复数练习题(有答案)
复数练习题含答案
复数练习题含答案一、单选题1．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③2．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要D ．既非充分又非必要 3．若0a <，则a 的三角形式为（ ） A ．()cos0isin0a + B ．()cos isin a ππ+ C ．()cos isin a ππ-+ D ．()cos isin a ππ-- 4．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°5．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．1i 2-C ．12 D ．1i 28．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ）A ．2B ．3C ．D ．10．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．211．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．i D ．1- 13．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 14．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4B C ．2D ．1015．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-16．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 17．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 18．已知复数z 满足(2i)43i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2＋i B ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i19．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +二、填空题21．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 22．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.23．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）.24．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________. 26．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 27．已知复数1i z =+，则2z z+=____________ 28．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 31．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 32．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________33．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.34．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 35．复数1077(cos isin )66ππ+表示成代数形式为________． 36．计算cos 40isin 40cos10isin10________．37．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 38．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 39．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 40．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.三、解答题41．已知z ＝cos θ－sin θi(cos θ＋sin θ). (1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值； (2)若θ∈(π，2π)，求arg z (用θ表示). 42．已知复数(2)(3)(2)i()z m m m m =++++∈R ． (1)若z 是纯虚数，求z ； (2)若i1,i(,)1z m a b a b z +=-=+∈+R ，求a ，b 的值． 43．在复数集C 内方程610x -=有六个根分别为123456ωωωωωω，，，，， (1)解出这六个根；(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ；求多边形ABCDEF 的面积 ．44．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．45．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根，其中a C ∈，求||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．D11．C 12．D 13．C 14．B 15．C 16．B 17．C 18．B 19．D 20．B 二、填空题 21．122．()34-，23．13i +##3i+1 24．1 25．1 26．i 27．28．529．12i -##2i+1-30. 31．12-##0.5- 32．i33．1##1+34．－1＋2i##2i －1 35．－5i##－5i －3612i 37．2 38．③ 39．0三、解答题41．(1)当()24k k Z πθπ=-∈时，z 取最大值为，(2)97,,284arg 77,,2284z θππθπθππθπ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩.【解析】 【分析】（1）按照复数模的定义求解即可； （2）按照复数的辐角主值的定义求解即可. (1)由复数模的定义可得：z ===，显然当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时最大，即()24k k Z πθπ=-∈， 最大值为； (2)设arg zα= ，()cos sin i cos sin 1cos isin 44z ππθθθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫=-+=++++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ ，实部为1cos 04πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＞ 59442πππθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ ，虚部为sin 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，sin 4tan tan 281cos 4πθθπαπθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭ ， ∴当7,4πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 即5,244ππθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 时， sin 04πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜， 此时复数z 对应的点在第四象限， 5,288θπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，92828θπθπαπ=++=+ ，当7,24πθπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 即92,44ππθπ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，sin 04πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＞， 此时复数z 对应的点在第一象限（或x 轴的非负半轴上），9,288θπππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，∴72828θπθπαπ=+-=- ， ∴97,,284arg 77,,2284z θππθπθππθπ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩ ； 综上，当()24k k Z πθπ=-∈时，z最大，最大值为97,,284arg 77,,2284z θππθπθππθπ⎧⎛⎫+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎫⎪-∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩.42．(1)i z = (2)42,55a b == 【解析】 【分析】（1）由纯虚数的概念求解 （2）根据复数的运算法则化简 (1)因为(2)(3)(2)i z m m m =++++是纯虚数，所以(2)(3)0,20,m m m ++=⎧⎨+≠⎩解得3m =-．所以i z =-，则i z =． (2)由1m =-，得2i z =+， 代入ii 1z a b z +=++， 得22i (22i)(3i)42i i 3i (3i)(3i)55a b ++-==+=+++-， 即42,55a b ==．43．(1)12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-=-=+=-【解析】 【分析】（1）原式可因式分解为22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x -+++-+=，令21=0x x ++，设i,,x a b a b R =+∈可求解出21=0x x ++的两个虚根，同理可求解21=0x x -+的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可 (1)由题意，610x -=22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴-+++-+=当21=0x x ++时，设i,,x a b a b R =+∈故222(i)i 1=+1(2)i=0a b a b a b a ab b ++++-+++， 所以22+1=2=0a b a ab b -++ 解得：13,22a b =-=±，即13i 22x =-± 当21=0x x -+时，设i,,x c d c d R =+∈ 故222(i)i 1=1(2)i=0c d c d c d c cd d +--+--++- 所以221=2=0c d c cd d --+- 解得：13,22c d ==±，即13i 22x =±故：123456131313131,1,i,i,i,i 22222222ωωωωωω==-=-+=--=+=- (2)六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ， 其中13131313(1,0),(1,0),(,),(,),(,),(,)22222222A B C D E F ----- 在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1 故233361S ==44．(1)2 (2)1i -+ 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i zz =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z = ∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i =++++⋅⋅⋅+()()()23456789102019202020212022i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i 000=++++⋅⋅⋅+ 1i =-+所以232022111122221i z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭45．（1）()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||a =3i)+或3i)+．【解析】 【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根． 【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+，故||||αβ+，当01a 时，||||2αβ+=， 当0a <时，||||αβ+=②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，1α=-，1β=-，故||||αβ+==综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=， 所以00043i a x x x =---，则20020004325||2()2()2818a x x x x x =++=++， 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+．。
复数练习题附答案
复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。
练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 \( 4 + 2i \)。
练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 \( i^2 = -1 \)，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 \( 14 - 5i \)。
练习题3：求复数 \( z = 3 - 2i \) 的共轭复数。
答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 \( z = 2 + i \) 的模（magnitude）。
答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是复数的实部和虚部。
所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 \( z = 1 + i \) 的逆。
答案5：复数的逆通过公式 \( \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 计算。
首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 \( |1 + i|^2 = 2 \)。
高中数学《复数》练习题(含答案解析)
