第八章第四节圆的方程
中职数学基础模块知识点、典型题目系列---直线与圆的方程(适合打印,经典
第八章 直线与圆的方程第1节 两点间的距离与线段中点的坐标一、两点间的距离及线段中点的坐标： 设()111,y x P ，()222,y x P ，则()()21221221y y x x P P -+-=． 中点()000,y x P 的坐标为121200,22++==x x y y x y【习题】1．已知()10,28A 和()22,12B ,求线段AB 的长度。
2.已知三角形的顶点分别为)6,2(A ,)3,4(-B ，()00，C ，求ABC ∆三条边长。
3.已知()4,1A ,()1,5B ,()1,1C 说明ABC ∆为∆Rt 。
【习题】1.已知)5,1(),3,1(---N M ,求线段MN 的长度，并求线段MN 的中点坐标。
2.已知ABC ∆的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．第2 节 直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角与斜率倾斜角∂：直线l 向上的方向与x 轴正方向所夹的最小正角。
范围:001800<≤α斜率k ：1212tan x x y y k --=∂= 注：①当轴x l //或重合时，0=k ②当轴x l ⊥时，k 不存在③k 与两点的位置无关【习题】1.已知直线的倾斜角，求斜率。
（1）6π=∂（2） 135=∂（3） 90=∂2.已知直线的斜率，求倾斜角。
（1）3=k （2）33-=k （3）1=k 3.求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角。
（1）()0,2-A 和()3,1B （2）()4,1M 和()2,3N *4.证明三点()1,0-A ,()1,3B ,()3,3--C 在同一条直线上。
作业布置：1.已知点()2,41P ,()y P ,52-且过1P ,2P 的直线的斜率是31，求y 的值。
2.已知三角形的三个顶点()1,0A ,()3,8B ,()1,1-C 分别求三角形三边所在的直线的斜率。
2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第四节直线、圆的位置关系
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
k)， ∴直线l的方程为y＝kx＋1. |2k－3＋1| 4－ 7 4＋ 7 由 ＜1，得 ＜k＜ . 2 3 3 k ＋1
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【解析】
∵直线y＝ax＋1恒过定点(0，1)，又点(0，
课 后 作 业
1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交． 【答案】 B
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)， 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 4（1＋k） 7 ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 1＋k2 1＋k2 → → ∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1.
＝2R＝2. 【答案】 D
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
4．(2013·肇庆质检)若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－
2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的最小值为________．
【解析】 设直线l的方程为y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 当直线l与圆相切时，k有最大值或最小值． |2k－4k| 1 2 由 2 ＝1得k ＝ ， 3 k ＋1 3 ∴k＝± . 3
平面解析几何 PPT课件
高 是要考虑正切函数的单调性．
频
解 题
考 点
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若
训 练
要 通
不确定，则需要分类讨论．
要 高
关
效
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基
高
础
直线的倾斜角与斜率
分
知
障
识
碍
要
要
打 牢
[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，
训 练 要 高 效
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基 础
名
几何条件
知称
方程
局限性
高 分 障
识
碍
要 截 在x轴、y轴上
打
不包括_垂__直__于__坐__
要
破
牢
距 的截距分别为a， __xa_＋__by_＝__1__ 标轴 和_过__原__点__
除
高 式 b(a，b≠0)
的直线
知
障
识 要
则直线l的方程为
()
碍 要
打 牢
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
破 除
C．4x＋3y－14＝0
D．4x－3y＋14＝0
高
解
频 考 点
解析：由y－5＝－34(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.
