长期趋势的测定方法(二)
第十章时间序列分析
第十章 时间序列分析Ⅰ．学习目的本章阐述常规的时间序列分析方法，通过学习，要求：1.理解时间序列的概念和种类，掌握时间序列的编制方法；2.掌握时间序列分析中水平指标和速度指标的计算及应用；3.掌握时间序列中长期趋势、季节变动、循环变动及不规则变动等因素的基本测定方法；4.掌握基本的时间序列预测方法。
Ⅱ．课程内容要点 第一节 时间序列分析概述一、时间序列的概念将统计指标的数值按时间先后顺序排列起来就形成了时间序列。
二、时间序列的种类反映现象发展变化过程的时间序列按其统计指标的形式不同，可分为总量指标时间序列、相对指标时间序列和平均指标时间序列三种类型。
其中总量指标时间序列是基础序列，相对指标和平均指标时间序列是派生序列。
根据总量指标反映现象的时间状况不同，总量指标时间序列又可分为时期指标时间序列和时点指标时间序列。
三、时间序列的编制方法：（一）时间长短应一致；（二）经济内容应一致；（三）总体范围应一致；（四）计算方法与计量单位要一致。
第二节 时间序列的分析指标一、时间序列分析的水平指标（一）发展水平。
发展水平是时间序列中与其所属时间相对应的反映某种现象发展变化所达到的规模、程度和水平的指标数值。
（二）平均发展水平。
将一个时间序列各期发展水平加以平均而得的平均数，叫平均发展水平，又称为动态平均数或序时平均数。
1．总量指标时间序列序时平均数的计算（1）时期序列：ny n y y y y in ∑=+++= 21 （2）时点序列①连续时点情况下，又分为两种情形：a ．若掌握的资料是间隔相等的连续时点 (如每日的时点) 序列，则ny n y y y y in ∑=+++= 21 b ．若掌握的资料是间隔不等的连续时点序列，则 ②间断时点情况下。
间断时点也分两种情况：a ．若掌握的资料是间隔相等的间断时点，则采用首末折半法：b ．若掌握的资料是间隔不等的间断时点序列，计算公式为：2．相对指标和平均指标时间序列序时平均数的计算。
统计学基础-时间数列分析
的平均数。又叫序时平均数或动态平均数。
总量指标时间数列序时平均数的计算 • 计算 相对指标时间数列序时平均数计算
平均指标时间数列序时平均数计算
二、时间数列的水平分析指标
• （二）平均发展水平 • 1.总量指标时间数列序时平均数的计算 • （1)由时期数列计算序时平均数
• 基期 • 不同 • 分类
逐期增长量：是本期水平比上一期水平增长的绝对数量。
累计增长量：是本期水平比某一固定时期水平增长的绝对 数量，说明某一段时期内总的增长量。
二、时间数列的水平分析指标
• （三）增长量 • 年距增长量=报告期水平-上年同期发展水平
各期逐期增长量之和等于相应时期的累计增长量 • 关系
• 影响现象变动的因素： • 1.长期趋势：现象在相当长的时期内持续发展变化的趋势，它
是由各个时期普遍、持续、决定性的基本因素所左右，是各期 发展水平沿着一个方向上升或者下降的趋势变动。 • 2.季节变动：现象因受自然条件和社会因素的影响，在一年或 更短的时间内所产生的具有周期性、规律性的重复变动。
四、时间数列的变动趋势分析
（一）时间数列变动趋势分析的意义
社会经济现象的发展变化，是许多因素共同作用的结果。这
些因素起推动和制约作用，彼此之间的关系也错综复杂。为了分
析时间数列的发展变化规律，必须把影响时间数列的各种因素分
开，找出它们的变动规律。 长期趋势
基本因素 季节变动
分类
循环变动
偶然因素：不规则变动
• （一）发展速度和增长速度 • 2.增长速度
概念：表明现象增长程度的相对指标，说明报告期水平比基 期水平增加的程度。
管理数量方法与分析第三章_时间序列分析二
消费价格指数
110
80
消费价格指数 3 期移动平均预测 5期移动平均预测
50
86
88
90
92
94
96
98
00 20
年份
19
19
19
19
19
19
消费价格指数移动平均趋势
19
例题3.3.3
书上P92 例题3.7;
3.3.2
数学模型法
数学模型法 在对原有时间序列进行分析的基 础上,根据其发展变动的特点,寻找一个与之相匹配 的趋势曲线方程,并以此来测定长期趋势变动规律 的方法. 常用的趋势线数学模型 线性趋势与非线性趋势
年份 价格指数 1986 1987 1988 1989 118 1990 103.1 1991 103.4 1992 1993
106.3 107.3 118.8
106.4 114.7
年份
价格指数
1994
1995
1996
1997
102.8
1998
99.2
1999
98.6
2000
100.4
124.1 117.1 108.3
首先将移动平均数作为长期趋势值加以剔除， 再测定季节变动的方法.