高中数学《复数》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知()21i 32i z -=+，则z =（ ） A ．31i 2--B ．31i 2-+C ．3i 2-+D ．3i 2--2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A ．1B ．–1C ．2D ．–23．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程()1040x x -=的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为55后这两个根分别记为5和5．若()55z =，则复数z =（ ）A ．1B ．1C D 4．已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +5．已知 i 为虚数单位， 复数12iiz +=， 则z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i +D ．2i -6．复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．3107．设(1i)1i x y +=+，其中i 为虚数单位，,x y 是实数，则x yi +=（ ） A．1BC D ．28．若()()1i 11i z --=+，则z 的虚部为（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i9．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ） A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z = 10．已知,a b 为实数，且2ii 1ib a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i + B ．12i + C ．32i --D ．32i +二、填空题11．若z C ∈，且25i z =-，则()Re z =________. 12．i 的周期性：当n 是整数时，41i n +=______，42i n +=_______，43i n +=______，4i n =_______．13．复数34i2i+=+___________.14．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________．三、解答题15．已知复数14i1im z +=-（,i m ∈R 是虚数单位）. (1)若z 是纯虚数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 16．在复数范围内分解因式： (1)4269++x x ； (2)4228--x x ．17．设虚数z 满足21510z +=． （1）求||z ；（2）若z aa z+是实数，求实数a 的值．18．（1）已知复数z 在复平面内对应的点在第二象限，2z =，且2z z +=-，求z ； （2）已知复数()()2212i 32i 1im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值.参考答案与解析：1．B【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+， ()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅. 故选：B. 2．C【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．C【分析】利用复数除法运算求得z .【详解】由()55z =，得25z ==== 故选：C ． 4．C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选：C. 5．D【分析】由复数的除法法则求解即可 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z +-+===-⨯-, 故选：D 6．D【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 7．B【分析】先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解. 【详解】因为(1i)1i x y +=+，所以1x y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以i x y +== 故选：B. 8．B【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为()()1i 11i z --=+，所以()()()21i 12i 11i 1i 1i 2z ++--===-+，所以1i z =-，所以1i z =+， 所以z 的虚部为1． 故选：B 9．D【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证.【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误； 对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-，则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a bb a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212z z z z ===，D 正确故选：D 10．A【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得,a b ，进而得解. 【详解】()()2i 1i 2i 22i i 22i 1i 2222b b b b b b +-+-+++-===++ 由题意知222=12b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以i 34i a b +=+故选：A 11．5【分析】推导出()52z i -=，从而2552z i i=+=-，由此能求出()Re z . 【详解】解：∈z C ∈，且25i z =-， ∈()52z i -=， ∈2225552iz i i i=+=+=-， ∈()5Re z =. 故答案为：5.【点睛】本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z 的标准形式，并注意准确掌握实部的概念. 12． i 1- i - 1【分析】由2i 1=-及指数幂的运算性质依次对41i n +，42i n +，43i n +，4i n 变形即可得到答案. 【详解】由2i 1=-及指数幂的运算性质得：3i i =-，41i =414i i i ()i n n +==∴，4242()i 1i i n n +==-，4334()i i i i n n +==-，44i (i )1n n ==.故答案为：i ；1-；i -；1. 13．2i +##i+2【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.【详解】()()()()2234i 2i 34i 65i 4i 105i2i 2i 2i 2i 4i 5+-++-+====+++-- 故答案为：2i +14【分析】由已知可得12z z -，进而由()2121212z z z z z z -=--可得12212z z z z +=，从而有22212121221z z z z z z z z +=+++，故而可得答案.【详解】解：因为121z z -=，所以12z z -==又11z =，22z =，所以()212121211221221121222213z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -=--=+--=+--=， 所以12212z z z z +=，所以()2221212122121217z z z z z z z z z z z z +=++=+++=，所以12z z +=15．(1)14(2)1144m -<<【分析】（1）化简复数z ，根据纯虚数的概念可求出m ； （2）求出z ，根据复数的几何意义可求出结果. 【详解】（1）因为14i 1im z +=-(14i)(1i)(1i)(1i)m ++=-+14(14)i2m m -++=是纯虚数， 所以140140m m -=⎧⎨+≠⎩，得14m =.（2）由（1）知，1414i 22m mz -+=+，1414i 22m m z -+=-， 所以z 在复平面内对应的点为1414,22m m -+⎛⎫- ⎪⎝⎭，依题意可得14021402mm -⎧>⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩，解得1144m -<<.16．(1)22((x x(2)(2)(2)+-x x x x【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. （1）由于()()23x x x =+，所以()242222693((x x x x x ++=+=.（2）由于()()22x x x =+，所以()()42222824(2)(2)x x x x x x x x --=+-=+-.17．（1）（2）±【分析】（1）设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠利用复数的模相等即得;（2）先化简z a a z+又因为是实数,故虚部为零,即得结果.【详解】设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠ ，则z x yi =- 1010z x yi +=+- 则2152()15(215)2z x yi x yi +=++=++215z +=1010z x yi +=+-=21510z +=即：2275x y+=即||z == （2）222222()()()a a x yi ax ayi ax ayi x yi x yi x yi x y x y x y --===-++⋅-+++ 22222222()()ax ay ax ay i i x y x y x y z a x yi a x y x y i a z a x yi a a a y a x -=+-+++++==++++++若z aa z+是实数，则22220(01)ay a y x y x y y a a -=⇒-=++22100aa y x y≠∴-=+ 即22275a x y =+=即a =±18．（1）1z =-；（2）2-【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z ； （2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m 的值.【详解】解：（1）设()i ,z a b a b R =+∈，由题意每224,22,a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a =-，b =∈复数z 在复平面内对应的点在第二象限，∈b =∈1z =-.（2）()()()()()()()2221i 212i 32i 12i 32i 1i 1i 1i m m z m m +=-+-+=-+-+--+ ()()22623i m m m m =--+--，由题意得2260230m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得2m =-。
高考数学《复数》专项练习(含答案)
【复数】专项练习参考答案1．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，那么a ＝( )〔A 〕−3 〔B 〕−2 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】A【解析】(12i)(i)2(12)i a a a ++=-++，由，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A ．2．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，那么i =x y +( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】B【解析】因为(1i)=1+i,x y +所以i=1+i,=1,1,|i |=|1+i |x x y x y x x y +==+=所以故应选B ．3．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕设复数z 满足i 3i z +=-，那么z ＝( ) 〔A 〕12i -+ 〔B 〕12i - 〔C 〕32i + 〔D 〕32i - 【答案】C【解析】由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，应选C ．4．〔2021全国Ⅱ卷，理1，5分〕(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是( )〔A 〕(31)-， 〔B 〕(13)-， 〔C 〕(1,)∞+ 〔D 〕(3)∞--，5．〔2021全国Ⅲ卷，文2，5分〕假设43i z =+，那么||zz ＝( ) 〔A 〕1 〔B 〕1- 〔C 〕43i 55+ 〔D 〕43i 55-【答案】D【解析】∵43i z =+，∴z ＝4－3i ，|z |＝2234+．那么43i ||55z z ==-，应选D ．6．〔2021全国Ⅲ卷，理2，5分〕假设z ＝1＋2i ，那么4i1zz =-( ) (A)1 (B)−1 (C)i (D)−i 【答案】C【解析】∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，那么4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，应选C ． 7．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，那么z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i【答案】C【解析一】(z －1)i ＝1＋i ⇒ zi －i ＝1＋i ⇒ zi ＝1＋2i ⇒ z ＝1＋2i i＝(1＋2i)i i 2＝2－i ．应选C ．【解析二】(z －1)i ＝1＋i ⇒ z －1＝1＋i i⇒ z ＝1＋i i＋1 ⇒z ＝(1＋i)i i 2＋1＝2－i ．应选C ．8．〔2021全国Ⅰ卷，理1，5分〕设复数z 满足1+z1z-＝i ，那么|z|＝( )〔A 〕1 〔B 〔C 〔D 〕2 【答案】A 【解析一】1+z1z-＝i ⇒ 1＋z ＝i(1－z) ⇒ 1＋z ＝i －zi ⇒ z ＋zi ＝－1＋i ⇒ (1＋i)z ＝－1＋i ⇒9．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕假设a 为实数，且2＋ai 1＋i＝3＋i ，那么a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 【答案】D【解析】由得2＋ai ＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i ，所以a ＝4，应选D ．10．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕假设a 为实数，且(2＋ai)(a －2i)＝－4i ，那么a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】B【解析】(2＋ai)(a －2i)＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＝－4i ⇒ 2a －4i ＋a 2i ＋2a ＋4i ＝0⇒ 4a ＋a 2i ＝0 ⇒ a ＝0．11．〔2021全国Ⅰ卷，文3，5分〕设z ＝11＋i＋i ，那么|z|＝( )A ．12 B ．√22 C ．√32 D ．