2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念学案 新人教A版必修第二册
高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 课时作业1 平面向量的概念 新人教A版必
课时作业1 平面向量的概念知识点一平面向量的概念 1.下列说法正确的是( )A ．实数可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小C ．向量的模是正数D ．向量的模可以比较大小 答案 D解析 对于A ，数量可以比较大小，但向量是矢量，不能比较大小，A 错误；对于B ，向量是矢量，不能比较大小，B 错误；对于C ，零向量的模为0,0不是正数，C 错误；对于D ，向量的模长是数量，可以比较大小，故选D.2．有下列说法： ①位移和速度都是向量；②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③零向量没有方向； ④向量就是有向线段． 其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 对于①，位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向，其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误.知识点二向量的几何表示3.在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上，点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA →，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上，点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．4．某船从A 点出发向西航行了150 km 到达点B ，然后改变方向向北偏西30°方向航行了200 km 到达点C ，最后又改变方向向东航行了150 km 到达点D .作出向量AB →，BC →，CD →.解 作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．知识点三相等向量与共线向量 5.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则向量a 与b 的长度相等且方向相同或相反；②对于任意非零向量a ，b ，若|a |＝|b |且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； ③非零向量a 与非零向量b 满足a ∥b ，则向量a 与b 方向相同或相反； ④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ⑤若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c . 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 若|a |＝|b |，则向量a 与b 的长度相等而方向可以任意，故①不正确；根据相等向量的定义可知②正确；根据共线向量的定义可知③正确；向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线或AB ∥CD ，故④不正确；若b ＝0，则a 与c 不一定共线，故⑤不正确．综上可知只有②③正确，故选C.6．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与AF →，AE →相等的向量； (2)写出与AD →的模相等的向量．解 (1)与AF →相等的向量为BE →，CD →，与AE →相等的向量为BD →. (2)与AD →的模相等的向量为DA →，CF →，FC →.7. 如图，在△ABC 中，三边长AB ，BC ，AC 均不相等，E ，F ，D 分别是边AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量．解 (1)∵E ，F 分别为边AC ，AB 的中点， ∴EF ∥BC .从而与EF →共线的向量包括：FE →，DB →，BD →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)∵E ，F ，D 分别是边AC ，AB ，BC 的中点， ∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC .又∵AB ，BC ，AC 均不相等，从而与EF →的模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →，CD →.8．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是边AD ，BC 上的点，且→＝MA →.求证：DN →＝MB →. 证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →. 同理可证，四边形AM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同， ∴DN →＝MB →.一、选择题1．下列说法正确的是( )A.AB →∥CD →就是AB →所在的直线与CD →所在的直线平行或重合 B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段D ．共线向量是在一条直线上的向量 答案 C解析 由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故C 正确．2．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对 答案 C解析 由向量不能比较大小，可知选C. 3．下列说法正确的是( ) A ．有向线段AB →与BA →表示同一向量 B ．两个有公共终点的向量是平行向量 C ．零向量与单位向量是平行向量 D ．对任一向量a ，a|a |是一个单位向量答案 C解析 向量AB →与BA →方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当a ＝0时，a|a |无意义，故A ，B ，D 错误．零向量与任何向量都是平行向量，C 正确．4．下列结论中，正确的是( )A ．2019 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度已选定，则l 上有且仅有两个点A ，B ，使得OA →，OB →是单位向量C ．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D ．一个人从A 点向东走500米到达B 点，则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移 答案 B解析 一个单位长度取作2019 cm 时，2019 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；B 正确；C 中两向量为平行向量；D 中的AB →表示从点A 到点B 的位移．