第1章整式的乘除计算 题型解读17 用配方法解题题型-北师大版七年级数学下册有答案

《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型

【知识梳理】

1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式；

2.解题方法：

配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。.

【典型例题】

例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______ 解析：①x ²若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ；

②若x ²为乘积二倍项，则加上的项是：（x ²6

）²=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x ²或-9．

例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655

解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552

=(1.2345+0.7655)2

=4

例3.若a ，b 为有理数，且2a 2−2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2 =__________

解析：原方程可变形为： (a −b)2+(a +2)2=0,

∴a=b=−2,

∴原式=-6

例4.已知x2+y2+2x−8y+17=0，求x2017+xy的值。

解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y−4)2=0 ,

∴ x=−1,y=4,,

∴原式=1-4=-3

例5.已知a2+b2−2a+4b+5=0，则a+b=____________

解析：原方程可变形为：(a−1)2+(b+2)2=0 ,

∴ a=1,b=−2,

∴原式=-1

例6.不论x取何数，代数式x2−6x+10的值均为（）

A．正数 B．零 C．负数 D．非负数

解析：原式=x²-6x+9+1=(x-3)²+1≥1,故选A

例7.不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x−4y+7的值（ A ） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数

解析：原式=(x²+2x+1)+（y²-4y+4）+2=(x+1)²+(y-2)²+2≥2,故选A

例8.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。

求代数式y 2+4y +8的最小值。

解：y 2+4y +8=y 2+4y +4+4=(y +2)2+4,

∵(y +2)2≥0,∴(y +2)2+4≥4,

∴y 2+4y +8的最小值是4.

（1）求代数式m 2+m +1的最小值；

（2）求代数式4−x 2+4x 的最大值。

解析：材料阅读题型，考查完全平方公式、平方的非负性及数学理解能力，解题方法：配方法求最值。

（1）m 2+m +1=m 2+m +14+34=(m +12)2+34,

∵(m +12)2≥0,∴(m +12)2+34≥34,

∴m 2+m +1的最小值是34. （2）4−x 2+4x =−x 2+4x +4=−(x 2−4x +4)+8=−(x −2)2+8,

∵(x −2)2≥0,

∴−(x −2)2≤0 ,

∴−(x −2)2+8≤8,

∴4−x 2+4x 的最大值是8.

例9.（1）求多项式3x 2−6x +2的最小值是多少，并写出对应的x 的值；

（2）多项式−x2+2x+4的最大值，并写出对应的x的值；

（3）试说明：不管x和y取何值，多项式x2+2x+y2−4y+9总为正；

解析：考查完全平方公式的拓展和平方的非负性，解题方法是：配方法；

（1）3x2−6x+2=3x2−6x+3−1=3(x2−2x+1)−1=3(x−1)2−1，

∵(x−1)2≥0，

∴当x=1时，3x2−6x+2有最小值，最小值为-1；

（2）−x2+2x+4=−x2+2x−1+5=−(x2−2x+1)+5=−(x−1)2+5，

∵−(x−1)2≤0，

∴当x=1时，−x2+2x+4有最大值，最大值为5；

（3）x2+2x+y2−4y+9=(x2+2x+1)+(y2−4y+4)+4=(x+1)2+(y−2)2+4，

∵(x+1)2≥0，(y−2)2≥0，

∴(x+1)2+(y−2)2+4≥4，

即x2+2x+y2−4y+9≥4，多项式的值永为正。

例10.阅读下列材料，并利用材料中所使用的方法解决问题。

在学习完全平方公式时老师提出这样一个问题：同学们，你们能判断代数式a2-2a+2最小值吗？小明作出如下的回答:

在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把他找出来,

a2-2a+2=a2-2·a·1+12+1=(a+1)2+1

因为完全平方式是恢复的，所以它一定大于等于0,余下的1为常数，所以有

a2-2a+2=(a+1)2+1≥1

所以a2-2a+2最小值是1。当且仅当a-1=0即a=1时取得最小值。

其中我们将代数式a2-2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方。利用配方求解下列问题:

（1）记S=(x+3)2+4,求S的最小值,并说明x取何之时S最小。

（2）已知a2+b2+6a-8b+25=0,求a,b的值。

（3）记T=a2+2ab+3b2+4b+5,求T的最小值，并且说明a,b取何值时T最小。

解析：

（1）∵(x+3)2≥0,∴S=(x+3)2+4≥4,当x=-3时，(x+3)2=0，S有最小值为4.

（2）配方法解题.原等式可变形为：(a2+6a+9)+(b2-8b+16)=0，即(a+3)2+(b-4)2=0,∵(a+3)2≥0,(b-4)2≥0，∴a+3=0，b-4=0，∴a=-3，b=4.

（3）配方法解题.T=(a2+2ab+b2)+2(b2+2b+1)+3=(a+b)2+2(b+1)2+3,∵(a+b)2≥0,(b+1)2≥0，∴T≥3,∴当a+b=0，b+1=0时，即a=b=-1时，T有最小值3.