特殊函数作业题解答

∫
π
−π
eibx sin θ dθ dx =
1 2π
∫
π
−π
dθ ∫ e ( − a + ib sin θ ) x dx =
0
∞
∫
π
−π
1 dθ a − ib sin θ
这是三角函数有理式的积分， 令 z = eiθ ， dθ = 1 2π 1 dz ， iz sin θ = z2 −1 2iz
则
∫
当 n = 0 时， J 0 ( x ) =
∞
，则
∫
a
0
J 0 ( x )dx = ∫
a
0
∞ (−1)k x 2 k (−1) k 1 x 2 k +1 a ∞ (−1) k 1 a 2k +1 ( ) |0 = ∑ = dx ∑ ∑ 2 2k 2 2k (2k + 1) (2k + 1) k = 0 k!k! 2 k = 0 ( k!) 2 k = 0 ( k!) 2
1 −1
xPl + 2 ( x ) =
则根据勒让德多项式的正交归一性质 ∫ Pl ( x ) Pk ( x)dx =
2 δ kl ，有 2l + 1
∫
1
−1
x 2 Pl ( x ) Pl + 2 ( x)dx = ∫
1
−1
l +1 l+2 l +1 l+2 2 ⋅ ⋅ Pl +1 ⋅ Pl +1 = ⋅ ⋅ 2l + 1 2(l + 2) + 1 2l + 1 2(l + 2) + 1 2(l + 1) + 1
特殊函数作业题解答
一.若 n 为整数，从贝塞儿函数定义式出发证明: 1. J − n ( x ) = (−1) n J n ( x) 2. J n (− x ) = (−1)n J n ( x ) 证明：已知贝塞尔函数的定义如下 Jγ ( x) = ∑ (−1)k x k = 0 k !Γ(γ + k + 1) 2
(−1)k x ( ) 2 k + n (−1) 2k + n （2） J n (− x ) = ∑ k = n k!Γ( n + k + 1) 2 = (−1)n ∑ (−1)k x ( )2 k + n = (−1)n J n ( x ) k = n k!Γ( n + k + 1) 2
∞
二.P299.
1; 8（1） （2） （4）
P299. 1．若ν = n ，用母函数关系式证明递推公式： ： ① J n −1 ( x ) + J n +1 ( x ) = 2n J n ( x) x
② J n − 1 ( x ) − J n + 1 ( x ) = 2 J 'n ( x ) 由以上递推关系导出如下递推关系： ③ nJ n ( x ) + xJ n ' ( x ) = xJ n −1 ( x)
令k − n = l ，
∞
J − n ( x) =
∞ (−1)n + l (−1)l x 2l + n x n ( ) ( 1 ) ( ) 2l + n = (−1)n J n ( x ) = − ∑ ∑ l = 0 (l + n )!Γ(l + 1) 2 l = 0 l!Γ(l + n + 1) 2 ∞
∞ 1 1 (t − ) (t − )e 2 t = ∑ J n ' ( x )t n 2 t n = −∞ x 1 ∞ 1 1 ∞ 即 (t − ) ∑ J n ( x )t n = ∑ J n ' ( x)t n 2 t n = −∞ n = −∞
ห้องสมุดไป่ตู้
上式为：
∞ 1 ∞ 1 ∞ J n ( x )t n +1 − ∑ J n ( x)t n −1 = ∑ J n ' ( x)t n ∑ 2 n = −∞ 2 n = −∞ n = −∞
比较两边 t n 的系数，得 1 1 J n −1 ( x ) − J n +1 ( x ) = J n ' ( x ) 即 J n −1 ( x ) − J n +1 ( x ) = 2 J 'n ( x) 2 2 J ( x ) − J n +1 ( x ) ③： 由②式得 J n ' ( x) = n −1 ...................................(5) 2 2n 而由①式得： J n +1 ( x ) = J n ( x) − J n −1 ( x).............................(6) x 将（6）代入（5）即得③式： nJ n ( x ) + xJ n ' ( x ) = xJ n −1 ( x) ④： 由①式得 n J n ( x) + J n ' ( x) = J n −1 ( x)...........................(7) x
解：勒让德多项式的定义式为： (−1) (2l − 2n)! x − 2 n Pl ( x ) = ∑ l x n = 0 n!2 (l − n)!(l − 2 n)!