具体方法如下
(1)计算移动平均趋势值 T(季度数据采用4项移动 平均 ,月份数据采用 12项移动平均 ),并将其结果进 行“中心化”处理.即将移动平均的结果再进行一 次二项的移动平均,即得出“中心化移动平均 值”(CMA) (2)计算移动平均的比值Y/T=SI，也称为修匀比率
具体做法
Y1 bt1 Y2 bt 2
Y1 Y2 b t1 t 2
Y1 , Y2 分别代表原时间序列实际观察中各部分 的平均数.
长期趋势的测定类型
长期趋势的测定类型
长期趋势的测定类型可以分为以下几种:
1. 线性趋势分析：通过观察一段时间内数据的变化，计算趋势线的斜率来确定长期趋势的方向和速度。
该方法适用于数据呈现线性增长或减少的情况。
2. 非线性趋势分析：对于数据呈现非线性增长或减少的情况，可以使用非线性回归分析、指数平滑等方法，来确定长期趋势的模式和速度。
3. 移动平均法：通过计算一段时间内数据的平均值，来消除数据的短期波动，从而观察长期趋势的变化。
常见的移动平均方法包括简单移动平均和加权移动平均。
4. 回归分析：通过建立一个数学模型，将自变量和因变量之间的关系进行拟合，从而预测未来的趋势。
回归分析可以包括线性回归、多项式回归、逻辑回归等方法。
5. 时间序列分析：通过对时间序列数据的统计特性进行分析，包括趋势、季节性、循环等，来确定长期趋势的发展。
6. 傅里叶分析：通过将时间序列数据转化为频域表示，分析数据中的周期性成分，从而确定长期趋势的周期和振幅。
这些方法可以根据具体的数据特点和研究目的选择合适的方法进行测定。
测定长期趋势的方法
测定长期趋势的方法要测定长期趋势，我们可以采用多种方法。
以下是一些常见的方法：1. 时间序列分析：时间序列分析是通过对一系列按照时间顺序排列的数据进行统计学分析来预测未来趋势的方法。
它基于假设，即过去的数据可以提供对未来的一定程度上的参考。
时间序列分析包括分析和解释趋势、周期性和季节性等。
2. 简单移动平均法：这是一种简单的技术分析方法，通过计算一段时间内的平均值来平滑数据并确定长期趋势。
这种方法适用于数据变化较为平稳的情况。
3. 加权移动平均法：这种方法与简单移动平均法类似，但是它给不同时间点的数据分配不同的权重。
较近期的数据可以给予更高的权重，以表示对未来的影响更大。
4. 指数平滑法：指数平滑法以指数权重的形式对数据进行平滑处理，并用于预测未来趋势。
指数平滑法的优势在于能够对数据中的季节性和趋势进行有效的分解。
5. 趋势回归分析：趋势回归分析是通过使用线性或非线性回归模型来拟合数据，并预测未来趋势的方法。
这种方法适用于数据具有明显的趋势性的情况。
6. 经济周期分析：经济周期分析是通过观察经济指标的周期性波动来分析长期趋势的方法。
经济周期分析基于假设，经济活动在时间上具有重复性模式，从而可以预测未来的趋势。
7. 统计回归分析：统计回归分析是利用统计模型来检测和解释变量之间的关系，并预测未来趋势的方法。
通过对历史数据进行回归分析，我们可以确定哪些变量对长期趋势的影响更大。
8. 时间图表和图形分析：制作时间图表和使用图形分析方法，如趋势线图、周期图等，可以直观地展示数据的长期趋势。
这些图表和图形可以帮助我们理解数据中的模式和趋势。
总结起来，测定长期趋势的方法有时间序列分析、简单移动平均法、加权移动平均法、指数平滑法、趋势回归分析、经济周期分析、统计回归分析和时间图表与图形分析等。
实际应用中，我们可以根据需求和数据的特点选择合适的方法来预测未来的趋势。
长期趋势的测定方法
长期趋势的测定方法长期趋势的测定方法是分析和预测某一现象、市场或经济指标在较长时间段内的变化趋势和方向。
长期趋势的测定方法主要包括趋势线分析、回归分析、时间序列分析和结构性分析等。
首先，趋势线分析是一种常见的长期趋势测定方法。
它通过绘制价格或指标的趋势线来揭示长期趋势。
趋势线分析的基本原理是利用价格或指标的历史数据，找到关键的高点和低点，然后以直线或曲线的形式描绘出来。
通常，趋势线可以分为上升趋势线、下降趋势线和横向趋势线三种类型。
