等差数列的性质公开优秀课件
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等差数列的性质课件(公开课)
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费。
由题意得，
a1=11.2, d=1.2, n=11,
∴a11=11.2+(11－1) ×1.2 =23.2(元)
答:需要支付车费23.2元.
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B )
A . -1
你能得出一般结论吗？
性质二、两项和相等关系 数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq. 推广：若m+n=2p，则am+an=2ap.
思考4.性质二反过来是否成立？
练习：判断对错：
(1)a3 + a5 = a1 + a7
(2)a1 + a4 + a6 = a3 + a8
53 2
an a3 (n 3)d
2 3(n 3)
3n 7
∴{an}的通项公式为an=3n-7
思考5. 在等差数列{an}中，若ap=q, aq=p,其中p,q
为正整数，求ap+q
例3. 某市出租车的计价标准是1.2元/km,起步价 为10元，即最初的4km（不含4km)计费10元. 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目 的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付 多少车费？
等差数列(二)
知识回顾
1.等差数列 的定义： （1）.文字语言：如果一个数列从第2项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数.
（2）.数学语言 ： an1 an d, n N *
2.等差数列 的通项公式： an a1 (n 1)d, n N *
等差数列的性质(52张PPT)课件
第二章 2.2 第2课时
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[点评] 本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应 注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．
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第二章 2.2 第2课时
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变式训练 1 (1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6 ＋a7＝450，求 a2＋a8；
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第二章 2.2 第2课时
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课堂 互 动 探 究
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
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第二章 2.2 第2课时
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典例导悟
类型一 等差数列的性质及应用 [例 1] 已知等差数列{an}， (1)若 a2＋a3＋a25＋a26＝48，求 a14； (2)若 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差 d.
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第二章 2.2 第2课时
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝a55－－a22＝3； 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝a55－－a22＝－3. ∴公差 d 为 3 或－3.
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(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9 －a13 的值．
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第二章 2.2 第2课时
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解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. (2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20. ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
等差数列的性质 课件
类型 1 利用等差数列的通项公式或性质解题 [典例 1] 在等差数列{an}中： (1)若 a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，求 a7－12a8； (2)已知 a1＋2a8＋a15＝96，求 2a9－a10. 解：(1)a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80， 所以 a6＝16， 所以 a7－12a8＝12(2a7－a8)＝12(a6＋a8－a8)＝12a6＝8. (2)因为 a1＋2a8＋a15＝4a8＝96， 所以 a8＝24.所以 2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
数列 {c＋an} {can} {an＋an＋k}
{pan＋qbn}
结论
公差为d的等差数列(c为常数)
公差为cd的等差数列(c为常数)
公差为2d的等差数列(k为常数， k∈N*)
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为 常数)
(3){an}的公差为 d，则 d＞0⇔{an}为递增数列；d＜0 ⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
等差数列的性质
1．等差数列的图象 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，当 d＝0 时， an 是关于 n 的常数函数；当 d≠0 时，an 是关于 n 的一次 函数；点(n，an)分布在以 d 为斜率的直线上，是这条直 线上的一系列孤立的点． 2．等差数列的项与序号的关系 (1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已 知 a1，d，am，an(m≠n)，则 d＝ann－－a11＝ann－－mam，从而有 an＝am＋(n－m)d．
又因为是递增数列，所以 d>0，
所以解得 a＝±72，d＝32， 所以此等差数列为－1，2，5，8 或－8，－5，－2，1.