2 【答案】B 【解析】z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，因此|z|＝√(12)2＋(12)2＝√12＝√22，应选B ．12．(1＋i )3(1－i )2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D 【解析】(1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i)(1－i )2·＝(1＋i 2＋2i)(1＋i)1＋i 2－2i＝＝2i(1＋i)－2i＝－(1＋i)＝－1－i ，应选D ．13．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕1＋3i 1－i＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i【答案】B 【解析】1＋3i 1－i＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，应选B ．14．〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，那么z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A【解析】由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，应选A ．15．〔2021全国Ⅰ卷，文2，5分〕1＋2i (1－i )2＝( )A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 【答案】B 【解析】1＋2i(1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i (－2i )i＝－2＋i 2＝－1＋12i ，应选B ．16．〔2021全国Ⅰ卷，理2，5分〕假设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，那么z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D ．45 【答案】D【解析】∵|4＋3i|＝√42＋32＝5，∴(3－4i)z ＝5，∴z＝53－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i ，虚部为45，应选D ．17．〔2021全国Ⅱ卷，文2，5分〕|21＋i|＝( )A ．2√2B ．2C ．√2D ．1【答案】C 【解析】|21＋i|＝|2(1－i )2|＝|1－i|＝22)1(1-+＝√2．选C ．18〔2021全国Ⅱ卷，理2，5分〕设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i 【答案】A【解析】由题意得z ＝2i1－i＝2i ·(1＋i )(1−i )(1＋i)＝2i ＋2i 22＝2i−22＝－1＋i ，应选A ．19．〔2021全国卷，文2，5分〕复数z ＝－3＋i 2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－I C ．－1＋iD ．－1－i【答案】D【解析】z ＝－3＋i 2＋i＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z ＝－1－i ，应选D ．20．〔2021全国卷，文2，5分〕复数5i1－2i＝( )A ．2－iB ．1－2iC ．－2＋iD ．－1＋2i【答案】C 【解析】5i 1－2i＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(i －2)5＝－2＋i ，应选C ．21．〔2021北京，文2，5分〕复数( ) 〔A 〕i 〔B 〕1＋i 〔C 〕 〔D 〕【答案】A 【解析】，应选A ．22．〔2021北京，理9，5分〕设，假设复数在复平面内对应的点位于实轴上，那么_____________． 【答案】－1【解析】(1＋i)(a ＋i)＝a ＋i ＋ai ＋i 2＝a ＋i ＋ai －1＝(a －1)＋(1＋a)i ，由题意得虚部为0，即(1＋a)＝0，解得a ＝－1． 23．〔2021江苏，文/理2，5分〕复数其中i 为虚数单位，那么z 的实部是____．【答案】524．〔2021山东，文2，5分〕假设复数21iz =-，其中i 为虚数单位，那么z ＝( ) 〔A 〕1＋i〔B 〕1−i〔C 〕−1＋i 〔D 〕−1−i【答案】B25．〔2021山东，理1，5分〕假设复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，那么z ＝( )〔A 〕1＋2i 〔B 〕1-2i 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i --【答案】B26．〔2021上海，文/理2，5分〕设32iiz +=，其中i 为虚数单位，那么z 的虚部等于_______． 【答案】-312i=2i+-i -1i -12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i)5+++++-===--+a ∈R (1i)(i)a ++a =(12i)(3i),z =+-【解析】32i 23i,iz +==-故z 的虚部等于−3．27．〔2021四川，文1，5分〕设i 为虚数单位，那么复数(1＋i)2＝( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2＋2i 【答案】C【解析】22(1i)12i i 2i +=++=，应选C ．28．〔2021天津，文9，5分〕i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，那么z 的实部为_______．【答案】1【解析】2(1)211i i iz z +=⇒==-+，所以z 的实部为1．29．〔2021天津，理9，5分〕,a b ∈R ，i 是虚数单位，假设(1+i)(1-b i)＝a ，那么ab的值为____．【答案】2【解析】由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩，2ab=，故答案为2．。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。
答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。
答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。
答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。
答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。
答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。
解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。
答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。
答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
(完整版)复数基础练习题附答案
(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 22．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1D ．13．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°4．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 7．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1或4- C ．4- D ．0或4- 8．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A B ．4C D 9．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ） A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2i D ．1＋2i 或－1－2i12．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+13．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．514．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+ 15．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 16．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．1017．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 518．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件20．3i3i-+=+（ ） A ．43i 55+ B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--二、填空题21．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.22．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________23．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．24．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 25．已知i34i z =+，求|z |=___________26．若复数2iiz -=-，则z =_______．27．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 28．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．29．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.30．设i 是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________. 32．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 33．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 34．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=35．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．36．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 37．已知复数z 满足2i z +∈R ，4zz-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 38．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 39．已知复数2i4i ia b +=-，,R a b ∈，则a b +=______. 40．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 三、解答题41．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值. 42．（1）在复数集C 中解下列方程：2490x +=； （2）已知()12i 43i z +=+，求z .43．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根，其中a C ∈，求||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．44．设复数11i z =-，2cos isin z θθ=+，其中[]0,θπ∈. (1)若复数12z z z =⋅为实数，求θ的值； (2)求12z z +的取值范围． 45．求数列{}n a ：112n n na a a ++=-的周期.【参考答案】一、单选题 1．A 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A 9．D 10．A 11．D 12．D 13．B 14．B 15．C 16．B 17．A 18．B 19．A 20．B 二、填空题 21．922．12或12##12-或12 23．四24．2022- 25．15##0.2 26．12i -2728．1 2930．0 3132.33．13435．[]4,6 36．237．22i +##2i 2+ 38．12-##0.5- 39．6 40．i 三、解答题41．(1)112z = (2)2m =- 【解析】 【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z . （2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值. (1)设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，b =∵复数1z在复平面内对应的点在第四象限，∴b =112z =； (2)()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-， 又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-， ∴2m =-.42．（1）3i 2x =±；（2）2i z =+. 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可，（2）先由已知式子求出复数z ，从而可求出其共轭复数 【详解】（1）∵2490x +=，∴294x =-，3i 2x =±.（2）()()()()243i 12i 43i 43i 8i 6i 105i2i 12i 12i 12i 55z +-++---=====-+-+， ∴2i z =+.43．（1）()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||a =3i)+或3i)+．【解析】 【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根． 【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+，故||||αβ+，当01a 时，||||2αβ+=， 当0a <时，||||αβ+=②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，1α=-，1β=-，故||||αβ+==综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=， 所以00043i a x x x =---， 则20020004325||2()2()2818a x x xx x =++=++， 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+． 44．(1)34π(2) 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算可得(cos sin )(cos sin )i z θθθθ=-++，再列出等量关系cos sin 0θθ+=，求解即可；（2）先计算12z z+=[]0,θπ∈和余弦函数的性质，分析即得解 (1)由题意，12cos isin )(cos sin )(cos sin )i (1i)(z z z θθθθθθ=+++⋅=⋅+=- 若复数12z z z =⋅为实数，则cos sin 0θθ+= 故tan 1θ=-，[]0,θπ∈ 解得：34πθ=(2)由题意，11i z =-，2cos isin z θθ=+12|(1)cos sin |||(1cos )(1i s )i i in z z θθθθ=-++=+-+++==由于[]0,θπ∈，故5,444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故1cos()4πθ-≤+≤121z z =+≤故12z z +的取值范围是 45．周期为6. 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x x -+=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】因为112n n na a a ++=-，所以特征方程为210x x -+=，因为Δ14130=-⨯=-<，解得：m k == 所以2arg 36a mc a kc ππ-⎛⎫==⎪-⎝⎭， 所以函数()f x 的迭代周期为6T =. 所以数列{}n a 有周期6T =，。
