数学建模-图论模型
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• 问题分析：每次摆渡发生后，羊、狼、菜中最多一个以及人的位 置会发生变化。而根据题意，其中一些位置的组合是不可以出现 的。 因此，整个摆渡过程可以看成是狼、羊、菜、人的位置的可 行的变化过程。
• 用长度为４的0，1序列来表示人、羊、狼、菜摆渡前后的位置其 中１表示北岸，而0表示南岸。
• 用平面上点来表示可能的10个状态，两点用一条线相连，当且仅 当这两点所表示的位置状态可以通过一次摆渡转化。
• 图中从点(１,１,１,1)经过一些边到点(0,0,0,0)的每一种走法都对 应一种可行的摆渡方案。
图论模型的基本思路
• 将实际对象转化成“图”。 • 实际问题对应成“图”上的问题。 • 用“图”的研究方法来解决问题。 • 将结果对应到实际问题，给出解释。
本章结构
1.1．图论模型的基本理论
• 所谓的图就是由平面上的一些点以及这些点之间的连线构成的结 构。
• 观察分析：我们所要求的走法存在的 必要条件是图中每个点相关联的连线 数目是偶数。 • 结论：所要求的走法是不存在的。
引例2. 过河问题
• 一只狼、一只羊、一筐菜位于河的同侧。一个摆渡人要将它们运 过河去，由于船小运力有限，一次只能载三者之一。 很显然狼和 羊， 羊和菜都不能在无人监视的情况下留在一起，那么摆渡人应 该怎样把它们运过河呢?
思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
模型建立
我们可以用点来表示乡镇，根据实际情况判定两个城镇之间建立 直通铁路的可行性，以及所需成本。在可以建造铁路的两个乡镇 所代表的点之间连上一条边并且赋上经过核算后的最低造价。 这 样我们就得到了一张赋权图。(下页a图)
模Fra Baidu bibliotek求解
• 显然在任何两城镇之间都建立直通铁路是相当浪费的。 • 因此我们只需在这张图中找到一最小支撑树。根据此最小支撑树
在每条边所连接的城镇间施工建造即可。（图b就是一种方案）
1.6 匹配算法应用
• 问题描述：随着经济的快速发展城市规模日益膨胀，城市道路日 趋复杂这就给应对突发事件带来了很大的困难。以罪犯逃逸为例， 警方需要在短时间内封锁市区内各主要出口并抓捕逃犯但警力有 限且分散在全市各地，如何安排出警？
思路分析
• 当犯罪行为发生后犯罪分子的逃逸线路并无规律不易预测我们无 法保证及时有警力到场因此封锁拦截是一个较有效的办法。
• 而要做到及时封锁道路我们需要对城市道路通行情况非常熟悉了 解每一路段的通行情况以及对应的有效封锁路口位置。
• 在安排警力出警时主要考量的是在尽量短的时间内到达各个封锁 路口。
• 封锁的成败在于每一个路口都要在规定时间警力到达。
1.4.Dijkstra算法应用
• 在大城市里，乘坐公共交通工具出行是人们主要的出行方式，而 在各种公共出行方式中，地铁无疑是最可靠的。事实上，在大中 型城市，地铁建设正如火如荼地进行。尤其是特大城市，已经形 成了较复杂的地铁网络。
• 面对这样复杂的地铁网络，人们面临的首要问题就是如何选择最 佳的搭乘线路。
• 其次根据出行所在时段的实时数据，给每段线段分别赋值： (１)对于同一线路上两个相邻站点之间的线段赋值为两点之间距 离除以线路运行速度再加上站点停靠时间。 (２)对于不同线路的换乘点之间的线段赋值为换乘时间。
模型求解
• 下图为根据南京地铁草图绘制的简单图，如给出某时段 的运行时间和换乘时间，就可对该图赋权并运Dijkstra算 法计算甲、乙两站点间的最佳乘坐线路和所需时间。
到课程{a安, c排, e为, g第},一{b时, c,间e,段g,bd,d},,f{；b,第d,二e,时f }间, {段b,ac,,ed,g,；f }第三时间段c。
1.3 竞赛图应用
• 问题描述：某锦标赛采用循环赛制，若干选手两两互相 竞赛。得出竞赛成绩后应该怎样排列参赛者的名次呢?
