《高等数学》第10章 无穷级数习题详解
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第十章 无穷级数
习题10-1
1. 写出下列级数的前五项:
（1）∑∞
=+12
)2(n n n
; （2）∑∞=⋅-⋅1
)2(42)12(31n n n ; （3）∑∞
=--1
1
10)1(n n n ; （4）∑∞
=+1)1(!n n
n n . 解 （1） +++++222227
5
64534231
（2） +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+1086429753186427531642531423121
（3） -+-+-501401*********
（4） +++++543216
!
55!44!33!22!1.
2. 写出下列级数的一般项: (1)
+++6
1
4121; (2)
+⋅+⋅+⋅+⋅11795735113
2a a a ; (3) -+-+-+-36
132511169974513;
(4) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+8
6426424222
x x x x x (0x >).
解（1）因为
21121⋅=，22141⋅=， 23161⋅=，因此一般项n
u n 21
=
(2) 因为 )312()112(5110+⋅⋅-⋅=⋅a ，)
322()122(731
+⋅⋅-⋅=⋅a a )332()132(9522+⋅⋅-⋅=⋅a a 因此一般项)
32)(12(1
+-=-n n a u n n （3） 因为
11)112()1(131⋅+⋅-=-
，222)122()1(45+⋅-=， 2
33)132()1(97+⋅-=- 因此一般项2)12()1(n n u n n +-=
（4）因为
21221
⋅=x
x ，424222⋅=⋅x x ，
6
426422
3⋅⋅=⋅⋅x x x ，
因此一般项!
2)321(2)2(6422
22n x
n x n x u n n n n n
n =⋅⋅=⋅⋅=
.
3. 判定下列级数的敛散性:
（1）∑∞
=-+1)1(n n n ; （2）∑
∞
=+-1
)12)(12(1
n n n ;
（3）
++++⋅+⋅)1(1321211n n ; （4） ++++6
π
sin 6π2sin 6πsin n ;
（5）∑∞
=++-+1)122(n n n n ; （6）
++++433
1
313131; （7）22111111
()(
)()323232n
n -+-++-+;
（8） ++-+++++1
21297755331n n ;
（9）)(12112-∞
=+-∑n n n a a （0a >）;
(10)
++++++++
+
n n
)
11(1
)311(1)211(11
111
32. 解（1）因为
11)1()34()23()12(-+=-+++-+-+-=n n n S n 当
∞→n 时，∞→n S ，故级数发散.
（2）因为
)1
21
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n
)
12)(12(1751531311+-++⋅+⋅+⋅=
n n S n )]121121()5131()311[(21+--+-+-=n n ]1
211[21+-=n , 当∞→n 时，2
1
→n S ，故级数收敛.
(3) 因为
1
1
1)1(1+-=+n n n n ，
)
1(1
431321211++
+⋅+⋅+⋅=
n n S n
1
1
1)111()3121()211(+-
=+-+-+-=n n n 当∞→n 时，1→n S ，故级数收敛.
（4）因为 6
sin
63sin 62sin 6sin π
++π+π+π=n S n )
6sin 12sin 263sin 12sin 262sin 12sin 26sin 12sin 2(12sin
21ππ++ππ+ππ+πππ=n )]
1212cos 1212(cos )125cos 123(cos )123cos 12[(cos 12sin
21π+-π-++π-π+π-ππ=n n ]12)12(cos 12[cos 12
sin
21π+-ππ=n
由于 π+∞→12
1
2cos lim n n 不存在，所以n n S ∞→lim 不存在，因而级数发散.
（5）因为
)1()12(122n n n n n n n -+-+-+=++-+
+---+---+---=)34()45()23()34()12()23[(n S )]1()12(n n n n -+-+-++
)12(1
21
)12()12(--+++=
--+-+=n n n n
当∞→n 时，21-→n S ，故级数收敛. (6) 该级数的一般项)(013
3
1
1
∞→≠→==-
n u n
n
n ，故由级数收敛的必要条件可知，
该级数发散.
(7) ∑∑∞
=∞=-=-++-+-+-1133222
131)2131()2131()2131()2131(n n n n n n
∑∞
=131n n 该级数为公比131<=q 的等比级数，该级数收敛，而∑∞
=121n n
该级数为公比121
<=q 的等比级数，该级数也收敛，故∑∑∞
=∞
=-112
1
31n n n n 也为收敛级数.
(8) 该级数的一般项)(011
2211212∞→≠→+-=+-=n n n n u n ，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.