弹性力学-第三章_应变状态
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岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态
§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因
弹性力学-第三章-应变状态
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几使何用方张程量给符出号的，应几变何通方常程称可为以表工达程为应：变。ij
1 2
ui,j
uj,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。
设M点的坐标为（x，y，z）
与M点邻近的
位移（u，v，w）
N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
位移（u+du，v+dv，w+dw）
将几何方程
x
u, x
y
v y
,
z
w z
,
中的第 1，2，4 式：
xy
vu, x y
yz
wv, y z
zx
uw z x
作如下求偏导运算：
2 x
y 2
3u xy 2
2 y
x2
3v x2y
2 xy
xy
2 u
yx
y
v x
3u xy 2
3v x 2y
§3.3 应变协调5
从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数
(
x
)l
1 2
xym
1 2
xzn
0
1 2
xyl
(
y
)m
1 2
弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学_第三章 应变
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
弹性力学-空间问题的应变分析 (第三章)
x y z yz zx xy 0
（ a）
代入几何方 程，有
v w u 0, 0, 0, y z x u w v u w v 0, 0 0, z x x y y z
积分式（a）中前三式，有
2
N l x m y n z mn yz nl zx lm xy
2 2 2
（3-5）
—— 任意方向线应变计算公式 任意点线应变的张量与矩阵表示：
N l 2 x m2 y n2 z mn yz nl zx lm xy
u0、v0、w0 分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。
对于平面情形，有
u u0 z y v v0 z x
3. 体积应变
设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z ， 变形前体积：V0
z
x y z
z
x
变形后的边长和体积分别为：
x x x, y y y, z z z;
f 3 ( x, y) i jx ky lxy
（c） 将以上三式代回式（c），得
将上式中的第二、第三式分别对z、 y 求偏导，有：
2 f ( y, z ) 0, 2 f1 ( y, z ) 0 2 1 y z
k f l hx 0 c j d l y 0 g b h d z 0
y
x
y
V (x x x) (y y y) (z z z ) xyz (1 x )(1 y )(1 z )
体积应变（相对体积改变） ：
V V0 xyz (1 x )(1 y )(1 z ) xyz e V0 xyz x y z x y y z z x x y z
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
弹性力学3.
求应变分量
解：由于 n=0,任意方向 en e xl2 e ym2 xylm
45
x
e0
0°(l,m)=(1,0) , 45°(l,m)=(0.707,0.707), 90°(l,m)=(0,1)
e 45
则 e 0 e x 2.7 10 4
e90 e y 1105
e 45
1 2
e
x
1 2
e y' e xl22 e ym22 e zn22 xyl2m2 yzm2n2 zxn2l2
e z' e xl32 e ym32 e zn32 xyl3m3 yzm3n3 zxn3l3
代入(1)(2)展开得
x'y' 2 e xl1l2 e ym1m2 e zn1n2 xy (l1m2 l2m1) yz (n1m2 n2m1) zx (l1n2 l2n1)同理
2.主应变的确定 由对应替换关系和应力状态方程。可对应替换得
应变张量的第一不变量 第二不变量 第三不变量
主应变特征方程
J1
J2 J3
ex ey ez
e xe y e ze y
e
xe
ye
z
1 4
e xe z xy yz zx
1
4
2 yz
e x
2 yz
2 zx
e
2 xy
y
2 zx
e
z
数的几何方程不相矛盾；2) 变形 后各单元体能重新组合成连续体， 无缝隙或嵌入现象；3) 单连通域 弹性体, 可以通过几何方程求得单 值连续的位移分量；等应变分量
必须满足的关系。
3.位移边界条件
若边界处已知位移值
u, v, w则可写出
弹性力学_3-应变分析
相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况， 相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移， 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移； 相对位移； 相对位移张量一般为非对称张量。 相对位移张量一般为非对称张量。
二. 转动张量
设 PA = ds , PA1 = ds1 1 若为刚体位移， 若为刚体位移，则 ds = ds1
z A
r u′ r u
A1
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 = dxi dxi (ds1)2 = (dxi +δui )(dxi +δui ) ≈ dxi dxi + 2δuidxi
∴ δui dxi = 0 ⇒ dxui, j dxj = 0 i
展开
x O
P
P1 y
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体， 由正交三线元可构成一微元体， 考察变形前后微元体体积的变化。 考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
