sin παπααπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+-的值. 17.已知sin α=α是第一象限角. (1)求cos α的值. (2)求()()3sin 2tan cos πααππα⎛⎫- ⎪⎝⎭++-的值. 18.已知sin 1sin cos ααα=-- (1)求tan α的值,(2)求222sin 2sin cos 3sin cos ααααα++的值.参考答案1.13【解析】【分析】先计算cos α=,再根据sin tan cos ααα=计算得到答案. 【详解】3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin 1sin cos tan cos 3ααααα==== 故答案为:13【点睛】 本题考查了同角三角函数关系,意在考查学生的计算能力.2.5【解析】【分析】首先求tan θ,再化简2sin cos 2tan 1sin cos tan 1θθθθθθ--=++,求值. 【详解】 由题意可知2tan 21θ==-- 2sin cos 2tan 15sin cos tan 1θθθθθθ--==++ . 故答案为:5【点睛】本题考查三角函数的定义和关于sin ,cos θθ的齐次分式求值,意在考查基本化简和计算. 3.49- 【解析】 ∵1sin cos 3αα+=, ∴2221(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos 9αααααααα+=++=+=,解得4sin cos 9αα=-。
特殊角三角函数
问题2 求 tan30°36'的值. 第一种方法: 第一步:按计算器 tan 键, 第二步:输入角度值30,分值36 (可以使用 D.M′S 键),
屏幕显示答案:0.591 398 351 第二种方法: 第一步:按计算器 tan 键, 第二步:输入角度值30.6 (因为30°36'=30.6°)
屏幕显示答案:0.591 398 351
6
3
A 45;
A
C
(2)如图,AO是圆锥的高,OB是底面半径,AO= 3 OB,
求 的度数.
解: 在图中,
A
tan AO 3OB 3 ,
OB OB
60.
O B
例3 已知α为锐角,且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根, 求2sin2α+cos2α- tan(α3+15°)的值.
余弦值 减小
正切值 增大
比一比,你能 得出什么结论?
归纳 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小); 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大); 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).
当堂练习
1.利用计算器计算:
(1)sin 40 ≈ 0.6428 (精确到0.0001 ); (2) sin1530' ≈ 0.2672 (精确到0.0001 );
导入新课
问题引入
升国旗时,小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国
旗升至顶端时,小明看国旗视线的仰角为42°(如图所
示),若小明双眼离地面1.60m,你能帮助小明求出旗
杆AB的高度吗?
解:由已知得DC EB 20m,
A
tanADC tan42 AC , DC
30°45°60°角的三角函数值
1.2 30°,45°,60°角的三角函数值一.选择题:1.在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,且 sin A =21,cos B =22,则△ABC 三个角的大小关系是( )A .∠C >∠A >∠B B .∠B >∠C >∠A C .∠A >∠B >∠CD .∠C >∠B >∠A 2.如图1—37所示,在△ABC 中,∠A =30°,tan B =32,AC =23,则AB 的长是 ( )A .3+3B .2+23 C. 5 D .923.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a ,则其底边上的高是( ) A .32a B .a C.12a D .12a 或32a 二、选择题4.在Rt △ACB 中,∠C =90°,AC =3,AB =2,则tan 2B= . 5.若a 为锐角,且sin a =22,则cos a = . 6.在Rt △ACB 中,若∠C =90°,sin A =32,b +c =6,则b = . 7.(1)在△ABC 中,∠C =90°,sin A =21,则 cos B =________; (2)若1)10(tan 3=︒+α,则锐角 a =________.三、计算与解答8.计算(1)sin 60°·cos 30°-12.(2) 2 cos230°-2 sin 60°·cos 45°;(3) 2 sin30°-3 tan 45°+4 cos 60°;9.如图1—38所示,在Rt△ACB中,∠BCA=90°,CD是斜边上的高,∠ACD =30°,AD=1,求AC,CD,BC,BD,AB的长.10.如图1—39所示,在相距100米的A,B两处观测工厂C,测得∠BAC=60°,∠ABC=45°,则A,B两处到工厂C的距离分别是多少?参考答案 1. D ;2.C [提示:过点C 作CE ⊥AB ,垂足为E .构造两个直角三角形,再根据三角函数即可求出AE ,EB ,则AB =AE +EB .]3.D[提示:考虑等边三角形和顶角为120°的等腰三角形.] 433[提示:∵∠C =90°,AC 3,AB =2,∴cos A 32,∴∠A =30°,∴∠B =90°-30°=60°,∴2B =30°,∴tan 2B=tan 30°33.]22[提示:∵a 为锐角,∴sin 45°=cos 4522.]6.2[提示:由sin A =32,得∠A =60°.又∵∠C =90°,∴cos A =12b c =,∴c =2b .又∵b +c =6,∴2b +b =6,∴b =2.] 7.(1)21; (2) 20°. 8.解:原式=33112224⨯-=.1.(1)263-; (2) 0; 9.提示:AC =2,CD =3,BC =23,BD =3,AB =4.10.提示:过C 作CD ⊥AB 于D ,然后利用特殊角解直角三角形.求得A ,B 两处到工厂C 的距离分别是3-1)米,2-6)米.§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值课时安排1课时从容说课本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上,经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义,并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值,并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.三角尺是学生非常熟悉的学习用具,教学中,教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”的特性,经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生的推理能力和计算能力.第三课时课题§1.2 30°,45°,60°角的三角函数值教学目标(一)教学知识点1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现的能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.教具重点1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点进一步体会三角函数的意义.教学方法自主探索法教学准备一副三角尺多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度. (用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下:让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处,使这位同学拿起三角尺,她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点,30°的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB 的长度,BE 的长度,因为DE=AB ,所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可.[生]在Rt △ACD 中,∠CAD =30°,AD =BE ,BE 是已知的,设BE=a 米,则AD =a 米,如何求CD 呢?[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:30°的角所对的边等于斜边的一半,即AC =2CD ,根据勾股定理,(2CD)2=CD 2+a 2. CD =33a. 