第3讲 有限元梁单元

e jj j
e
从上面方程可以看出梁单元刚度矩阵子块的物理意义：相关节
点位移对对应节点力的贡献。
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
上面按分块形式表示的单元刚度方程——节点力～
节点位移关系在整体分析中集成单元特性时更加简
洁，在有限元分析中广泛采用。 Nhomakorabea第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
三、离散结构的整体分析
e
k ij k jj
e
e
i j
e
将上式按分块矩阵乘法展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：
pi e
e j
kii i kij
e e
e e ji i
p k
k
e j
（这里1，2，3，4是单元自 由度序号）
为了求刚度矩阵元素，在上式中假设：
u1 1 u 0 2 u 3 0 u 4 0
刚度方程
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s 4 a 41
§2.3
简单梁单元
一、离散化，节点位移与节点载荷
• 对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段 为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的 物理模型是“焊接”。 •
梁上任一节点i处有2个位移分量： 挠度 f i 及转角 i 。
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
一个节点位移用列阵表示为：
p2 2 k22 2 2 2 k23 2 32
1 2
p1 k11 p2 k 21
p2 k 22 p3 k32
2
1
k12 k 22
k 23 k33
1
1 2
移分量，单元共有4个位移分量——4个自由度；
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
单元节点位移：
e
e
fi

i
fj
j T
称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。
结构中一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分 对该单元的作用力，称为单元节点力。该单元每节点2个节 点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对 应）。
节点2的外载荷=节点2对其所有相连单元的节点力之和（节点总内力） 也就是节点2所受外载荷Q2 要分配到相连的单元上。
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
由前面给出的单元（1）、（2）分块形式 单元刚度方程代入节点2的平衡方程：
p2 1 k21 111 k22 1 2 1
Z 1）外载荷： 2 , M 2
2）单元（1）、（2）上节点力的反作用力：
q ,m ,q2 ,m2
1 2 1 2 2
2
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
单元节 点力
简单梁单元
外载荷
单元节点力 的反作用力
由节点2的静力平衡条件得：
单元节点力
Z 2 q21 q2 2 Q2 1 2 p2 1 p2 2 M 2 m2 m2
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
单元节点力：
简单梁单元
p
p
e
qi mi q j m j


T
e
称为单元e的单元节点力列阵（向量）。
注意：
1) 如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与单元局部坐标轴正方向 一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！
2) 节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。
2 3
1
2
2
Q2 p2 p2 1 1 2 2 k21 1 (k22 k22 ) 2 k23 3
第二章 杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
同理，由节点3的平衡可得：
Q3 p 3 2 p3 3 k32 2 2 (k33 2 k33 3 ) 3 k34 3 4
第1列刚度元数就是第1个节点位移分量为1，其他位移分量皆为0时所有
节点力分量。
第二章 杆单元与梁单元
§2.3 简单梁单元
按上述物理意义求刚度矩阵元素：
e
1 0 梁单元位移 0 0
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s4 a41
fi i f i i
i T
i 称为节点i的节点位移。
• 对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：
横向力 Z i 和弯矩 M i ，称为广义力。
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
结构上一个节点的载荷用列阵表示为：
Zi T Qi Zi M i M i
第二章 杆单元与梁单元
至此已求出刚度矩阵的第1列元素。
§2.3
再设：
0 1 0 0
简单梁单元
梁单元变形
e
s1 a12 s a 2 22 s3 a32 s4 a42
6l 4l 2 6l 2l 2
12 6l 12 6l
6l 2l 2 6l 4l 2
显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质： 1）对称性； 2）奇异性； 3）主对角元素恒正。 刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定：
pe
第二章
k
•设已知分块形式的各单元特性方程：
p1 k 11 p2 k 21
p2 k 22 p3 k32 k p3 33 p4 k 43
第二章 杆单元与梁单元
3 2
1
k12 1 k 22 2
上式简写为：
简单梁单元
K Q
——
Q
—— 结构（系统）有限元平衡方程
结构节点位移列阵（ 8 ×1）
—— 结构节点载荷列阵（ 8 ×1） —— 结构总刚度矩阵（8 ×8）
由刚度方程可得：
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s4 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 u1 a24 u2 a34 u3 a44 u4
第二章
pe k e e
杆单元与梁单元
§2.3
常数。
简单梁单元
上式就是梁单元的刚度方程。 k e 称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是
方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为：
s1 a11 s a 2 21 s3 a31 s4 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 u1 a24 u 2 a34 u3 a44 u 4
按材料力学悬臂梁变形公式求节点力如下： 挠度：
s1l 3 s2l 2 u1 1 3EJ 2 EJ
再由梁单元的静力平衡条件得：
12 EJ a31 3 l 6 EJ s4 s1l s2 2 a41 l s3 s1
s1l 2 sl u2 0 2 转角： 2 EJ EJ 12 EJ s1 a11 3 l 联立解出： 6 EJ s2 a21 l2
0 2 k 23
2 3 k33 k33 3 k 43
1 Q1 2 Q2 3 3 Q3 k34 3 k 44 4 Q4 0 0
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
e
e
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
• 3、单元刚度方程的分块
pe k e e
单元节点力列阵分块：
采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。
单元节点位移列阵分块：

e
i j
e
p
e
pi pj
e
第 2 章 杆单元与梁单元
2.3 2.4 2.5
简单梁单元 （弯曲变形）
平面内一般 梁单元
三维空间梁 单元简介
梁单元的单元特性
梁单元的单元刚度矩阵 离散结构的整体分析
单元与节点 局部坐标系下的平面梁单元 单元刚度矩阵的坐标变换 平面刚架的整体分析
三维空间梁单元刚度矩阵
结构总刚度矩阵及其性质
第二章
杆单元与梁单元
第二章
杆单元与梁单元
§2.3
简单梁单元
• 2、单元特性的建立 与杆单元类似，一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一 个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系， 这个关系就是单元的特性（刚度特性）。
下面根据材料力学和单元刚度矩阵元素物理意义建立梁单元特性。
在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之 间有线性关系： qi a11 a12 a13 a14 f i m i a 21 a 22 a 23 a 24 i q j a 31 a32 a33 a34 f j m j a 41 a 42 a 43 a 44 j 简记为：
同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：