组合的综合应用习题课(修改的)

4.从 1 到 9 的九个数字中取 3 个偶数、4 个奇数，问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中 3 个偶数排在一起的有几个？
解：(1)分步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，可有 C34种取 法；第二步，在 5 个奇数中取 4 个，可有 C45种取法；第三步，3 个偶数、4 个奇数进行排列，可有 A77种排法．所以符合题意的七 位数有 C34·C45·A77＝100 800(个). (2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C34·C45·A55·A33＝14 400 (个).
与几何图形有关的组合问题
如图，在以 AB 为直径的半圆周上， 有异于 A，B 的六个点 C1，C2，…，C6，线 段 AB 上有异于 A，B 的四个点 D1，D2， D3，D4. (1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含 C1 点的有多少个？ (2)以图中的 12 个点(包括 A，B)中的 4 个为顶点，可作出多少个 四边形？
第 2 课时 组合的综合应用(习题课)
有限制条件的组合问题
某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名组成医疗小组到社区 义诊，其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家. 问： (1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？
1.若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中取 4 个不同的数，使其和为
奇数，则不同的取法共有( )
A．60 种
B．63 种
C．65 种
D．66 种
2.课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女 生各有一名队长，现从中选 5 人主持某项活动，依下列条件各有 多少种选法？ (1)至少有一名队长当选. (2)至多有两名女生当选. (3)既要有队长，又要有女生当选. (4)至多有 1 名队长被选上.
组合中的分组、分配问题
按以下要求分配 6 本不同的书，各有几种方法？ (1)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (2)分成三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本； (3)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本.
[变问法]在本例条件下，若甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另 外两个人每个人得 1 本，有多少种分法？
将 4 个编号为 1，2，3，4 的小球放入 4 个编号为 1，2，3，4 的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把 4 个不同的小球换成 4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多 少种放法？
排列与组合的综合问题
已知 10 件不同的产品中有 4 件是次品，现对它们进行一 一测试，直至找出所有次品为止. (1)若恰在第 5 次测试才测试到第一件次品，第 10 次测试才找到 最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ (2)若恰在第 5 次测试后，就找出了所有的 4 件次品，则这样的不 同测试方法数是多少？
有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不 同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不 担任数学科代表.
分组、分配问题的求解策略 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种. ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，若有 n 组均匀，最后必须除 以 n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题. 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
(1)四面体的一个顶点为 A，从其他顶点和各棱中点 中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，有多少种不同的取法？ (2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的 点，有多少种不同的取法？
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