通过观察趋势线的斜率和方向，可以判断价格或指标的长期趋势。
其次，回归分析也常用于长期趋势的测定。
回归分析可以通过统计方法，建立一个数学模型来描述价格或指标与其他相关变量之间的关系，从而预测长期趋势。
回归分析的基本原理是在已知的数据集上，寻找最佳的回归方程，通过拟合曲线来确定长期趋势。
回归分析通常会考虑多个因素的影响，如市场供求关系、宏观经济因素等。
通过回归分析，可以量化各个变量的影响程度，并用来预测长期趋势的变化。
第三，时间序列分析也常用于测定长期趋势。
时间序列分析是通过分析一系列时间上连续的数据，揭示数据的长期趋势和季节特征。
时间序列分析一般包括自相关性分析和移动平均法。
自相关性分析通过计算价格或指标的自相关系数，识别出长期趋势的变化。
移动平均法使用滑动窗口的方法，计算一定时间范围内的平均值，从而得到长期趋势的变化。
时间序列分析在金融市场和经济领域有着广泛的应用，可以有效地识别长期趋势。
最后，结构性分析也是测定长期趋势的一种方法。
结构性分析是通过研究市场或经济系统中的内在结构和关联关系，揭示长期趋势的形成机制和规律。
结构性分析的基本原理是将市场或经济系统分解为不同的因素和因子，通过研究各个因素之间的关系，来理解长期趋势的变化。
结构性分析通常需要借助于宏观经济学的理论和模型，以提高对长期趋势的理解和预测。
综上所述，长期趋势的测定方法可以通过趋势线分析、回归分析、时间序列分析和结构性分析等多种方法来实现。
长期趋势预测法
四、实例应用
解程序如下：
将参数值代入公式
第六节 指数曲线模型预测法
一、概念：是根据预测对象具有指数曲线变动 趋势的历史数据，拟合成一条指数曲线，通过 建立指数曲线模型进行预测的方法。
二、模型、特征、适用性 1．模型：
图形为：
2．特征：令t = 1，2，3，……，n，便可得 到相应的预测值和环比系数（即逐期增长 率）见下表：
1、乘法模型:
Y=T×S×C×I 式中：T为绝对数，与历史数据Y的计量单位相同， S、C、I为相对数，分别表示季节变动、循环变动、 不规则变动系数，一般以百分比表示。
2、加法模型:
Y=T+S+C＋I 均为绝对数，与Y的计量单位相同。 实际中应用较多的是乘法模型。 （三）时间序列的分解分析 时间序列的分解就是按照时间序列的分析模型， 测定出各种变动形态的具体数值。下面以时间序 列的两种常态现象为例予以说明。
三、参数的求解方法 最小平方法: 用高等数学求偏导数方 法，得到以下联立方程组： y Na b t
ty a t b t
为使计算方便，可设t:
2
, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 奇数项： , 5, 3, 1, 1, 3, 5, 偶数项： y Na 这样使 t 0 ，即上述方程组可简化为：
ty b t
2
由联立方程也可直接推 导出： b a n ty t y ty 2 2 2 n t ( t ) t y bt
y
n
b
t
n
y
n
( t 0)
例：某企业Y2～Y6年出口某商品到德慕尼黑销售情况如下 表所示，试用最小平方法求参数并预测Y7、Y8年销售额。
测定长期趋势的方法
测定长期趋势的方法
测定长期趋势的方法有很多种，以下将介绍其中几种常见的方法：
1. 统计分析法：
统计分析法是一种常见的测定长期趋势的方法。
这种方法通过收集并分析一系列数据，可以揭示数据背后的长期趋势。
其中，最常用的是线性回归分析。
线性回归分析通过运用最小二乘法，找出数据点与一条直线的最佳拟合线，从而得出长期趋势。
2. 移动平均法：
移动平均法是一种用于测定长期趋势的方法。
该方法通过取连续时间段内的数据平均值，来消除短期波动的干扰，以揭示长期的趋势。
这种方法的优点是简单易懂，适用于一些比较规律的时间序列数据。
3. 指数平滑法：
指数平滑法也是一种常用的测定长期趋势的方法。
该方法通过对数据进行加权平均，给最近的数据赋予较大的权重，而较早的数据赋予较小的权重。
这样可以更好地反映最新数据对于预测未来趋势的影响。
指数平滑法适用于数据呈现趋势性增长或下降的情况。
4. 分析周期性波动：