x P z
t dz
dy s
r
O
dx
y
1 1 ∂w ∂v ε23 = ε32 = γ yz = + 2 2 ∂y ∂z
∂w ε33 = εz = ∂z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 工程切应变是角应变分量的2 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述 几何方程可表示为
∂u3 ∂u1 ∂u2 dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 +( + )dx1dx2 + ( + )dx2dx3 + ( + )dx3dx1 = 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3
弹性变形能(应变能)课件
THANKS
应变能的计算实例
矩形梁的弯曲
考虑一个矩形梁在受到横向载荷作用下的弯曲变形，通过积 分法计算梁的应变能。
圆柱体的扭转
分析一个圆柱体在受到扭矩作用下的扭转变形，采用直接法 计算圆柱体的应变能。
应变能的计算结果分析
应变能与外力的关系
应变能与作用在物体上的外力之间存在一定的关系，可以通过计算结果分析这种关系。
特性
应变能与物体的材料性质、形变 量的大小和外力的大小等因素有 关，具有可逆性和可恢复性。
弹性变形能（应变能）的重要性
工程应用
在许多工程领域中，如桥梁、建筑、 机械等，应变能的研究和应用对于提 高结构的稳定性和安全性具有重要意 义。
科学研究
应变能的研究有助于深入了解材料的 力学性能和物理性质，推动相关学科 的发展。
抗震设计
在抗震设计中，通过分析地震作用下结构的 应变能变化，可以评估结构的抗震性能，并 优化抗震设计。
在材料科学中的应用
材料性能评估
通过测试材料在不同受力状态下 的应变能变化，可以评估材料的 力学性能，如弹性模量、屈服强
度等。
材料损伤监测
应变能的异常变化可以用于监测材 料的损伤和裂纹扩展，为材料的寿 命预测和维护提供依据。
弹性变形能（应变能课件
目录
• 弹性变形能（应变能）概述 • 弹性力学基础 • 弹性变形能（应变能）的计算 • 弹性变形能（应变能）的应用 • 弹性变形能（应变能）的未来发展
01
弹性变形能（应变能）概述
定义与特性
定义
弹性变形能（应变能）是指物体 在受到外力作用发生形变时，由 于弹力作用而存储在物体内部的 能量。
弹性变形能（应变能）的物理意义
能量守恒
应变能的计算实例
矩形梁的弯曲
考虑一个矩形梁在受到横向载荷作用下的弯曲变形，通过积 分法计算梁的应变能。
圆柱体的扭转
分析一个圆柱体在受到扭矩作用下的扭转变形，采用直接法 计算圆柱体的应变能。
应变能的计算结果分析
应变能与外力的关系
应变能与作用在物体上的外力之间存在一定的关系，可以通过计算结果分析这种关系。
特性
应变能与物体的材料性质、形变 量的大小和外力的大小等因素有 关，具有可逆性和可恢复性。
弹性变形能（应变能）的重要性
工程应用
在许多工程领域中，如桥梁、建筑、 机械等，应变能的研究和应用对于提 高结构的稳定性和安全性具有重要意 义。
科学研究
应变能的研究有助于深入了解材料的 力学性能和物理性质，推动相关学科 的发展。
抗震设计
在抗震设计中，通过分析地震作用下结构的 应变能变化，可以评估结构的抗震性能，并 优化抗震设计。
在材料科学中的应用
材料性能评估
通过测试材料在不同受力状态下 的应变能变化，可以评估材料的 力学性能，如弹性模量、屈服强
度等。
材料损伤监测
应变能的异常变化可以用于监测材 料的损伤和裂纹扩展，为材料的寿 命预测和维护提供依据。
弹性变形能（应变能课件
目录
• 弹性变形能（应变能）概述 • 弹性力学基础 • 弹性变形能（应变能）的计算 • 弹性变形能（应变能）的应用 • 弹性变形能（应变能）的未来发展
01
弹性变形能（应变能）概述
定义与特性
定义
弹性变形能（应变能）是指物体 在受到外力作用发生形变时，由 于弹力作用而存储在物体内部的 能量。
弹性变形能（应变能）的物理意义
能量守恒
弹性力学简明教材(电子版)
弹性力学简明教材(电子版)
本教材旨在对读者简明地阐述弹性力学的基本概念和公式，涉
及弹性体的基本特性，力学基本定律，应力应变状态的描述和计算，以及弹性体固有振动和波的传播等内容。
第一章弹性体的基本特性
本章介绍了弹性体的基本特性，包括弹性体的定义、分类、形
变和应力等概念，以及材料的弹性模量和泊松比等基本参数。
通过
本章的研究，读者将会了解弹性体的基本特性，为后续章节的研究
打下基础。
第二章力学基本定律
本章介绍了力学基本定律，即牛顿定律和能量守恒定律，以及
它们在弹性力学中的应用。
通过本章的研究，读者将会了解力学基
本定律的含义和应用。
第三章应力应变状态的描述和计算
本章介绍了应力应变状态的描述和计算方法，涉及应力应变张量和应力应变关系等内容。
通过本章的研究，读者将会了解弹性体中应力应变关系的基本概念和计算方法。
第四章弹性体固有振动和波的传播
本章介绍了弹性体固有振动和波的传播，包括弹性体的本征频率和本征振型，以及弹性波的类型和传播速度等内容。
通过本章的研究，读者将会了解弹性体固有振动和波的传播，为实际问题的解决提供理论基础。
第五章应用实例分析
本章通过实际问题的分析和计算，综合运用前面章节所学的知识，掌握弹性力学在实际工程中的应用。
通过本章的研究，读者将会了解如何分析和解决实际弹性力学问题。
附录：本教材的符号表和计算公式等内容，供读者参考。
总结
弹性力学是工程力学的重要分支之一，具有广泛的应用。
本教材对弹性力学的基本概念、公式和应用进行了简要的阐述，适合初学者学习和工程技术人员参考使用。
第3章_弹性力学经典变分原理
第3章 弹性力学经典变分原理3.1 弹性力学基础3.1.1 变形分析要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。
在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descartes 坐标系做参照系，变形前物体的构形为B ，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B ’，取另一个Descartes 坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。