5．O 是△ABC 内一点，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的( ) A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心 答案 C解析 ∵|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，∴O 到三角形三个顶点的距离相等，∴点O 是△ABC 的外心，故选C.二、填空题6．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．答案532解析 结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是边AD 与BC 的中点，则在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．答案 BA →，CD →解析 由题意得AB ∥EF ，CD ∥EF ，∴在以A ，B ，C ，D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.8．如图，在△ABC 中，∠ACB 的角平分线CD 交AB 于点D ，AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，那么DB →的模为________．答案 32解析 由三角形内角平分线的性质，得|AC →|∶|BC →|＝|AD →|∶|DB →|，故|DB →|＝32.三、解答题9．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a 平行，且长度相等，如图所示． (2)满足条件的向量c 可以是图中的CD →.所有这样的向量c 的终点的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆，如图．10．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000 km到达丙地，再从丙地西南方向飞行1000 2 km到达丁地，问丁地在甲的什么方向？丁地距甲地多远？解如图，用A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知△ABC为正三角形．∴AC＝2000.又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 2.∴△ACD为等腰直角三角形．即AD＝10002，∠CAD＝45°.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000 2 km.。
2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理课件新人教A版必修第二册
状元随笔 平面向量基本定理的理解
(1)→e 1，→e 2 是同一平面内的两个不共线的向量，→e 1，→e 2 的选 取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．
(2)平面内的任一向量→a 都可以沿基底进行分解． (3)基底→e 1，→e 2 确定后，实数 λ1、λ2 是唯一确定的．
[教材解难]
1．平面向量基本定理的作用． 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两 个向量的和，并且这种分解是唯一的． 2．基底的性质． (1)不共线性． 平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底．由于零向量与 任何向量共线，所以零向量不可以作为基底； (2)不唯一性． 对基底的选取不唯一，平面内任一向量 a 都可被这个平面的一 组基底 e1，e2 线性表示．
不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成
与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故 B 项正确． 答案：B
平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量 的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条 件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．
题型二 用基底表示平面向量[教材 P26 例 1] 例 2 如图，O→A，O→B不共线，且A→P＝tA→B(t∈R)，用O→A，O→B表 示O→P.
题型三 向量的夹角[经典例题] 例 3 已知|a|＝|b|，且 a 与 b 的夹角为 120°，求 a＋b 与 a 的夹 角及 a－b 与 a 的夹角．
【解析】 如图，作O→A＝a，O→B＝b，∠AOB＝120°，以O→A，O→B 为邻边作平行四边形 OACB，
则O→C＝a＋b，B→A＝a－b. 因为|a|＝|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形． 所以O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. 所以 a＋b 与 a 的夹角为 60°，a－b 与 a 的夹角为 30°. 作图，由图中找到→a －→b 与→a 的夹角，利用三角形、四边形的 知识求角．
(新教材)2019-2020学年人教B版高中数学必修第二册第6章 平面向量初步 6.1.5 课时29
所以O→A＋O→C＝2O→E＝－3O→B.
知识对点练
课时综合练
解析
所以O→B＝－23O→E， |O→B|＝23|O→E|. 设点 A 到 BD 的距离为 h，则 S△AOB＝12|O→B|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|O→E|·h.
1→ 1→ 所以SS△△AAOOCB＝2|O|→OEB|·|·hh＝2|O|→OEB||＝12×23＝13.
求证：D→E＝13(b－a)．
知识对点练
课时综合练
大儒诚信教育资源
证明 ∵CDDA＝EABE＝12，∴D→A＝23C→A＝23b，A→E＝13A→B＝13(A→C＋C→B)＝13(－b －a)＝－13b－13a.
∴D→E＝D→A＋A→E＝23b－13b－13a＝13b－13a＝13(b－a).
知识对点练
知识对点练
课时综合练
正解 因为 D 为 BC 的三等分点， 当 BD＝13BC 时，如图 1，
B→D＝13B→C，
知识对点练
课时综合练
答案
大儒诚信教育资源
所以A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B) ＝23A→B＋13A→C ＝23a＋13b.
知识对点练
课时综合练
答案 C
知识对点练
课时综合练
答案
解析 找出一个非零实数 λ 使得 a＝λb 即可判断 a∥b.A 项中 a＝－12b； B 项中 a＝4b；D 项中 a＝－32b，故 A，B，D 三项中 a∥b，而 C 项中 a＝e1 －2e2，b＝－2e1＋e2，所以 C 项 a 与 b 不一定共线，故选 C.