则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°的正切值,在上图中,tan30°=aCDAD CD =,则CD= atan30°,岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[生]一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°=21. sin30°表示在直角三角 形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边等于2a.根据勾股定理,可知30°角的邻边为a ,所以sin30°=212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°=2323=a a .tan30°=33313==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60°=2323=a a , cos60°=212=a a , tan60°=33=aa. [生]也可以利用上节课我们得出的结论:一锐角的正弦等于它余角的余弦,一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°=cos(90°-60°)=cos30°=23cos60°=sin(90°- 60°)=sin30°=21. [师生共析]我们一同来 求45°角的三角函数值.含 45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为a ,则另一条直角 边也为a ,斜边2a.由此可求得sin45°=22212==a a , cos45°=22212==a a , tan45°=1=aa[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sin αco αtan α30°21 23 33这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为1,2,3,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.[师]再来看第二列函数值,有何特点呢?[生]第二列是30°,45°、60°角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从大到小分别为3,2,1,余弦值随角度的增大而减小.[师]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°=1比较特殊.[师]很好,掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、 45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算:(1)sin30°+cos45°;(2)sin 260°+cos 260°-tan45°.分析:本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin 260°表示(sin60°)2,cos 260°表示(cos60°)2.解:(1)sin30°+cos45°=2212221+=+, (2)sin 260°+cos 260°-tan45° =(23)2+(21)2-1 =43 +41-1 =0.[例2]一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m ,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析:引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解:根据题意(如图)可知,∠BOD=60°, OB=OA =OD=2.5 m , ∠AOD =21×60°=30°, ∴OC=OD ·cos30° =2.5×23≈2.165(m). ∴AC =2.5-2.165≈0.34(m).所以,最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m. Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算:(1)sin60°-tan45°; (2)cos60°+tan60°; (3)22sin45°+sin60°-2cos45°. 解:(1)原式=23-1=223-;(2)原式=21+=23213+=(3)原式=22×22+23×22; =22231-+2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°.高为7 m ,扶梯的长度是多少? 解:扶梯的长度为21730sin 7=︒=14(m),所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结本节课总结如下:(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°=21,sin45°=22,sin60°=23;cos30°=23,cos45°= 22,cos60°=21;tan30°=33,tan45° =1,tan60°=3.(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业习题1.3第1、2题 Ⅵ.活动与探究(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB =CD=30 m ,两楼问的距离AC=24 m ,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ,2≈1.41,3≈1.73)[过程]根据题意,将实际问题转化为数学问题,当光线从楼顶E ,直射到乙楼D 点,D 点向下便接受不到光线,过D 作DB ⊥AE(甲楼).在Rt △BDE 中.BD=AC =24 m ,∠EDB =30°.可求出BE ,由于甲、乙楼一样高,所以DF=BE. [结果]在Kt △BDE 中,BE=DB ·tan30°=24×33=83m. ∵DF =BE ,∴DF=83≈8×1.73=13.84(m).甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m). 板书设计§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识:含30°的直角三角形中,30°角 的对边等于斜边的一半.含45°的直角三角形是等腰直角三角形.2.30°,45°,60°角的三角函数值列表如下:三角函数角角αsin αco αtan α30°21 23 33二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.三、实际应用备课资料参考练习1.(2003年北京石景山)计算:13230sin 1+-︒. 答案:3-32.(2003年北京崇文)汁算:(2+1)-1+2sin30°-8 答案:-23.(2003年广东梅州)计算:(1+2)0-|1-sin30°|1+(21)-1. 答案:25 4. (2003 年广西)计算:sin60°+︒-60tan 11 答案:-21 5.(2003年内蒙古赤峰)计算;2-3-(0032+π)0-cos60°-211-. 答案:-283+30°、45°、60°角的三角函数值同步练习一、单选题1、计算sin45°的结果等于( )A、 B、1 C、 D、2、已知tan,则锐角α的度数是()A、60°B、45°C、50°D、75°3、在实数π、、、sin30°,无理数的个数为( )A、1B、2C、3D、44、在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sinA=,cosB=,则此三角形是()A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、形状不能确定5、如果∠a是等腰直角三角形的一个锐角,则tana的值是()A、B、 C、1 D、6、点M(-sin60°,cos60°)关于x轴对称的点的坐标是()A、(,)B、(-,-)C、(-,)D、(-,-)7、△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且有,则△ABC是()A、直角(不等腰)三角形B、等腰直角三角形C、等腰(不等边)三角形D、等边三角形8、已知α为锐角,且tan(90°-α)=,则α的度数为()A、30°B、60°C、45°D、75°9、在△ABC中,∠C =90o,若cosB= ,则∠B的值为().A、 B、 C、 D、10、在△ABC中,若角A,B满足|cosA﹣|+(1﹣tanB)2=0,则∠C的大小是()A、45°B、60°C、75°D、105°11、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为()A、1B、C、D、12、若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为()A、 B、 C、 D、13、关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根,则锐角α等于()A、15°B、30°C、45°D、60°14、如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是( )A、 B、 C、 D、315、如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B 的坐标为(3,),点C的坐标为(,0),点P为斜边OB上的一动点,则PA+PC的最小值为( )A、 B C、 D、216..