如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为),,(321X X X ，变形后P 变化到Q 点在空间坐标系中的坐标为),,(321x x x 。
图3.1物质坐标系和空间坐标系矢量PQ 表示了质点P 的位移，记为u 。
为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量u 的分量i u 可以用下式来表示,(1,2,3)i i i u x X i =-= (3.1.1)其中变形后质点的坐标)3,2,1(=i x i 与变形前的坐标)3,2,1(=i X i 存在着确定的关系。
我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即123(,,),(1,2,3)i i x x X X X i == (3.1.2)也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标123(,,),(1,2,3)i i X X x x x i == (3.1.3) 如果把位移u 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u X X X i == (3.1.4)称之为Lagrange 描述。
如果把位移u 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u x x x i == (3.1.5)称之为Euler 描述。
我们取变形前P 点),,(321X X X 及相邻P’112233(d ,d ,d )X X X X X X +++，它们之间的长度平方为3201d d d i i i s X X ==∑ (3.1.6)它们变形后相应于Q 点),,(321x x x 及相邻Q ’112233(d ,d ,d )x x x x x x +++，其长度平方为321d d d i i i s x x ==∑ (3.1.7)根据变形前后的坐标关系有3311d d ,d d i ii j j j j jjxX x X X x i X x ==∂∂==∂∂∑∑从而有33220,11d d ()d d ij i j i j i jx x s s X X X X αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.8)或者33220,11d d ()d d ij i j i j i jX X s s x x x x αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.9)如果定义3121ij ij i j x x E X X αααδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.10)及3121ij ij i j X X x x αααεδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.11) 则有 220d d 2d d ij i j s s E X X -= (3.1.12)220d d 2d d ij i j s s x x ε-= (3.1.13)上述表达式中，有重复下标的,i j ，已省略了相应的求和记号3311,i j ==∑∑，称为Einstein 约定。
弹性力学-第三章 应力张量 应变张量-1
上述方程为
的齐次线性方程组， 且常数项都为
零。因为：
，故
不能同时为零，
所以方程组的系数行列式应为零，即
将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为 应力张量 的特征方程。
式中
设特征方程的三个根为 展开后有
比较上两式，有
，则 （特征方程）
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。
应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。
静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。
对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45°）的 平面，
设
，最大剪应力为：
（2）两主应力相等，设 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。
应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。
用
表示。
式中：
问：是否存在一特定的斜截面，其上应力矢量T与截 面法线同向。即T为该截面上的正应力 ，
而剪应力为零。
设斜截面法线方向余弦为： 应力矢量T在坐标轴上的投影为：
由斜面应力(Cauchy)公式
故 或 将上式展开
当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应 力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正 应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向） 称为主方向。
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
弹性力学 第三章应变状态理论
w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量 转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy
第三章力学位移和应变分析
x， y，z
称为转动分 量
p, q, r代表此微分体的刚性转角
故六个应变分量和三个转动分量可以使物体内某点变 形的几何形象表示完全。
二、物体内无限邻近两点位置的变化
设物体内无限邻近的两点A和B,它们的坐标分别为：
A （x,y,z） B(x+dx,y+dy,z+dz)
变形后，它们到A’和B’ 若A点的位移矢量用u(x,y,z),v (x,y,z), w(x,y,z)表示 则B点的位移矢量用u’,v’,w’表示
说明：
u
P
B
dx A
u u dx x v v dx x
v
dy y
A B
