北师大版数学高一 2.7《平面向量应用举例》教案(必修4)

2.7平面向量应用举例

一.教学目标：

1.知识与技能

（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.

（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.

2.过程与方法

通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.

3.情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.

二.教学重、难点

重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.

难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.

三.学法与教学用具

学法：(1)自主性学习法+探究式学习法

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想

【探究新知】

同学们阅读教材P116---118的相关内容思考：

1.直线的向量方程是怎么来的？

2.什么是直线的法向量？

【巩固深化，发展思维】

教材P118练习1、2、3题

例题讲评（教师引导学生去做）

例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。

证：设BE、CF交于一点H，

−→

−

AB= a,

−→

−

AC= b,

−→

−

AH= h,

则

−→

−

BH= h-a ,

−→

−

CH= h-b ,

−→

−

BC= b-a

∵

−→

−

BH⊥

−→

−

AC,

−→

−

CH⊥

−→

−

AB

B C

∴

0)()()(0)(0)(=-•⇒•-=•-⇒⎭

⎬⎫

=•-=•-a b h a b h b a h a a h b a h

∴−→

−AH ⊥−→

−BC

又∵点D 在AH 的延长线上，∴AD 、BE 、CF 相交于一点

预备知识：

1.设P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，使−→

−P P 1=λ−→

−2PP ，λ叫做点P 分−→

−21P P 所成的比， 有三种情况：

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)

注意几个问题：

①λ是关键，λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在

②始点终点很重要，如P 分−→

−21P P 的定比λ=2

1

则P 分−→

−12P P 的定比λ=2

2．线段定比分点坐标公式的获得：

设−→−P P 1=λ−→

−2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算

−→

−P P 1=(x-x 1,y-y 1) −→

−2PP =( x 2-x 1, y 2-y 1)

∵−→

−P P 1=λ−→

−2PP 即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)

∴⎩⎨⎧-=--=-)()

(2121y y y y x x x x λλ ⎪⎩

⎪⎨⎧++=

++=⇒λ

λλλ11212

1y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式：若P 是−→

−21P P 中点时，λ=1

2

221

21y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。

例题讲评（教师引导学生去做）

例2.已知点).4,2().5,1().1,(21P P x P --①的值及的比分求点x P P

P 121λ−→

− 1P 1

P 1

222

②求点的值。的比分221λ−→

−P P P 解：①由2145111111211=++-=++=

λλλλλ解得得y y y 1112

11=++=∴λλx x x

②由2

3

12112222221-=++=-++=

λλλλλ解得得x x y

例3.CD G AB D y x C y x B y x A ABC 是的中点，是边（的三个顶点分别为),,()..().,1∆ 上的一点，且

2=GD

CG

求点G 的坐标。 解：由D 是AB 的中点，所以D 的坐标为y y x x 2),2

,2(

2

121=++又 32122321213x x x x x x x ++=++⨯

+=

∴3

2122321

21

3y y y y y y y ++=++⨯+=∴ 即G 的坐标为)3

,3(

3

21321y y y x x x ++++ ————.重心坐标公式

例4.过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点P

解：当

P 内分−→

−21P P 时 3=λ

当P 外分−→

−21P P 时3-=λ当3=λ得P(5,0) 当3-=λ得P(8,-3)

例5.如图，在平面内任取一点O ，设

→

−→

−→−→

−==b OP a OP 21,，−→

−→

−→−→

−−→

−-=-=21,b PP a OP P P →−→

−−→

−→

→

−→

−+++=∴-=-∴a OP OP b a OP λ

λλλ111),()(这就是线段的定比分点向量公式。

特别当，当P 为线段P 1P 2的中点时，有)(2

1→

→−→

−+=b a OP

例6.教材P 119例2. 例7.教材P 119例3.

例8.某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向。

解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量， 无风时此人感到风速为-a ，设实际风速为v ，

那么此时人感到的风速为v - a ，

O