若α为锐角,且sinα=45,则tanα为()A.925B.35C.34D.43二、填空题17、计算=________ .18、在Rt△ABC中,∠C=90°,如果3a=b,那么sinA=________19、如图,在正六边形ABCDEF中,连接AE,则tan∠1=________.20、若tanα•tan35°=1,且α为锐角,则α=________;若sin2α+sin237°=1,则锐角α=________21、已知α、β均为锐角,且满足|sinα﹣|+=0,则α+β=________22.如图所示,在△ABC中,∠A=30°,tan B=32,AC=23,则AB的长是_________ 23.计算(1)sin 60°·cos 30°-12. (2) 2 cos230°-2 sin 60°·cos 45°;(3) 2 sin30°-3 tan 45°+4 cos 60°;(4)﹣2cos30°+()﹣2﹣|1﹣|.24.如图所示,在Rt△ACB中,∠BCA=90°,CD是斜边上的高,∠ACD=30°,AD=1,求AC,CD,BC,BD,AB的长.25、已知[4(xy﹣1)2﹣(xy+2)(2﹣xy)]÷xy,其中x=(﹣cos60°)﹣1,y=﹣si n30°.26、化简方程:(2-x x﹣x+2)÷2-x44x,其中x=3tan30°﹣(3.14﹣π)0.227、先化简,再求代数式(﹣)÷ 的值,其中a=2sin60°+tan45°.28、如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点.(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;(2)若∠A=60°,AB=2AD=4,求BD的长.答案部分一、单选题1、【答案】B2、【答案】C3、【答案】B4、【答案】C5、【答案】C6、【答案】B7、【答案】B8、【答案】A9、【答案】A10、【答案】D11、【答案】A12、【答案】C13、【答案】B14、【答案】C15、【答案】B二、填空题16、【答案】17、【答案】18、【答案】19、【答案】55°;53°20、【答案】75°三、解答题21、【答案】解:原式=3﹣2×+4﹣(﹣1),=3﹣+4﹣+1,=+5.22、【答案】解:∵x=(﹣cos60°)﹣1=(﹣)﹣1=﹣2,y=﹣sin30°=﹣,∴[4(xy﹣1)2﹣(xy+2)(2﹣xy)]÷xy=[4(x2y2﹣2xy+1)﹣(22﹣x2y2)]•=(4x2y2﹣8xy+4﹣4+x2y2)=(5x2y2﹣8xy)=20xy﹣32=20×(﹣2)×(﹣)﹣32=﹣12.23、【答案】解:原式=÷=×=,当x=3×﹣1=﹣1时,原式==1﹣.24、【答案】解:原式=[ ﹣]•(a+1)= •(a+1)= •(a+1)= •(a+1)= ,当a=2sin60°+tan45°=2× +1= +1时,原式= = .25、【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB‖CD且AB=CD,∵E,F分别是AB,CD的中点,∴AE=AB , DF=DC∴AE=DF,∴四边形AEFD是平行四边形;(2)解:过点D作DG⊥AB于点G.∵AB=2AD=4,∴AD=2.在Rt△AGD中,∵∠AGD=90°,∠A=60°,AD=2,∴AG=AD×cos60°=1 ,DG=AD×sin60°=∴BG=AB-AG=3在Rt△DGB中,∵∠DGB=90°,DG=,BG=3, ∴BD===。
人教版九年级下《28.1.3特殊角的三角函数值》学案(含答案)
28.1.3 特殊角的三角函数值学案一、新课导入1.课题导入情景:出示一副三角尺,老师手中的两块三角尺中有几个不同的锐角?问题:分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.本节课我们学习30°,45°,60°角的三角函数值.(板书课题)2.学习目标(1)推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值.(2)能运用30°,45°,60°角的三角函数值进行简单的计算.(3)能由30°,45°,60°角的三角函数值求对应的锐角.3.学习重、难点重点:推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值.难点:相关运算.二、分层学习1.自学指导(1)自学内容:教材P65探究~P66例3上面的内容.(2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:完成探究提纲.②通过计算,得到30°,45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值如下表:③观察上表,sin30°,sin45°,sin60°的值有什么规律?cos30°,cos45°,cos60°呢?tan30°,tan45°,tan60°呢?2.自学:学生可参考自学指导进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:明了学生能否推导30°,45°,60°角的三角函数值.②差异指导:根据学情进行针对性指导.(2)生助生:小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化:特殊角的三角函数值的推导和记忆以及30°,45°,60°角的正弦值、余弦值、正切值的变化规律.第二层次学习1.自学指导(1)自学内容:教材P66例3~P67练习上面的内容.(2)自学时间:10分钟.(3)自学方法:先自主学习,再同桌之间讨论交流,互相纠错.(4)自学参考提纲:①含30°,45°,60°角的三角函数值的计算题的解题要点是什么?熟练掌握特殊锐角的三角函数值.②求直角三角形中某锐角的解题要点是什么?先求该锐角的正弦值或余弦值或正切值,然后根据特殊锐角的三角函数值求该锐角的度数.③求下列各式的值:a.1-2sin30°cos30°;b.3tan30°-tan45°+2sin60°;=-1.c.(cos230°+sin230°)×tan60°.2.自学:学生可结合自学指导进行自学.3.助学(1)师助生:①明了学情:明了学生对特殊角的三角函数值表的掌握情况.②差异指导:根据学情指导学生记忆或推导特殊角的三角函数值.(2)生助生:小组交流、研讨.4.强化(1)求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它转化为实数的运算,再根据实数的运算法则计算.(2)求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余弦值或正切值,然后对应特殊锐角的三角函数值求角的度数.(3)当A、B为锐角时,若A≠B,则sin A≠sin B,cos A≠cos B,tan A≠tanB.三、评价1.学生自我评价:这节课你学到了什么?还有什么疑惑?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:根据学生的情感态度和学习效果等方面进行评价.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本课时中的特殊角是指30°,45°,60°的角,课堂上采用“自主探究”的形式,给学生自主动手的时间并提供创新的空间与可能,再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会,培养学生独立探究和合作的能力.本节课的最终教学目的是让学生理解并掌握30°,45°,60°角的三角函数值,并且能够熟记其函数值,然后利用它们进行计算.评价作业一、基础巩固(70分)3.(40分)求下列各式的值.(1)sin45°+cos45°;=2.(2)sin45°cos60°-cos45°;(3)cos245°+tan60°cos30°;=2.(4)1-cos30°sin60°+tan30°.的度数.∵∠B 是锐角且tan B =1,∴∠B =45°.∴∠C =180°-∠A -∠B =75°.二、综合应用(20分)是(D )A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形6.(10分)如图,△ABC 内接于⊙O ,AB ,CD 为⊙O 的直径,D E ⊥AB 于点E ,三、拓展延伸(10分)7.(10分)对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sinα=sin(180°-α),cosα=-cos(180°-α).(1)求sin 120°,cos 120°,sin 150°的值;(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4,A,B是这个三角形的两个顶点,sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,求m的值及∠A 和∠B的大小.解:∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4,∴三角形三个内角度数分别为30°,30°,120°.∴∠A=30°或120°,∠B=30°或120°.又∵sin A,cos B是方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根,。
三角函数化简题
例3.已知,求的值.