• 下表表所示是一次比赛成绩，我们用数字１-６来表示 这６名选手，其中“胜”字所在行的选手战胜所在列的 选手“负”字所在行的选手输给了所在列的选手。
和 果是 {v1 ,
时，我们可以写出其对应关联矩阵
, vn }
{e1 , , em }
的一个端点则 为1，否则为0。M (G) (mij )
vi
其中 如 ej
• 邻接矩阵: 当图 的m顶ij 点集为
时，
我们可以定义它的邻接矩阵
G
其中
为连接顶点 与 的边的数目。
{v1 ,
, vn }
• 注：图的邻接矩阵是对称的，我们往往A计(G算)机只(存ai储j )对角线及以
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E
• 该图有３个双连通分支且唯一
线性排序为
1.1.3．Dijkstra算法
• Dijkstra算法是一个用来计算给定赋权图中一点到其他各点之间距 离的算法,也称为最短路算法。 它的主要步骤如下：
m上ij部分。
vi
vj
关联和邻接矩阵举例
左图为关联矩阵，右图为邻接矩阵
特殊图类
• 赋权图：对图中的边赋予一定的权重。 • 有向图：对图的每一条边都规定方向。 • 其它图类：
支撑树与完美匹配
• 包含所有顶点的子图叫支撑子图。特别地，如果一个支撑子图是 树时，我们称它为图的支撑树。
• 所有由两两无公共端点的边组成的子图称为图的匹配。如果该匹 配涵盖图的所有顶点，则称其为图的完美匹配。下图中右图为左 图的完美匹配。
模型求解
• 下图即为用于制定票价的简图，边的赋值为两站之间经过的站点 数量。运用Dijkstra算法可以计算出两站之间需经过最少站点数目， 从而定价。
1.5 Kruskal算法
• 问题描述：为了改善某地区的交通，国家决定建设连接该地区的 各个主要城镇的小型铁路网络。请设计经济、合理的铁路网络。
• 思路分析：建造铁路网络的主要目的是连接主要城镇，最基本的 要求是居民可以在任意两个城镇之间通过该铁路网络通行。在保 证满足这一基本要求的基础上我们要尽量节约建造成本，也就是 总费用要少。
• 而对于地铁运行商来说，一个现实的问题就是如何制定地铁票的 价格标准。
以南京部分线路为例
• 讨论如何建立数学模型来解决以上两个问题。 • 下图是南京地铁1-4号线部分主要站点线图草图。
1.4.1.最佳乘车路线问题
• 问题描述：乘地铁时，对于同一目的地，人们有多种乘车路线， 选择那么究竟哪一种路线才是最佳的呢?
