一元二次方程的初中奥数问题
(仅供参考)(奥数班)一元二次方程奥数题
的三条边的长，则 m 的值是____4____，此时这个三角形是 等边 三角形。
38. 边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程 x2 (k 2)x 4k 0 的两根，求 k 的值
并确定直角三角形三边之长．
解：设直角边为 a, b ，（ a b ）则 a b k 2, ab 4k ，因方程的根为整数，故其判别式为完全平方
思路1：降次；
x 1 1
x3 1
16. 若 x ，则
x3 的值为 4
。
17. 已知x2 5x 1 0，那么 x
1
x2 x 1
4
18. 若 m n 2 ，则 2m2 4mn 2n2 1 的值为
7
．（降次） ．
19. 已知 m2 m 1 0 ，则 m 3 2m 2 2006 2005 （降次）
49. 设 x1，x2 关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根，则 x1 2x2 x2 2x1 的最大值
为
。 63
8
8
25.
已知实数x、y满足 4 x4
2 x2
3, y 4 y2
3
,则
4 x4
y 4的值为（ A
）
A. 7 B 1 13 C 7 13
2
2
D.5 (全国初中数学竞赛题)
26. 已知实数 、 满足 2 3 1 0 ， 2 3 1 0 ，且 1 ，则 2 3 的值为 10
27.
20.
已知 a2 2004a 1 0 ，则 2a 2
4007a
2004 a2 1
_____
2002
____ （降次）
21.
x2 已知 是方程
x1 4
九年级奥数一元二次方程
知识点1.一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c; 其中a 、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少。
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ>0 有两个不等的实根;Δ=0 有两个相等的实根;Δ<0 无实根;Δ≥0 有两个实根(等或不等)。
1.误求得两根为数甲由于看错了二次项系没有实数根的一元二次方程已知关于，，c bx ax x 02=++）（a c a ，，， 324142=+那么和误求得两根为数的符号乙由于看错了某一项系和()()202202ax M 4ac -002b b ，a c bx ax x 、+==Δ≠=++与平方式则判别式的根是若的关系是（ ） A 、Δ>M B 、Δ=M C 、Δ<M D 、不能确定） （3，01--342=+=βαβα则的两个实数根是方程已知x x 、、） （194-03-42231221的值为那么的两个根是方程设+=+x x ，x x x x 、A 、－4B 、8C 、6D 、0）。
（s ）0（051233212=++≠=++cs bs as ，s ，s ，a c bx ax 、则为两根立方和两根平方和为的两根之和为已知方程 ） （ 3-22-323-32-6缙云杯解方程x x x x 、+=+）（ 06131611-162-17222宁夏解方程=++++++x x x x x x 、 ）（ 2432 151 8缙云杯解方程组 z y x X z y x z y x 、==++++=++-。
初三培优 易错 难题一元二次方程组辅导专题训练及答案
初三培优 易错 难题一元二次方程组辅导专题训练及答案一、一元二次方程1．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=12．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．如图，在Rt ABC V 中，90B =o ∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵90B ∠=o ，10AC =，6BC =，∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，∵1632160=-=-<V ，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.6．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2+x 1+x 2≥20，求m 的取值范围．【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=6，x 1x 2=2m+1，再利用2x 1x 2+x 1+x 2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围． 试题解析：（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m ＋1）≥0，解得m ≤4；（2）根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2（2m ＋1）＋6≥20， 解得m≥3，而m≤4，所以m 的范围为3≤m≤4．7．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x 1=7，x 2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y 2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．8．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.9．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．10．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.11．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。
泉州五中初二下奥数讲座(6) ——一元二次方程的整数根提高+答案
泉州五中初二下奥数讲座（6）——一元二次方程的整数根提高班 号 姓名 供稿人：李锦扬例题与求解【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2=+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值.（绍兴市竞赛试题）解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确.【例2】 关于y x ,的方程29222=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 解题思路：把29222=++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值.【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根.【例4】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99109910≤≤≤≤y x ，，则y x y x +=+100)(2， 即0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例5】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．（“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练B 级1．已知a 、b 为实数，设2006b a -=，如果关于x 的一元二次方程20x ax b ++=的根都是整数，则该方程的根共有( )组． A ．4 B ．6 C ．8 D ．102．已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，则_________=a . 3．若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_________个.4．使方程071222=-++a ax x a 的两根都是整数的所有正数a 的和是______________.（上海市竞赛题）5．已知方程015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非零实数）至少有一个整数根，那么_________=a .（全国初中数学联赛试题）6．设方程03)6(2=-+++m x m x 有两个不同的奇数根，则整数m 的值为________（《学习报》公开赛试题）7．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.（全国初中数学联赛试题）8．当x 为何有理数时，22392-+x x 恰为两个连续的正偶数的乘积？（山东省竞赛题）9．是否存在质数q p ,使得关于x 的一元二次方程02=+-p qx px 有有理数根？