长期趋势的测定方法(二)

学
bˆ
n (t yt ) t n t 2 ( t )2
yt
aˆ y bt
天津财经大学 统计学系
例：线性趋势法测定企业产品销售量趋势
年份 t 观测值 yt
1999 1 54
统 2000 2
50
2001 3 52
2002 4 67
计 2003 5
82
2004 6 70
学 2005 7 2006 8
统 • （一）时距扩大法 计 • （二）移动平均法 学 • （三）趋势方程拟合法
天津财经大学 统计学系
（一）时距扩大法
• 原理：将原序列中若干项数据加总，通 统 过加总消除或减弱时间序列中的不规则
变动和季节等其他变动，从而呈现出现 计 象发展变化的长期趋势。
• 优点：计算非常简单直观。 学 • 局限性：丢失了原时间序列的大量信息，
89 88
2007 9 84
2008 10 98
2009 11 91
2010 12 106
2011 13
2012 14
趋势值 yˆt 残差 yˆt yt
50.95
3.05
55.79
-5.79
60.63
-8.63
65.48
1.52
销售量
120
100
80
60
40
20
观测值y
0
趋势值
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 年份
统 • 数学特征：时间序列的逐期发展速度大 致相同，即大致按几何级数递增或递减。
计
– a 为长期趋势的初始值。
– b 为平均发展速度。
学
• b > 1，呈递增趋势， 指数曲线
• b < 1，呈递减趋势.
b>0
• 对数变换进行线性
b<0
化后，采用最小二乘
法估计参数 a 和 b。
天津财经大学 统计学系
例2 中国海关出口商品总额非线性趋势的测定
不能详细反映现象的变化过程。没有建 立趋势模型，不能用于预测分析。
天津财经大学 统计学系
例：时距扩大法测定企业产品销售量趋势
年份
销售量 （万件）
统 1999 54
2000 50
计
2001 2002
52 67
2003 82
学
2004 2005
70 89
2006 88
2007 84
2008 98
2009 91
109.06 113.90
天津财经大学 统计学系
2. 非线性趋势方程——K次曲线
统
• 二次曲线 • 三次曲线
yˆ t b0 b1t b2t 2 yˆ t b0 b1t b2t 2 b3t 3
计
学
三次曲线
二次曲线
天津财经大学 统计学系
2. 非线性趋势方程——指数曲线
• 指数曲线方程：yˆ t abt或yˆ t ae t (e b)
统
长期趋势的测定方法
计
学
天津财经大学 统计学系
为什么要测定长期趋势
统 • 准确地测定其他构成因素的基础。 计 • 认识现象发展变化的基本趋势和规律性， 学 作为预测的重要依据。
天津财经大学 统计学系
时间序列的构成因素
统
季节变动 S
循环变动 C
计 长期趋势
学
T
不规则变动 I
天津财经大学 统计学系
长期趋势测定方法种类
统
势可近似地用一条直线来描述。
• 2. 非线性趋势方程
计
– 二次曲线和三次曲线
– 指数曲线
学
– 修正指数曲线
– 龚泊兹曲线
– 逻辑斯蒂曲线
天津财经大学 统计学系
1. 线性趋势方程 yˆt aˆ bˆt
• a 为趋势线的截距 统 • b 为趋势线的斜率（平均逐期增长量）
计 • 最小二乘法估计参数a、b 。
统
yˆ t
K
1 abt
逻辑斯蒂曲线
计 (K>0,a>0,1≠b>0)
学
• 数学特征：变量倒数的对数一次差分的 环比发展速度相等。
• 所适合的场合与龚泊兹曲线的适合场合
类似。
天津财经大学 统计学系
统
通过平均消除或减弱时间序列中的不规
则变动和其他变动，从而呈现现象发展
计
变化的长期趋势。
• 简单移动平均法与加权移动平均法
学
–“同等重要”
–“近大远小”
–“中间大、两端小”
天津财经大学 统计学系
例：简单移动平均法测定企业产品销售量趋势
年份
销售量 （万件）
统 1999 54
2000 50
计
2001 2002
年份
t
出口 总额
年份
t