知识对点练
课时综合练
解析
3．(1)已知 3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中 a，b 为已知向量)， 求 x；
高中数学新教材目录-必修第二册
高中数学新教材目录
（整理到节）
必修（第二册）
第六章平面向量及其应用
6.1平面向量的概念
6.2平面向量的运算
6.3平面向量基本定理及坐标表示
6.4平面向量的应用
第七章复数
7.1复数的概念
7.2复数的四则运算
7.3* 复数的三角表示
第八章立体几何初步
8.1基本立体图形
8.2立体图形的直观图
8.3简单几何体的表面积与体积
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
8.5空间直线、平面的平行
8.6空间直线、平面的垂直
第九章统计
9.1 随机抽样
9.2用样本估计总体
9.3统计分析案例公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率
10.1 随机事件与概率
10.2事件的相互独立性
10.3频率与概率
1。
新教材人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 教学课件
1.向量的定义： 2. 想一想：实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量 能进行运算吗？
一起来探究吧！
1. 如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
C
A B
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法， 称为向量加法的三角形法则.
B
C
F
O
A
B O
C A
O
O B
A B
A C
O
A
B
O
B
A
O
A
B
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和 结合律呢？
D A
C B
D
A
C
B
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图， 一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
问题2 在物理课中，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，如何计 算力F所做的功？
问题3 能否把“功”看成是两个向量相乘的结果呢？
观察力做功的计算公式，发现公式中涉及力与位移的夹角，所以 先来定义向量的夹角概念.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数 量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
2.如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A、B、 C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：
7
5
2
1.向量的定义； 2.有向线段的三要素及向量的几何表示； 3.向量的模、零向量、单位向量的定义及表示； 4.平行向量、相等向量、共线向量.
高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册
6。
1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。
例1。
在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。
相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。
通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。
相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时30 共线向量基本定理知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍 答案 D解析 由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析 如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明 如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解 因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线， 所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析 对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析 设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上． 二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析 由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案 三解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线． 证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线． 又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →， 又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →， 则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →， 又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.3平面向量线性运算的应用课件新人教B版必修第二册
课前篇自主预习
一
二
二、向量在物理中的应用
1.填空.
(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.
(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.
2.做一做:一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的
方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为( )
20 5
=4.
由v3=v1+v2,
得v2=v3-v1
=(0,4)-(-3,4)=(3,0),
所以|v2|=3,即水流速度的大小为3 m/s. 方法点睛根据图形合理地选用向量的加减法,通过建系求出所求
量.
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
1.在矩形 ABCD 中,|������������|=4,|������������|=2,则|������������ + ������������ + ������������|=( )
v2=(20,0),
则帆船的行驶速度 v=v1+v2=(10,10 3)+(20,0)=(30,10 3),
所以|v|= 302 + (10 3)2=20 3(km/h).
因为 tan α=10303 = 33(α 为 v 和 v2 的夹角,α 为锐角),所以 α=30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶,速度为 20 3 km/h.
最小值为2 5,
5
∴|������������ + ������������|∈ 2 5,2 2 ,故答案为 2 5,2 2 .
5
5
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
新教材高中数学第六章平面向量及其应用64平面向量的应用642余弦定理作业课件新人教A版必修第二册
新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.2余弦定理 作业课件新人教A版必修第二册
2021/4/17
新教材高中数学第六章平面向量及其应用64平面向量的应 用642余弦定理作业课件新人教A版必修第二册
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用 第13课时 余弦定理
——能力提升——
14．(多选)(5 分)已知△ABC 中，三边 a，b，c 满足a＋1 b＋b＋1 c＝
a＋3b＋c，则( BC )
A．B＝30°
B．cosB＝12
C．B＝60°
D．sinB＝12
解析：由a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c得 (a＋2b＋c)(a＋b＋c)＝3(a＋b)(b＋c)， 整理得 a2＋c2－b2＝ac，cosB＝a2＋2ca2c－b2＝2aacc＝12， 故 B＝60°.
9．在△ABC 中，若 B＝60°，b2＝ac，则其形状是 等边三角形．
解析：由余弦定理可得 cos 60°＝a2＋2ca2c－b2，
即1＝a2＋c2－ac，于是 2 2ac
a2＋c2－ac＝ac，
所以(a－c)2＝0，因此 a＝c，
又 B＝60°，所以△ABC 是等边三角形．
10．在△ABC 中，若 a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则 b＝ 4 . 解析：在△ABC 中，由 b2＝a2＋c2－2accosB 及 b＋c＝7 知，b2 ＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－14)，整理得 15b－60＝0.∴b＝4.