解:由题意,,
∴原式.
例4.已知,求的值.
解:∵,,
∴,
得,若,则,
若,无意义.
说明:角的和、差、倍、半具有相对性,如,,等,解题过程中应充分利用这种变形.
例5.已知关于的方程的两根为,
求:(1)的值;(2)的值;(3)方程的两根及此时的值.
①
②
解:(1)由根与系数的关系,得,
3、三角等式的证明:(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”;(2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明。
主要方法1.三角函数的求值:
1.寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;
给出某些角的三角函数式的值求另外一些角的三角函数值解题的关键在于变角如等把所求角用含已知角的式子表示求解时要注意角的范围的讨论
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三角函数化简题
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2、三角函数的求值类型有三类:(1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论;(3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
高考常用特殊函数知识点
高考常用特殊函数知识点高中的时候,一提到数学,特别是那些特殊函数的知识点,那可真是让人又爱又恨。
咱就先说说幂函数吧。
幂函数这玩意儿,形式简单得很,y =x^a ,但它的性质可多了去了。
就拿指数为正数和负数来说,那表现简直是天差地别。
当指数大于 0 的时候,函数在定义域内单调递增,图像那叫一个顺畅,从左到右一路上扬。
就像我有次参加运动会跑步,一开始慢慢加速,然后越跑越快,一路冲向终点,那感觉和幂函数指数大于 0 时的增长简直如出一辙。
而当指数小于0 呢,这函数就变得调皮了。
它在定义域内单调递减,图像从右往左一路下滑。
这就好比我吃冰淇淋,吃得太快,越吃越少,到最后都没了,心里那个失落呀。
再来说说指数函数,y = a^x ,这里的 a 还得大于 0 且不等于 1 。
当 a 大于 1 时,函数单调递增,增长速度那叫一个快。
我记得有次和同学比赛背单词,我每天多背几个,积累得越来越多,就像指数函数增长一样,越来越厉害。
要是 0 < a < 1 ,函数单调递减,增长速度就慢下来了。
这就像我存钱,每天存的不多,增长得慢悠悠的,着急也没办法。
还有对数函数,这也是个让人头疼又有趣的家伙。
对数函数和指数函数就像是一对欢喜冤家,相互关联。
我在解那些对数函数的题目时,经常要在脑海里把指数函数的性质翻出来对比一下。
比如说,logₐx ,当 a 大于 1 时,函数单调递增。
这感觉就像是我爬楼梯,越爬越高,越来越费劲,但也越来越有成就感。
而当 a 在 0 到 1 之间时,函数单调递减。
这就像我下楼,轻松是轻松了,可心里总有点空荡荡的。
在学习这些特殊函数的时候,我可没少下功夫。
每天都在那些练习题里摸爬滚打,有时候一道题做不出来,急得抓耳挠腮。
我还记得有一次,为了搞清楚一个幂函数的图像问题,我在草稿纸上画了一遍又一遍,满桌子都是我的涂鸦,就跟个小画家似的。
老师在讲台上讲得口沫横飞,我在下面听得聚精会神,眼睛都不敢眨一下,生怕错过了什么关键的知识点。
数理方程特殊函数非齐次边界条件定解问题求解
sin sin
n1 (L)2 (na)2
L
L
原定解问题解为:
u(t,
x)
2aL
n1
(1)n1
(L)2 (n
a)2
sin
n at
L
sin
n x
L
sin
L
a
1
sin
x
a
16
2、特殊情形下齐次化方法
如果方程自由项和边界条件表达式均与t无关,则可以令:
u(x,t) V (x,t) W (x)
2 l
l 0
l2
32 2a2
sin
n
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l2
32 2a2
,
n
4
Dn
2
n a
l 0
sin
4
l
x sin
n
l
xdx
0, n 4
l
4
a
,
n
4
27
所以,定解问题的解为:
V
(
x,
t
)
l2 32 2a
2
cos
4 l
a
t
l 4
a
sin
4 l
a
t
sin
2、基本要求 :
叠加原理要能够使用,并能够定出固有值问题.