（全国初中数学竞赛试题）10．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧++-==-++bcx a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b（1）求a 的值； （2）求k 的值及它对的y x ,的值.参考答案【例1】 ．已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值． 【解答】解：当4k =时，原方程为32320x -+=，所以1x =，符合题意； 当8k =时，原方程为16320x +=，所以2x =-，符合题意；当4k ≠且8k ≠时，原方程化为[(4)8][(8)4]0k x k x ----=，解得184x k =-，248x k=-．k Q 为整数，且1x ，2x 均为整数根，41k ∴-=±，2±，4，8±，得3k =，5，2，6，0，4-，12 或81k -=±，2±，4-，得7k =，9，6，10，12．综上所述，当k 的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数．【例2】 ．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 【解答】解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=． 由于该方程有整数根，则判别式△0…，且是完全平方数．由△2224(229)71160y y y =--=-+…， 解得211616.57y ≈…．于是显然，只有16y =时，△4=是完全平方数，符合要求． 当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时11x =-，23x =-； 当4y =-时，原方程为2430x x -+=，此时31x =，43x =．所以，原方程的整数解为312431241133444 4.x x x x y y y y ==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩ 故选：C ．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根．【解答】解：（1）若0r =，12x =，原方程无整数根；（2）当0r ≠时，122r x x r ++=-，121r x x r-=；消去r 得：121242()17x x x x -++=， 即12(21)(21)7x x --=， 717(1)(7)=⨯=-⨯-Q ， ∴①12211217x x -=⎧⎨-=⎩，解得1214x x =⎧⎨=⎩，114r r -∴⨯=，解得13r =-； ②12217211x x -=⎧⎨-=⎩，解得1241x x =⎧⎨=⎩；同理得：13r =-，③12211217x x -=-⎧⎨-=-⎩，解得1203x x =⎧⎨=-⎩，1r =，④12217211x x -=-⎧⎨-=-⎩，解得1230x x =-⎧⎨=⎩，1r =．∴使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根的r 值是13-或1．【例4】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． 【解答】解：设前后两个二位数分别为x ，y ，2()100x y x y ∴+=+． 222(50)()0x y x y y +-+-=．22244(50)4()4(250099)0b ac y y y y -=---=-…，解得252599y …，当2525y …时，原方程有解．50x y ∴==-250099y ∴-必为完全平方数，Q 完全平方数的末位数字只可能为0；1；4；5；6；9． ∵x 的数位是2位，y 是2位．25y ∴=30x ∴=或20，∴所求的四位数为3025或2025． 【例5】 已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．【分析】反客为主：首先将原方程变形为2(2)2(6)x a x +=+，进而分析2x +，以及a 的取值，得出所有的可能结果．【解答】解：将原方程变形为2(2)2(6)x a x +=+．显然20x +≠，于是22(6)(2)x a x +=+由于a 是正整数，所以1a …，即22(6)1(2)x x ++…所以2280x x +-…， (4)(2)0x x +-…， 所以42(2)x x -≠-剟．当4x =-，3-，1-，0，1，2时，得a 的值为1，6，10，3，149，1 1a ∴=，3，6，10说明从解题过程中知，当1a =时，有两个整数根4-，2； 当3a =，6，10时，方程只有一个整数根．综上所述，当1a =，3，6，10时，关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．法二：()221=481=48n a n a -∆+=设，则代入方程得：()()()22221454250n x n x n -+-+-= ()()12101210=0n x n n x n +++⋅-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦12210821082,21111n n x x n n n n +-=-=--=-=-+++--能力训练1．已知a 、b 为实数，设2006b a -=，如果关于x 的一元二次方程20x ax b ++=的根都是整数，则该方程的根共有( )组． A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【解答】解：由韦达定理得12x x a +=-，12x x b =，则12122006x x x x ++=． 所以，12(1)(1)20079223x x ++==⨯9(223)36693(669)12007(1)(2007)=-⨯-=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-． 易知方程有6组解． 故选：B ．2．已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值． 【解答】解：设两个根为12x x …， 由韦达定理得12126x x a x x a +=-⎧⎨=⎩，从上面两式中消去a 得 12126x x x x ++=， 12(1)(1)7x x ∴++=， ∴121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩，∴1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩，120a x x ∴==或16．3．若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数时k 的值有 5 个． 【解答】解：①当60k -=，即6k =时，则原方程为(117156)540x --⨯+=，解得2x =； ②当90k -=，即9k =时，则原方程为(117159)540x --⨯+=，解得3x =-； ③当60k -≠、90k -≠时，即6k ≠且9k ≠时，196x k =-，269x k=-； ①当61k -=±，3±，9±时，x 是整数，此时7k =、5、3、15、3-；③当91k -=±、2±、3±、6±时，x 是整数，此时10k =、8、11、7、12、15、3． 综合①②知，3k =、15、6、7、9时，原方程的解为整数． 故答案为：5．4．设方程222170a x ax a ++-=的两根都是整数，求所有正数a ．【解答】解：Q 方程有根，2224(17)0a a a ∴-⨯-…，243280a a -+…，21283a …，121x x a ∴+=-；12217x x a=-，Q 两根之和与两根之积均为整数，∴211a=，4，9．又1a -Q 为整数，∴11a=，2，3，1a ∴=，12，13．5. 1,3,5 提示:a x 321-=,ax 512-=.6．设方程2(6)(3)0x m x m +++-=有两个不同的奇数根，则整数m 的取值为 2-或6- ． 【解答】解：设两根为1x 、2x ． 12(6)x x m +=-+Q ，123x x m =-g ， 12129x x x x ∴++=-g ， 12(1)(1)8x x ∴++=-．1x Q 、2x 为奇数，11x ∴+、21x +为偶数， 112x ∴+=，214x +=-或112x +=-，214x +=，11x ∴=，25x =-或13x =-，23x =， 12(6)4x x m ∴+=-+=-或0，2m ∴=-或6-，故答案为：2-或6-．7．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值． 