1.1.4 Kruskal算法
• Kruskal算法可以用来高效地求赋权图的最小支撑树，具体如下：
1.1.5 匹配算法
1. 匈牙利算法用来求已知二部图的最大匹配，如果二部图两部 分顶点一样多，该算法可以确定完美匹配是否存在。
2. Kuhn-Munkres算法是对匈牙利算法的一个改进可以用来找出 赋权完全二部图的最优匹配。
1.1.1 图的独立集
• 图的一个顶点子集如果其中任何两个顶点之间都没有边相连，那 么我们称其为一个独立集。在工程上也叫稳定集。
• 所含顶点个数最多的独立集称为最大独立集， 而这一最大值称 为图的独立数。
• 如果一个独立集不包含于任何其它独立集，我们称其为极大独立 集。
• 独立集可以由贪婪算法直接得到，也可由图的覆盖得到。
模型求解
• 为了构造图的覆盖，对于每一顶点，我们至少要么选取该点要么 选取它的所有邻点。
• 利用代数方法，首先把选择顶点ｖ这个指令简记为符号ｖ，指令 “Ｘ或Ｙ”和“Ｘ与Ｙ”分别记为Ｘ＋Ｙ(逻辑和)和ＸＹ(逻辑积)。
• 在本例中，我们的指令用于求极小覆盖时就是
化简后为
故有四个极小覆盖：
选取一个覆盖的补作为独立集，去除后再继续这一过程。最终得
1.1.2．竞赛图
• 竞赛图是一种特殊的有向图，它的任何一对顶点之间都有一条唯一 的有向边相连。换句话说竞赛图是由对完全图的每条边都赋上一个 方向得到。
• 性质1：任何竞赛图都含有一个有向哈密尔顿路。 • 性质2：任何竞赛图都有一个唯一的双连通分支的线性排序。 • 注：如果图中任意两个顶点之间都有两条方向相反的有向路连接，
第一章 图论模型
引例1. 哥尼斯堡七桥问题
• 一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥 最后回到出发点？
• 该问题被认为是图论起源，被大数学家欧拉解决。
• 问题的本质：人们分别在岸上和岛上行走的路线与距离，桥的形 状长度与本问题无关我们只需要关注过桥的顺序。
• 图的建立：用四个点来表示河的两岸和河中的岛屿而用点之间的 连线表示连接它们之间的桥。
• 思路分析：影响乘坐时长主要因素：第一，各条线路的运行速度 是不一样的。第二，换乘时可能会消耗一定时间。第三，所选择 的线路的总运行距离不同。而这些因素都和出行所在时间段是否 在高峰期相关。因此，我们可以根据出行时间段以及这三个因素 的实际情况选择出行线路。
模型建立
• 首先我们根据已知地铁线路建立一张简图，对于每一条线路所经 站点按顺序用一列点表示并且在相邻站点之间用一条线段连接. 对于两不同线路共同的站点(即可更换线路的站点)用线段连接。
1.4.2.票价制定问题
• 问题描述：如何制定合理的地铁票价? • 思路分析：从运行成本的角度票价应只与乘坐距离有关由于目前
还无法全线跟踪每一乘客的详细乘坐线路故公平起见只能默认乘 客所选线路是运行距离最短的。 • 模型建立：由于列车停靠与线路换乘与运行距离无关。我们对上 节中的简图和赋值做如下修改： (１) 将两条线路的公共站点(换乘点)合成一个点，即将这两点之间 的线段收缩掉。 (２) 对于两相邻站点之间的线段赋值为两点之间的距离或赋值为１ 个单位。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
模型建立
• 用点来表示运动员，对于两名运动员比赛结果，用一条由胜者到 负者的有向边表示，得到下图。
• 按照哈密尔顿路给出排名或计算 获胜场数均不够合理。 • 采用多级得分向量方法：
一般情形
• 若竞赛图不是双连通的，它的各个双向连通分支可以按优胜顺序 排列。于是在一般的循环赛中可以按下列程序排出名次。
覆盖与独立集
• 图的一个顶点子集满足图中任意一条边都与其中某一点关联，则 称该子集为图的一个覆盖。
• 所含点数最小的覆盖称为最小覆盖，如果一个点覆盖不包含其他 覆盖，我们称其为图的极小覆盖。
• 如果以顶点集为全集，每个独立集的补集为图的一个覆盖，而任 何一个覆盖的补集为一个独立集。
• 右图中{5,7,8}为一极大独立集， {1,4,7,8}为一最大独立集，{1,2 3,4,6}为一极小覆盖，{2,3,5,6} 为一最小覆盖。