题 训 练
要 通
答案：A
要 高
关
效
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
解
频 考
一
点
_A_x_＋__B__y＋__C__＝__0_
2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第八章_第四节_椭_圆
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1．(2018·太原一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)解析：选D.∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3，0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5，0)．2．(2018·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 216＋y 27＝1 B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C.x 216＋y 225＝1 D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1解析：选B.因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B ．513C.49D ．59解析：选 B.由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，因为OM ⊥F 1F 2，所以PF 2⊥F 1F 2，所以|PF 2|＝b 2a ＝53.又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2018·湖南百校联盟联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A 、B ，左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切，且该圆与y 轴的正半轴交于点C ，过点C 的直线交椭圆于M 、N 两点．若四边形FAMN 是平行四边形，则该椭圆的离心率为( )A.35 B ．12C.23D ．34解析：选A.因为圆O 与直线BF 相切，所以圆O 的半径为bc a ，即OC ＝bca，因为四边形FAMN 是平行四边形，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 2，bc a ，代入椭圆方程得（a ＋c ）24a 2＋c 2b 2a 2b 2＝1，所以5e 2＋2e －3＝0，又0＜e ＜1，所以e ＝35.故选A.5．(2018·四川凉山州模拟)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是( )A.13 B ．33C.34D ．223解析：选D.不妨令椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，所以2b ＝2a3，即a ＝3b ，则c ＝a 2－b 2＝22b ，则该椭圆的离心率e ＝c a ＝223.故选D.6．(2018·贵阳模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝ca ＝32，2b ＝4，得b ＝2，所以⎩⎨⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝17．设F 1，F 2是椭圆x 249＋y 224＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为________．解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝14，又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，所以|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.因为|F 1F 2|＝10，所以PF 1⊥PF 2.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.答案：248．(2018·海南海口模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，右顶点为A ，上顶点为B ，现过A 点作直线F 1B 的垂线，垂足为T ，若直线O T(O 为坐标原点)的斜率为－3bc，则该椭圆的离心率为________． 解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，A ，B 和F 1点坐标分别为(a ，0)，(0，b )，(－c ，0)，所以直线BF 1的方程是y ＝bc x ＋b ，O T 的方程是y ＝－3b cx .联立解得T 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 4，3b 4，直线A T 的斜率为－3b 4a ＋c .由A T ⊥BF 1得，－3b 4a ＋c ×bc＝－1，∴3b 2＝4ac ＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝4ac ＋c 2，∴4e 2＋4e －3＝0，又0＜e ＜1，所以e ＝12.答案：129．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32， 解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.10．(2018·兰州市诊断考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程为x 220＋y 210＝1.B 级 能力提升练11．(2018·湖北八校第一次联考)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为( )A.x 236＋y 216＝1 B ．x 240＋y 215＝1C.x 249＋y 224＝1 D ．x 245＋y 220＝1解析：选C.由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，得a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝72－52＝24，所以椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1，故选C. 12．(2018·河南郑州质量预测)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55 B ．655C.855D ．455解析：选C.设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|M E|)＋(25－|N E|)．因为|M E|＋|N E|≥|MN |，所以|MN |－|M E|－|N E|≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|M E|－|N E|≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|E F |＝12×2×45×2＝855，故选C. 13．(2018·陕西部分学校一检)已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2 取最大值时，co s ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1与y 轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a 23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝ca ＝33.答案：3314．