复数练习题含答案
复数练习题含答案一、单选题1．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若0a <，则a 的三角形式为（ ）A ．()cos0isin0a +B ．()cos isin a ππ+C ．()cos isin a ππ-+D ．()cos isin a ππ--3．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 4．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限7．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限9．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-110．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +11．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．12．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．213．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．514．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ） A ．4BC ．2D ．1015．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 516．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ） A ．5BC ．10D17．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 18．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2 C．D ．419．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限20．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限二、填空题21．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.22．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 26．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 27．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 28．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________.31．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 32．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=33．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R，若z =，则t 的值为___________.34．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.35i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．36．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．37．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 38．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 39．计算：112i2i-=+___________. 40．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．三、解答题41．设实部为正数的复数z ，满足z =(12i)z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数z ； (2)若i()1im z m R ⋅+∈+为纯虚数，求实数m 的值. 42．若复平面内单位圆上三点所对应的复数123,,z z z ，满足22z 13z z =且23i i 0z z +-=，求复数123,,z z z ．43．已知复数()()()121i z m m m R =++-∈ (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第四象限，求实数m 的取值范围及z 的最小值. 44．已知复数()()()2i 1i 24i z a a a R =--+++∈．(1)若z 在复平面中所对应的点在直线0x y -=上，求a 的值； (2)求2i 7iz --的取值范围．45．已知复数()()222343i z m m m m =--+-+（m R ∈）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z ： (1)在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在第一象限.【参考答案】一、单选题 1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．A 16．D 17．D 18．C 19．C 20．C 二、填空题 21．35 2223．12或12##12-或12 24．四 25．2022-2627．128．43i -##3i 4-+ 29．12i -##2i+1- 30．－4＋3i##3i-4 31．13233．2或2- 34．[)2,+∞35．1-1- 36．1 37．()0,3 38．③39．43i -##3i 4-+三、解答题41．(1)3i z =-； (2)6m =-. 【解析】 【分析】（1）根据复数的模公式，结合复数乘法的运算法则、第一、三象限的角平分线的性质进行求解即可；（2）根据纯虚数的定义，结合共轭复数的定义、复数除法的运算法则进行求解即可. (1)设i(0,),10,(12i)2(2)i z a b a b R z z a b b a =+>∈∴=+=-++， 由题意得，22223,101a b b a a a b b -=+=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩， 即3i z =-； (2)i i 3i 3(1)i 1i 222m m m m mz ⋅++=++=++++为纯虚数， 30,62mm ∴+=∴=-. 42．答案见解析. 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合复数的运算求得3z 和2z ，再结合复数的乘除运算，即可求得1z . 【详解】因为单位圆上三点所对应的复数为123,,z z z ，故可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，z 3＝cos γ＋isin γ， 则由23i i 0z z +-=，可得cos sin 0sin cos 10βγβγ-=⎧⎨+-=⎩，利用cos 2β＋sin 2β＝1，解得1cos 2sin γγ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩z 3故当z3时，z2＝－i(z3－1)，z1＝223zz=1；当z3时，z2＝－i(z3－1)z1＝223zz=＝1．43．(1)1-;(2)11,2⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．(1)()()()121iz m m m R=++-∈为纯虚数，10m∴+=且210m-≠1m∴=-(2)z在复平面内的对应点为(1,21)m m+-由题意：10210mm+>⎧⎨-<⎩，∴112m-<<．即实数m的取值范围是11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．而||z当11(1,)52m=∈-时，||minz44．(1)4a=(2)⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）首先根据复数代数形式的乘法运算化简复数z，即可得到复数在复平面内所对应的点的坐标，最后代入直线方程，即可求出a；（2）根据复数代数形式的除法运算化简2i7iz--，再根据复数模的计算公式及二次函数的性质计算可得；(1)解：因为复数()()()2i 1i 24i z a a a R =--+++∈，所以()222i i i 24i 326i z a a a a a =-+-+++=-++，所以z 在复平面内对应的点为()32,6a a -+，因为在复平面内对应的点在直线0x y -=上，即为()3260a a --+=，解得4a =；(2) 解：由[]()232(6)i i 32(6)i2i 72i 72i 7(6)32i 2i 713i i i i a a z a a a a a a -++-++--=--=--=+----=--所以2i 713i iza a --=--==所以当且仅当110a =2i 7i z --的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭45．(1)1m =或3m = (2)1m =-或3m = (3)1m <-或3m > 【解析】 【分析】（1）由题意可得2430m m -+=，从而可求出m 的值， （2）由题意可得2230m m --=，从而可求出m 的值，（3）由题意可得22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，解不等式组可求得结果(1)点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2430m m -+=得1m =或3m =， ∴当1m =或3m =时，点Z 在实轴上； (2)点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，由2230m m --=得1m =-或3m =， ∴当1m =-或3m =时，点Z 在虚轴上； (3)点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0，由22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，即1313m m m m ⎧-⎪⎨⎪⎩或或，解得1m <-或3m >，∴当1m <-或3m >时，点Z 在第一象限.。
(完整版)复数练习题(有答案)
复数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．复数21−i (i 为虚数单位)的共轭复数是A ． 1+iB ． 1−iC ． −1+iD ． −1−i2．已知a ∈R，i 是虚数单位．若z ＝a ＋√3i ，z ·z ＝4，则a ＝( )A ． 1或－1B ． √7或－√7C ． －√3D ． √33．已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．（2018兰州模拟）若复数z 满足(3−4i )z =4+3i ，则|z |=（ ）A ． 5B ． 4C ． 3D ． 15．（2018北京大兴区一模）若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数z 1+i 的点是( )A ． EB ． FC ． GD ． H6．（2018江西省景德镇联考）若复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，则|z |=（ ）A ． 2B ． √2C ． 1D ． 2√27．（福建省三明市2018届高三下学期质量检查测试）已知复数a +bi =(1−i )21+i （i 是虚数单位，a,b ∈R )，则a +b =（ ）A ． −2B ． −1C ． 0D ． 28．（山东K 12联盟2018届高三开年迎春考试）若复数z = 1 + i + i 2 + i 3 +⋯+ i 2018 +|3−4i |3−4i ，则z 的共轭复数z̅的虚部为 A ． −15 B ． −95C．95D．−95i9．（上海市徐汇区2018届高三一模）在复平面内，复数5+4ii（i为虚数单位）对应的点的坐标为_____10．（上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模））设m∈R，若复数(1+ mi )(1+i )在复平面内对应的点位于实轴上，则m=______．11．（2018届浙江省杭州市第二中学6月热身）若复数z满足(1−2i)⋅z=3+i（i为虚数单位），则z=__________；|z|=__________．12．已知z=(a+i)2,(a∈R)，i是虚数单位.(1)若z为纯虚数，求a的值；(2)若复数z在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
复数练习题(有答案)