3、主要方法 :
(1)、最基本的分离变量求解(要求齐次方程和齐次边界条件或园 域上的周期性条件);
(2)、固有函数展开法(要求齐次边界条件或园域上的周期性条件)。
22
4、主要步骤 :
(1)、根据边界的形状选取适当的坐标系 。原则是使边界条件表 达式最简单。若边界是圆、扇形,柱形,球形,要使用极坐标, 柱面坐标和球坐标表示定解问题;
7.3特殊角的三角函数作业
7.3特殊角的三角函数主备:刘立华 审核:陈红芳1.下列等式成立的个数是( )① sin30°+sin30°=sin60°② 若cosA=sinB ,则∠A=∠B ,③若cosA=sin30°,则锐角A=60°④ sin60°+cos60°=2(sin30°+cos30°)A .0B . 1C .2D .32.在Rt △∠ABC 中,∠C=90°,若∠A=30°,那么sinA+cosB 的值是( )A .1B .213+ C .221+ D .41 3.已知cos 23=α,则锐角α=已知0)22)(cos 21(sin =--αα,则锐角α= 4.将 46cos ,41sin ,37cos ,21cos 的值,按由小到大的顺序排列是5如图,在三角形纸片ABC 中,∠C=90°,AC=6,折叠该纸片,使点C 落在AB 边上的D 点处,折痕BE 与AC 交于点E ,若AD=BD ,则折痕BE 的长为 .6.若900,22sin <<=θθ,则θ= 7.求下列各式的值(1)30sin 60sin 30cos 60cos +(2)45sin 260sin 3+(3) 6tan45°-2cos60° (4)22)130(cos -(5) |﹣|+(2013﹣)0﹣()﹣1﹣2sin60°.(6)11()3tan 301(3)2π-+︒---︒8.在△ABC 中,∠A 、∠C 均为锐角,且有0)3sin 2(|3tan |2=-+-A B ,试确定△ABC 的形状。
9.设直线13+=x y 与x 轴所成的锐角为α,试求锐角α的值。
10.如图,在直角平面坐标系xOy 中,正方形OABC 的边长为2cm , 30=∠AOy 。
(1) 求出点A 和点C 的坐标。
三角函数化简练习题及答案
三角函数化简练习题及答案1.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简和恒等式证明2.掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。
1.cosαcosβ=sinαcosβ=2.sinθ+sinφ= ;sinθ-sinφ= ;cosθ+cosφ= ; cosθ-cosφ=1cos2a1.已知tan ? ? ,则sin2a?2的值是4cos2a-4sin2a5A.B.?22C. 1D.?114142.?sin22?cos4等于A.C. sin B.D.4?cos?3coscos. 1 a等于 cosa-sina?sin2asinA.C. cosa sina B. cos2aD sin2a4.化简2?sin4?2?2cos4的结果是sin? sin?]可化简为. ? ?)cosa ?[sin?sin?B. ?sinC. sin?D. 0?)??)等于.化简4北京一对一上门家教品牌家教电话:010—6256125 xx??x2xx A. tanx B.tanxtan2tan222cos100-sin200的值是 D.1 A. C.2. tan700?cos100等于化简 ??a?cos?a-cos?a10. cos sina a?sin???11.如果tana,tna?是方程x2?3x?3?0两根,则。
cossin12.2cos2a?1化简2?a)sin24413.求证: sinsin??2cos?sina sina1214.讨论函数f?cos?cos??2coscosxcos?的值域、周期性、2奇偶性及单调性北京一对一上门家教品牌家教电话:010—6256125515.设sin??msin?2?????m?0?,????k??k?z?,求证:tan??????无论是化简还是证明都要注意:角度的特点函数名的特点化切为弦是常用手段升降幂公式的灵活应用1?mtan? 1?m3.2.2三角函数化简及证明111.[cos+cos];[sin+sin];22.2sin3.2cos???2coscos???22;2cos;-2sin???22sinsin???22; ???2?????????1.C2.D3.B4.2sin25.C.6.B北京一对一上门家教品牌家教电话:010—62561255 7.C8.C9.-210.cos?11.?12.cos2a?1-a)??cos2=2cosa?113. ?a)?-a)442cos2a-1cos2a? ? 1 cos2acos2a2证明∵sin?2cossina=sin[?a]?2cossina=sincosa?cossina?2cossina=sincosa?cossina=sin[-a]=sin?.sinsin?两边同除以sina?2cos=.sinasina12214.解:f?[2cos?1]?cos??2coscosxcos?12 =cos??2coscosxcos??cos?12=cos[cos?2cosxcos?]?cos??12=cos[sinxsin??cosxcos?]?cos??11=cos[?cos]?cos2? ??cos2x211∴f的值域为[?,],周期为π,是偶函数,2??当x?[k?,k??]时f是增函数,当x?[k??,k?]时f是减函22北京一对一上门家教品牌家教电话:010—62561255 数。
(新)冀教版四年级数学上册《用特殊方法解决问题》配套练习(附答案)
3.4 用特殊方法解决问题⏹教学内容教材第32、33页用特殊方法解决问题⏹教学提示教学中必须充分利用学生已有的生活经验,随时引导学生把所学的知识应用到现实中去。
要给学生充分独立思考和交流的时间,鼓励学生进行简单的有条理的思考,发展其初步的推理能力。
例5的教学,师生要探究讨论丫丫的算法,为什么把亮亮比红红多的本数除以2,就是亮亮应给红红的本数。
例6的教学,要让学生充分的讨论,达成把两组物品中同样的东西拿掉,就可以先出3双袜子的总价,再求出手套的单价,重点要交流讨论的思路和计算的方法。
⏹教学目标知识与能力1、会解答“移多补少”和“已知总量求部分量”问题,能比较清楚地表达思考的过程和结果。
2、愿意独立思考并尝试解答问题,体会解决问题的数学基本思想。
过程与方法经历数字信息的过程,运用数学方法解题,培养函数、代换思维观念。
情感、态度与价值观能对现实生活中的问题做出合理解释,并能运用数学方法加以解决,获得成功的体验。
⏹重点、难点重点理解并掌握解决“移多补少”和“已知部分和,求单一量”问题的策略和方法。
难点理解并掌握解决“移多补少”和“已知部分和,求单一量”问题的策略和方法。
⏹教学准备教师准备:多媒体课件、卡片等学生准备:卡片等教学过程(一)新课导入谈话导入,揭示课题。
师:数学与日常生活密切相关,生活中有许多实际问题可以借助数学方法来解决,并可以借助数学语言来表述和交流。
这一节课,老师就带领同学们走进今天的课堂,经历用数学方法解决一些生活中出现的有趣问题的过程。
(板书课题:用特殊方法解决问题)设计意图:从生活语言入手,解决生活中的数学问题,直奔今天的学习主题--用特殊方法解决问题。
(二)探究新知1、教学“移多补少”问题。
例:要使两个人的书同样多,亮亮要给红红几本书?(课件出示情境图)师:从图中你能了解到哪些信息?生1:亮亮有9本书,红红有5本书。
生2:亮亮的书比红红的多。
师:要使两个人的书两样多,亮亮要给红红几本书?(建议:可以用卡片代替书,同桌合作,分一分。
特殊角的三角函数及用计算机的计算
28.1.3锐角三角函数一、教学目标1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数。
2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式。
3.让学生经历观察、操作等过程,知道特殊三角函数值,从事锐角三角函数基本性质的探索活动,进一步发展空间观察,增强审美意识。
二、教学问题诊断无论直角三角形的大小如何,角所对的边与斜边的比总是一个常数,这种角与数之间的对应关系,以及用含有几个字母的符号 sinA 、 cosA 、 tanA 表示函数等,体现了函数的对应的思想,在本章学生首次接触到以角度为自变量的三角函数,初学者不易理解因此对学生来讲有一定的难度。
基于上述分析我把本节课的教学难点设定为:掌握30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程。
三、教学支持条件运用多媒体进行辅助教学,既直观、生动地反映图形变化,增强教学的形象性,又丰富课堂的内容,以利于突出重点、分散难点,更好地提高课堂效率。
四、教学方法讲课时应注意,只有让学生正确理解锐角三角函数的概念,才能掌握直角三角形边与角之间的关系,才能运用这些关系解直角三角形。
故教学中应注意以下几点:1.突出学数学、用数学的意识与过程。
三角函数的应用尽量和实际问题联系起来,减少单纯解直角三角形的问题。
2.在呈现方式上,突出实践性与研究性,三角函数的意义要通过问题经出,•再加以探索认识。
3.对实际问题,注意联系生活实际。
4.适度增加训练学生逻辑思维的习题,减少机械操作性习题,•增加探索性问题的比重。
五、教学过程(一)复习旧知、引入新课问题1.同学们,还记得正弦、余弦、正切的概念吗?如何结合图形加以描述?教师活动:活动1:组织学生回顾、交流问题1。
活动2:利用课件为学生演示三种三角函数。
学生活动:活动1:思考问题1。
活动2:学生代表结合教师课件进行回顾。
28.1 锐角三角函数 题目
足 3tan 数。 3、在Rt△ABC中,∠C=90°,化简
2
-4tan + 3 =0 ,求α的度
1-2sinAcosA
知识回顾 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,则
AB= 5 ,sinA = 3 tanA = 4 .