(2018·河南师大附中模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________．解析：设F ′为椭圆的右焦点，则AF ⊥AF ′，∠AF ′F ＝π3， ∴|AF |＝3|AF ′|，|FF ′|＝2|AF ′|，因此椭圆C 的离心率为2c2a ＝|FF ′||AF |＋|AF ′|＝23＋1＝3－1.答案：3－115．已知A (x 0，0)，B (0，y 0)两点分别在x 轴和y 轴上运动，且|AB |＝1，若动点P (x ，y )满足OP →＝2OA →＋3OB →.(1)求动点P 的轨迹C 的标准方程；(2)直线l ：x ＝t y ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，E(－1，0)，试问：当t 变化时，是否存在一条直线l ，使△AB E 的面积为23？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)因为OP →＝2OA →＋3OB →，即(x ，y )＝2(x 0，0)＋3(0，y 0)＝(2x 0，3y 0)，所以x ＝2x 0，y ＝3y 0，所以x 0＝12x ，y 0＝33y ，又|AB |＝1，所以x 20＋y 20＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33y 2＝1，即x 24＋y 23＝1，所以动点P 的轨迹C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由方程组⎩⎨⎧x ＝t y ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3t 2＋4)y 2＋6t y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4＜0， 所以|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6t 3t 2＋42－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－93t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4.因为直线x ＝t y ＋1过点F (1，0)，所以S △AB E ＝12|E F ||y 1－y 2|＝12×2×12t 2＋13t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4，令12t 2＋13t 2＋4＝23，则t 2＝－23，不成立，故不存在满足题意的直线l.16．(2018·湖北部分重点中学起点考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，左焦点为F (－1，0)，过点D (0，2)且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在y 轴上，是否存在定点E ，使A E →·B E →恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝22，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，可得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设过点D (0，2)且斜率为k 的直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝61＋2k2. 又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－2k 2－42k 2＋1，y 1＋y 2＝(kx 1＋2)＋(kx 2＋2)＝k (x 1＋x 2)＋4＝42k 2＋1.设存在点E(0，m )，则A E →＝(－x 1，m －y 1)，B E →＝(－x 2，m －y 2)， 所以A E →·B E →＝x 1x 2＋m 2－m (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝62k 2＋1＋m 2－m ×42k 2＋1－2k 2－42k 2＋1＝（2m 2－2）k 2＋m 2－4m ＋102k 2＋1.要使A E →·B E →＝t(t 为常数)，只需（2m 2－2）k 2＋m 2－4m ＋102k 2＋1＝t ，从而(2m 2－2－2t)k 2＋m 2－4m ＋10－t ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－2－2t ＝0，m 2－4m ＋10－t ＝0，解得m ＝114，从而t ＝10516，故存在定点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，114，使A E →·B E →恒为定值10516.C 级 素养加强练17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为B (0，4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解：(1)由已知得b ＝4，且ca ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409， ∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029.(2)设椭圆右焦点F 的坐标为(2，0)，线段MN 的中点为Q(x 0，y 0)， 由三角形重心的性质知BF →＝2F Q →，又B (0，4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2，即得Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）20＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.。
“直线与圆的位置关系”的教学与感悟
文化视野369“直线与圆的位置关系”的教学与感悟许惠芳 福建省福安职业技术学校廖江锋 福建省福安市民族中学摘要：“好的开端等于成功了一半”，成功的课题引入能够集中学生的注意力，为学生提供适宜的学习情境，激发学生的求知欲和调动学生学习的积极性。
由于微课的时间短，形式新，能很好的吸引学生的注意力，促进学生自主学习。
在温故知新、探究新知这个教学环节中我插入了微课，在微视频中复习巩固相关的知识点，为本节课的学习做好铺垫。
关键词：直线；圆；位置；练习中图分类号：G633.6 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2016)030-000369-022016年3月，在我校举行的上课比赛中，笔者执教了《直线与圆的位置关系》(高等教育出版社出版的数学基础模块下册第八章第四节)，现将本节课的教学过程记录下来，旨在与同行们交流、切磋，不妥之处，欢迎大家批评指正。
一、课堂实录（一）导入１．创设情境，兴趣导入先利用多媒体展示几张福建福安白云山日出的图片。
师：请同学们说说在日出的过程中太阳和地平线有怎样的位置关系?从日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形?生：可以将太阳抽象成圆，地平线抽象成直线。
(地平线)２．探索发现教师在黑板上画一条直线，并拿圆环在直线上移动。
师：观察刚才老师的操作演示，直线与圆有几种位置关系？都是什么？生：三种：相交、相切、相离。
师：回答的真棒！这就是我们本节课将要研究学习的内容《直线与圆的位置关系》(出示本课课题)。
现在请在本子上画一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，平移直尺，并画出直线与圆的三种位置关系，接着在图上画出该圆的圆心到三条直线的距离。
（二）温故知新，探究新知师：点与圆有几种位置关系？ 生:三种。
师：都是哪三种？生：点在圆外，点在圆内，点在圆上。
师：怎样判定点和圆的位置关系？生：当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(－4－0)2＋(0－2)2＝2 5，即公共弦长为 2 5.