• 图中的点在图论中称为图的顶点，两点之间的连线称为图的边。 和某一点有边连接的点都称为它的邻点。
• 一点出发通过一些边经过不同的点到达另一点的路径我们称之为 两点间的路，所含边的数目称为路的长度。所有连接两点路的长 度的最小值称为这两点之间的距离。
图的表示
• 关联矩阵: 当图 的顶点G集和边集分别为
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。
• 用长度为４的0，1序列来表示人、羊、狼、菜摆渡前后的位置其 中１表示北岸，而0表示南岸。
• 用平面上点来表示可能的10个状态，两点用一条线相连，当且仅 当这两点所表示的位置状态可以通过一次摆渡转化。
• 图中从点(１,１,１,1)经过一些边到点(0,0,0,0)的每一种走法都对 应一种可行的摆渡方案。
图论模型的基本思路
• 将实际对象转化成“图”。 • 实际问题对应成“图”上的问题。 • 用“图”的研究方法来解决问题。 • 将结果对应到实际问题，给出解释。
本章结构
1.1．图论模型的基本理论
• 所谓的图就是由平面上的一些点以及这些点之间的连线构成的结 构。
• 观察分析：我们所要求的走法存在的 必要条件是图中每个点相关联的连线 数目是偶数。 • 结论：所要求的走法是不存在的。
引例2. 过河问题
• 一只狼、一只羊、一筐菜位于河的同侧。一个摆渡人要将它们运 过河去，由于船小运力有限，一次只能载三者之一。 很显然狼和 羊， 羊和菜都不能在无人监视的情况下留在一起，那么摆渡人应 该怎样把它们运过河呢?
思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
模型建立
我们可以用点来表示乡镇，根据实际情况判定两个城镇之间建立 直通铁路的可行性，以及所需成本。在可以建造铁路的两个乡镇 所代表的点之间连上一条边并且赋上经过核算后的最低造价。 这 样我们就得到了一张赋权图。(下页a图)
模Fra Baidu bibliotek求解
• 显然在任何两城镇之间都建立直通铁路是相当浪费的。 • 因此我们只需在这张图中找到一最小支撑树。根据此最小支撑树
在每条边所连接的城镇间施工建造即可。（图b就是一种方案）
1.6 匹配算法应用
• 问题描述：随着经济的快速发展城市规模日益膨胀，城市道路日 趋复杂这就给应对突发事件带来了很大的困难。以罪犯逃逸为例， 警方需要在短时间内封锁市区内各主要出口并抓捕逃犯但警力有 限且分散在全市各地，如何安排出警？
思路分析
• 当犯罪行为发生后犯罪分子的逃逸线路并无规律不易预测我们无 法保证及时有警力到场因此封锁拦截是一个较有效的办法。
• 而要做到及时封锁道路我们需要对城市道路通行情况非常熟悉了 解每一路段的通行情况以及对应的有效封锁路口位置。
• 在安排警力出警时主要考量的是在尽量短的时间内到达各个封锁 路口。
• 封锁的成败在于每一个路口都要在规定时间警力到达。
1.4.Dijkstra算法应用
• 在大城市里，乘坐公共交通工具出行是人们主要的出行方式，而 在各种公共出行方式中，地铁无疑是最可靠的。事实上，在大中 型城市，地铁建设正如火如荼地进行。尤其是特大城市，已经形 成了较复杂的地铁网络。
• 面对这样复杂的地铁网络，人们面临的首要问题就是如何选择最 佳的搭乘线路。
• 其次根据出行所在时段的实时数据，给每段线段分别赋值： (１)对于同一线路上两个相邻站点之间的线段赋值为两点之间距 离除以线路运行速度再加上站点停靠时间。 (２)对于不同线路的换乘点之间的线段赋值为换乘时间。
模型求解
• 下图为根据南京地铁草图绘制的简单图，如给出某时段 的运行时间和换乘时间，就可对该图赋权并运Dijkstra算 法计算甲、乙两站点间的最佳乘坐线路和所需时间。
到课程{a安, c排, e为, g第},一{b时, c,间e,段g,bd,d},,f{；b,第d,二e,时f }间, {段b,ac,,ed,g,；f }第三时间段c。
1.3 竞赛图应用
• 问题描述：某锦标赛采用循环赛制，若干选手两两互相 竞赛。得出竞赛成绩后应该怎样排列参赛者的名次呢?