[迁移探究] 若将典例 2 改为：已知三个数成等差数 列并且数列是递增的，它们的和为 18，平方和为 116，求 这三个数．
《等差数列的性质》课件
等差数列的性质
公差定义
等差数列中，相邻两项之间的差值称为公差。
性质2：中间项等于前后两项之和的一 半
等差数列的中间项等于前ห้องสมุดไป่ตู้两项之和的一半。
性质1：差是固定值
任意两项的差是一个固定值。
性质3：前n项和公式
等差数列前n项和的公式是Sn = (n/2)(2a1 + (n 1)d)。
等差数列的应用
等差中数的求解
通过等差数列的中项公式，可以求解等差数列中任 意位置的值。
等差数列和的应用
等差数列的求和公式可以在金融领域中使用，计算 利息和投资回报等。
总结
1 等差数列是什么？
等差数列指的是每个相邻项之间的差值是恒定的数列。
2 等差数列有哪些性质？
等差数列具有固定公差、任意两项的差为固定值，中间项等于前后两项之和的一半等性 质。
3 等差数列有什么应用？
等差数列的应用包括求解等差中数和计算等差数列的前n项和，还可在金融领域中进行利 息和投资回报的计算。
《等差数列的性质》PPT 课件
欢迎来到《等差数列的性质》PPT课件！本课程将带您深入了解等差数列的基 本概念和重要性质，以及其在数学和实际生活中的应用。
什么是等差数列
等差数列是一种数学序列，其中每个相邻的项之间的差值是恒定的。 等差数列的通项公式是：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质公开课PPT课件
};
(2
){an
2
};
(3
1 ){
an
};
(4){an
an1};
(5){a2k1}
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【变式与拓展1】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3， 则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3_．
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题型2 等差数列性质及应用 例2：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17. 解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝ ＝41.3， ∴d＝a55－ －2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－ －2a2＝4－313＝－3.
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感谢您的观看！
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C．2
D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋ c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
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【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围． 错解：设an的公差为 d，第 n 项为 an，则 a9
《等差数列课》课件
等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用
4.2.1 等差数列的性质 课件PPT
3．等差中项
如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等
差中项．即 A a b
2
例题分析
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价 值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设 备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请 确定d的范围.
4.2.1等差数列的性质
知识梳理
1.等差数列概念 an an1 d n 2
2.等差数列通项公式及其变体
通项公式： an a1 n 1d
变体： (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
(3)d＝ann－－mam(m，n∈N*，且 m≠n).
知识梳理
归纳总结
等差数列的性质1：
等差数列每相邻两项之间插入 kk N* 合适的
数,还可以是等差数列
等差数列中每隔 kk N* 项抽取出来的项，按
照原顺序排列，构成的仍是等差数列
分析：（1){an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项， 就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是 {bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29 是否为{an}的项.
特别的， 若s t 2 p s,t, p N* ,则as at 2ap
（3）应用等差数列解决生活中实际问题
谢谢
小结：
（1）等差数列的性质1：
等差数列每相邻两项之间插入 kk N*个合适的数,还可以
是等差数列
等差数列中每隔 kk N * 项抽取出来的项，按照原顺序排列，
构成的仍是等差数列
如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等
差中项．即 A a b
2
例题分析
例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价 值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设 备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请 确定d的范围.
4.2.1等差数列的性质
知识梳理
1.等差数列概念 an an1 d n 2
2.等差数列通项公式及其变体
通项公式： an a1 n 1d
变体： (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
(2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
(3)d＝ann－－mam(m，n∈N*，且 m≠n).
知识梳理
归纳总结
等差数列的性质1：
等差数列每相邻两项之间插入 kk N* 合适的
数,还可以是等差数列
等差数列中每隔 kk N* 项抽取出来的项，按
照原顺序排列，构成的仍是等差数列
分析：（1){an}是一个确定的数列，只要把a1 ，a2表示为{bn}中的项， 就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设{an}中的第n项是 {bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29 是否为{an}的项.
特别的， 若s t 2 p s,t, p N* ,则as at 2ap
（3）应用等差数列解决生活中实际问题
谢谢
小结：
（1）等差数列的性质1：
等差数列每相邻两项之间插入 kk N*个合适的数,还可以
是等差数列
等差数列中每隔 kk N * 项抽取出来的项，按照原顺序排列，
构成的仍是等差数列
2.2.1等差数列的性质(共14张PPT)
等差数列性质：若数列{an}是公差为d 的等差数列，则
(1)an am (n m)d； (2)若m n p q,则am an ap aq； (3)ak , akm, ak2m,（每隔m(m N )项取出一项） 组成的数列仍然是等差数列，且公差为md;
(4)Sk , S2k Sk , S3k S2k ,组成的数列仍然是 等差数列，且公差为k 2d;
解： 设三内角为x d, x, x d，
则 x d x x d 180o
解得x 60o 又因为其中一个角为 32o 所以其它两个角为 60o，88o
小结：
当已知三个数成等差数列，且和一定时， 可设这三个数为：a d, a, a d.