规律方法
圆与圆的位置关系的求解策略 1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离 与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差 消去x2，y2项得到．
对点练2.(1)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有
4．(用结论)过点(2,2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为
A．x－2y＋2＝0
B．3x＋2y－10＝0
√C．x＋2y－6＝0
D．x＝2或x＋2y－6＝0
显然点(2,2)在圆上，由结论1可得切线方程为(2－1)·(x－1)＋(2－0)y＝5， 即x＋2y－6＝0.故选C．
5 ． ( 用 结 论 ) 圆 x2 ＋ y2 － 4 ＝ 0 与 圆 x2 ＋ y2 － 4x ＋ 4y － 12 ＝ 0 的 公 共 弦 长 为 _2__2_____．
(2)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l： 2x＋4y－1＝0上的圆的方程为__x_2＋__y_2_－__3_x_＋__y_－__1_＝__0___．
设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1 ＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标 1＋2 λ，λ1－＋1λ 代入 直线l，可得λ＝ 1 ，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
√C．相交
D．相切
法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒
圆的标准方程教案
学生：（通过板书讲解），
圆的半径r=|AB|=
圆心B的坐标（3,2），根据圆的标准方程得所求圆的方程：
第四组问题：例2求以直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点为圆心, 半径为的圆的方程.
学生：由方程组
解得：
即所求圆心坐标为（0,1），半径
r= 。
根据圆的标准方程得所求圆的
方程为：
x 2 + ( y - 1)2 = 3
教师：本组两
题主要是对
例题的巩固
和加强，在多
媒体上出示
答案：
1、(x
- 1)2 + ( y +
2)2 = 8
2、
(x- )2 +
( y-)2 =
八、板书设计
一课题和教学目标
二的标准方程推导
例1求过点A(6，0),且圆心B的坐标为（3,2）的圆的方程。
例2求以直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点为圆心, 半径为的圆的方程.
本节总结。
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2（圆心（a,b）,半径r）。
圆心在原点时a=b=0，圆的标准方程为x2 + y2 = r2 。
九．教学反思。
第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
＝0上，∴圆与直线相交．
答案： C
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2．(2012· 绍兴模拟)直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的 两段弧长之差的绝对值是 π A. 4 C．π π B. 2 3π D. 2 ( )
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2 解析：如图，在△AOB中，OC⊥AB，OB＝ 1， OC＝ . 2 π π ∴∠BOC＝ .∴∠AOB＝ . 4 2
解析：由题意知圆心为(－2,2)，r＝4. 则圆心到直线的距离d＝ 2. 又∵r＝4，∴|AB|＝2 14.
答案：2 14
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5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－ 4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为
________，公共弦长为________．
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怎 么 考
从高考内容上来看直线与圆、圆与圆的位置关系是
命题热点，题型多为选择、填空题，着重考查圆的切线 与弦长的问题，难度中低档，注重数形结合思想的考查 应用.
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一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半 径为r) 相离 图形 相切 相交
方程
量化 观点 几何 观点
＜0
＝0
＞0
答案： D
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3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－ 2y＋1＝0的公切线有且仅有 A．1条 C．3条 B．2条 D．4条 ( )
解析：可判断圆C1与C2相交，故公切线有两条． 答案： B
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4．(教材习题改编)直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＋4x－4y －8＝0截得的弦长等于________．
2
7 答案：25
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[冲关锦囊]
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆 心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数
2025年高考数学总复习课件64第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