• 下表表所示是一次比赛成绩，我们用数字１-６来表示 这６名选手，其中“胜”字所在行的选手战胜所在列的 选手“负”字所在行的选手输给了所在列的选手。
和 果是 {v1 ,
时，我们可以写出其对应关联矩阵
, vn }
{e1 , , em }
的一个端点则 为1，否则为0。M (G) (mij )
vi
其中 如 ej
• 邻接矩阵: 当图 的m顶ij 点集为
时，
我们可以定义它的邻接矩阵
G
其中
为连接顶点 与 的边的数目。
{v1 ,
, vn }
• 注：图的邻接矩阵是对称的，我们往往A计(G算)机只(存ai储j )对角线及以
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E
• 该图有３个双连通分支且唯一
线性排序为
1.1.3．Dijkstra算法
• Dijkstra算法是一个用来计算给定赋权图中一点到其他各点之间距 离的算法,也称为最短路算法。 它的主要步骤如下：
m上ij部分。
vi
vj
关联和邻接矩阵举例
左图为关联矩阵，右图为邻接矩阵
特殊图类
• 赋权图：对图中的边赋予一定的权重。 • 有向图：对图的每一条边都规定方向。 • 其它图类：
支撑树与完美匹配
• 包含所有顶点的子图叫支撑子图。特别地，如果一个支撑子图是 树时，我们称它为图的支撑树。
• 所有由两两无公共端点的边组成的子图称为图的匹配。如果该匹 配涵盖图的所有顶点，则称其为图的完美匹配。下图中右图为左 图的完美匹配。
模型求解
• 下图即为用于制定票价的简图，边的赋值为两站之间经过的站点 数量。运用Dijkstra算法可以计算出两站之间需经过最少站点数目， 从而定价。
1.5 Kruskal算法
• 问题描述：为了改善某地区的交通，国家决定建设连接该地区的 各个主要城镇的小型铁路网络。请设计经济、合理的铁路网络。
• 思路分析：建造铁路网络的主要目的是连接主要城镇，最基本的 要求是居民可以在任意两个城镇之间通过该铁路网络通行。在保 证满足这一基本要求的基础上我们要尽量节约建造成本，也就是 总费用要少。
• 而对于地铁运行商来说，一个现实的问题就是如何制定地铁票的 价格标准。
以南京部分线路为例
• 讨论如何建立数学模型来解决以上两个问题。 • 下图是南京地铁1-4号线部分主要站点线图草图。
1.4.1.最佳乘车路线问题
• 问题描述：乘地铁时，对于同一目的地，人们有多种乘车路线， 选择那么究竟哪一种路线才是最佳的呢?