测定长期趋势的方法中，还可以通过分析周期性波动来揭示长期趋势。
周期性波
动是指一系列数据中，存在的周期性的起伏变动。
通过找出这些周期性波动的规律性和特征，可以了解长期趋势的发展。
以上只是其中几种测定长期趋势的方法，实际上还有其他很多方法，如趋势线法、回归分析法等。
在实际应用中，根据不同的数据类型和场景，可以灵活选择适用的测定方法。
同时，结合多种方法的结果，能够更全面地理解和预测长期趋势的发展。
第五章 现象变动的趋势分析 长期趋势的测定
4 216.6
9 361.2
28 353.5
b
nty t y nt 2 (t)2
ty t2
353.5 28
12.625
a
y
n
b7
82.771
y a bt 12.625 82.771 * 4 133.271
练习3
表5-14 某企业今年各月份的利润表
月份 1 2 3 4
利润额 50 65 58 60
月份 5 6 7 8
利润额 63 61 70 65
月份 9 10 11 12
利润额 68 66 73 71
表5-15 某企业今年各季度的利润表
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
利润额 173
184
203
210
原则：一般适用于时期指标 周期性波动数列，时距的大小与现象变动的周期一致； 一般的动态数列，逐步扩大时距，以准确显示变动趋势。
月份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
实际销量 (台) 18 20 22 24 26 25 27 26 27 28 29
30
三个月移动平均值 (n = 3)
五个月移动平均值 (n = 5)
练习
月份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12
实际销量 (台) 18 20 22 24 26 25 27 26 27 28 29
练习3
某商店2012-2018年连续七年的销售资料见下表， 要求拟合直线趋势方程并预测2019年的销售额。
表5-18 某商店2012-2018年销售额资料
单位：万元
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 合计 销售额 45.2 57.5 69.4 82.9 95.7 108.3 120.4 579.4
长期趋势的测定方法有
长期趋势的测定方法有
以下是几种测定长期趋势的常见方法：
1. 线性回归分析：通过在时间序列数据上拟合一条直线，来确定长期趋势的斜率。
线性回归分析可以用来预测未来的趋势。
2. 移动平均法：计算一段时间内的平均值，然后绘制出这些平均值的曲线。
通过观察曲线的走势，可以判断长期趋势。
3. 季节调整法：将时间序列数据按照季节性进行分组，然后用适当的方法对每个季节的数据进行调整，以得到除去季节性的趋势。
4. 波动率分析：计算时间序列数据的标准差或方差，来衡量其波动性。
通过观察波动性的变化，可以推断出长期趋势。
5. 指数平滑法：通过对时间序列数据进行指数加权平均，来得到平滑后的趋势。
指数平滑法适用于具有较强的长期趋势和季节性波动的数据。
6. 分析经济周期：观察经济周期的波动特征，如繁荣、衰退、复苏等，来判断长期趋势。
以上方法可以单独或联合使用，以更全面地分析长期趋势。
季节指数
3．移动平均法
移动平均法是测定时间序列趋势变动 的基本方法。它在时间序列中按一定项 数逐项移动计算平均数，达到对原始序 列进行修匀的目的。
（1）简单移动平均法
1）奇数项移动平均 （例如取3项）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. n. yn y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9
二、长期趋势测定
（一）修匀法 1．画线法 画线法是在图纸上按照原数列的趋 势走向，用绘图工具画上一条趋势线。
2.时距扩大法