v v dy y
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的
u u dy y
关系，是弹性力学的基本方程之一。
当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , ， xy （ 2） 不能确定u、v。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
tan yx
tan xy
v v dx v x v yx dx x
u u dy u y u dy y
xy
1 v u r ( ) 2 x y
r是对角线MQ绕z轴转动的角度。
yx xy , 则r为正号，表示沿逆时针转动；
1 1 1 1 u =u+ x dx xy dy xz dz z dy y dz 2 2 2 2 1 1 1 1 v= v xy dx + y dy yz dz x dz z dx 2 2 2 2 1 1 1 1 w =w zx dx yz dy + z dz y dx x dy 2 2 2 2
弹性力学-strain
df1 ( y ) df 2 ( x) 或写成： dy dx
∵上式中，左边仅为 y 的函数， 右边仅 x 的函数，∴两边只能等 于同一常数，即
x y v 0 y xy v u 0 x y
由(a)、(b)可求得：
x u 0
(a) (b) (c)
径向线段PA的转角： 线段PB的相对伸长： 环向线段PB的转角：
ur
u r ur dr r A A
x
1
1 0
PB PB (r ur )d rd u r （c） PB rd r
（b）
tan 1 1
ur (ur d ) ur BB PP 1 u r （d） PB r rd
v
dy B y
P
Normal strain of PB: v v dy v y v y dy y
Shear strain of point P：
A B
xy
v v dy y
u u dy y
P点两直角线段夹角的变化:
v v dx v x tan v dx x u u dy u y tan u dy y
v v v v dx dy dz x y z
w w w w dx dy dz x y z
假设无限接近两点的连线PQ 平行于 e1 或 x 轴：
u v w u dx v dx w dx x x x
3.1.4. The geometrical equations(几何方程)
Chapt.3 Strain Analysis（应变分析）
§3.1 Strain-displacement relationships
弹性力学第3章—应变
A
B
B′
O
y
x
研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点 的相对位置变动情况，也即研究变形位移
u = u( x, y , z )
张量形式
位移函数
v = v ( x, y , z ) w = w( x , y , z )
ui = ui ( xj )
i = 1, 2, 3
j = 1, 2,3
3.1 变形与应变的概念
( (
) ( ) (
) )
O
′ , y0 ′) P0′( x0
= S + ( u − u0 )
P0 ( x0 , y0 )
x
u、 u0分别为线段起点、终点的位移，所以 其中 S 为原线段，
δ S = S′ − S = u − u0
上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量
δSi = ui − u0i
因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为
y
δ S2 x
α = 2ε12
γ xy = 2ε12
同理可得
δ S2 y
该改变量即为剪应变
′ S2
S2
γ zx = 2ε 31
O
S1
δ S1x
δ S1 y
γ yz = 2ε 23
ϕ
S1′
x
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
汇总
三维问题时应变张量（分量）的物理意义为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
B
B′
O
y
x
研究物体的变形规律，只需要研究物体内各点 的相对位置变动情况，也即研究变形位移
u = u( x, y , z )
张量形式
位移函数
v = v ( x, y , z ) w = w( x , y , z )
ui = ui ( xj )
i = 1, 2, 3
j = 1, 2,3
3.1 变形与应变的概念
( (
) ( ) (
) )
O
′ , y0 ′) P0′( x0
= S + ( u − u0 )
P0 ( x0 , y0 )
x
u、 u0分别为线段起点、终点的位移，所以 其中 S 为原线段，
δ S = S′ − S = u − u0
上式写成张量分量形式，得到线段矢量分量的变化量
δSi = ui − u0i
因此，互相垂直的两个矢量变形 后夹角的改变量为
y
δ S2 x
α = 2ε12
γ xy = 2ε12
同理可得
δ S2 y
该改变量即为剪应变
′ S2
S2
γ zx = 2ε 31
O
S1
δ S1x
δ S1 y
γ yz = 2ε 23
ϕ
S1′
x
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
汇总
三维问题时应变张量（分量）的物理意义为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
第三章力学位移和应变分析
MM 称为点M的位移
MM 在x,y,z三轴上的投影u,v,w称为该点的位移分量
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态： 平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。 运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和 时间变化而变化。
二、求过A点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量
B
B’
dr1
dr1’
C A
dr2 C
C A’
dr2’ C’
AB的方向余弦为 l1, m1, n1 AC的方向余弦为 l2 , m2 , n2