1.1.4 Kruskal算法
• Kruskal算法可以用来高效地求赋权图的最小支撑树，具体如下：
1.1.5 匹配算法
1. 匈牙利算法用来求已知二部图的最大匹配，如果二部图两部 分顶点一样多，该算法可以确定完美匹配是否存在。
2. Kuhn-Munkres算法是对匈牙利算法的一个改进可以用来找出 赋权完全二部图的最优匹配。
1.1.1 图的独立集
• 图的一个顶点子集如果其中任何两个顶点之间都没有边相连，那 么我们称其为一个独立集。在工程上也叫稳定集。
• 所含顶点个数最多的独立集称为最大独立集， 而这一最大值称 为图的独立数。
• 如果一个独立集不包含于任何其它独立集，我们称其为极大独立 集。
• 独立集可以由贪婪算法直接得到，也可由图的覆盖得到。
模型求解
• 为了构造图的覆盖，对于每一顶点，我们至少要么选取该点要么 选取它的所有邻点。
• 利用代数方法，首先把选择顶点ｖ这个指令简记为符号ｖ，指令 “Ｘ或Ｙ”和“Ｘ与Ｙ”分别记为Ｘ＋Ｙ(逻辑和)和ＸＹ(逻辑积)。
• 在本例中，我们的指令用于求极小覆盖时就是
化简后为
故有四个极小覆盖：
选取一个覆盖的补作为独立集，去除后再继续这一过程。最终得
1.1.2．竞赛图
• 竞赛图是一种特殊的有向图，它的任何一对顶点之间都有一条唯一 的有向边相连。换句话说竞赛图是由对完全图的每条边都赋上一个 方向得到。
• 性质1：任何竞赛图都含有一个有向哈密尔顿路。 • 性质2：任何竞赛图都有一个唯一的双连通分支的线性排序。 • 注：如果图中任意两个顶点之间都有两条方向相反的有向路连接，
第一章 图论模型
引例1. 哥尼斯堡七桥问题
• 一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥 最后回到出发点？
• 该问题被认为是图论起源，被大数学家欧拉解决。
• 问题的本质：人们分别在岸上和岛上行走的路线与距离，桥的形 状长度与本问题无关我们只需要关注过桥的顺序。
• 图的建立：用四个点来表示河的两岸和河中的岛屿而用点之间的 连线表示连接它们之间的桥。
• 思路分析：影响乘坐时长主要因素：第一，各条线路的运行速度 是不一样的。第二，换乘时可能会消耗一定时间。第三，所选择 的线路的总运行距离不同。而这些因素都和出行所在时间段是否 在高峰期相关。因此，我们可以根据出行时间段以及这三个因素 的实际情况选择出行线路。
模型建立
• 首先我们根据已知地铁线路建立一张简图，对于每一条线路所经 站点按顺序用一列点表示并且在相邻站点之间用一条线段连接. 对于两不同线路共同的站点(即可更换线路的站点)用线段连接。
1.4.2.票价制定问题
• 问题描述：如何制定合理的地铁票价? • 思路分析：从运行成本的角度票价应只与乘坐距离有关由于目前
还无法全线跟踪每一乘客的详细乘坐线路故公平起见只能默认乘 客所选线路是运行距离最短的。 • 模型建立：由于列车停靠与线路换乘与运行距离无关。我们对上 节中的简图和赋值做如下修改： (１) 将两条线路的公共站点(换乘点)合成一个点，即将这两点之间 的线段收缩掉。 (２) 对于两相邻站点之间的线段赋值为两点之间的距离或赋值为１ 个单位。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
模型建立
• 用点来表示运动员，对于两名运动员比赛结果，用一条由胜者到 负者的有向边表示，得到下图。
• 按照哈密尔顿路给出排名或计算 获胜场数均不够合理。 • 采用多级得分向量方法：
一般情形
• 若竞赛图不是双连通的，它的各个双向连通分支可以按优胜顺序 排列。于是在一般的循环赛中可以按下列程序排出名次。
覆盖与独立集
• 图的一个顶点子集满足图中任意一条边都与其中某一点关联，则 称该子集为图的一个覆盖。
• 所含点数最小的覆盖称为最小覆盖，如果一个点覆盖不包含其他 覆盖，我们称其为图的极小覆盖。
• 如果以顶点集为全集，每个独立集的补集为图的一个覆盖，而任 何一个覆盖的补集为一个独立集。
• 右图中{5,7,8}为一极大独立集， {1,4,7,8}为一最大独立集，{1,2 3,4,6}为一极小覆盖，{2,3,5,6} 为一最小覆盖。
• 图中的点在图论中称为图的顶点，两点之间的连线称为图的边。 和某一点有边连接的点都称为它的邻点。
• 一点出发通过一些边经过不同的点到达另一点的路径我们称之为 两点间的路，所含边的数目称为路的长度。所有连接两点路的长 度的最小值称为这两点之间的距离。
图的表示
• 关联矩阵: 当图 的顶点G集和边集分别为
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。