【解答】解：2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=，2222(68)(264)40k k x k k x k -++--+-=， 22(4)(2)(264)(2)(2)0k k x k k x k k --+--+-+=， [(4)(2)][(2)(2)]0k x k k x k -+--++=． (4)(2)0k k --≠Q1214x k ∴=---， 2412x k =---； 1124(1)1k x x ∴-=-≠-+①2242(1)1k x x -=-≠-+②由①②消去k ，得121320x x x ++=g ． 12(3)2x x ∴+=-．由于1x ，2x 都是整数．∴12231x x =-⎧⎨+=⎩，12132x x =⎧⎨+=-⎩，12231x x =⎧⎨+=-⎩，即1222x x =-⎧⎨=-⎩，1215x x =⎧⎨=-⎩，1224x x =⎧⎨=-⎩6k ∴=，3，103． 经检验，6k =，3，103满足题意． 8．当x 为何有理数时，代数式29232x x +-的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 【解答】解：设两个偶数为2n ，22(0)n n +>，则292322(22)x x n n +-=+，即292322(22)0x x n n +--+=．x 为有理数，则方程的△为完全平方数，△2222349[22(22))]36(441)565[6(21)]565n n n n n =+⨯⨯++=+++=++， 设△2m =（不妨设0)m …，22[6(21)](126)(126)56556511135m n m n m n -+=++--==⨯=⨯， 当126565m n ++=时，1261m n --=解得283m =，23n =； 当126113m n ++=时，有1265m n --=解得59m =，4n =；当23n =时，292324648x x +-=⨯，17x =-或1309x =；当4n =时，29232810x x +-=⨯，2x =或419x =-．9．是否存在质数p ．q ，使得关于x 的一元二次方程2px qx p O -+=有有理数根？ 【解答】解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△2224q p n =-=， 规定其中n 是一个非负整数．则2()()4q n q n p -+=．（5分） 由于1q n q n -+剟，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数，因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩、24q n q n p -=⎧⎨+=⎩、4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩、22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩、24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩ 消去n ，解得22251,2,,2,2222p p p q p q q q p q =+=+===+．（10分） 对于第1，3种情形，2p =，从而5q =；对于第2，5种情形，2p =，从而4q =（不合题意，舍去）； 对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．又当2p =，5q =时，方程为22520x x -+=，它的根为121,22x x ==，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．（15分）10. 已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧++-==-++bc x a k y a k y kx )(0)(2只有一组解且为整数解，其中c b a k ,,,均为整数且0>a ，c b a ,,满足12-=--bc a a ，.2=+c b（1）求a 的值； （2）求k 的值及它对的y x ,的值.解：(1)2,12=++-=c b a a bc ,则c b ,是一元二次方程01222=+-+-a a t t 的两根, 故0)(4)1(4422≥--=+--=∆a a a a , 即0)1(≤-a a , 又 ∵ 0≥a 且a 为整数, 则1≥a ,∴1===c b a .(2)由条件得0)1(2=++-k x k kx ,又 ∵原方程只有一组解,当0=k 时,1,0==y x , ∴⎩⎨⎧==10y x 符合条件,此时0=k ； 当0≠k 时，01234)1(222=++-=-+=∆k k k k ，解得1,(3121=-=k k 舍），∴12=k ， 即0122=+-x x ， ∴1,1-==y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x ，符合条件，此时k =1。
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题(三种方法)
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。
首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)--二次方程与方程组
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab b a b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
初二数学奥赛学案(拔高篇)：第六讲 一元二次方程的解法(知识梳理+例题精讲)
第六讲：一元二次方程的解法【知识梳理】形如()002≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式aac b b x 242-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
【例题精讲】【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：（1）x 2 –2x =0 （2） x 2 –9=0 （3）(1－3x )2＝1；（4）（t －2）（t ＋1）＝0 （5）x 2＋8x ＝2 （6）2760x x -+=（7）24210x x --= （8）22150x x --= （9）241290x x -+=（10）24210a a --+= （11）211180x x ++= （12）2230x x --=（13）x （x －6）＝2（14）（2x ＋1）2＝3（2x ＋1） （15）227150b b +-=（16）23440a a +-=（17）23145b b += （18）20x +=（19）42200x x --=（20）2(35)5(35)60x x +-+-=；【例2】用适当的方法解下列关于x 的方程（提高题）：（1）()()53423=+-x x ； （2）033272312=--x x ；（3）()()35412352-=--x x ；（4）()()()()114113-+=--x x x x ；（5）()()06132322=----x x 。
【巩固】用适当的方法解下列关于x 的方程：（1）()()019222=+--x x ；（2）22296a b ax x -=-；（3）()0632222=--+x x 。
（4）()()()()x x x x --=-+314312。
泉州五中初二下奥数讲座(5) ——一元二次方程的整数根+答案
泉州五中初二下奥数讲座（5）——一元二次方程的整数根班 号 姓名 供稿人：李锦扬阅读与思考解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。