一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97- B ．7 C ．97D ．7-4．已知复数31iz i-=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -5．复数312iz i=-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35iC ．35D ．65-6．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-27．设2iz i+=，则||z =（ ）A B C ．2D ．58．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2C ．10D10．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i1i 2ia -=-+，则a ＝（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-111．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i - B ．16i - C ．16i -- D ．17i -- 12．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --13．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．复数22(1)1i i-+=-（ ） A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i15．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则zi=（ ） A ．1i - B ．1i --C ．1i -+D ．1i +二、多选题16．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =18．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为19．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =20．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =21．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12-22．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =23．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i 25．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限26．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z27．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =28．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限29．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=30．以下为真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】.故选：C解析：C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】2 1i =+2(1)(1)(1)ii i-=+-2(1)12ii-=-.故选：C2．D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则，解得．故选：D．解析：D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i-+=+--=++-，它为纯虚数，则1010aa+=⎧⎨-≠⎩，解得1a=-．故选：D．3．B【分析】先求出，再解不等式组即得解.依题意，，因为复数为纯虚数， 故，解得. 故选：B 【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B 【分析】先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解.【详解】 依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 为纯虚数， 故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =.故选：B 【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.4．B 【分析】化简复数，可得，结合选项得出答案． 【详解】则，的虚部为 故选：B解析：B 【分析】化简复数z ，可得z ，结合选项得出答案． 【详解】()311==11i iz i i i i i--=-=+- 则1z i =-，z 的虚部为1-5．C 【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部． 【详解】 因为，所以复数z 的虚部是． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部． 【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．6．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--，)()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.7．B 【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可. 【详解】 ， .故选：B ．解析：B 【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可. 【详解】()22212i ii z i i i ++===-，∴z ==故选：B ．8．A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由，知在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.9．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 所以， 故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.10．B 【分析】 可得，即得. 【详解】 由，得a ＝1. 故选：B ．解析：B 【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =. 【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1. 故选：B ．11．A 【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， ∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A 【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -．故选：A ． 12．A 【分析】采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果. 【详解】 设，则， ，，解得：， . 故选：A.解析：A 【分析】采用待定系数法，设(),z a bi a b R =+∈，由复数运算和复数相等可求得,a b ，从而得到结果. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，()()22313z z a bi a bi a bi i ∴-=+--=+=+，133a b =⎧∴⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩，1z i ∴=+. 故选：A. 13．A 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论. 【详解】 ，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.解析：A 【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论. 【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.14．C 【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解： 故选：C解析：C 【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解：22(1)1i i-+- ()()()()2211211i i i i i +=-++-+12i i =+- 1i =-故选：C15．A 【分析】根据复数对应的点的坐标是，得到,再利用复数的除法求解. 【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是， 所以, 所以, 故选：A解析：A【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1)，得到1z i =+,再利用复数的除法求解.【详解】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，所以1z i =+, 所以11i i i z i+==-, 故选：A 二、多选题16．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 18．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】 本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.19．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.20．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.21．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题23．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.24．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.26．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 27．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．28．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；221111222212ω---====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.29．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=． 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．30．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)一、单选题1．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．10 2．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--3．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ）AB C D 4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆. 5．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC6．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 7．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-8．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．4 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 10．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．iD ．1-11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A．10B ．5CD ．13．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞14．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件17．已知复数z 满足(2i)43i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i18．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．919．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ）A ．1B ．15C ．3D ．16 二、填空题21．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．22．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.23．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.24．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 25．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 26．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．27．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限28．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 29．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.30．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.31．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________.32．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.33．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．34．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 35．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．36．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．37i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．38．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 39．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 40．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 三、解答题41．在复平面内，复数()2(1)2i z m m m =-+--表示的点Z ，求出满足下列条件的复数z .(1)若点Z 在虚轴上，求复数z 的共轭复数z ； (2)若点Z 在直线2y x =上，求复数z 的模z .42．