当已知四个数成等差数列，且和一定时， 可设这四个数为：a 3d, a d, a d, a 3d.
题型3 等差数列的性质 例 4
解
题型4 等差数列的综合应用 例 5
证 明
例题分析 例5：
整体思想
1)数列{a n }中，a1
1，1 a n+1
1 an
1 3
，求a
n
2)数列an 中, a1
2, a2
1, 2 an
1 an1
1 an1
(n 2),求an
3)数列{an}中，a1 1，a2 4， an+2 2an+1 an 2，求an
例2. 已知四个数 m , x , n , 2x 成等差数列, 则 m _____.
n
解：由 m , x , n , 2x 成等差数列 ,
得 2x = m+ n 2n = x+ 2x
n 3 x, m 1 x
2
2
m 1. n3
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解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝ ＝41.3， ∴d＝a55－ －2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－ －2a2＝4－313＝－3.
变式训练 2 (1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6 ＋a7＝450，求 a2＋a8；
(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9 －a13 的值．
(1)a{n}c(; 2)an{2}(;
3)1{}(; an
4)an{an1}(; 5)a2{k1}
【变式与拓展1】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3， 则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3_．
3．(2010年全国)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，
那么 a1＋a2＋…＋a7＝( C )
A．14
B．21
C．28
D．35
4．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117， 求 a3＋a15 的值．
解：∵a1＋a17＝a5＋a13， ∴a1－a5＋a9－a13＋a17 ＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117. ∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
C．a1＋a8>a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
练习2：(2010 年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则
a5 的值为( A )
A习3：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝__1_0.
(1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求 a2＋a8； (2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9－a13.
（2）-12，( -6 ) ，0
3a,a b ,b
2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
等差a1,数 a2,a3,a 列 4,,an 1,an,an 1, 由定义有
an 1ananan 1,
即2anan 1an 1
综合应用
成等差数列的三个数之和为27，第一个 和第三个之积为80，求这三个数。
题型2 等差数列性质及应用 例2：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17.
3.已知{a数 n}的列 通项 an 公 p2n式 q（ ,n为 p、 q为实数 求证： {an1 数 an}是 列等差 . 数列
4.在数{a列 n}中， an lg
5 32n1
,判断数列是否 列.
思考
等 差 中项 的 定 义
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
(3 )若 { a n} 是等差 a 1a 4 数 a 7 列 4,a 5 2 ， a 5a 8 且 3,9 求 a 3a 6a 9.
【例
3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
补：已知 {an}是 数等 列差数列， 等则 差下 数列 列 ( )是
则aman ap aq成立吗？为什么？
等差数列性质1
an是等差数列，则
mnpq(m,n,p,qN*) amanapaq
等差数列性质1的推论
an是等差数列，则
mn2k(m,n,kN*)aman2ak
练习1：如果数列{an}是等差数列，则( B )
A．a1＋a8<a4＋a5
B．a1＋a8＝a4＋a5
变式应用
成等差数列的四个数之和为25，第二个 和第三个之积为40，求这四个数。
高中数学
欢迎指导
质性的列数差等
诱思探究
已知等差数列2，4，6，8，10, 12，14， 16，…
（1）a1 a5 a2 a4成立吗？ a4 a6 a3 a7呢？
（2）已知an是等差数,列若mn pq(m,n, p,qN*),
等差数列的性质公开优秀课件
0.设数an列 的通项公 an 式 n2为 kn, 若数an列 是单调增数列 k的，取求值实 . 范
1 .数 { a n } 列 中 S n 是 ， n 项 前之 a 1 1 和 ,a n 1 1 3 ， S n,求 a 若 n
2.若数 {n(n列 4)(2)n}中的最大 k项项 ， k.是 求 3
例 3∶ 若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75 的值． [解] 方法1：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d.