这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐..解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1．直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2．利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3．运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4．巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.能力训练 A 级1．已知方程019992=+-m x x 有两个质数根， 则._______=a (江苏省竞赛题)2．已知一元二次方程012=+-+m mx x （m 是整数）有两个不相等的整数根，则______=m (四川省竞赛题)3．当整数m = 时，关于x 的一元二次方程2244450x mx m m -+--=与2690mx x -+=的根都是整数．4．若k 正整数，且一元二次方程0)1(2=+--k px x k 的两个根都是正整数，则22()kp p k k p k p k ++的值等于______________.5．两个质数b a ,恰是x 的整系数方程0212=+-t x x 的两个根，则baa b +等于（ ） A ．2213 B ．2158 C ．492402 D ．383656．若062=-+mx x 的两个根都是整数，则m 可取值的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．以上结论都不对7．方程020172=++px x 恰有两个整数根21,x x ，则)1)(1(21++x x p的值是（ ）（北京市竞赛试题）A ．1B ．1-C ．21-D ．218．若b a ,都是整数，方程020082=-+bx ax 的相异两根都是质数，则b a +3的值为（ ） （太原市竞赛试题）A ．100B ．400C ．700D ．10009．若方程0232=+++m x x 有一个正根1x ，和一个负根2x ，由以21,x x 为根的二次方程为（ ）A ．0232=---m x x B ．0232=--+m x x C ．02412=----m x m x D ．02412=++--m x m x10．求所有的实数k ，使得方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数.（“祖冲之”邀请赛试题）11．已知关于x 的方程23842=--n nx x 和022)3(22=+-+-n x n x ，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由. （湖北省选拔赛试题）12．若关于x 的方程0)2()3(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数根，求整数a 的值.（上海市竞赛试题）13．已知q p ,为整数，且是关于x 的方程016)(41591122=++++-q p x p x 的两个根，求q p ,的值.（全国初中数学联赛试题）20200330奥数5一元二次方程整数根参考答案与试题解析一．试题（共12小题）1．已知方程219990x x m -+=有两个质数解，则m = 3994 ． 【解答】解：设方程219990x x m -+=的两根分别为1x 、2x ， 由一元二次方程根与系数的关系得，121999x x +=， 1999Q 是奇数， 又1x Q 、2x 是质数，1x ∴、2x 必有一个等于2， 设12x =，则21997x =， 1221997x x m ∴=⨯=g ， 3994m ∴=．故答案为：3994．2．已知一元二次方程210(x mx m m +-+=是整教）有两个不相等的整数根，则m = 1或5- ．【解答】解：原方程可变化为2(1)1m x x -=+， 当1x =时，有0112=+=，矛盾；当1x ≠时，221122(1)111x x m x x x x+-+===-++---， m Q 为整数，1x ∴-为2的因数，11x ∴-=，2，1-、2-， 即0x =，1-，2，3， 此时1m =，1，5-，5-． 故答案为：1或5-．3．当整数m = 1 时，关于x 的一元二次方程2244450x mx m m -+--=与2690mx x -+=的根都是整数． 【解答】解：若关于x 的一元二次方程2690mx x -+=， 则△36360m =-…， 解得1m …，若关于x 的一元二次方程2244450x mx m m -+--=， 则△16200m =+…，54m -…，故514m -剟，m Q 为整数，1m =-，0，1，0m =时方程2690mx x -+=不是一元二次方程，故应舍去，当1m =-时方程2690mx x -+=即2690x x +-=，解得：3x =-± 当1m =时，2690x x -+=解得：123x x ==，两方程的解都为整数， 故答案为：1m =．4．若k 为正整数，且一元二次方程2(1)0k x px k --+=的两根为正整数，求22()kp p k k p k p k ++的值． 【解答】解：设原方程的两个根分别为1x ，2x ， Q 原方程有两个正整数根，根据韦达定理得1201kx x k =>-g ，①且它的值为整数变形得1101k +>-，111k >--， 又Q 11k -为整数，∴111k =- 2k ∴=，代入①得122x x =g ， 11x ∴=，22x =，把2k =，1x =（或者2也可以）代入原方程得3p =，222332()2(32)362020kp p k k p k p q ⨯∴++=++=． 故答案为：2020．5．两个质数a ，()b a b …恰好是x 的整系数方程2210x x t -+=的两个根，则b aa b +等于( ) A ．2213 B ．5821 C ．240249D ．36538【解答】解：a Q ，b 是方程2210x x t -+=的两个根， 21a b ∴+=，又a Q ，b 都是质数，且a b …， 2a ∴=，19b =．∴222221936521938b a a b a b ab +++===⨯． 故选：D ． 6．B7．方程220170x px ++=恰有两个正整数根1x 、2x ，则12(1)(1)px x ++的值是( )A ．1B ．l -C ．12-D ．12【解答】解：根据220170x px ++=恰有两个正整数根1x 、2x ， 12x x p ∴+=-，122017x x =， 1x Q 、2x 是两个正整数根，11x ∴=，22017x =，或12017x =，21x =，122018x x ∴+=，2018p =-，∴121212(1)(1)1p px x x x x x =+++++， 201812018201712-==-++． 故选：C ．8．若a ，b 都是整数，方程220080ax bx +-=的相异两根都是质数，则3a b +的值为( )A ．100B ．400C ．700D ．1000 【解答】解：设1x ，2x 为方程220080ax bx +-=两个根，122008x x a∴=-g ， 2008222251=⨯⨯⨯Q ，又251Q 是质数，方程220080ax bx +-=的相异两根都是质数， ∴两个根只能是251和2， 4a ∴=-，12253bx x a+=-=Q ，42531012b ∴=⨯=，31210121000a b ∴+=-+=． 故选：D ．9．设方程2320x x m +++=有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1||x 、2||x 为根的一元二次方程为( ) A ．2320x x m ---= B ．2320x x m +--=C ．220x -=D ．220x += 【解答】解：12||||30A x x +=>Q ，但12||||2x x m =--g 不能确定它的正负，∴不能选A ．12||||30B x x +=-<Q ，∴不能选B ．12||||0C x x +=>Q ，但12||||20x x =-<g ，∴不能选C ．12||||0D x x +=Q ，12||||20x x =>g ，∴选D ．故选：D ．10．求使关于x 的方程2(1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数的k 值． 【解答】解：分0k =和0k ≠两种情况讨论．当0k =时，所给方程为10x -=，有整数根1x =． 当0k ≠时，所给方程为二次方程．设两个整数根为1x 和2x ，则有1212111,111k x x k kk x x k k +⎧+=-=--⎪⎪⎨-⎪==-⋅⎪⎩①②由①-②得1212122(1)(1)3x x x x x x +-=-⇒--=． 13(1)(3)=⨯=-⨯-．有11112222111113131313111 1.x x x x x x x x -=-=--=-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=--=-=-⎩⎩⎩⎩ 故126x x +=或122x x +=-，即116k --=或112k --=-．解得17k =-或1k =．又△22(1)4(1)361k k k k k =+--=-++，当17k =-或1k =时，都有△0>．所以，满足要求的k 值为0k =，17k =-，1k =．11．已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=．问是否存在这样的n 的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n 值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：由△221(8)44(32)(83)230n n n =--⨯⨯--=++>，知n 为任意实数时，方程（1）都有实数根．设第一个方程的两根为α、β．则2n αβ+=，324n αβ--=．于是，22()()4αβαβαβ-=+-，2432n n =++； 由第二个方程得[(22)][(1)]0x n x n -++-=，解得两根为122x n =+，21x n =-+；若1x 为整数，则243222n n n ++=+．