已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别是21sin i z θ=+，22cos icos2z θθ=-+，其中()0,θπ∈．设AB 对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线12y x =，求θ的值． 43．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ； （2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.44．已知复数()()222343i z m m m m =--+-+（m R ∈）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z ： (1)在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在第一象限. 45．求数列{}n a ：112n n na a a ++=-的周期.【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．A 4．D 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．B13．A 14．D 15．D 16．A 17．B 18．C 19．D 20．B 二、填空题 21．825i 625- 22．223 24．25．1 26．四 27．四 2829．()34-，30．9 31．2i -+ 32．7 33．[]4,634．－1＋2i##2i －1 35．11+ 3637．1-+1- 38．()0,3 39．140．1i -+（答案不唯一） 三、解答题41．(1)2i ；【解析】 【分析】（1）求出m 的值即得解；（2）根据点Z 在直线2y x =上，求出m 的值即得解. (1)解：因为点Z 在虚轴上，所以10,1m m -=∴=. 所以2i z =-，所以复数z 的共轭复数2i z =. (2)解：因为点Z 在直线2y x =上，所以222(1)m m m --=-， 解之得0m =或3m =. 所以12i z =--或24z i =+，所以复数z 的模z 42．(1)()2112sin i z θ=-+-(2)6πθ=或56πθ=【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)因为点A ，B 对应的复数分别是21sin i z θ=+，22cos icos2z θθ=-+，所以点A ，B 的坐标分别是()2sin ,1A θ，()2cos ,cos2B θθ-，所以()()()()22222cos ,cos 2sin ,1cos sin cos 211,2sin AB θθθθθ,θθ=--=---=--所以()2112sin i z θ=-+-.(2)由（1）知点P 的坐标是()21,2sin θ--，代入12y x =，得212sin 2θ-=-，即21sin 4θ=，所以1sin 2θ=±，又因为()0,θπ∈，所以1sin 2θ=， 所以6πθ=或56πθ=. 43．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<.【解析】 【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解. 【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+，∴2z =（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+， 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得()2256,215m m m m ++--Z ，因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<，故而当25m -<<时，复数Z 对应的点在第四象限. 44．(1)1m =或3m = (2)1m =-或3m = (3)1m <-或3m > 【解析】 【分析】（1）由题意可得2430m m -+=，从而可求出m 的值， （2）由题意可得2230m m --=，从而可求出m 的值，（3）由题意可得22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，解不等式组可求得结果(1)点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2430m m -+=得1m =或3m =， ∴当1m =或3m =时，点Z 在实轴上； (2)点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，由2230m m --=得1m =-或3m =，∴当1m =-或3m =时，点Z 在虚轴上； (3)点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0，由22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，即1313m m m m ⎧-⎪⎨⎪⎩或或，解得1m <-或3m >，∴当1m <-或3m >时，点Z 在第一象限. 45．周期为6. 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x x -+=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】 因为112n n na a a ++=-，所以特征方程为210x x -+=， 因为Δ14130=-⨯=-<，解得：m k == 所以2arg 36a mc a kc ππ-⎛⎫==⎪-⎝⎭， 所以函数()f x 的迭代周期为6T =. 所以数列{}n a 有周期6T =，。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=\frac{1}{1-i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）。
A。
$\frac{1+i}{2}$ B。
$\frac{1-i}{2}$ C。
$\frac{-1+i}{2}$ D。
$\frac{-1-i}{2}$2.已知复数 $z=\frac{11+22i}{1-i(m-m^2i)}$ 为纯虚数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$ B。
$-1$ C。
$i$ D。
$-i$3.若复数 $z=(2+i)i$（其中 $i$ 为虚数单位），则复数$z$ 的模为（）。
A。
$5$4.复数 $z=\frac{3i}{5-2i}$ 的虚部是（）。
A。
$\frac{15}{29}$ B。
$\frac{3}{29}$ C。
$-\frac{3}{29}$ D。
$-\frac{15}{29}$5.已知 $2i+1=z\cdot5\left(5-\frac{1}{z}\right)$，则$z=$（）。
A。
$1$ B。
$3$ C。
$2$ D。
$-2$6.复数 $z$ 满足 $i\cdot z=1-2i$，$z$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z\cdot z=$（）。
A。
$5$ B。
$-5$ C。
$5i$ D。
$-5i$7.已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{4i}{1+i}$ 在复平面内对应的点在（）。
A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限8.已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z=5+3i$，则$\frac{z}{i}=$（）。
A。
$-3+5i$ B。
$5-3i$ C。
$-5+3i$ D。
$3+5i$9.若复数 $z=\frac{a+i}{1-i}$，$a\in R$，为纯虚数，则$z+a=$（）。
A。
$1+2i$ B。
$2i-1$ C。
$2+2i$ D。
$-2i+1$10.已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2+i}=2-i$，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 52．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四3．复数z满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A．BC．D4．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +6．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 28．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．59．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3 C．D ．9 12．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5B C ．10D 14．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +16．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．2-D ．i17．若5i2iz =+，则||z =（ ） A．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15- B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32- D ．3i 2-二、填空题21．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________.24．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限25．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 26．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 27．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．28．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________．31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 33．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.34．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．36．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．37．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．38．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 三、解答题41．已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+． (1)求z ；(2)若z 是关于x 的方程()20,x px q p q R ++=∈的一个根，求复数()4i zp q +-的模．42．（1）在复数范围内，求方程22340x x ++=的解；（2）若复数1z ，2z 满足12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=，且212i z z =-，求出1z ，2z ． 43．已知复数z 是纯虚数，212iz -+为实数.(1)求复数z ；(2)若m ∈R ，复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.44．在复平面内，复数()2(1)2i z m m m =-+--表示的点Z ，求出满足下列条件的复数z .(1)若点Z 在虚轴上，求复数z 的共轭复数z ； (2)若点Z 在直线2y x =上，求复数z 的模z .45．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为45，向量OZ 对应的复数z 的模为1，求z .【参考答案】一、单选题 1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．B 7．A 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B 13．D 14．D 15．B 16．B 17．B 18．B 19．C 20．C二、填空题 21．1- 2223．1 24．四 25．3- 26．1i -##i+1- 27．-2 28．329．13i +##3i+130．1i -+（答案不唯一） 31．1i -+ 32．1 33．734．1##1+35．8336．11+ 3738．12 39．9π40三、解答题41．(1)12z i =+； (2)1. 【解析】 【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据复数的运算以及复数相等，即可求得结果； （2）将（1）中所求z 代入方程，根据复数相等求得,p q ，结合复数的运算，即可求得()4i zp q ++及其模长. (1)设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+，所以332a b =⎧⎨=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以i 12z =+.(2)将i 12z =+代入已知方程可得()()212i 12i 0p q ++++=，整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=⎧⎨+-=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩， 所以()()()()()12i 2i 12i 5ii 4i 2i 2i 2i 5z p q +--+-====-+--+-+--，又i 1-=， 所以复数()4i zp q +-的模为1.42．（1）34x =-；（2）13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-. 【解析】 【分析】（1）利用配方法和2i 1=-进行求解；（2）先利用212i z z =-进行消元，再设出1i z a b =+，利用模长公式、复数的相等进行求解. 【详解】（1）因为22340x x ++=，所以2322x x +=-，所以23923()241616x +=-+=-，所以34x +=，即34x =-±； （2）将212i z z =-代入12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=， 得1111(2i)2i 2i(2i)10z z z z ⋅-+--+=， 即211|2i 3|0z z --=，设1i z a b =+，所以22232i=0a b b a +---，所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩，所以13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-.43．