C．6 2
D．2 19
解 析 ： 由 余 弦 定 理 得 ： c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcosC ＝ 16 ＋ 36 － 2×4×6cos120°＝76，
2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法
第十一页，共34页。
2
又| AC |2＝|a+b|2＝a2+2a·b+b2＝1+4+2a·b＝6， ∴ | AC |＝ 6 ，即AC＝ 6 .
第十七页，共34页。
◆利用向量法解决长度问题的方法 （1）基向量法：利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用 公式|a|2＝a2求解； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公 式，若a＝（x，y），则|a|＝ x2 y2 .
第五页，共34页。
◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用 向量 表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题 ； (2)通过 向量运算 ，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积．
新教材人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 精品教学课件(共471页)
1.如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的
中点，图中与A→E平行的向量的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C.图中与A→E平行的向量为B→E，F→D，F→C共 3 个．
2．下列结论中正确的是( )
①若 a∥b 且|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 a＝b，则 a∥b 且|a|＝|b|；
(6) 两 个 向 量 平 行 时 ， 表 示 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 一 定 平
行．( × ) (7)零向量是最小的向量．( × )
已知向量 a 如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用M→N表示 C．起点是 M 答案：D
B．方向是由 M 指向 N D．终点是 M
已知点 O 固定，且|O→A|＝2，则 A 点构成的图形是( )
【解析】 A→B＝D→C，A，B，C，D 四点可能在同一条直线上，故 ①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相同， 故A→B＝D→C，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同；b ＝c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 的方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相 同，故 a＝c，故③正确． 【答案】 ②③
6.4.1 余弦定理
6.4.2 正弦定理
6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例
6.4.4 三角形中的几何计算 章末复习
6.1 平面向量的概念
1．向量的概念及表示
(1)概念：既有__大__小__又有_方__向___的量．
(2)有向线段 ①定义：具有方向的线段．
②三个要素：__起__点__、_方___向__、_长__度___．
2019_2020学年高中数学第6章平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式练习新人教B版
课时33 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式知识点一 平面向量的坐标1.如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5) 解析 将各向量向基底所在直线分解．a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)，b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)，c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．2．在平面直角坐标系中，点A (2,3)，B (－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量分别为i 和j ，则下列说法正确的是________(只填序号)．①OA →＝2i ＋3j ； ②OB →＝3i ＋4j ； ③AB →＝－5i ＋j ； ④BA →＝5i －j . 答案 ①③④解析 i ，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA →＝2i ＋3j ，OB →＝－3i ＋4j ，AB →＝OB →－OA →＝－5i ＋j ，BA →＝OA →－OB →＝5i －j ，故①③④正确．知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系3.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)答案 A解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．4．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 答案 C解析 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 相等，则m n＝________，|n a ＋m b |＝________.答案 －1241解析 m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝4，3m ＋2n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，∴m n ＝－12. n a ＋m b ＝－2a ＋b ＝(－5，－4)，∴|n a ＋m b |＝|－2a ＋b |＝(－5)2＋(－4)2＝25＋16＝41. 知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式6.在△ABC 中，已知点A (3,7)，B (－2,5)，若线段AC ，BC 的中点都在坐标轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求△ABC 的三边长．解 (1)①若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．②若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)．综上C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)． (2)当C 点坐标为(－3，－5)时，AB ＝(－2－3)2＋(5－7)2＝29， AC ＝(－3－3)2＋(－5－7)2＝65， BC ＝(－3＋2)2＋(－5－5)2＝101.当C 点坐标为(2，－7)时，AB ＝29，AC ＝(2－3)2＋(－7－7)2＝197， BC ＝(2＋2)2＋(－7－5)2＝410.7．已知在△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.解 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)． 又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点． 故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．知识点四 向量的坐标运算的应用8.已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 由已知得OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．(1)若点P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2) PB →＝OB →－OP →＝(4,5)－(1＋3t,2＋3t )＝(3－3t ，3－3t )，若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝P B →，即有3－3t ＝1，且3－3t ＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP 不可能是平行四边形．