于是10n =，214n =-．当0n =时，12x =是整数；14n =-时，32x =不是整数，舍去．若2x 为整数，则24321n n n ++=-．有3412n n ==-．此时232x =不是整数，舍去．综合上述知，当0n =时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根． 12．关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，且a 是整数，求a 的值． 【解答】解：当0a =时，原方程为620x --=，解得：13x =-，即原方程无整数解．当0a ≠ 时，方程为一元二次方程，它至少有一个整数根，∴△2[2(3)]4(2)4(94)a a a a =---=-为完全平方数，即94a -为完全平方数，设294a n -=，则n 为正奇数，且3n ≠ 否则0a =，所以294n a -=，由求根公式得：22(3)234(3)1129a n n n x a a n --±±±==-+=-+-， 所以1413x n =-++，2413x n=-+-，要使1x 为整数，而n 为正奇数，只能1n =，从而2a =， 要使2x 为整数，n 可取1，5，7，从而2a =，4-，10-， 综上所述，a 的值为2，4-，10-．13．13．已知q p ,为整数，且是关于x 的方程016)(41591122=++++-q p x p x 的两个根， 求q p ,的值.（全国初中数学联赛试题）解：由韦达定理，得9112+=+p q p ①，16)(415++=q p pq ②，0>+q p ，0>pq ，为q p ,正整数.由②得216)(6016++=q p pq , 即4811516)154)(154(22=+=+-q p ,故⎩⎨⎧=-=-13,37,1,48115437,13,481,1154q p ,得13,7,124,4=p ，7,13,4,124=q ，代入①，即只有7,13==q p 满足条件.。
奥数第二讲-一元二次方程及其应用答案
第二讲 一元二次方程及其应用答案班级： 姓名： 日期： 【巩固练习】1．已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（ ）。
B A ．3或－1 B ．3 C ．1 D ．－3或12．设a 、b 是方程x 2+x-2011=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）。
C A.2008 B.2009 C.2010 D.20113． 若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。
（A ）540；（B ）390；（C ）194；（D ）97。
解：当时，。
∴当自变量取2、3、…、98时，函数值都为0。
而当取1、99、100时，，故所求的和为：4．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 ．【答】7．解：71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ．5．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．【答】120,4x x ==-．解：11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++，解得 120,4x x ==-. 6．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为 ．【答】2-．解：∵α是方程2210x x +-=的根，∴212αα=-．∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-， 又 ∵2,αβ+=-∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．7．已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ2＋2ｘ－ａ－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有____个．（1）当ａ＝1时，ｘ＝1．（2）当ａ≠1时，易知ｘ＝1是方程的一个整数根，再由1＋ｘ＝且ｘ是整数，知1－ａ＝±1，±2．所以ａ＝－1，0，2，3． 由（1）、（2）得符合条件的整数ａ有5个．8．试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx 2+(r+2)x+r -1=0有且只有整数根。
901.一元二次方程的解法-奥数精讲与测试
知识点、重点、难点例题精讲例1：解方程2(21)32120.x x ---+=例2：解方程22140.x x ---=例3：解关于x 的方程2()2()0.a b c x ax a b c -++++-=例4：已知首项系数不相等的两个关于x 的二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=及（,a b 是正整数）有一个公共根，求2bb aa b a b--++的值。
例5：若二次方程2220x px q ++=有实根，其中p 、q 为奇数。
证明：此方程的根是无理数。
例6：解关于x 的方程：2222(1)2()0.x t x tx t t +--+-=习题 A 卷一、填空题1. 设方程22(1)(1)30m x m x --++=，当m 时，是一元一次方程；当m 时，是一元二次方程。
2. 方程33(1)(1)2x x +--=，用 方法较简捷，其根是 。
3. 用公式法解23412x x =-，其根是 。
4. 将方程22730x x ++=化成()()0a x m x n ++=的形式，可得 。
5. 若1x =是方程20ax bx c ++=的一个根，则a b c ++= 。
6. 若方程22(1)230m x x m m -+++-=有一个根为0，则m = 。
7. 关于x 的方程222440c x bx b -+-=，则x = 。
8. 若a 是方程20x bx a ++=的根，则a b += 。
9.已知473x -=，则2421x x x ++的值是 。
10.如果对于任意两个实数a 、b ，定义*2a b a b =+，解方程： 2*(2)2*10x x +=，可得x = 。
二、解答题11.用公式法解2(1)2(2)0.m x m x m --++=12.若方程210x bx ++=与方程20x x b --=至少有一个相同的实数根，求实数b 的值。
九年级数学竞赛题：一元二次方程
九年级数学竞赛题：一元二次方程配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法.因式分解法体现了“降次求解”的基本思想，公式法具有一般性.善于根据方程的特征，灵活选用恰当的解法，是解一元二次方程的关键，选择方法的一般顺序是：先特殊后一般.即先考虑因式分解法、配方后直接开平方，再考虑公式法.有些与一元二次方程相关的问题。
常常不是去解这个方程，而是通过变形降次、整体代入等技巧方法，促使问题的解决.例1阅读下面的例题：解方程：麻一1x1-2 = 0.解：（1）当xNO时，原方程化为x2—x—2 = 0,解得为=2/2 =T （不合题意，舍去），（2）当x<0时，原方程化为V+x —2 = 0.解得N=L （不合题意，舍去），X2=-2.・•・原方程的根是N=2,X?=—2请参照丁一卜一3|-3 = 0,则方程的根是_____________例2根据关于x的一元二次方程/+/> +夕=0,可列表如下:则方程V + px + g = O的正数解满足（）.A.解的整数部分是0,十分位是5B.解的整数部分是0,十分位是8C.解的整数部分是1,十分位是1D.解的整数部分是1,十分位是2例3设沏、也是方程/+X-4 = 0的两个实数根，求代数式疗-5/2+10的值.例4先请阅读材料：为解方程旷-5，-1） + 4 = 0,我们可以将V-1视为一个整体，然后设x-l = y,则（x2-l）2=y2,原方程化为V一5.\，+ 4 = 0,解得％=1,%=4.当y = 1 时，A 2— 1 = 1 » 得X = ±5/2 :当y = 4 时，X2 -1 = 4 » 得X = ±y/5 : 故原方程的解为A = V?，x2 = —>/2 ♦x3=-A/2,x4 = -75 .在解方程的过程中，我们将X?-1用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想.请你根据以上的阅读，解下列方程：⑴ x4 - %2 - 6 = 0 ：(2) (-x-l)2-(-x-l)-l = O. 2 2例5已知02, b>2,试判断关于x的方程一一(“ +5口 + 4〃 = 0与/ 一4次+ (〃 + 〃)= 0有没有公共根，请说明理由.1.在实数范围内定义一种运算“※二其规则为“※根据这个规则，方程(X+2)X5=0的解为.2.