核心回扣
圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
图形
量的关系
课时质量评价
外离
__d_>_r_1_＋__r_2 __
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61－m. ①当两圆外切时， 5－1 2+ 6－3 2＝ 11+ 61－m，解得m＝25＋10 11.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ 解：(方法一：作差法)
核心考点 提升“四能”
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
应用1 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P 1， 3 处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
√D．x－ 3y＋2＝0
D 解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.因为P 1， 3 在圆Q上，所以所求
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
2．(教材改编题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 C．外切
√B．相交
D．相离
B 解析：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝
届数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师文档教案文
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。
[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。
数学高中 圆的标准方程说课稿
今天说课的课题是《圆的标准方程》，下面我将从教材分析，教法设计，学法设计，教学过程设计，教学反思等五个方面向各位介绍我的总体教学设计．第一个方面：教材分析教材选用高等教育出版社出版、李广全和李尚志主编的《数学》（基础模板）．《圆的标准方程》是本书下册的第八章第四节内容．圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用．我授课的对象为电子专业的学生，所以本内容的学习为学生专业知识和专业技能的钻研提供了理论依据．针对学生已有的认知结构和心理特征，我制定了如下教学目标：知识技能目标：掌握圆的标准方程的结构，能根据已知条件求圆的标准方程；会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标．过程性目标：能运用数形结合思想解题，培养学生观察问题，发现问题，解决问题的能力．情感、价值观目标：通过运用圆的知识解决实际问题，激发学生学习数学的热情和兴趣．根据教学大纲及对教材的分析，确定本节课重难点如下：教学重点：圆的标准方程的结构；教学难点：圆的标准方程的推导．第二个方面：教法设计为了有效地完成教学任务，本节课的教学方法我设计了：演示法：首先创造通过课件把生活中圆形的物体展示给学生，借助直观，启发引导学生归纳出圆的定义，推导出圆的标准方程．讲练结合法：把例题和练习从易到难分成三等，让学生能够比较轻松的学习，克服他们对数学的恐惧心里，恢复自信，自豪起来．第三个方面：学法设计这个方面我是这样考虑的，模具专业中职班的学生，大部分数学基础都比较差，对数学的学习存在害怕心理，因此我针对教学内容，采用了对照课件，动手实验，找出规律，强化训练．通过学生自主探求圆的标准方程，提高分析问题、解决问题的能力．第四个方面：教学过程设计环节一：导入新知这个环节我通过课件向学生展示了生活中的许多五彩圆，吸引学生的注意力．这里，提出思考题，让学生思考，然后回答．设计意图是动态课件可以引发学生的好奇心，激励学生探究新知．学生通过观察、思考，对圆会增加更多的感性认识．这里我安排学生动手实验．在平面固定一个点C，画出到C点的距离等于10的所有点．图中，点C周围的10个点到C的距离都是10．这样的点还有很多，要求学生尽量多画一些．引导学生自主发现，当这样的点越来越多时，平面上逐渐形成了一个以点C为圆心，以10为半径的圆．我这样的安排是为了：训练学生观察、发现、动手的能力，使他们亲自经历、感受、探索与发现，真正体现以学生发展为本的教育理念，避免了老师讲学生听的千人一面的传统教育模式.环节二：讲授新课这个环节我是这样设计的：在学生动手作图的基础上，提出思考题：什么是圆？让学生讨论。
数学圆的方程
数学圆的方程
圆的方程是描述平面上一个圆的标准数学公式。
在二维坐标系中，一个圆可以用其圆心和半径来唯一确定。
标准方程：
圆的标准方程是(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
这个方程描述了所有与圆心距离等于r 的点(x, y) 的集合。
一般方程：
圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D, E, 和F 是常数。
这个方程可以通过配方转化为标准方程，从而找出圆心和半径。
圆心坐标可以通过公式(-D/2, -E/2) 计算，半径r 可以通过公式r = sqrt((D^2 + E^2 - 4F) / 4) 计算（注意：这个公式仅在方程确实描述一个圆时有效，即D^2 + E^2 - 4F > 0）。
圆的参数方程是另一种描述圆的方式，它用参数t（通常是角度）来表示圆上的点。
参数方程是x = h + r * cos(t) 和y = k + r * sin(t)，其中(h, k) 是圆心坐标，r 是半径，t 是参数（通常取值范围是0 到2π）。
圆方程教学设计(精选4篇)_圆的方程教学设计
圆方程教学设计（精选4篇）_圆的方程教学设计圆方程教学设计（精选4篇）由作者整理，希望给你工作、学习、生活带来方便。
第1篇：圆的一般方程教学设计一、学习目标知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
过程与方法：通过对方程表示圆的条件的探究，培圆的一般方程教学设计养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。
情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。