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 yn
y1 y2 y3
注意的问题：
y4 y5 y6
yn 2 yn 1 yn
第一，这一方法只适用于时期数 列，因为只有时期序列的发展水平 才具有可加性。 第二，扩大的时距多大为宜取决 于现象自身的特点。时距扩大太多， 将造成信息的损失。 第三，扩大后的时距要一致，相 应的发展水平才具有可比性。
得季节指数。
同季平均 0.9090 季节指数 0.8931
1.0775 1.0587
1.4455 1.4202
0.6392 0.6280
由于0.9090 1.0775 1.4455 0.6392 4.0712 4，需调整。 4 调整系数 0.9825 4.0712
1.若假设已预测下年全年的旅游人数为700万人，各季度的 预测值？ 平均每季度人数=700/4=175（万人）
年 份 1998 1999 2000
1季 32 41 57
2季 40 51 65
3季 61 74 93
4季 28 36 57
（一）同期平均法 1.直接平均法：
（）计算各年同月（季）平均数y 。 1
长期趋势的测定线性趋势
长期趋势的测定线性趋势
测定长期趋势的线性趋势是一种常见的统计方法，用于评估数据的趋势性和变化。
它基于线性回归分析的原理，通过拟合一条最佳拟合直线来描述数据的整体趋势。
线性趋势的测定一般包括以下步骤：
1. 数据收集：收集需要分析的数据，例如时间序列数据或者其他相关指标数据。
2. 数据清洗：对数据进行检查和清洗，排除异常值和缺失值。
3. 数据可视化：将数据绘制成散点图，以便观察数据的整体趋势。
4. 计算最佳拟合直线：使用线性回归等方法拟合数据，找到一条最佳拟合直线来描述数据的趋势。
5. 判断趋势：根据最佳拟合直线的斜率（slope）来判断趋势的方向和强度。
6. 评估拟合度：通过计算拟合直线的R方值来评估拟合的好坏程度，R方值越接近1，拟合程度越好。
7. 预测未来值：根据拟合直线，可以预测未来的值。
需要注意的是，线性趋势只能用于描述数据的直线趋势，无法捕捉到数据中的非线性变化。
对于非线性趋势，需要使用其他适应的方法，如多项式回归、指数平滑等。
掌握时间数列趋势分析的计算方法
曲线指数方程
yc abt 时间数列的时间
时间数列的基期水平 现象的一般发展速度截距
求两边取对数
lg yc lg a t lg b
即
Y A Bt
应用最小平方法
Y nA tY Bt 2
t 0 简化为
Y nA Bt tY At Bt2
9
五、熟悉季节变动的测定与预测
我们研究季节变动的目的，主要是为了认识它、掌握它，从而克服由于季节变动而引 起的不良影响，以便为合理组织生产、安排人民经济生活提供资料。
移动平均后的数列，比原数列项数要减少。 趋势值项数 原数列项数－移动平均项数+1。
04
6
四、掌握趋势测定的最小平方法
应用最小平方法研究现象的发展趋势，就是用一定的数学模型，对原有的时间数列配合一 条适当的趋势线来进行修匀。根据最小平方法的原理，这条趋势线必须满足最基本的要求，即 原有数列的实际数值与趋势线的估计数值的离差平方之和为最小。用公式表示如下：
原有数列的实际数值
(y yc )2 最小值
趋势线的估计数值
（一）
直线方程
（二）
曲线指数方程
7
（一）
直线方程
yc a bt 时间数列的时间
截距 直线的斜率
求偏导数 时间列的项数
y na bt ty at bt 2
t 0 简化为
Байду номын сангаас
时间数列中的各期水平
y na ty bt 2
8
（二）
非直线趋势
非直线趋势也称曲线 趋势，其变化率或趋势线的
斜率是变动的。
3
二、掌握测定直线趋势的间隔扩大法
这是测定直线趋势的一种简单的方法。当原始时间数列中各指标数值上下波动，使现象变
统计学第四至五章2
（一）研究长期趋势的目的和意义 （二）测定长期趋势的基本方法
1.移动平均法 2.方程拟合法
（一）研究长期趋势的目的和意义
1. 认识和掌握现象随时间演变的趋势和规律，为 制定相关政策和进行管理提供依据；