n l [ ] 2
l l [ ] = 2 2 l − 1 2
当l为偶数 当l为奇数
l = 0 时， n = 0 ，代入 l 阶勒让德多项式的定义式得 P0 ( x ) = 1 l = 1 时， n = 0 ，代入 l 阶勒让德多项式的定义式得 P 1 ( x) = x l = 2 时， n = 0 ，1，勒让德多项式有两项，分别对应 l = 2, n = 0 和 l = 2, n = 1 1 代入 l 阶勒让德多项式的定义式得 P2 ( x) = (3 x 2 − 1) 2 l = 3 时， n = 0 ，1，勒让德多项式有两项，分别对应 l = 3, n = 0 和 l = 3, n = 1 1 代入 l 阶勒让德多项式的定义式得 P3 ( x) = (5 x 3 − 3x ) 2
（2） ∫ x Pl ( x) Pl +1 ( x)dx
−1
1
解：根据勒让德多项式的递推关系 (l + 1) Pl +1 ( x ) − (2l + 1) xPl ( x ) + lPl −1 ( x ) = 0 知 xPl ( x ) = l l +1 Pl −1 + Pl +1 2l + 1 2l + 1
3
其中 z1 在围道内。
res[
1 1 , z1 ] = − 2 bz − 2az − b 2 a + b2
2
所以， 原积分 = −
1 1 1 −1 1 dz = − ⋅ 2πi ⋅ = 2 ∫ πi | z | =1 bz − 2az − b πi 2 a 2 + b2 a 2 + b2
三. 根据勒让德多项式的定义式写出: P0 ( x); P 1 ( x); P2 ( x); P3 ( x); Pl (1)
1
④ − nJ n ( x) + xJ n ' ( x) = − xJ n +1 ( x )
x
解：若ν 为整数，贝塞尔函数有如下母函数关系式： e 2 ①此母函数关系式两边对参数 t 求导，得，
∞ x 1 (t − ) (1 + 2 )e 2 t = ∑ nt n −1 J n ( x ) t 2 n = −∞ ∞ x 1 ∞ (1 + 2 ) ∑ J n ( x)t n = ∑ nt n −1 J n ( x)t n 2 t n = −∞ n = −∞ ∞ x ∞ x ∞ n n−2 J ( x ) t + J ( x ) t = nt n −1 J n ( x ) ∑ ∑ ∑ n n 2 n = −∞ 2 n = −∞ n = −∞ x 1
将 x = 1 代入以上 P0 ( x );
P 1 ( x);
P2 ( x );
P3 ( x) 中，得到
P0 (1) = P 1 (1) = P 2 (1) = P 3 (1) = ... ≡ 1 四.由勒让德多项式的母函数关系式推出下列递推关系: 1. (l + 1) Pl +1 ( x ) − (2l + 1) xPl ( x ) + lPl −1 ( x ) = 0 2. (2l + 1) Pl ( x ) = P 'l +1 ( x ) − P'l −1 ( x) 此题请参考教材 P276 以及课件“勒让德多项式的性质” ，教材 P276 有 1 的详细 推导；课件中有 1 及 2 的详细推导。
将（7）式代入（5）式即得④式： − nJ n ( x) + xJ n ' ( x) = − xJ n +1 ( x )
P299.
8
2
计算含贝塞尔函数的积分： （1） ∫ x 4 J1 ( x )dx
0 a
解：根据递推关系
d n d [ x J n ( x)] = x n J n −1 ( x) ， [ x 2 J 2 ( x )] = x 2 J1 ( x ) dx dx a a a a 4 2 d 2 2 2 4 a 2 2 x J ( x ) dx = x [ x J ( x )] dx = x d [ x J ( x )] = x J ( x ) | − 1 2 2 2 0 ∫0 ∫0 dx ∫0 ∫0 x J 2 ( x)dx a a d a = a 4 J 2 (a) − 2 ∫ x 3 J 2 ( x)dx =a 4 J 2 (a ) − 2 ∫ [ x 3 J 3 ( x )]dx =a 4 J 2 (a ) − 2 x 3 J 3 ( x ) |0 0 0 dx = a 4 J 2 (a ) − 2a 3 J 3 (a)
1 (t − ) t
=
n = −∞
∑J
∞
n
( x )t n
即
上式即：
比较两边 t n −1 的系数，得， x x J n −1 ( x) + J n +1 ( x ) = nJ n ( x ) 2 2 即 J n −1 ( x ) + J n +1 ( x ) = 2n J n ( x) x
②此母函数关系式两边对 x 求导，得，
4
五. P280. 计算积分：
2
（1） ∫ x 2 Pl ( x ) Pl + 2 ( x )dx
−1
1
解：根据勒让德多项式的递推关系 (l + 1) Pl +1 ( x ) − (2l + 1) xPl ( x ) + lPl −1 ( x ) = 0 知， xPl ( x ) = l l +1 Pl +1 Pl −1 + 2l + 1 2l + 1 l + 2 +1 l+2 Pl + 3 Pl +1 + 2(l + 2) + 1 2(l + 2) + 1
（4） ∫ e − ax J 0 (bx )dx
0
∞
a, b为实数，a > 0 1 2π
解：根据 Bessel 函数的积分表达式（P294） ： J n ( x) =
∫
π
−π
ei ( x sin θ − nθ ) dθ 1 2π
∫
∞
0
e − ax J 0 (bx )dx = ∫ e − ax
0
∞
1 2π
1 −1
则根据勒让德多项式的正交归一性质 ∫ Pl ( x ) Pk ( x)dx =
2 δ kl ，有 2l + 1 1 1 l +1 l +1 2 x P ( x ) P ( x ) dx = l l + 1 ∫−1 ∫−1 2l + 1 ⋅ Pl +1 ( x) ⋅ Pl +1 ( x)dx = 2l + 1 ⋅ 2l + 1
∞ γ +2k
其中 Γ( x ) 是 Γ -函数，满足 （1） J − n ( x) =
∞ ∞
Γ(n + 1) = n! x
2k −n
(n > 0) 由 − n + k +1 > 0
知 k > n −1
∑ k!Γ(−n + k + 1) ( 2 )
k =0
(−1)k
故 J − n ( x) =
(−1)k x ( )2k −n ∑ k = n k!Γ( − n + k + 1) 2 即k = n+l 则
（2） ∫ J 0 ( x)dx
0
a
解：由贝塞尔函数的定义式： J n ( x) = ∑ (−1) k x ( )2 k + n ， k = 0 k!Γ( n + k + 1) 2
∞ ∞ x 2k (−1) k (−1) k x 2 k ( ) = ( ) ∑ ∑ k = 0 k!Γ ( k + 1) 2 k = 0 k!k! 2 ∞
π
−π
1 1 dθ = a − ib sin θ 2π
∫
| z | =1
1 dz 1 1 =− ∫ dz 2 2 | z | = 1 b( z − 1) iz πi bz − 2az − b a− 2z
被积函数的奇点为： z1 =
a 1 2 a 1 2 a + b 2 ， z2 = + a + b2 − b b b b