∴aa11＋＋1549dd＝＝82，0， 解得ad1＝＝1461545.， ∴a75＝a1＋74d＝6145＋74×145＝24. 方法2：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项． ∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4. ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
(3)在等差数列中，已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. (a41)5数．列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求 a3＋
例 3∶若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75
(2)公差 d＝－2，且 a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50， 求 a3＋a6＋a9＋…＋a99 的值．
解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.
∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
(2)由 a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100 得 a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
【变式与拓展2】
变式训练 2 (1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6 ＋a7＝450，求 a2＋a8；
(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9 －a13 的值．
(1)a{n}c(; 2)an{2}(;
3)1{}(; an
4)an{an1}(; 5)a2{k1}
【变式与拓展1】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3， 则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3_．
3．(2010年全国)如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，
那么 a1＋a2＋…＋a7＝( C )
A．14
B．21
C．28
D．35
4．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117， 求 a3＋a15 的值．
解：∵a1＋a17＝a5＋a13， ∴a1－a5＋a9－a13＋a17 ＝(a1＋a17)－(a5＋a13)＋a9＝a9＝117. ∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
C．a1＋a8>a4＋a5
D．a1a8＝a4a5
练习2：(2010 年重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则
a5 的值为( A )
A习3：在等差数列{an}中，若a3＝50，a5＝30，则a7＝__1_0.
(1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求 a2＋a8； (2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9－a13.
（2）-12，( -6 ) ，0
3a,a b ,b
2
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。
A ab 2
等差a1,数 a2,a3,a 列 4,,an 1,an,an 1, 由定义有
an 1ananan 1,
即2anan 1an 1
综合应用
成等差数列的三个数之和为27，第一个 和第三个之积为80，求这三个数。
题型2 等差数列性质及应用 例2：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17.
3.已知{a数 n}的列 通项 an 公 p2n式 q（ ,n为 p、 q为实数 求证： {an1 数 an}是 列等差 . 数列
4.在数{a列 n}中， an lg
5 32n1
,判断数列是否 列.
思考
等 差 中项 的 定 义
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为 一个等差数列：
（1）2 ，( 3 ) ， 4
(3 )若 { a n} 是等差 a 1a 4 数 a 7 列 4,a 5 2 ， a 5a 8 且 3,9 求 a 3a 6a 9.
【例
3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围．
补：已知 {an}是 数等 列差数列， 等则 差下 数列 列 ( )是
则aman ap aq成立吗？为什么？
等差数列性质1
an是等差数列，则
mnpq(m,n,p,qN*) amanapaq
等差数列性质1的推论
an是等差数列，则
mn2k(m,n,kN*)aman2ak
练习1：如果数列{an}是等差数列，则( B )
A．a1＋a8<a4＋a5
B．a1＋a8＝a4＋a5
变式应用
成等差数列的四个数之和为25，第二个 和第三个之积为40，求这四个数。
高中数学
欢迎指导
质性的列数差等
诱思探究
已知等差数列2，4，6，8，10, 12，14， 16，…
（1）a1 a5 a2 a4成立吗？ a4 a6 a3 a7呢？
（2）已知an是等差数,列若mn pq(m,n, p,qN*),
等差数列的性质公开优秀课件
0.设数an列 的通项公 an 式 n2为 kn, 若数an列 是单调增数列 k的，取求值实 . 范
1 .数 { a n } 列 中 S n 是 ， n 项 前之 a 1 1 和 ,a n 1 1 3 ， S n,求 a 若 n
2.若数 {n(n列 4)(2)n}中的最大 k项项 ， k.是 求 3
例 3∶ 若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75 的值． [解] 方法1：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d.
∴aa11＋＋1549dd＝＝82，0， 解得ad1＝＝1461545.， ∴a75＝a1＋74d＝6145＋74×145＝24. 方法2：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项． ∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4. ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
(3)在等差数列中，已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. (a41)5数．列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求 a3＋
例 3∶若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75
(2)公差 d＝－2，且 a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50， 求 a3＋a6＋a9＋…＋a99 的值．
解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.
∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
(2)由 a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100 得 a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
【变式与拓展2】