9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2B ．(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求点M ，N 的坐标及MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18). 易错点 转换向量关系失误10.平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 并延长至点E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________．易错分析 连接DC 并延长至E ，即E 在DC 的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7 正解 设坐标原点为O ，∵AC →＝12BC →，∴OC →－OA →＝12(OC →－OB →)．∴OC →＝2OA →－OB →＝(3，－6)． ∴点C 的坐标为(3，－6)．又∵|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，∴CE →＝－14ED →.设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7.一、选择题1．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( ) A ．向量a 的终点坐标为(－2,3) B ．向量a 的起点坐标为(－2,3) C ．向量a 与b 互为相反向量 D ．向量a 与b 关于原点对称 答案 C解析 a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，故a ＝－B ．故选C ． 2．已知a ＝(－2,3)，b ＝(1,5)，则3a ＋b 等于( ) A ．(－5,14) B ．(5,14) C ．(7,4) D ．(5,9)答案 A解析 3a ＋b ＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A ．3．如图所示，{e 1，e 2}为正交基底，则向量2a ＋b 的坐标为( )A ．(3,4)B ．(2,4)C ．(3,4)或(4,3)D ．(4,2)或(2,4)答案 A解析 由图可知2a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1＋3e 2，所以2a ＋b ＝3e 1＋4e 2＝(3,4)．4．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值是( )A ．－112B ．112C ．－292D ．292答案 C解析 a ＋b ＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc ＝(4λ，x λ)，又a ＋b ＝λc ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＝4λ，7＝x λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，则λ＋x ＝－292.5．已知M (2，－1)，N (0,5)，且点P 在MN 的延长线上，|MP |＝2|PN |，则P 点坐标为( ) A ．(－2,11)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3 D ．(－2,12)答案 A解析 因为P 在MN 的延长线上且|MP |＝2|PN |， 所以MP →＝2NP →，则OP →－OM →＝2(OP →－ON →)， 所以OP →＝2ON →－OM →＝2(0,5)－(2，－1)， 即OP →＝(－2,11)． 二、填空题6．如图，正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(1,1)，试用基底向量i ，j 表示下列向量：OB →＝________，OC →＝________，AB →＝________，AC →＝________.答案 －i ＋j －i －j －2i －2i －2j 解析 如题图所示，OA →＝(1,1)＝i ＋j ， ∴OE →＝i ，EA →＝j .∴OF →＝－OE →＝－i ，FB →＝EA →＝j ，FC →＝－FB →＝－j .∴OB →＝OF →＋FB →＝－i ＋j ；OC →＝OF →＋FC →＝－i －j ；AB →＝OB →－OA →＝－i ＋j －(i ＋j )＝－2i . 同理，BC →＝OC →－OB →＝－i －j －(－i ＋j )＝－2j ，AC →＝AB →＋BC →＝－2i ＋(－2j )＝－2i －2j .7．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则|a |＋|b |＝________. 答案 18 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(2，－8)， ①a －b ＝(－8，16)， ②由①＋②得，a ＝(－3,4)， 由①－②得，b ＝(5，－12)．故|a |＋|b |＝(－3)2＋42＋52＋(－12)2＝5＋13＝18.8．已知点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →，λ∈R ，则x ＝________.答案 2解析 取O (0,0)，由OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ＋(1－λ)，5＝－λ＋3(1－λ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2.9．已知边长为1的正方形ABCD ，若点A 与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．答案 (3,4)解析 根据题意建立坐标系如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)．∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)． 三、解答题10．(1)已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →的坐标； (2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标． 解 (1)∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)． ∴AB →＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； AC →＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； AB →－AC →＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)； 2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1.(2)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；3a －4b ＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．11．已知点A (6,3)，O 为坐标原点，点P 在直线OA 上，且OP →＝12PA →，若P 是线段OB 的中点，求点B 的坐标及PB 的长．解 设点P (x 1，y 1)，B (x ，y )，∵OP →＝12PA →，∴(x 1，y 1)＝12(6－x 1,3－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12(6－x 1)，y 1＝12(3－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝1，∴点P 的坐标为(2,1)． ∵点P 是OB 的中点，∴2＝0＋x 2，1＝0＋y2⇒x ＝4，y ＝2，∴点B 的坐标为(4,2)．∴PB 的长为(4－2)2＋(2－1)2＝ 5.12．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c ， (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．解 (1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，∴p ＝－212a －15b ．。
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.1平面几何中的向量方法课件新人
[对点练清] 1.[变结论]若本例(3)的条件不变，求 DF 的长.