AB
(dx1, dy1, dz1)
l1
dx1 dr1
, m1
dy1 dr1
, n1
dz1 dr1
AC
(dx2, dy2, dz2 )
A，B两点相应的位移分量分是：
A：u u(x dx, y, z),v v(x dx, y, z) B：u u(x, y dy, z),v v(x, y dy, z)
按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量， 则A点和B点的位移分量分别为
A：u u dx, v v dx B：u u dy, v v dy
第三章 位移和应变分析
主讲教师：韩复兴
吉林大学
物体受到外力的作用时，物体内各点与点之间 有相对位移，因而物体的形状和尺寸就会发生变化， 即产生变形。
本章主要讨论三个问题： 1.位移分量和应变分量及其间的关系； 2.物体内一点的应变状态分析； 3.坐标旋转时应变分量的表示公式，以
及主应变和主方向； 4.无旋变形和等体积变形; 5.应变协调方程.
MM 在x,y,z三轴上的投影u,v,w称为该点的位移分量
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态： 平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。 运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和 时间变化而变化。
二、求过A点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量
B
B’
dr1
dr1’
C A
dr2 C
C A’
dr2’ C’
AB的方向余弦为 l1, m1, n1 AC的方向余弦为 l2 , m2 , n2
AB
(dx1, dy1, dz1)
l1
dx1 dr1
, m1
dy1 dr1
, n1
dz1 dr1
AC
(dx2, dy2, dz2 )
A，B两点相应的位移分量分是：
A：u u(x dx, y, z),v v(x dx, y, z) B：u u(x, y dy, z),v v(x, y dy, z)
按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量， 则A点和B点的位移分量分别为
A：u u dx, v v dx B：u u dy, v v dy
第三章 位移和应变分析
主讲教师：韩复兴
吉林大学
物体受到外力的作用时，物体内各点与点之间 有相对位移，因而物体的形状和尺寸就会发生变化， 即产生变形。
本章主要讨论三个问题： 1.位移分量和应变分量及其间的关系； 2.物体内一点的应变状态分析； 3.坐标旋转时应变分量的表示公式，以
及主应变和主方向； 4.无旋变形和等体积变形; 5.应变协调方程.
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yx和xy可为正或为负，其正负号的几何意义为： yx大 于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段 正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，
切应变分量大于零，表示微分 线段的夹角缩小，反之则增大。
同理
§3.1 变形10
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为 u v w x y z x y z v u w v u w xy yz zx x y y z z x
u u u dx dy dz x y z v u v dv dx dy dz x y z w w w dw dx dy dz x y z
du
§3.1 变形13
u u u du dx dy dz x y z v u v dv dx dy dz x y z w w w dw dx dy dz x y z
上述公式称为几何方程，又称柯西方程（Augustin-Louis Cauchy于1828年提出） 。 柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已 知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知 应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相 对复杂。 这个问题以后作专门讨论。 1 几何方程给出的应变通常称为工程应变。 ij ui , j u j ,i 使用张量符号，几何方程可以表达为： 2
对于微分平行六面体单 元，设其变形前与x，y，z 坐标轴平行的棱边分别为 MA，MB，MC， 变形后分别变为 M'A'，M'B'，M'C'。 正应变_εx, εy, εz表示x，y， z轴方向棱边的相对伸长 M A MA 度； MA 切应变_xy, yz, zx 表示x M B MB MB 和y，y和z，z和x轴之间 M C MC 的夹角变化。 MC
§3.2 主应变2
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变
分量均可确定。因此应变状态就完全确定。
•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为
一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应变主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向 •
主应变—— 应变主轴方向的正应变
§3.2 主应变3
主应变确定 ——应变主轴方向变形
§3.1 变形8
• 因为
u u M A m ad x u d x u d x d x x x
• 所以
• 同理可得
• 这些正应变表示了任意一点微分线段的相对 伸长度。微分线段伸长，则正应变大于零， 反之则小于零。
§3.1 变形9
以下讨论切应变表达关系。 因为 上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数 是高阶小量的结论。同理可得
§3.1 变形4
变形与应变分量
