北邮 信号与系统 期中试题

《信号与系统》期中考试试题
一．填空题（每空2分，共20分）
1．
()()cos (1)d t u t t t δ∞−∞
−=∫
；()()cos d t u τττ−∞
=∫ ；()(21)d t
τδττ−∞
′+=∫
2. 某连续时间系统，其输入()x t 和输出()y t 的关系为()()(sin )y t x t =则该系统是否为线性 ，是否为因果系统 ；
3． 已知某信号()f t 的傅立叶变换为()F ω，则()[23]f t −−的傅里叶变换为 ；
4. 信号()11
[()(2)]2f t u t u t =−−的傅里叶变换为 ；信号
()()2e ()为正实数at f t A u t a −=的傅里叶变换为 ；
5. 帕斯瓦尔定理内容是 ；
6. 若调制信号()f t 的频带宽度为W ，设已调信号为()0sin 4f t t πω⎛
⎞+⎜⎟⎝⎠，且0W ω>>，则
已调信号的频带宽度为
二．判断题（每题2分，共14分）
1. 根据傅里叶变换的对称性质，若信号()f t 的频谱为()F ω，则若有时域信号可表示为
()F t ，则其对应的傅里叶变换必为()2f πω。

2. 信号()sinc t 是功率信号，而信号()cos t 是能量信号。

3. 已知()1()()s t f t f t =⊗，则()11(1)(1)s t f t f t −=−⊗−。

4. 对于某LTIS 的单位冲激响应()h t ，因为激励单位冲激信号()t δ是在0t =时刻加入的，所以响应将出现在该时刻之后，因此响应可表示为()()h t u t ⋅。

5．傅里叶变换的诸多性质中，有很多可以反映出信号时域和频域的内在联系。

其中由尺
度变换特性，我们可以知道，信号的脉宽（持续时间）和其带宽（频带宽度）一定是成反比关系。

6．傅里叶变换反映了信号的时域表示()f t 及其频谱()F ω的一一对应的关系，对于不同的信号其傅里叶变换也是不同的，因而我们可以用定义式()j ()e d t F f t t ωω∞−−∞
=∫来求任何
信号的频谱。

7. 信号()Sa t 是带宽受限信号，其频带宽度为2。

三.（6分） 对于单位冲激信号()t δ，我们可以用不同函数如矩形脉冲、三角脉冲等取极
限的方式得到。

试根据冲激信号的性质证明：lim Sa()()πk k kt t δ→∞⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
四. （8分）某LTI 系统，输入信号()1()e t u t =，在该输入下的完全响应为()12e (0)t r t t −=≥，又已知输入信号()2()e t t δ=时，完全响应()2()r t t δ=。

（1）求该系统的零输入响应()zi r t ；（2）若系统起始状态不变，求对于输入()3e ()t e t u t −=的完全响应()3r t 。

五．（6分）已知信号()23f t −+的波形如图所示，试画出信号()f t 的波形。

六. （6分）已知某系统的微分方程可表示为d d
()3()()2()d d r t r t e t e t t t
+=+，求系统的单位冲激响应()h t 。

七.（8分）如图所示系统由若干子系统组成，各子系统的冲激响应分别为()1()h t u t =，
()2(1)h t A t δ=−，()3()h t t δ=−，试求该系统总的冲激响应()h t ；若激励信号()e ()t e t u t −=，用时域卷积法求系统的零状态响应。

八．（10分）已知周期信号()()()002cos sin 3f t t t ωω=+， （1） 请写出其指数形式的傅立叶级数，并画出其频谱图； （2） 请写出该周期信号的傅立叶变换，并画出频谱图； （3） 计算该周期信号的平均功率。

九. （8分）已知冲激序列()()T k t t kT δδ∞
=−∞
=
−∑，
（1）求该冲激序列的指数形式的傅里叶级数表达式；（2）求该冲激序列的傅里叶变换的表达式。

十. （6分）图示系统，已知1()x t 和2()x t 都是带限信号，1()x t 截止频率为1ω，2()x t 截止频率为2ω，试求从抽样信号()s f t 中恢复()f t 的最大抽样间隔max T 。

)
t 1x ()()
n p t t nT =−∞
=
−
十一．（8分） 为了通信保密，有时可将语音信号在传输前进行倒频（scramble ），接收端收到倒频信号后，再设法恢复原信号的频谱。

题图(b)是一倒频系统，如输入为带宽受限的信号()f t ，其频谱()F j ω如图(a)所示，其最高频率为m ω，已知b m ωω>>；图(b)中HP 是理想高通滤波器，其单位冲激响应为()1h t ，傅里叶变换为()1H j ω，截止角频率为b ω，即()110
b
b
K H j ωωωωω⎧>⎪=⎨
<⎪⎩；图(b)中LP 为理想低通滤波器，其单位冲激响应为()2h t ，傅
里叶变换为()2H j ω，截止角频率为m ω，即()2
20m
m
K
H j ωωωωω⎧<⎪=⎨>⎪⎩。

试求()x t 和()y t 的频谱，并画出它们的幅度频谱图。

图(a)
图(b)
f b 2()
H j ωb m ()
H j ω。