解 ： 由 例 (3) 的 解 析 知 F n3，0 ， D n2，m2 ， 所 以 ―D→F ＝ －n6，－m2 ， 故|―D→F |＝ 316n2＋14m2＝16 n2＋9m2， 即 DF＝16 n2＋9m2.
2.如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对角 线 BD＝2，求对角线 AC 的长.
[方法技巧] 1.三点共线问题的解法 (1)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这 两条直线平行. (2)若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这 两条直线重合.例如，若向量―AB→＝λ―AC→，则―AB→，―A→ C 共线， 又―AB→与―AC→有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这是证 明三点共线的重要方法.
三、易错防范题
5.已知 A，B，C，D 四点的坐标分别为(－2,0)，(0,2)，(1,3)，
(2,4)，则 A，B，C，D 构成的图形为( )
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.线段
解析：∵―AB→＝(2,2)，―CD→＝(1,1)，―AC→＝(3,3)，
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判 断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥ b⇔a·b＝0⇔____x_1x_2_＋__y_1_y2______＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式：
x1x2＋y1y2 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝___x_21_＋__y_21·__x_22_＋__y_22_. (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： |a|＝ a2＝ x2＋y2或|AB|＝|―AB→| ＝ x1－x22＋y1－y22.
2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.26.3.36.3.4第1课时平面
第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示[A 基础达标]1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7，6)C ．(5，0)D ．(11，8)解析：选D.因为OA →＝(4，2)，OB →＝(3，4)， 所以2OA →＋OB →＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．2．设向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( )A ．－112B.112 C ．－292D.292解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，所以λ＋x ＝－292，故选C.3．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →等于( )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：选D.12AB →＝12(MB →－MA →)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设点D (m ，n )，则由题意得(4，3)＝2(m ，n －2)＝(2m ，2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72，故选A.5．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.23解析： 选C.如图所示，因为∠AOC ＝45°， 所以设C (x ，－x )， 则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3，0)，B (0，2)， 所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________． 解析：设O 为坐标原点，因为OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，c ＝(4，1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________． 解析：设c ＝x a ＋y b ，则(x ，2x )＋(－2y ，3y )＝(x －2y ，2x ＋3y )＝(4，1)．故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，2x ＋3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 所以c ＝2a －b . 答案：2a －b8．已知A (－1，2)，B (2，8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________．解析：AC →＝13AB →＝13(3，6)＝(1，2)，DA →＝－23AB →＝－23(3，6)＝(－2，－4)，DC →＝DA →＋AC →＝(－1，－2)， 所以CD →＝(1，2)． 答案：(1，2)9．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3，1)． 同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB →＝λBD →(λ∈R )，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.[B 能力提升]11．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义m n ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝ab ，那么向量b 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－45C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－45 D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，45 解析：选A.设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ，解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45.12．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ＝______．解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA→＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.答案：2313．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)14．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系． 因为|a |＝2，所以a ＝(2，0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－32， y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12，所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.同理可得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2，0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝(2λ1－32λ2，12λ2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3.所以c ＝－3a －33b .[C 拓展探究]15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． (1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求OP →的坐标；(2)若OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，试求m －n 的值． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以点P 的坐标为(2，2)， 故OP →＝(2，2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． 所以AB →＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，AC →＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，因为OP →＝mAB →＋nAC →，所以(x 0，y 0)＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.。
2020-2021学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6
1．(多选题)下列各式一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．A→C＋C→B＝A→B
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
ABC [A，B，C 项满足运算律及运算法则，而 D 项向量和的模 不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]
2．(多选题)对于任意一个四边形 ABCD，下列式子能化简为B→C的
平行
四边
形法 已知两个不共线向量 a，b，作A→B＝a，A→D＝b，以A→B，A→D为 则 邻边作▱ABCD，则对角线上的向量_A→_C___＝a＋b.
思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
[提示] 不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的 加法．
3．|a＋b|与|a|、|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b| ≤ |a|＋|b|，当且仅当 a，b方向相同时等号 成立．
①A→B＋D→F＝A→B＋B→C＝A→C. ②A→D＋F→C＝A→D＋D→B＝A→B. ③A→D＋B→C＋F→C＝A→D＋D→F＋F→C＝A→C.]