为进一步研究弹性体的变形情 况，假设从弹性体中分割出一个微 分六面体单元，其六个面分别与三 个坐标轴垂。 对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。一是微分单元体 棱边的伸长和缩短；二是棱边之间
夹角的变化。弹性力学分别使用正
应变和切应变表示这两种变形的。
§3.1 变形5
§3.1 变形7
正应变
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
– 首先讨论Oxy面上投影 的变形。
设ma，mb分别为MA，MB的投影，m'a'，m'b'分别为M'A'，
M'B'，即变形后的MA，MB的投影
y
1 yz 2
13 23 33
§3.1 变形12
• 几何方程——位移导数表示的应变
• 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形
• 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动 • 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产 生变形。
1 1 ( x )l xy m xz n 0 2 2 1 1 xyl ( y )m yz n 0 2 2 1 1 xzl yz m ( z )n 0 2 2
l，m，n齐次线性方程组
非零解的条件为方程系
数行列式的值为零
– A点的位移：u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z） – B点的位移：u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z） – 将A，B两点的位移按泰勒级数展开，略去二阶以上的小 量，则有 A点的位移为
u v u d x , v d x x x
B点的位移为
u v u d y , v d y y y
第三章 应变状态
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析
位移的单值连续性质-变形协调方程
目录 §3.1 §3.2 §3.3 变形与应变概念 主应变与主应变方向 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位臵发生变化 • 位移形式_位臵的改变与弹性体形状的变化
y
1 zy 2
x
刚体转动 位移增量
变形位移增量
微分单元体的刚性转动与协调相关
§3.1
变形16
必须指出，这里讨论的是单元体的刚性转动。对 变形体来说，是随点而异，是坐标的函数。但对整个 物体，它们属于变形的一部分；这三个转动分量和六 个应变分量合在一起，不仅定出了一点邻近的单元体 形状的变化，而且定出了该单元体方位的改变，因此 这九个量全面正确地反映了物体内点的位置改变。物 体内所有点的位置改变构成了整个物体的变形。 从研究点的变形角度考察，说明应变张量是相对 位移张量扣除转动张量后，表示单元体纯变形的部分。 它是一个对称的二阶张量，有六个独立分量。它表示 单元体变形对称于对角线，即垂直棱边互相转角相等。 应变张量决定了一点的应变状态，它具有张量的 所有特性。它与载荷引起的应力具有对应关系。下面 将对应变张量做进一步探讨。
转动矢量描述微分单元体的刚性转动
1 w v x ( ) , 2 y z 1 u w 1 v u y ( ) , z ( ) 2 z x 2 x y
转动分量
§3.1 变形15
位移增量是由两部分组成的
du 0 dv z dw y z 0 x y dx 1 x dy yx 2 0 dz 1 zx 2 1 xy 2 1 xz 2 dx 1 yz dy 2 dz z
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
x 1 ij xy 2 1 xz 2 1 xy 2 1 xz 2 11 12 1 yz 21 22 2 31 32 z
x y z
, yz , xz , xy
2 2
C M B , C M A , A M B .
2
§3.1 变形6
对于小变形问题，为了简化分析， 将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz， Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标 面平行的，变形后棱边将有相应的转动； 但我们讨论的是小变形问题，这种转动所 带来的影响较小。 特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
§3.2 主应变与主应变方向
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是 随之坐标改变而变化。 • 应变分量的转轴公式
i ' j ' nii' n jj' ij
• 应变张量
1 1 xy xz x 2 2 11 12 13 1 1 ij yx y yz 21 22 23 2 2 1 31 32 33 1 zx zy z 2 2
du
u u u dx dy dz x y z u 1v u 1 w u 1v u 1u w dx dy dz dy dz x 2 x y 2 x z 2 x y 2 z x
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。 设M点的坐标为（x，y，z） 与M点邻近的 位移（u，v，w） N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz） 位移（u+du，v+dv，w+dw） 则MN两点的相对位移为（du，dv，dw） 因为位移为坐标的函数，所以
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量，
位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z）
W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
位移分量u，v，w也是x，y，z 的单值连续函数。 以后的分析将进一步假定位移 函数具有三阶连续导数。
1 w u 1v w w 1u w 1 w v dx dy dz dx dz 2 x z 2 z y z 2 z x 2 y z 1 1 xz dx yz y dz
1 1 x dx xy dy zx dz 2 2