2. 通过对现象过去变动规律的认识，对事物的未 来发展趋势做出预计和推测；
= 7.03 ( 亿件 )
抛物线
(趋势图)
16 零 售 12 量
（亿件）8
4
零售量
趋势值
0
1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
（年份） 图5-3 针织内衣零售量二次曲线趋势
②指数曲线型
(Exponential curve)
1. 用于描述以几何级数递增或递减的现象 2. 一般形式为
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
51.40 71.42 106.67 129.85 136.69 145.27 147.52 158.25 163.00
计算结果
32.459896 18lg a 171lg b 337.223286 171lg a 2109lg b
3
15.0
45.0 9 135.0
4
12.3
49.2 16 196.8
5
11.2
56.0 25 280.0
6
9.4
56.4 36 338.4
7
8.9
62.3 49 436.1
0
173.8
45.2 280 2712.6
t4
2401 1296 625 256
81 16 1 0 1 16 81 256 625 1296 2401
最小平方法测定长期趋势的优点和缺陷
最小平方法测定长期趋势的优点和缺陷长期趋势是指现象在较长时期内持续发展变化的方向和状态。
研究长期趋势，对正确认识事物发展变化的数量规律有中要意义。
长期趋势是现象在一段较长的时间内，由于普遍的、持续的、决定性的基本因素的作用，使发展水平沿着一个方向，逐渐向上或向下变动的趋势。
在一个长时期的动态数列中，影响数列中指标数值升降变动的因素是多方面的，除了长期趋势外，另有一些因素短期起作用，造成短期的波动，还有一些偶然性因素，造成不规则的偶然变动，在按月或按季资料中，有不少现象还存在季节变动。
在一个动态数列中，这几种变动往往是互相交织在一起的。
现象变动的长期趋势就体现在这种多因素相互交织作用所形成的波动中，只有把波动修匀之后，才能体现出趋势的状态和走向。
长期趋势的测定，就是用一定的方法对动态数列进行修匀，使修匀后的数列排除季节变动，偶然变动等因素的影响，显示出现象变动的基本趋势，作为预测的依据。
(一)移动平均法移动平均法是通过对原有的时间数列进行修匀，以测定长期趋势的一种比较简单的方法。
即对时间数列采用逐项移动的办法按一定时期分别计算一系列序时平均数，形成一个派生的时间数列。
所谓移动平均，就是从动态数列的*9位数值开始，按一定项数求序时平均数，逐项移动，边移动边平均。
这样就可以得到一个由移动平均数构成的新的动态数列，这个派生的新动态数列把原数列中的某些不规则变动加以修匀，变动更平滑，趋势倾向更明显，可以更深刻地描述现象发展的基本趋势。
移动平均项数的确定是一个重要问题，因为移动项数多少直接影响修匀的程度。
一般说来，移动项数越多，修匀的作用就越大，而所得出的移动平均数的项数也就越少;反之，移动项数越少，修匀的作用就越小，所得出的移动平均数的项数也就越多。
移动项数的确定应注意动态数列水平波动的周期性。
一般要求移动项数与周期变动的时距相吻合，或为它的整倍数。
比如，对于具有季度或月份水平资料的时期数列，经受每年季节性的涨落，主要必须清除季节变动因素，以运用4项或8项移动平均为宜。
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（三）趋势方程拟合法
• 原理：
统
– 拟合以时间 t 为解释变量、所考察指标 y 为
被解释变量的回归方程（称为趋势方程或趋
计
势模型）
• 种类： 学
– 1. 线性趋势方程
– 2. 非线性趋势方程
• 优势：基于趋势模型，可以进行预测。
天津财经大学 统计学系
• 1. 线性趋势方程
– 当时间序列的逐期增长量大致相同、长期趋
统
长期趋势的测定方法
计
学
天津财经大学 统计学系
为什么要测定长期趋势