(1)4i z =- (2)14-<<m 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数z 的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；（2）根据完全平方公式，结合复数在复平面内对应点的特点进行求解即可. (1)因为复数z 为纯虚数， 所以设()i ,0z b b R b =∈≠，则i (5122i 12i 12i (12)(122i)(2i)22(4)i i)b z b b b --+---+===+++++-，又212iz -+为实数 ∴404b b +=⇒=-，即4i z =-； (2)因为m R ∈，4i z =-所以有()222222228i 168i 16(88)i m z z m mz z z m m m m --=-+-=+-+=-++， 又复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限， 所以有：2160m -<且880m +>，即14-<<m . 44．(1)2i ；【解析】 【分析】（1）求出m 的值即得解；（2）根据点Z 在直线2y x =上，求出m 的值即得解. (1)解：因为点Z 在虚轴上，所以10,1m m -=∴=. 所以2i z =-，所以复数z 的共轭复数2i z =. (2)解：因为点Z 在直线2y x =上，所以222(1)m m m --=-， 解之得0m =或3m =. 所以12i z =--或24z i =+，所以复数z 的模z45．z =或z = 【解析】【分析】由题，OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 可能在第一象限或第四象限，设出Z 的坐标，结合OZ 对应的复数z 的模为1列式，即可求解. 【详解】由题，向量OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 在第一象限或第四象限，设点Z 的坐标为(,)a b ，则0a >，b a =，又1z =，故可解得22a b ==或2b =-，所以z =+或z =.。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)一、单选题1．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--3．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC4．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i + B ．24i - C ．33i + D ．24i + 5．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③8．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．411．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．912．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．213．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+14．已知复数z 满足()1i 2i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） AB．2C ．12D ．215．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+ D ．11i 22-16．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i + C ．1117i - D ．1923i +18．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 19．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝020．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +二、填空题21．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．22．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.23．已知复数zi =，i 为虚数单位，则z =______ 24．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________ 25．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________．26．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.27．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.28．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 30．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．已知23iz-＝－i ，则复数z ＝________． 33．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．34．已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 35．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．36．已知复数21ii z +=，则z =______． 37．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______．38．计算：112i2i-=+___________. 39．设i是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 三、解答题41．已知复数z满足||z =z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ､B ､C ，求△ABC 的面积.42．在复平面内，若复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点满足下列条件．分别求实数m 的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线y ＝x 上．43．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．44．已知1z ，2z ∈C ，13z 22z 1222z z +=12z z -． 45．计算：(1)8cos isin 2cos isin 6644ππππ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；))32cos 240isin 240cos 60isin 60⎡⎤︒-︒÷︒+︒⎢⎥⎣⎦．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．B 8．B 9．D10．B 11．C 12．A 13．D 14．A 15．C 16．D 17．B 18．A 19．D 20．B 二、填空题 21．832223．124．12或12##12-或12 25．3- 26．9 27．1- 28．i29．12i -##2i+1- 30．[]4,6 31．i - 32．3＋2i33．11+ 34．2312π35 3637．038．43i -##3i 4-+39．40．1##1+三、解答题41．(1)1i z =+或1i z =-- (2)1 【解析】 【分析】（1）设()i ,R z x y x y =+∈，根据已知条件列方程求得,x y ，由此求得z . （2）求得,,A B C 的坐标，从而求得三角形ABC 的面积. (1)设()i ,R z x y x y =+∈，222x y +=①，2222i z x y xy =-+的虚部为2，所以22,1xy xy ==②，由①②解得11x y =⎧⎨=⎩或11y x =-⎧⎨=-⎩. 所以1i z =+或1i z =--. (2)当1i z =+时，22i z =，21i z z -=-， 所以()()()1,1,0,2,1,1A B C -，2AC =，所以三角形ABC 的面积为11212⨯⨯=. 当1i z =--时，22i z =，213i z z -=--， 所以()()()1,1,0,2,1,3A B C ----，2AC =，所以三角形ABC 的面积为12112⨯⨯=.42．(1)m ＝2或m ＝－1； (2)－1＜m ＜1； (3)m ＝2. 【解析】 【分析】（1）由题可得220m m --=，即求；（2）由题可知2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩，进而即得；（3）由题可得222=32m m m m --+-，即得.(1)∵复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点为()222,32m m m m ---+，由题意得220m m --=， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)由题意得2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩∴1212m m m -<<⎧⎨⎩或，∴－1＜m ＜1. (3)由题得222=32m m m m --+-， ∴m ＝2. 43．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+. 442 【解析】 【分析】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=，利用余弦定理可得6cos 4OAC ∠=-，再利用余弦定理即可得出答案． 【详解】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=， 则222(22)(2)(3)23OAC =+-∠， 解得6cos OAC ∠= ∴6cos AOB ∠=2212(2)(3)223cos 2z z BA AOB ∴-==+-⨯⨯∠．45．(1)(462462i +； 62i 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式以及特殊角的三角函数值代入化简两式，然后利用复数乘除法运算法则计算即可. (1)31228cos isin 2cos isin 16i 462462i 66442ππππ⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+==+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2))))3332cos 240isin 240cos 60isin 602cos 60isin 60i 4⎡⎤⎫︒-︒÷︒+︒=-︒+︒÷⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭()()26i 33i 26332226i 6i 2i 2433i 33i 33i -⎛⎫⎫-+=÷== ⎪⎪ ⎪⎪++-⎝⎭⎝⎭。
复数练习题(有答案)
一、复数选择题1．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A．1 B ．i C i D i3．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3 C ．5 D ．4．已知复数512z i =+，则z =（ ）A ．1B C D ．5 5．若1m i i+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D 6．设2i z i +=，则||z =（ ）A B C ．2 D ．57．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ）A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i -+9．（ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i - 10．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 11．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．812．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i13．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i+=+，则复数a bi -的模等于（ ）A B C D14．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1- B ．12- C ．13 D ．115．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（ ）A ．15BCD ．5二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -19．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 20．下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =21．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i -22．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 23．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限24．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 25．已知复数122,2z i z i =-=则（ ）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =26．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =27．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限28．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i 5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 29．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i +C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限30．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限.【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A2．D【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解】解：因为，所以，故选：D解析：D【分析】 先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D 3．