出口 总额
年份
t
出口 总额
年份
t
出口 总额
统
1991 1 1992 2
719 1996 6 1511 2001 11 2661 2006 16 9689
1217 849 1997 7 1828 2002 12 3256 2007 17 8
计
1430 1993 3 917 1998 8 1837 2003 13 4382 2008 18 7
1201 1994 4 1210 1999 9 1949 2004 14 5933 2009 19 6
学
1577 1995 5 1488 2000 10 2492 2005 15 7620 2010 20 9
天津财经大学 统计学系
2. 非线性趋势方程——修正指数曲线
• 修正指数曲线方程： yˆ t K abt (0<b<1)
（三）趋势方程拟合法
• 原理：
统
– 拟合以时间 t 为解释变量、所考察指标 y 为
被解释变量的回归方程（称为趋势方程或趋
计
势模型）
• 种类： 学
– 1. 线性趋势方程
– 2. 非线性趋势方程
• 优势：基于趋势模型，可以进行预测。
天津财经大学 统计学系
• 1. 线性趋势方程
– 当时间序列的逐期增长量大致相同、长期趋
2010 106
年份
销售总量 （万件）
1999-2001 156
2002-2004 219
！将每三年 的销售量进 行合并，得 到新的销售 量序列。
2005-2007 2008-2010
261 ！可更清楚 地看出销售 量不断增长
295 的长期趋势
天津财经大学 统计学系
（二）移动平均法
• 原理：时间序列的若干项数据进行平均，
统
计
修正指数曲线 Y=K
学
修正指数曲线
• 数学特征：
– 变量一次差分的环比发展速度相等。
– 时间序列初期增长迅速、随后增长率逐渐下 降直至最终以常数 K 为增长的极限。
• 可用三点法或三和法估计参天津数财。经大学 统计学系
2. 非线性趋势方程——龚泊兹曲线
• 龚泊兹曲线方程： yˆ t Kabt (K>0)
统
计
Compertz Curve
• 数学特征：
Y=K
学
– 变量对数一次差分的环比发展速度相等。。
– 初期增长缓慢、随后逐渐加快，达到一定程 度后增长率又逐渐下降,直至接近一条水平 线 Y=K 。
• 取对数转化为修正指数曲天津线财后经大，学再统估计学计系
2. 非线性趋势方程——逻辑斯蒂曲线
• 逻辑斯蒂曲线方程：
统
– 对原时间序列具有修匀或平滑的作用
– 当序列包含周期性变动时，移动平均的项数
计
k 应与周期长度一致。季度数据通常采用4
期移动平均，月度数据通常采用12 期移动
平均。
学
– 当现象呈非线性趋势时，加权移动平均比简
单移动平均效果为好。
– 移动平均法不能直接进行外推预测。只能对 水平趋势数据进行预测。
天津财经大学 统计学系
70.32 75.16 80.00
11.68 线性趋势方程：
-5.16
9.00 yˆt 46.10606 4.84266t
84.85 89.69 94.53 99.38
3.15
-可估计各期趋势值 yˆt
-5.69
-可得到各期残差 yˆt yt
3.47 -8.38
-可进行外推预测
10百度文库.22
1.78
52 67
2003 82
学
2004 2005
70 89
2006 88
2007 84
2008 98
2009 91
2010 106
移动平均 （三年）
52.0 56.3 67.0 73.0 80.3 82.3 87.0 90.0 91.0 98.3
移动平均 （五年）
61.0 64.2 72.0 79.2 82.6 85.8 90.0 93.4
! 时间序列的3项或5项 数据进行平均，通过平 均消除或减弱时间序列 中的不规则变动，从而 呈现长期发展变化趋势。
120 100 80 60 40 20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售量 3年移动平均 5年移动平均
天津财经大学 统计学系
• 2. 特点及局限
– 移动平均值代表的是所平均数据的中间位置 上的趋势值