二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。
三、学法提示：探究式；比较归纳式四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。
1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）2、思考探究（引入）：问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。
问题2：方程方程表示圆的条件；求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。
这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。
问题3：将问题2一般化，方程都表示圆吗？在什么条件下表示圆？3、小组展示先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。
直线与圆的位置关系教学设计
《直线与圆的位置关系》是人教版职专数学基础模块下册第八章第四节的内容。
本节内四、教学环境及资源准备教师课前准备：利用网络与教材收集有关直线与圆的位置关系的相关图片和题目，针对学情删选相应的题目，制成教案和课件。
学生课前准备:先预习课本的知识点，在小组内交流或借助课外的辅助材料及时释疑。
五、教学方法与策略学生通过课件，亲身参与、探究学习，通过老师的引导让学生完成对问题的思考，并逐步掌握解决问题的关键。
本课的设计内容分为5个部分：情境导入一探究新知一应用举例一巩固练习f布置作业五、教学过程设计教学评价:板书设计:课题：直线与圆的位置关系1.定义2.直线与圆的位置关系的判断方法一：设直线L加5+C=U，圆gff十型十F=D「庄十刖十0=0可由方亠加亠型斗F=D程组（那）的解的不同情况来判断:当方程组有两组实数解时，直线｛与圆C相交；当方程组有一组实数解时，直线［与圆◎相切；当方程组没有实数解时，直线［与圆◎相离.方法二:设直线厂心+划+—。
，圆&〔一犷心-占）'"可由圆心到直线』的距离与半径F的大小关系来判断：（1）当肚"时，直线！与圆C相交；（2）当日=匸时，直线/与圆U相切；+q府+呼（3）当占沙时，直线』与圆◎相离.教学反思：教师的行为直接影响着学生的学习方式，为让学生真正成为学习的主人，积极参与课堂学习活动，我在教学中让学生通过观察、动手实践，抽象概括、类比归纳的方法探索直线与圆的位置关系，并指导学生合作探究，引导学生运用所学知识解决问题，努力实践做到课堂“以学为中心”本节课我利用视频资料创设海上日出的问题情境，进而将动画中的太阳与地平线的位置关系抽象为直线与圆的位置关系；在引出课题后我让学生进行自主探究，目的是要让学生从看似简单的活动中发现规律，培养了学生发现问题、探索问题的能力；同时这两个活动成为本节课的学习线索，让学生运用分类的方法从直线与圆公共点的个数给出三种位置关系的概念，学生很容易接受，又通过几组实例及时巩固了概念；在直线与圆位置关系相应的数量关系的探究中，运用了类比迁移、大胆猜想、实验验证的方法发现直线与圆的位置关系可通过半径与圆心到直线的距离的数量关系来判断。
高等数学第八章 第四节
则复合函数 z = f [ ( t ),ψ ( t )]在对应点 t可导, 且
其导数可用下列公式计算: 其导数可用下列公式计算 d z z d u z d v . = + d t u d t v d t
证 设 t 获得增量 t,
则 u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );
问: 项数 每一项 中间变量 的个数 的个数.
例 设 y = (cos x )
sin x
dy , 求 dx
法一:对数求导法 解 法一 对数求导法
v 法二 令u = cos x , v = sin x , 则y = u
dy y du y dv = + dx u dx v dx
= vu
v 1
( sin x ) + u ln u(cos x )
例
设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶
w 2 w 连续偏导数, 连续偏导数,求 和 . x xz
解 令 u = x + y + z, 记
v = xyz;
f ( u , v ) f1′ = , u ′′ f11 ,
2 f ( u, v ) ′′ f12 = , u v ′′ f 22 .
z z u z v z w + = + x u x v x w x
z z u z v z w = + + y u y v y w y
z
u v w
x
y
例 设z =
1
u2 + v 2 + w 2 w = 2xy . 求 z x
平面解析几何_PPT课件
y_－__y_0_＝__k_(_x_－__x_0_) 不含_垂__直__于___x_轴_
的直线
碍 要 破 除
高 频
斜截 斜率为k，纵截 式 距为b
_y_＝__k_x_＋___b_
不含_垂__直__于__x_轴__
的直线
解 题
考 点 要 通 关
两点 式
过两点(x1，y1)， (x2，y2)，
_yy_2－_－_y_y1_1＝__x_x_2－－__x_x1_1
不包括垂___直__于__坐__ 标轴 的直线
训 练 要 高 效
(x1≠x2，y1≠y2)
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基名
高
础
几何条件
方程
局限性
分
知称
障
识
碍
要 打
截 在x轴、y轴上
不包括_垂__直__于__坐__
要 破
牢
距 的截距分别为a， __xa_＋__by_＝__1__ 标轴 和_过__原__点__
目录
第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两直线的位置关系 第三节 圆 的 方 程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭圆 第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线的综合问题
新课标(理科)
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第八章 平面解析几何
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率 公式为 k＝xy22－－xy11＝xy11－－xy22 .