cosB=
5
3 5
, cosA=
A
D
C
E
B
你能利用直角三角形的三边关系得到 sinA的取值范围吗?
0<sin A<1
正弦函数 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作 B sinA 即
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A
c
a 对边 C
b
例如,当∠A=30°时,我们有
c a A b ┌ C
300
450
450
┌
600
┌
P13 习题1.3 3题
独立 作业
3.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为 5m,那么这棵树大约有多高?
做一做P8 6
知识的内在联系
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10, cos 求:AB,sinB. 怎样 思考?
cos45 tan45 (2) sin 45
(3)tan450.sin450-4sin300.cos450+cos2300
练习
1.求下列各式的值: (1)1-2 sin30°cos30° (2)3tan30°-tan45°+2sin60°
cos60 1 (3) 1 sin 60 tan30
高一数学函数图像试题答案及解析
高一数学函数图像试题答案及解析1.一高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为V,则函数的大致图象可能是( )【答案】B【解析】根据题目所给鱼缸图形可以分析出:水深的变换是开始快,中间慢,最后快,所以答案是B.【考点】函数图像问题.2.关于的方程:有两个实数根,则实数的取值范围()A.B.C.D.【答案】D【解析】方程可化为,进而整理得,令,,则原方程有两个实数根,即函数与的图象有两个公共点.由图象可以看出,要满足条件,只需,即即可.【考点】1.函数的图象;2.简单不等式的求解.3.偶函数与奇函数的定义域均为,在,在上的图象如图,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】C【解析】是偶函数,偶函数的图像关于轴对称,结合图像知的解集,的解集;是奇函数,奇函数的图像关于原点对称,结合图像知的解集,的解集;等价于或,所以解集为,故选C.【考点】1.函数的图像;2.函数的奇偶性.4.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程关于时间的函数关系式分别为,,,,有以下结论:①当时,甲走在最前面;②当时,乙走在最前面;③当时,丁走在最前面,当时,丁走在最后面;④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲.其中,正确结论的序号为(把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】画出四个函数的图像,由图像可知①②错,共有三个交点,当时,乙走在最前面,当时,甲走在最前面;由图像知③④⑤正确;【考点】函数图像的应用5.函数(且)的图象必经过定点P,则点P的坐标为 .【答案】(2,0)【解析】求函数过定点问题可有两个思路,一是几何方法,从函数图像出发,找出定点,因为对数函数过定点,所以过定点(2,0),这是因为函数向右平移一个单位就得到,二是代数方法,从函数解析式出发,研究什么点的取值与无关,由知当取1,即取2时,恒等于0,即点(2,0)恒在函数上.【考点】函数过定点问题,函数图像变换.6.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数与听课时间(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图像,当时,图像是二次函数图像的一部分,其中顶点,过点;当时,图像是线段,其中,根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.(1)试求的函数关系式;(2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.【答案】(1);(2)老师在时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳.【解析】(1)这是分段函数的解析式的求解问题,采用分段求解的方法:在时,该图像是二次函数的图像,设这个二次函数的顶点式方程即,由点,可求出的值;在时,由点可求出直线的方程,最后写出函数的解析式即可;(2)求解不等式即或即可得到老师安排核心内容的时间段.试题解析:(1)当时,设 1分因为这时图像过点,代入得所以 3分当时,设,过点得,即 6分故所求函数的关系式为 7分(2)由题意得或 9分得或,即 11分则老师就在时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳 12分.【考点】1.函数的实际应用问题;2.分段函数解析式的求解问题;3一次函数与二次函数的图像与性质;4.一次不等式与二次不等式.7.已知函数,不等式对任意实数恒成立,则的最小值是 .【答案】【解析】由分析可知要想恒成立,只能,因为,所以最小值为【考点】函数图像绝,对值不等式8.函数的图象与函数图象交点的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像由上图可知可知有3个交点,故选C.【考点】函数图象的交点.9.对于函数,下列结论中正确的是:()A.当上单调递减B.当上单调递减C.当上单调递增D.上单调递增【答案】A【解析】因为,所以当时,则,又,所以在区间上单调递减.【考点】分段函数的性质和图象.10.同时满足以下三个条件的函数是()①图像过点;②在区间上单调递减③是偶函数.A.B.C.D.【答案】C【解析】选项A中,函数对称轴为x=-1,所以不是偶函数,排除A;选项B中,函数在区间上单调递增,排除B;选项D中,函数图像不过点,排除D.故选择C.【考点】函数的图像和性质.11.已知函数若函数有三个零点,则实数的取值范围是.【答案】【解析】画出函数f(x)图像如上图所示,而函数有三个零点,即有三个根,所以有三个根,也就是说函数与函数的图像有三个交点,利用数形结合的方法可知:,解得.【考点】数形结合的思想方法.12.下列四个图像中,不可能是函数图像的是 ( )【答案】B【解析】根据题意,对于选项A,对于任意的x ,有唯一确定的y与其对应,故成立,对于B,由于一个x,有两个y对应,不成立,对于C,由于满足对于任意的x ,有唯一确定的y与其对应,因此是函数图像,对于D,也是做一条垂直x轴的直线,交点至多一个即可,故选B.【考点】函数图像点评:本题主要考查函数的定义,函数的图象特征,属于基础题.13.函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极大值()A.1个B.4个C.3个D.2个【答案】D【解析】画出函数的图像如下:由图像知,函数在开区间内有2个极大值。