统 • 准确地测定其他构成因素的基础。 计 • 认识现象发展变化的基本趋势和规律性， 学 作为预测的重要依据。
天津财经大学 统计学系
时间序列的构成因素
统
季节变动 S
循环变动 C
计 长期趋势
学
T
不规则变动 I
天津财经大学 统计学系
长期趋势测定方法种类
学
bˆ
n (t yt ) t n t 2 ( t )2
yt
aˆ y bt
天津财经大学 统计学系
例：线性趋势法测定企业产品销售量趋势
年份 t 观测值 yt
1999 1 54
统 2000 2
50
2001 3 52
2002 4 67
计 2003 5
82
2004 6 70
学 2005 7 2006 8
52 67
2003 82
学
2004 2005
70 89
2006 88
2007 84
2008 98
2009 91
2010 106
移动平均 （三年）
52.0 56.3 67.0 73.0 80.3 82.3 87.0 90.0 91.0 98.3
移动平均 （五年）
61.0 64.2 72.0 79.2 82.6 85.8 90.0 93.4
109.06 113.90
天津财经大学 统计学系
2. 非线性趋势方程——K次曲线
统
• 二次曲线 • 三次曲线
yˆ t b0 b1t b2t 2 yˆ t b0 b1t b2t 2 b3t 3
计
学
三次曲线
二次曲线
天津财经大学 统计学系
2. 非线性趋势方程——指数曲线
• 指数曲线方程：yˆ t abt或yˆ t ae t (e b)
统
yˆ t
K
1 abt
逻辑斯蒂曲线
计 (K>0,a>0,1≠b>0)
学
• 数学特征：变量倒数的对数一次差分的 环比发展速度相等。
• 所适合的场合与龚泊兹曲线的适合场合
类似。
天津财经大学 统计学系
统
势可近似地用一条直线来描述。
• 2. 非线性趋势方程
计
– 二次曲线和三次曲线
– 指数曲线
学
– 修正指数曲线
– 龚泊兹曲线
– 逻辑斯蒂曲线
天津财经大学 统计学系
1. 线性趋势方程 yˆt aˆ bˆt
• a 为趋势线的截距 统 • b 为趋势线的斜率（平均逐期增长量）
计 • 最小二乘法估计参数a、b 。
! 时间序列的3项或5项 数据进行平均，通过平 均消除或减弱时间序列 中的不规则变动，从而 呈现长期发展变化趋势。
120 100 80 60 40 20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售量 3年移动平均 5年移动平均
天津财经大学 统计学系
• 2. 特点及局限
– 移动平均值代表的是所平均数据的中间位置 上的趋势值
统
计
修正指数曲线 Y=K
学
修正指数曲线
• 数学特征：
– 变量一次差分的环比发展速度相等。
– 时间序列初期增长迅速、随后增长率逐渐下 降直至最终以常数 K 为增长的极限。
• 可用三点法或三和法估计参天津数财。经大学 统计学系
2. 非线性趋势方程——龚泊兹曲线
• 龚泊兹曲线方程： yˆ t Kabt (K>0)
1201 1994 4 1210 1999 9 1949 2004 14 5933 2009 19 6
学
1577 1995 5 1488 2000 10 2492 2005 15 7620 2010 20 9
天津财经大学 统计学系
2. 非线性趋势方程——修正指数曲线
• 修正指数曲线方程： yˆ t K abt (0<b<1)
统
通过平均消除或减弱时间序列中的不规
则变动和其他变动，从而呈现现象发展
计
变化的长期趋势。
• 简单移动平均法与加权移动平均法
学
–“同等重要”
–“近大远小”
–“中间大、两端小”
天津财经大学 统计学系
例：简单移动平均法测定企业产品销售量趋势
年份
销售量 （万件）
统 1999 54
2000 50
计
2001 2002
统 • 数学特征：时间序列的逐期发展速度大 致相同，即大致按几何级数递增或递减。
计
– a 为长期趋势的初始值。
– b 为平均发展速度。
学
• b > 1，呈递增趋势， 指数曲线
• b < 1，呈递减趋势.