训 练 要 高 效
目 新课标(理科) 录
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2
圆 C1:x +y
+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与
2
2
C2:x +y +D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆
3
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
2
内切
d=|r1-r2|
1
内含
d<|r1-r2|
0
1.圆的切线方程常用结论
(1) 过 圆 x2+y2=r2(r>0) 上 一 点 P(x0,y0) 的 圆 的 切 线 方 程 为
x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直
C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
2
2
(1)证明:因为 C1:(x-1) +(y-3) =11,
圆心 C1(1,3),半径 r1= ;
2
2
C2:(x-5) +(y-6) =16,
圆心 C2(5,6),半径 r2=4.
所以|C1C2|= (-) + (-) =5,
圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(
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第八章第四节圆的方程
课下练兵场
、选择题
1. （2019衢州模拟）方程X 2+ y 2 + 4mx — 2y + 5m = 0表示圆的充要条件是 （
解析：由（4m ）2 + 4 — 4X 5m > 0 知 m v 1 或 m > 1.
4 答案：B
2.已知圆的方程为 x 2+ y 2— 6x — 8y = 0，设该圆过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ）
A . 10.6
B . 20 6
C . 30 6
D . 40,6
解析：圆的标准方程为（x — 3）2+ （y — 4）2= 52,由题意得|AC|= 2X 5 = 10, |BD|= 2店2-
12
=4 6，且 AC 丄 BD ，四边形 ABCD 的面积 S = ；|AC| |BD| = ] 10X 4 6 = 20 6. 答案：B
3 .如果圆的方程为 x 2+ y 2+ kx + 2y + k 2= 0，则当圆的面积最大时，圆心为 （ ）
r 2= 1 — 3k w 1，所以当k = 0时，r 最大，圆的面积最大，此时圆心为
（0,
4 答案：C
4.当a 为任意实数时，直线(a — 1)x — y + a + 1= 0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为 5 的圆的方程为
( )
A . x 2 + y 2 — 2x + 4y = 0
B . x 2+ y 2 + 2x + 4y = 0
C . x 2 + y 2 + 2x — 4y = 0
D . x 2+ y 2— 2x — 4y = 0
解析：由(a — 1)x — y + a + 1 = 0 得(x + 1)a — (x + y — 1) = 0，「.该直线恒过点(—1,2)，
1 A.4<m <1
B . m <J 或 m >1
1
C . m<4
4
D . m>1
A . (— 1,1)
B . (— 1,0)
C . (0, — 1)
D . (1, — 1)
解析: 方程为x 2
+ y 2
+ kx + 2y + k 2
= 0化为标准方程为
x + k 2+ (y +1)2 = 1-3k ，因为
1).
•••所求圆的方程为(x + 1)2+ (y — 2)2= 5. 答案：C
2 2
5 .以双曲线x —估=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是
9 16
9 9
9 9
A . x 2 + y — 10x + 9= 0
B . x 2 + y — 10x + 16= 0
2 2 2 2
C . x + y + 10x + 16= 0
D . x + y + 10x + 9= 0
1 1 2
解析：准线方程为y =—云，设P(t , ?t 2)为圆心且t v 0,
t =i2?+ 2|? t =— 1. 答案：B 二、填空题
解析：设Q(x , y), 由
O P +oQ =(2 + 2cosa + x,2 + 2sin a+ y)= o ,
x = — 2 — 2cosa , y = — 2 — 2sin a,
• (x + 2)2+ (y + 2)2 = 4. 答案：(x + 2)2+ (y + 2)2= 4
8 .若实数x 、y 满足(x — 2)2+ y 2= 3，则y 的最大值为
解析：x =x —0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此 的直线与圆相切时该直线的斜率.
设y = k ，则kx — y = 0由厚・=羽，得k = ±3, x 1 + k
解析：右焦点
4x
(5,0)，渐近线y = ±壬,
答案：A
6.圆心在抛物线
x 2= 2y(x v 0)上，并且与抛物线的准线及 y 轴相切的圆的方程为( )
2 1 2
A . (x — 1) + (y — 2)= 1
B . (x +1)2+ (y — 2)2= 1
C . (x +1)2
+ (y - *)2=1
2 . 1 2 D . (x — 1)2
+ (y + p 2
7 .已知 0P = (2 + 2cos a 2 + 2sin a , a R , O 为坐标原点，
向量
OQ 满足 0P + OQ =
0,则动点Q 的轨迹方程是
.OQ
驴最值即为过原点
故(X)max = .3, ( X)min=- .3.