请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且其两根互为倒数.23.用换元法解方程：x2+x+l = -一，如果设y = 那么原方程化为关于y的X~ +X一元二次方程的一般形式为.4.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( )A.若』=4,则x = 28方程x(2x — 1) = 2x — 1 的解为x = lC.若方程- 2)?"1 + 3〃氏—1 = 0是关于x的一元二次方程，则m=-2.D.若分式.'二一3'十2的值为零,则mi, 2.x-15.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程6x + 8 = 0的一个根，则这个三角形的周长为( ).A. 9B. 11C. 13D. 11 或136.严老师出示了小黑板上的题目(如下而方框中所示)，小敏回答：“方程有一根为“1”，小聪回答：“方程有一根为2"，则你认为( ).已知方程3x + ) + l=0,试添加一个条件，使它的两根之积为2.A.只有小敏回答正确B.只有小聪回答正确C小敏、小聪回答都不正确D.小敏、小聪回答都正确7.解下列方程：（l）x2-Lvl-l = O;（2）（/ - 24 +（/ - 2 v） - 2 = o；x厂一2r 4- 18.已知关于x的方程/ +kx_ 2 = 0的一个解与方程^一= 3的解相同.x-1（1）求k的值：（2）求方程/+攵x—2 = 0的另一个解.9.若。
一元二次方程的初中奥数问题
一元二次方程的初中奥数问题一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1-20%)(1+x)2=193.6，即(1+x)2=1.21，解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1(舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mn.二、商品定价例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件?每件商品应定价多少?解根据题意，得(a-21)(350-10a)=400，整理，得a2-56a+775=0，解这个方程，得a1=25，a2=31.因为21×(1+20%)=25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350-10a=350-10×25=100(件).答需要进货100件，每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.三、储蓄问题例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为x.则根据题意，得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理，得90x2+145x-3=0.解这个方程，得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2≈-1.63舍去.答第一次存款的年利率约是2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗?解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)・x=1.8，整理，得x2+0.8x-1.8=0.解这个方程，得x1=-1.8(舍去)，x2=1.所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.五、古诗问题例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄).大江东去浪淘尽，千古风流数人物;而立之年督东吴，早逝英年两位数;十位恰小个位三，个位平方与寿符;哪位学子算得快，多少年华属周瑜?解设周瑜逝世时的`年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3.则根据题意，得x2=10(x-3)+x，即x2-11x+30=0，解这个方程，得x=5或x=6.当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去;当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄龄为36岁.说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n-1)个选手比赛一局，共计n(n-1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n-1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n-1)=1980，得n2-n-1980=0，解得n1=45，n2=-44(舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.。
初三年级奥数知识点：一元二次方程的解法
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。
下⾯是为⼤家带来的初三年级奥数知识点：⼀元⼆次⽅程的解法，欢迎⼤家阅读。
1、直接开平⽅法
利⽤平⽅根的定义直接开平⽅求⼀元⼆次⽅程的解的⽅法叫做直接开平⽅法。
直接开平⽅法适⽤于解形如的⼀元⼆次⽅程。
根据平⽅根的定义可知，是b的平⽅根，当时，，，当b<0时，⽅程没有实数根。
2、配⽅法
配⽅法是⼀种重要的数学⽅法，它不仅在解⼀元⼆次⽅程上有所应⽤，⽽且在数学的其他领域也有着⼴泛的应⽤。
配⽅法的理论根据是完全平⽅公式，把公式中的a看做未知数x，并⽤x代替，则有。
3、公式法
公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。
公式法是⽤求根公式解⼀元⼆次⽅程的解的⽅法，它是解⼀元⼆次⽅程的⼀般⽅法。
初三培优 易错 难题一元二次方程组辅导专题训练及详细答案
初三培优易错难题一元二次方程组辅导专题训练及详细答案一、一元二次方程1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm 的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，∵，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2．已知关于x的方程230x x a++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程2(1)320k x x a-+-=②有实数根，又k为正整数，求代数式2216kk k-+-的值．【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-.Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义.综上，代数式2216k k k -+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，3．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2． 【解析】 【分析】作出辅助线，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，即可得出S △PQB =12×PB×QE ，有P 、Q 点的移动速度，设时间为t 秒时，可以得出PB 、QE 关于t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°． ∵∠ABC ＝30°， ∴2QE ＝QB ． ∴S △PQB ＝12•PB•QE ． 设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ．根据题意，12•（6﹣t ）•t ＝4． t 2﹣6t+8＝0． t 2＝2，t 2＝4．当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去，取t ＝2． 答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．4．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.5．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用6．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b2﹣4ac=9＞0∴73 2±∴x1=5，x2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC的周长；（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为72；（2）当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1，可求得m.【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.7．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m 的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．8．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1x 2＝11＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.9．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.10．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）52t ±=。