b>0
• 对数变换进行线性
b<0
化后，采用最小二乘
法估计参数 a 和 b。
天津财经大学 统计学系
例2 中国海关出口商品总额非线性趋势的测定
89 88
2007 9 84
2008 10 98
2009 11 91
2010 12 106
201ˆt 残差 yˆt yt
50.95
3.05
55.79
-5.79
60.63
-8.63
65.48
1.52
销售量
120
100
80
60
40
20
观测值y
0
趋势值
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 年份
统
– 对原时间序列具有修匀或平滑的作用
– 当序列包含周期性变动时，移动平均的项数
计
k 应与周期长度一致。季度数据通常采用4
期移动平均，月度数据通常采用12 期移动
平均。
学
– 当现象呈非线性趋势时，加权移动平均比简
单移动平均效果为好。
– 移动平均法不能直接进行外推预测。只能对 水平趋势数据进行预测。
天津财经大学 统计学系
年份
t
出口 总额
年份
t
出口 总额
年份
t
出口 总额
年份
t
出口 总额
统
1991 1 1992 2
719 1996 6 1511 2001 11 2661 2006 16 9689
1217 849 1997 7 1828 2002 12 3256 2007 17 8
计
1430 1993 3 917 1998 8 1837 2003 13 4382 2008 18 7
统
计
Compertz Curve
• 数学特征：
Y=K
学
– 变量对数一次差分的环比发展速度相等。。
– 初期增长缓慢、随后逐渐加快，达到一定程 度后增长率又逐渐下降,直至接近一条水平 线 Y=K 。
• 取对数转化为修正指数曲天津线财后经大，学再统估计学计系
2. 非线性趋势方程——逻辑斯蒂曲线
• 逻辑斯蒂曲线方程：
统 • （一）时距扩大法 计 • （二）移动平均法 学 • （三）趋势方程拟合法
天津财经大学 统计学系
（一）时距扩大法
• 原理：将原序列中若干项数据加总，通 统 过加总消除或减弱时间序列中的不规则
变动和季节等其他变动，从而呈现出现 计 象发展变化的长期趋势。
• 优点：计算非常简单直观。 学 • 局限性：丢失了原时间序列的大量信息，
不能详细反映现象的变化过程。没有建 立趋势模型，不能用于预测分析。
天津财经大学 统计学系
例：时距扩大法测定企业产品销售量趋势
年份
销售量 （万件）
统 1999 54
2000 50
计
2001 2002
52 67
2003 82
学
2004 2005
70 89
2006 88
2007 84
2008 98
2009 91
70.32 75.16 80.00
11.68 线性趋势方程：
-5.16
9.00 yˆt 46.10606 4.84266t
84.85 89.69 94.53 99.38
3.15
-可估计各期趋势值 yˆt
-5.69
-可得到各期残差 yˆt yt
3.47 -8.38
-可进行外推预测
104.22
1.78
2010 106
年份
销售总量 （万件）
1999-2001 156
2002-2004 219
！将每三年 的销售量进 行合并，得 到新的销售 量序列。
2005-2007 2008-2010
261 ！可更清楚 地看出销售 量不断增长
295 的长期趋势
天津财经大学 统计学系
（二）移动平均法
• 原理：时间序列的若干项数据进行平均，