答案：・.3
9•求经过A(4,2), B( —1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为
解析：设所求圆的方程为x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0.
令y= 0 得x2+ Dx + F = 0,
•••圆在x轴上的截距之和为X t + x2=—D,
令x = 0 得y2+ Ey+ F = 0,
•圆在y轴的截距之和为y i + y2=—E,
由题设X i+ X2+ y i+ y2=—(D + E)= 2,
•D + E=— 2. ①
又A(4,2), B(—1,3)在圆上，
•16+ 4 + 4D + 2E + F = 0, ②
1 + 9 —D + 3E+ F = 0, ③
由①②③解得D = —2, E = 0, F = —12.
故所求圆的方程为：x2+ y2—2x—12= 0.
答案：x2+ y2—2x—12= 0
、解答题
10•已知圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3 : 1;
③圆心到直线I: x—2y= 0的距离为严，求该圆的方程.
5
解：设圆P的圆心为P(a, b),半径为r,则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|, |a|. 由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°知圆P截x轴所得的弦长为2r.
故2|b|= 2r，得r2= 2b2,
又圆P被y轴所截得的弦长为2,由勾股定理得
r2= a2+ 1,得2b2—a2= 1.
又因为P(a , b)到直线x—2y= 0的距离为严,
5，
即有a—2b= ± ,
5，
2b - a 2
= 1,
综前述得*
a -2
b = 1
a 1, a 1, 2
2
解得* 或*
于是r 2= 2b 2= 2.
b =- 1 b = 1.
所求圆的方程是：(x + 1)2+ (y + 1)2 = 2, 或(x - 1)2+ (y - 1)2= 2.
11.如图，已知点 A(-1,0)与点B(1,0), C 是圆x2+y2=1上的动点，连结 BC 并延长至 D ,使
得|CD|=|BC|,求AC 与0D 的交点P 的轨迹方程.
解：设动点P(x , y)，由题意可知 P 是厶ABD 的重心，故连接 AD. 由 A(-1,0), B(1,0),令动点 C(x o , y 。
)，则 D(2x o - 1,2y o ),
所求轨迹方程为(x +扩+ y 2=細工O).
12.已知半径为 5的动圆C 的圆心在直线l : x — y + 1O = O 上.
(1)若动圆C 过点(一5,O)，求圆C 的方程；
⑵是否存在正实数 r ，使得动圆C 中满足与圆 O:x 2+ y 2= r 2相外切的圆有且只有一个？ 若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
解：(1)依题意，可设动圆 C 的方程为(x — a)2+ (y - b)2= 25,其中圆心(a , b)满足a — b + 1O = O.
又•••动圆过点(一5,O)，故(一5-a)2 + (O — b)2= 25. a — b + 1O = O ,
<
(—5 — a)2+ (O - b)2= 25, r
r
a 1O a 5, 可得’
或’
b = O
l b = 5,
故所求的圆C 方程为
2b 2- a 2= 1, 或=
a -2
b =- 1.
3x + 1 2
3y
y o =2(y o *o)，
代入x 2+ y 2= 1,整理得
由重心坐标公式:
—1+ 1+ (2x 0— 1)
3
2y o 3，
解方程组 则
x o =
(x + 1O)2+ y2= 25 或(x+ 5)2+ (y—5)2= 25.
⑵圆0的圆心（0,0）到直线I的距离= 5 2.
W+1
当r满足r + 5 v d时，动圆C中不存在与圆O: x2+ y2= r2相切的圆；
当r满足r + 5 = d,即r= 5 2-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆0: x2+ y2= r2相外切；当r 满足r+ 5> d,与圆0: x2+ y2= r2相外切的圆有两个.
综上：r= 5 2 —5时，动圆C中满足与圆0: x2+ y2= r2相外切的圆有一个.。