一元二次方程奥数题正式培训大全2资料
一元二次方程奥数题正式培训大全2一元二次方程奥数题21．已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是2．设a 、b 是方程x 2+x-2011=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为3．若2=-n m ，则124222-+-n mn m 的值为 ．4．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．5．已知α、β是方程2210x x +-=的两根，则3510αβ++的值为6．已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ2＋2ｘ－ａ－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有____个．7．试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx 2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。
8．已知：a ，b ，c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ，试求方程bx 2+cx-a=0的根。
9．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是10、已知0200052=--x x ，则()()211223-+---x x x 的值是 .11.已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 12.若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a 。
13、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .14.已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a .15.已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m .16.已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .17、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα18、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。
九年级奥数：一元二次方程的应用
九年级奥数：一元二次方程的应用方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，许多问题可转化为解一元二次方程，研究一元二次方程根的性质而获解，一元二次方程的应用现阶段主要有以下两个方面：1．求代数式的值；2．列二次方程解应用题．列二次方程解应用题也要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是认真审题、分析数量关系，恰当设未知数，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模型，解决问题．问题解决例1 若，则x +y 的值为____________．~例2 自然数n 满足这样的n 的个数是（ ）． 一 A ．1 8．2 C ．3 D ．4例3 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．-例4 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产28,1422=++=++x xy y y xy x 16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？例5 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，点E在下底边BC上，点F 在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；：（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．数学冲浪知识技能广场1．小萍要在一幅长90厘米、宽40厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图（如图），使风景画的面积是整个挂图面积的54％．设金色纸边的宽为x 厘米，根据题意所列方程为（）．^2．某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（ ）． A ．8.5％ B ．9％。
初中数学竞赛代数专题之一元二次方程培优讲义例题练习及解答
初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。
当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。
2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。
解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。
例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】1、用配方法解下列方程：1) 12x + 25 = 2x + 4x + 22化简得：6x = -3，解得x = -1/22) x^2 + 4x = 10x + 22移项化简得：x^2 - 6x - 22 = 0使用配方法解得：x = 3，x = -43) x^2 - 6x - 11 = 0使用配方法解得：x = 3 + 2√3，x = 3 - 2√32、用配方法解下列方程：1) 6x^2 - 7x + 1 = 0使用配方法解得：x = 1/2，x = 1/33) 4x^2 - 3x - 52 = 0使用配方法解得：x = 4，x = -3/43、用公式法解下列方程：1) 2x^2 - 9x + 8 = 0使用公式法解得：x = 4/2，x = 1/23) 16x^2 + 8x - 3 = 0使用公式法解得：x = 1/4，x = -3/44、运用公式法解下列方程:1) 5x^2 + 2x - 1 = 0使用公式法解得：x = 1/5，x = -14) 5x^2 + 2x + 4 = 0使用公式法解得：无实数解2) 9x^2 + 6x + 1 = 0使用公式法解得：x = -1/3，x = -1/34) 2x^2 - 4x - 1 = 0使用公式法解得：x = 1 + √3/2，x = 1 - √3/22) x^2 + 6x + 9 = 7移项化简得：x^2 + 6x + 2 = 0使用公式法解得：x = -3 + √7，x = -3 - √7 3) 2x + 3 = 3x移项化XXX：x = 34) (x - 2)(3x - 5) = 15化简得：3x^2 - 11x + 20 = 0使用公式法解得：x = 5/3，x = 20/36、用分解因式法解下列方程：1) 9x^2 + 6x + 1 = 0分解因式得：(3x + 1)^2 = 0，解得x = -1/32) 3x(x - 1) = 2 - 2x移项化简得：3x^2 - 3x + 2 = 0无法分解因式，使用公式法解得：x = (3 ± √17)/6 3) 2x + 3 = 4(2x + 3)移项化简得：-6x = -9，解得x = 3/24) 2(x - 3) = x - 9移项化XXX：x = 37、解下列关于x的方程:1) x^2 + 2x - 2 = 0使用公式法解得：x = -1 ± √32) 3x^2 + 4x - 7 = 0使用公式法解得：x = (-2 ± √10)/33) (x + 3)(x - 1) = 5化简得：x^2 + 2x - 8 = 0使用公式法解得：x = -4，x = 24) (x - 2)^2 + 42x = 0移项化简得：x^2 - 2x - 4 = 0使用公式法解得：x = 1 ± √58、解下列方程：1) 2√(x - 1) = 4移项化简得：x - 1 = 4，解得x = 52) x^2 - 4x + 1 = 0使用公式法解得：x = 2 + √3，x = 2 - √3 3) 3x^2 + 10x + 5 = 0使用公式法解得：x = (-5 ± √5)/34) 3(x - 5)^2 = 2(5 - x)化简得：3x^2 - 34x + 75 = 0使用公式法解得：x = 5/3，x = 25/3 5) 4x - 45 = 31x移项化简得：x = -15/276) -3x + 22x - 24 = 0化简得：19x = 24，解得x = 24/197) (x + 8)(x + 1) = -12移项化简得：x^2 + 9x + 20 = 0使用公式法解得：x = -4，x = -58) (3x + 2)(x + 3) = x + 14移项化简得：3x^2 + 7x - 8 = 0使用公式法解得：x = -8/3，x = 1/31.