(2)[解] ①首先作向量O→A＝a，然后作向量A→B＝b，则向量O→B＝ a＋b.如图所示．
②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内 任取一点 O，作向量O→A＝a，再作向量A→B＝b，则得 向量O→B＝a＋b，然后作向量B→C＝c，则向量O→C＝(a ＋b)＋c＝a＋b＋c 即为所求．
练地进行向量加法运算．(重点) 2．对比数的加法，给出了向量的
3．能区分数的加法与向量的加法 加法运算律，培养数学运算的核心
的联系与区别．(易混点)
素养.
情境 导学 探新 知
有一名台湾商人想去拉萨游玩，但是由于台湾没有直达拉萨的航 班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机要先从台北到香港，再 从香.
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6．1 平面向量的概念考点学习目标核心素养 平面向量的相关概念了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念数学抽象平面向量的几何表示 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念数学抽象相等向量与共线向量 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量(向量的模)能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB →与向量BA →是相等向量吗？1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．(2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b . ■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量，长度大的向量较大．( ) (2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( ) (3)向量的模是一个正实数．( ) (4)向量就是有向线段．( ) (5)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (7)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点B ．一条直线C ．一个圆D ．不能确定答案：C如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，则与ED →相等的向量有________．答案：AB →，DC →向量的相关概念给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．1．下列说法中正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A ，B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫做相等向量 C ．零向量与任一向量平行 D ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C.向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA →，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．用有向线段表示向量的步骤已知飞机从A 地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行1 000 2 km 到达D 地．(1)作出向量AB →，BC →，CD →，DA →；(2)问D 地在A 地的什么方向？D 地距A 地多远？ 解：(1)由题意，作出向量AB →，BC →，CD →，DA →，如图所示．(2)依题意知，三角形ABC 为正三角形，所以AC ＝2 000 km.又因为∠ACD ＝45°，CD ＝1 0002，所以△ACD 为等腰直角三角形，即AD ＝1 000 2 km ，∠CAD ＝45°，所以D 地在A 地的东南方向，距A 地1 000 2 km.共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.2．[变问法]本例条件不变，与AD →共线的向量有哪些？解：与AD →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．1．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向 B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B.根据共线向量的定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B. 2．如图，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：(1)写出与BC →相等的向量； (2)写出与BC →共线的向量．解：(1)因为四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，所以BC ∥AD ∥DE ，BC ＝AD ＝DE ，所以BC →＝AD →＝DE →.故与BC →相等的向量为AD →，DE →.(2)与BC →共线的向量共有7个，分别是AD →，DE →，DA →，ED →，AE →，EA →，CB →.1.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B.两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC →相等的向量； (2)与OB →长度相等的向量； (3)与DA →共线的向量． 解：画出图形，如图所示． (1)易知BC ∥AD ，BC ＝AD ， 所以与BC →相等的向量为AD →.(2)由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ， 所以与OB →长度相等的向量为BO →，OC →，CO →，OA →，AO →，OD →，DO →.(3)与DA →共线的向量为AD →，BC →，CB →.[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的． 2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D.AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →的方向不同，故AD →≠FC →，故选D. 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B.①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 的长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：5328．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图． (1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量； (2)求证：BE →＝FD →.解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB →，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →.(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC . 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED 綊BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形， 所以BE 綊FD ， 所以BE →＝FD →.10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形． 解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB →∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是 ( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：选D.由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.13．如图，在△ABC 中，∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D .若AC →的模为2，BC →的模为3，AD →的模为1，则DB →的模为________．解析：如图，延长CD ，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于点E .因为∠ACD ＝∠BCD ＝∠AED ，所以|AC →|＝|AE →|.因为△ADE ∽△BDC ， 所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC→|，故|DB →|＝32. 答案：3214．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示．(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝5 5.[C 拓展探究]15．如图，A 1，A 2，…，A 8是⊙O 上的八个等分点，则在以A 1，A 2，…，A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的向量有多少个？解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA →i (i ＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A i O →(i＝1，2，…，8)，也有8个．两类共计有16个．以A 1，A 2，…，A 8中四点为顶点的⊙O 的内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．。