特殊角的三角函数值典型例题
作业: 归纳结果 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA当锐角α越来越大时,α的正切值越来___________,α的余切值越来___________. 1:求下列各式的值.(1)cos 260°+sin 260°. (2)cos 45sin 45︒︒-tan45°.2:(1)如图(1),在Rt △ABC 中,∠C=90,63A 的度数.(2)如图(2),已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a .一、应用新知:1.(1)(sin60°-tan30°)cos45°=.(2)若0sin 23=-α,则锐角α=.2.在△ABC 中,∠A=75°,2cosB=2,则tanC=. 3.求下列各式的值.(1)o 45cos 230sin 2-︒ (2)tan30°-sin60°·sin30°(3)cos45°+3tan30°+cos30°+2sin60°-2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 2224.求适合下列条件的锐角α . (1)21cos =α (2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α(5) (6)6.如图,在△ABC 中,已知BC=1+ ,∠B=60°,∠C=45°,求AB 的长.7.在△ABC 中,∠A 、∠B 为锐角,且有 ,则△ABC 的 形状是________________.8. 在△ABC 中,∠C=90°,sinA= ,则cosB=_______,tanB=_______ 9.已知α为锐角,且sin α=53,则sin(90°-α)=_ 二、选择题.1.已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=35,AB=15,则AC 的长是( ).A .3B .6C .9D .12 2.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是( ).|tanB-3|+(2sinA-3)2=002sin 2=-α01tan 3=-α3A .2B 32.13.已知∠A 为锐角,且cosA ≤12,那么( )A .0°<∠A ≤60°B .60°≤∠A<90°C .0°<∠A ≤30°D .30°≤∠A<90°4.在△ABC 中,∠A 、∠B 都是锐角,且sinA=12 ,cosB=32,则△ABC 的形状是( )A .直角三角形B .钝角三角形C .锐角三角形D .不能确定5.如图Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,BC=3,AC=4,设∠BCD=a ,则tanA•的值为( ).A .34B .43C .35D .45 6.在△ABC 中,三边之比为a :b :c=1:32,则sinA+tanA 等于( ).A .32313331.32B C D ++7.若(3tanA-3)2+│2cosB-3│=0,则△ABC ( ). A .是直角三角形 B .是等边三角形C .是含有60°的任意三角形D .是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题.1.已知,等腰△ABC•的腰长为43,•底为30•°,•则底边上的高为_____,•周长为___.2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,已知tanB=52,则cosA=________.3.已知:α是锐角,tan α=724,则sin α=_____,cos α=_______ 四、计算: (5)sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒-sin60°(1-sin30°).(6)sin 45tan 30tan 60︒︒-︒+cos45°·cos30°(7)11(32)4cos30|123-⎛⎫++-- ⎪⎝⎭°(8)2cos 602sin 302︒︒-;◆拓展训练在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,•根据勾股定理有公式a 2+b 2=c 2,根据三角函数的概念有sinA=ac,cosA=b c ,sin2A+cos2A=2222222a b a bc c c++==1,sincosAA=ac÷bc=ab=tanA,•其中sin2A+cos2A=1,sin cos AA=tanA可作为公式来用.例如,△ABC中,∠C=90°,sinA=45,求cosA,tanA的值.。
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1
④ − nJ n ( x) + xJ n ' ( x) = − xJ n +1 ( x )
x
解:若ν 为整数,贝塞尔函数有如下母函数关系式: e 2 ①此母函数关系式两边对参数 t 求导,得,
∞ x 1 (t − ) (1 + 2 )e 2 t = ∑ nt n −1 J n ( x ) t 2 n = −∞ ∞ x 1 ∞ (1 + 2 ) ∑ J n ( x)t n = ∑ nt n −1 J n ( x)t n 2 t n = −∞ n = −∞ ∞ x ∞ x ∞ n n−2 J ( x ) t + J ( x ) t = nt n −1 J n ( x ) ∑ ∑ ∑ n n 2 n = −∞ 2 n = −∞ n = −∞ x 1
(2) ∫ x Pl ( x) Pl +1 ( x)dx
−1
1
解:根据勒让德多项式的递推关系 (l + 1) Pl +1 ( x ) − (2l + 1) xPl ( x ) + lPl −1 ( x ) = 0 知 xPl ( x ) = l l +1 Pl −1 + Pl +1 2l + 1 2l + 1
(−1)k x ( ) 2 k + n (−1) 2k + n (2) J n (− x ) = ∑ k = n k!Γ( n + k + 1) 2 = (−1)n ∑ (−1)k x ( )2 k + n = (−1)n J n ( x ) k = n k!Γ( n + k + 1) 2
∞
二.P299.