解一元二次方程专项练题答案1) $x=-6\pm\sqrt{11}$2) $x_1=2-2\sqrt{3}。
九年级奥数一元二次方程练习题
九年级奥数一元二次方程练习题九年级奥数一元二次方程练习题导语：国际奥林匹克数学竞赛是国际青少年数学大赛，在世界上影响非常之大。
下面就由小编为大家带来九年级奥数一元二次方程练习题，大家一起去看看怎么做吧！一、填充题1、方程x2= 的根为。
2、方程(x+1)2-2(x-1)2=6x-5的一般形式是。
3、关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为。
4、已知二次三项式x2+2mx+4-m2是一个完全平方式，则m= 。
5、已知+(b-1)2=0，当k为时，方程kx2+ax+b=0有两个不等的实数根。
6、关于x的方程mx2-2x+1=0只有一个实数根，则m= 。
7、请写出一个根为1，另一个根满足-1<x<1的'一元二次方程是p="" 。
<="" style="color: rgb(51, 51, 51); font-family: 'Microsoft YaHei', SimSun; line-height: 30px; white-space: normal;">8、关于x的方程x2-(2m2+m-6)x-m=0两根互为相反数，则m= 。
9、已知一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的两根为x1,x2，且x1+x2= ，则x1,x2= 。
10某木材场原有木材存量为a立方米，已知木材每年以20%的增长率生长，到每年冬天砍伐的木材量为x立方米，则经过一年后木材存量为立方米，经过两年后，木材场木材存量为b立方米，试写出a,b,m之间的关系式：。
二、选择题11、关于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值是( )A、任意实数 B、m≠1 C、m≠-1 D、m>-112、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题，其中答对的是( )A、若x2=4，则x=2 B、若3x2=bx，则x=2C、 x2+x-k=0的一个根是1，则k=2D、若分式的值为零，则x=213、方程(x+3)(x-3)=4的根的情况是( )A、无实数根B、有两个不相等的实数根 C、两根互为倒数 D、两根互为相反数14、一元二次方程x2-3x-1=0与x2+4x+3=0的所有实数根的和等于( )。
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一元二次方程的初中奥数问题
关于一元二次方程的初中奥数问题
一、增长率问题
例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1-
20%)(1+x)2=193.6，
即(1+x)2=1.21，解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1(舍去).
答这两个月的平均增长率是10%.
说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2=n求解，其中mn.
二、商品定价
例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以
自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(350-10a)件，但物价局
限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要
进货多少件?每件商品应定价多少?
解根据题意，得(a-21)(350-10a)=400，整理，得a2-56a+775=0，
解这个方程，得a1=25，a2=31.
因为21×(1+20%)=25.2，所以a2=31不合题意，舍去.
所以350-10a=350-10×25=100(件).
答需要进货100件，每件商品应定价25元.
说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点.
三、储蓄问题
解设第一次存款时的年利率为x.
则根据题意，得[1000(1+x)-500](1+0.9x)=530.整理，得
90x2+145x-3=0.
解这个方程，得x1≈0.0204=2.04%，x2≈-1.63.由于存款利率
不能为负数，所以将x2≈-1.63舍去.
答第一次存款的年利率约是2.04%.
说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税.
四、趣味问题
例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿
就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪
明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不
少刚好进城，你知道竹竿有多长吗?
解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为
(x+0.1+1.4)m.
则根据题意，得(x+0.1+x+1.4+0.1)·x=1.8，整理，得
x2+0.8x-1.8=0.
解这个方程，得x1=-1.8(舍去)，x2=1.
所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.
答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.
说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解.
五、古诗问题
例5读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄).
大江东去浪淘尽，千古风流数人物;
而立之年督东吴，早逝英年两位数;
十位恰小个位三，个位平方与寿符;
哪位学子算得快，多少年华属周瑜?
解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3.
则根据题意，得x2=10(x-3)+x，即x2-11x+30=0，解这个方程，得x=5或x=6.
当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去;
当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.
答周瑜去世的年龄龄为36岁.
说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味.
六、象棋比赛
解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n-1)个选手比赛
一局，共计n(n-1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统
计了一次，因此实际比赛总局数应为n(n-1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n-1)分.显然(n-1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分
不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n-
1)=1980，得n2-n-1980=0，解得n1=45，n2=-44(舍去).
答参加比赛的选手共有45人.
说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解.。