第六章定积分空间解析几何

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2012级信息计算科学 《高等数学选讲》练习题(5)

第六章 定积分及应用

1.抛物线22y x =把圆22

8x y +≤分成两部分，求这两部分面积之比

2. 求两椭圆22221x y a b +≤，22

221x y b a

+≤的公共部分的面积.

3.求三叶玫瑰线sin3r a θ=（a>0）所围成的图形的面积.

4.设由y 轴，2,y x y a ==（01a <<）所围成的平面图形，由y a =，2y x =，1x =所围的平面图形都绕y 轴旋转，所得旋转体的体积相等，则a =_________

5.一圆锥形水池，池口直径30m ，深20m ，池中盛满了水.试求将全部池水抽出池外需做的功.

6. 求函数1tan ()1tan x f x x -=

+在区间[0,]4

π上平均值.

7.计算定积分 221x

x

e dx e π

π-+⎰.

8.讨论下列反常积分的收敛性：

（1）

01m x dx x +∞+⎰ （,0n m ≥） （2）0arctan n

x dx x +∞⎰ （3）1201(ln )dx x x ⎰

第七章 空间解析几何与向量代数

1.设一平面通过原点及（6，-3，2），且与平面420x y z -+=垂直，则此平面方程为_________

2.设直线L ：321021030

x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，及平面π：420x y z -+-=，则直线L （ ）

（A ）平行于平面π. （B ）在平面π上. （C ）垂直于平面π. （D ）与平面π斜交.

3. 已知A 点和B 点的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）.线段AB 绕z 轴一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面z=0,z=1所围成立体的体积.

第八章

多元函数微分法及其应用 1.设2(,)u xf x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2,u u x x y

∂∂∂∂∂.

2.设x z xy y =+

，其中()y y x =是由方程221x y +=所确定的函数，则dz dx = _________

3.设函数(,)f x y 可微，(0,0)0f =，'(0,0)x f m =，'(0,0)y f n =，()[,(,)]t f t f t t ϕ=，则

'(0)ϕ=_________.

4.设方程33

3z xyz a -=，求隐函数的偏导数2z x y ∂∂∂.

5.设(,)z f x y =是二次连续可微函数，又有关系式u x ay =+，v x ay =-

（a 是不为零的常数），求2z u v

∂∂∂

6.设0x y z ++=，2221x y z ++=，求dx dz 和dy dz

.