弹性力学-第三章_应变状态

§3.2 主应变与主应变方向
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是 随之坐标改变而变化。 • 应变分量的转轴公式
i ' j ' nii' n jj' ij
• 应变张量
1 1 xy xz x 2 2 11 12 13 1 1 ij yx y yz 21 22 23 2 2 1 31 32 33 1 zx zy z 2 2
x
1 yx 2 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 0 2
应变状态特征方程
展开 J1 J 2 J 3 0
3 2
z
§3.2 主应变4
应变不变量
J 1 ii x y z 1 2 2 2 J 2 x y y x z x ( xy yz zx ) 4 J 3 ij
对于微分平行六面体单 元，设其变形前与x，y，z 坐标轴平行的棱边分别为 MA，MB，MC， 变形后分别变为 M'A'，M'B'，M'C'。 正应变_εx, εy, εz表示x，y， z轴方向棱边的相对伸长 M A MA 度； MA 切应变_xy, yz, zx 表示x M B MB MB 和y，y和z，z和x轴之间 M C MC 的夹角变化。 MC


§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
x 1 ij xy 2 1 xz 2 1 xy 2 1 xz 2 11 12 1ห้องสมุดไป่ตู้ yz 21 22 2 31 32 z
第三章 应变状态
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析
位移的单值连续性质-变形协调方程
目录 §3.1 §3.2 §3.3 变形与应变概念 主应变与主应变方向 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位臵发生变化 • 位移形式_位臵的改变与弹性体形状的变化
§3.1 变形4
变形与应变分量
为进一步研究弹性体的变形情 况，假设从弹性体中分割出一个微 分六面体单元，其六个面分别与三 个坐标轴垂。 对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。一是微分单元体 棱边的伸长和缩短；二是棱边之间
夹角的变化。弹性力学分别使用正
应变和切应变表示这两种变形的。
§3.1 变形5
§3.1 变形8
• 因为
u u M A m ad x u d x u d x d x x x
• 所以
• 同理可得
• 这些正应变表示了任意一点微分线段的相对 伸长度。微分线段伸长，则正应变大于零， 反之则小于零。
§3.1 变形9
以下讨论切应变表达关系。 因为 上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数 是高阶小量的结论。同理可得
§3.1 变形7
正应变
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
– 首先讨论Oxy面上投影 的变形。
设ma，mb分别为MA，MB的投影，m'a'，m'b'分别为M'A'，
M'B'，即变形后的MA，MB的投影
y
1 yz 2
13 23 33

§3.1 变形12
• 几何方程——位移导数表示的应变
• 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形
• 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动 • 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产 生变形。
• 刚体位移：物体内部各点位臵变化，但仍保持初始
状态相对位臵不变。
• 形状改变（变形）位移：位移不仅使得位臵改变，
而且改变了物体内部各个点的相对位臵。
§3.1 变形2
位移与位移分量
根据连续性假设，弹性体在 变形前和变形后仍保持为连 续体。
那么弹性体中某点在变形过 程中由M（x，y，z）移动至M ' （ x'，y'，z' ），这一过程也将 是连续的。 在数学上，x'，y'，z' 必为x， y，z的单值连续函数。
1 1 ( x )l xy m xz n 0 2 2 1 1 xyl ( y )m yz n 0 2 2 1 1 xzl yz m ( z )n 0 2 2
l，m，n齐次线性方程组
非零解的条件为方程系
数行列式的值为零
上述公式称为几何方程，又称柯西方程（Augustin-Louis Cauchy于1828年提出） 。 柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已 知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知 应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相 对复杂。 这个问题以后作专门讨论。 1 几何方程给出的应变通常称为工程应变。 ij ui , j u j ,i 使用张量符号，几何方程可以表达为： 2
1 w u 1v w w 1u w 1 w v dx dy dz dx dz 2 x z 2 z y z 2 z x 2 y z 1 1 xz dx yz dy z dz y dx x dz 2 2
yx和xy可为正或为负，其正负号的几何意义为： yx大 于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段 正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，
切应变分量大于零，表示微分 线段的夹角缩小，反之则增大。
同理
§3.1 变形10
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为 u v w x y z x y z v u w v u w xy yz zx x y y z z x
转动矢量描述微分单元体的刚性转动
1 w v x ( ) , 2 y z 1 u w 1 v u y ( ) , z ( ) 2 z x 2 x y
转动分量
§3.1 变形15
位移增量是由两部分组成的
du 0 dv z dw y z 0 x y dx 1 x dy yx 2 0 dz 1 zx 2 1 xy 2 1 xz 2 dx 1 yz dy 2 dz z
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。 设M点的坐标为（x，y，z） 与M点邻近的 位移（u，v，w） N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz） 位移（u+du，v+dv，w+dw） 则MN两点的相对位移为（du，dv，dw） 因为位移为坐标的函数，所以
du
u u u dx dy dz x y z u 1v u 1 w u 1v u 1u w dx dy dz dy dz x 2 x y 2 x z 2 x y 2 z x
y
1 zy 2
x
刚体转动 位移增量
变形位移增量
微分单元体的刚性转动与协调相关
§3.1
变形16
必须指出，这里讨论的是单元体的刚性转动。对 变形体来说，是随点而异，是坐标的函数。但对整个 物体，它们属于变形的一部分；这三个转动分量和六 个应变分量合在一起，不仅定出了一点邻近的单元体 形状的变化，而且定出了该单元体方位的改变，因此 这九个量全面正确地反映了物体内点的位置改变。物 体内所有点的位置改变构成了整个物体的变形。 从研究点的变形角度考察，说明应变张量是相对 位移张量扣除转动张量后，表示单元体纯变形的部分。 它是一个对称的二阶张量，有六个独立分量。它表示 单元体变形对称于对角线，即垂直棱边互相转角相等。 应变张量决定了一点的应变状态，它具有张量的 所有特性。它与载荷引起的应力具有对应关系。下面 将对应变张量做进一步探讨。
– A点的位移：u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z） – B点的位移：u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z） – 将A，B两点的位移按泰勒级数展开，略去二阶以上的小 量，则有 A点的位移为
u v u d x , v d x x x
B点的位移为
u v u d y , v d y y y
u u u dx dy dz x y z v u v dv dx dy dz x y z w w w dw dx dy dz x y z
du
§3.1 变形13
u u u du dx dy dz x y z v u v dv dx dy dz x y z w w w dw dx dy dz x y z
§3.2 主应变2
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变
分量均可确定。因此应变状态就完全确定。
•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为
一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应变主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向 •
主应变—— 应变主轴方向的正应变
§3.2 主应变3
主应变确定 ——应变主轴方向变形
x y z
, yz , xz , xy

2 2
C M B , C M A , A M B .

2
§3.1 变形6
对于小变形问题，为了简化分析， 将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz， Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标 面平行的，变形后棱边将有相应的转动； 但我们讨论的是小变形问题，这种转动所 带来的影响较小。 特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
z dy y dz
1 1 x dx xy dy zx dz 2 2
§3.1 变形14
同理可得
dv
v v v dx dy dz x y z
1v u v 1w v 1v u 1w v dx dy dz dx dz 2 x y y 2 y z 2 x y 2 y z 1 1 xy dx y dy yz dz z dx x dz 2 2 w w w dw dx dy dz x y z
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量，
位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z）
W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
位移分量u，v，w也是x，y，z 的单值连续函数。 以后的分析将进一步假定位移 函数具有三阶连续导数。