1 −1
xPl + 2 ( x ) =
则根据勒让德多项式的正交归一性质 ∫ Pl ( x ) Pk ( x)dx =
2 δ kl ,有 2l + 1
∫
1
−1
x 2 Pl ( x ) Pl + 2 ( x)dx = ∫
1
−1
l +1 l+2 l +1 l+2 2 ⋅ ⋅ Pl +1 ⋅ Pl +1 = ⋅ ⋅ 2l + 1 2(l + 2) + 1 2l + 1 2(l + 2) + 1 2(l + 1) + 1
1 (t − ) t
=
n = −∞
∑J
∞
n
( x )t n
即
上式即:
比较两边 t n −1 的系数,得, x x J n −1 ( x) + J n +1 ( x ) = nJ n ( x ) 2 2 即 J n −1 ( x ) + J n +1 ( x ) = 2n J n ( x) x
②此母函数关系式两边对 x 求导,得,
比较两边 t n 的系数,得 1 1 J n −1 ( x ) − J n +1 ( x ) = J n ' ( x ) 即 J n −1 ( x ) − J n +1 ( x ) = 2 J 'n ( x) 2 2 J ( x ) − J n +1 ( x ) ③: 由②式得 J n ' ( x) = n −1 ...................................(5) 2 2n 而由①式得: J n +1 ( x ) = J n ( x) − J n −1 ( x).............................(6) x 将(6)代入(5)即得③式: nJ n ( x ) + xJ n ' ( x ) = xJ n −1 ( x) ④: 由①式得 n J n ( x) + J n ' ( x) = J n −1 ( x)...........................(7) x
解:勒让德多项式的定义式为: (−1) (2l − 2n)! x − 2 n Pl ( x ) = ∑ l x n = 0 n!2 (l − n)!(l − 2 n)!
n l [ ] 2
l l [ ] = 2 2 l − 1 2
当l为偶数 当l为奇数
l = 0 时, n = 0 ,代入 l 阶勒让德多项式的定义式得 P0 ( x ) = 1 l = 1 时, n = 0 ,代入 l 阶勒让德多项式的定义式得 P 1 ( x) = x l = 2 时, n = 0 ,1,勒让德多项式有两项,分别对应 l = 2, n = 0 和 l = 2, n = 1 1 代入 l 阶勒让德多项式的定义式得 P2 ( x) = (3 x 2 − 1) 2 l = 3 时, n = 0 ,1,勒让德多项式有两项,分别对应 l = 3, n = 0 和 l = 3, n = 1 1 代入 l 阶勒让德多项式的定义式得 P3 ( x) = (5 x 3 − 3x ) 2
(4) ∫ e − ax J 0 (bx )dx
0
∞
a, b为实数,a > 0 1 2π
解:根据 Bessel 函数的积分表达式(P294) : J n ( x) =
∫
π
−π
ei ( x sin θ − nθ ) dθ 1 2π
∫
∞
0
e − ax J 0 (bx )dx = ∫ e − ax
0
∞
1 2π
π
−π
1 1 dθ = a − ib sin θ 2π
∫
| z | =1
1 dz 1 1 =− ∫ dz 2 2 | z | = 1 b( z − 1) iz πi bz − 2az − b a− 2z
被积函数的奇点为: z1 =
a 1 2 a 1 2 a + b 2 , z2 = + a + b2 − b b b b
1 −1
则根据勒让德多项式的正交归一性质 ∫ Pl ( x ) Pk ( x)dx =
2 δ kl ,有 2l + 1 1 1 l +1 l +1 2 x P ( x ) P ( x ) dx = l l + 1 ∫−1 ∫−1 2l + 1 ⋅ Pl +1 ( x) ⋅ Pl +1 ( x)dx = 2l + 1 ⋅ 2l + 1
1; 8(1) (2) (4)
P299. 1.若ν = n ,用母函数关系式证明递推公式: : ① J n −1 ( x ) + J n +1 ( x ) = 2n J n ( x) x
② J n − 1 ( x ) − J n + 1 ( x ) = 2 J 'n ( x ) 由以上递推关系导出如下递推关系: ③ nJ n ( x ) + xJ n ' ( x ) = xJ n −1 ( x)
将 x = 1 代入以上 P0 ( x );
P 1 ( x);
P2 ( x );
P3 ( x) 中,得到
P0 (1) = P 1 (1) = P 2 (1) = P 3 (1) = ... ≡ 1 四.由勒让德多项式的母函数关系式推出下列递推关系: 1. (l + 1) Pl +1 ( x ) − (2l + 1) xPl ( x ) + lPl −1 ( x ) = 0 2. (2l + 1) Pl ( x ) = P 'l +1 ( x ) − P'l −1 ( x) 此题请参考教材 P276 以及课件“勒让德多项式的性质” ,教材 P276 有 1 的详细 推导;课件中有 1 及 2 的详细推导。
3
其中 z1 在围道内。
res[
1 1 , z1 ] = − 2 bz − 2az − b 2 a + b2
2
所以, 原积分 = −
1 1 1 −1 1 dz = − ⋅ 2πi ⋅ = 2 ∫ πi | z | =1 bz − 2az − b πi 2 a 2 + b2 a 2 + b2
三. 根据勒让德多项式的定义式写出: P0 ( x); P 1 ( x); P2 ( x); P3 ( x); Pl (1)
∫
π
−π
eibx sin θ dθ dx =
1 2π
∫
π
−π
dθ ∫ e ( − a + ib sin θ ) x dx =
0
∞
∫
π
−π
1 dθ a − ib sin θ
这是三角函数有理式的积分, 令 z = eiθ , dθ = 1 2π 1 dz , iz sin θ = z2 −1 2iz
则
∫
∞ 1 1 (t − ) (t − )e 2 t = ∑ J n ' ( x )t n 2 t n = −∞ x 1 ∞ 1 1 ∞ 即 (t − ) ∑ J n ( x )t n = ∑ J n ' ( x)t n 2 t∞ J n ( x )t n +1 − ∑ J n ( x)t n −1 = ∑ J n ' ( x)t n ∑ 2 n = −∞ 2 n = −∞ n = −∞
当 n = 0 时, J 0 ( x ) =
∞
,则
∫
a
0
J 0 ( x )dx = ∫
a
0
∞ (−1)k x 2 k (−1) k 1 x 2 k +1 a ∞ (−1) k 1 a 2k +1 ( ) |0 = ∑ = dx ∑ ∑ 2 2k 2 2k (2k + 1) (2k + 1) k = 0 k!k! 2 k = 0 ( k!) 2 k = 0 ( k!) 2