A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则 ，所以，所以故选：A解析：A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a aa a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +=故选：A4．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】.故选:C.解析：C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.5．C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】由题是纯虚数，为纯虚数，所以m=1.故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】由题1m i i+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1.故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.6．B【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可.【详解】，.故选：B ．解析：B【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可.【详解】()22212i i i z i i i++===-，∴z ==故选：B ．7．C【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】由题意，，∴，对应点，在第三象限．故选：C ．解析：C【分析】 由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】 由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+，∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限． 故选：C ． 8．D【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.【详解】设，则复数对应的向量，因为向量与共线，所以，又，所以，解得或，因为复数对应的点在第三象限，所以，所以，，解析：D【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.【详解】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，则复数z 对应的向量(),OZ a b =，因为向量OZ 与(3,4)a =共线，所以43a b =， 又10z =，所以22100+=a b ，解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+，9．B【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果. 【详解】复数.故选：B解析：B【分析】首先3i i=-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】3133i ii+====.故选：B10．A【分析】采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果.【详解】设，则，，，解得：，.故选：A.解析：A【分析】采用待定系数法，设(),z a bi a b R=+∈，由复数运算和复数相等可求得,a b，从而得到结果.【详解】设(),z a bi a b R=+∈，则z a bi=-，()()22313z z a bi a bi a bi i∴-=+--=+=+，133ab=⎧∴⎨=⎩，解得：11ab=⎧⎨=⎩，1z i∴=+.故选：A.11．D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b值即可求解【详解】故选：D解析：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D12．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【详解】由，得，，则的虚部是1．故选：．解析：B【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求．【详解】由(12)43i z i +=+， 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i z i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+， 则z 的虚部是1．故选：B ．13．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C 14．B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解．【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =- 故选：B15．B【分析】利用复数除法运算求得，再求得.【详解】依题意，所以.故选：B 解析：B【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z .【详解】 依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z == 故选：B二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z5z z ⋅=，故选：AD18．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.19．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.20．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.21．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】 根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.22．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.23．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.24．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.25．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.26．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．27．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；221111222122ω---====-⎛⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.28．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 29．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。
(完整版)复数基础练习题附答案
(完整版)复数基础练习题附答案一、单选题1．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1 D ．14．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC5．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 7．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．1i 2-C ．12D ．1i 28．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞9．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ）A ．32-B ．32C ．6-D ．610．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．411．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -12．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --14．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-15．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 516．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5 CD．17．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．2i + D ．2i - 18．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4CD19．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限20．3i3i-+=+（ ） A ．43i 55+B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--二、填空题21．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．22．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________. 23．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.24．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.25．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．26．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________.27．设i 是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 28．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________． 30．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______． 31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________. 32．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 33．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.34．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．35．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．36．已知复数21ii z +=，则z =______． 37．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________.40．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.三、解答题41．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 42．已知复数z 满足(1i)13i z +=-（i 是虚数单位） (1)若复数(1i)a z +是纯虚数，求实数a 的值； (2)若复数z 的共轭复数为z ，求复数1zz +的模． 43．已知复数64i1im z -=+（,i m ∈R 是虚数单位）． (1)若z 是实数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m 的取值范围．44．已知复数()224124i z m m m =--+-，其中m R ∈． (1)若z 为纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求m 的取值范围．45．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+．【参考答案】一、单选题 1．C 2．A 3．C 4．D 5．A 6．D 7．A 8．A 9．A 10．B 11．B12．D 13．C 14．C 15．A 16．B 17．A 18．C 19．C 20．B二、填空题21．-222232425．四2627．028．92930．23132．1 33．13i+34．1-2353637．③38．039．2i-+ 40．1三、解答题41．【解析】【分析】由题可得21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i 9m m m --+是纯虚数， 所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1;当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1． 综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1．42．(1)12【解析】 【分析】（1）根据复数的运算法则求得12i z =--，得到(1i)21(2)i a z a a +=--+，结合题意列出方程组，即可求解； （2）由（1）得到12i z =-+，化简11i 12z z =--+，利用复数模的计算公式，即可求解. (1)解：由复数z 满足(1i)13i z +=-，可得()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z -----====--++-， 可得(1i)(1i)(12i)21(2)i a z a a a +=+--=--+， 因为复数(1i)a z +为纯虚数，可得21020a a -=⎧⎨+≠⎩，解得12a =，即实数a 的值为12.(2)解：由12i z =--，可得12i z =-+， 则()12i 2i 12i42i 11i 112i 12i 2i 42z z -+⋅-+--====--+--+-⋅，所以1z z +，即复数1zz +.43．(1)32m =- (2)32m > 【解析】 【分析】（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可. (1)(64i)(1i)32(32)i (1i)(1i)m z m m --==--++-，因为z 为实数，所以320m +=，解得32m =-. (2)因为z 是z 的共轭复数，所以32(32)i z m m =-++， 所以469(1015)i z z m m -=-++因为复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限， 所以690m ->，同时10150m +>解得32m >. 44．(1)6 (2)()2,6 【解析】 【分析】（1）由z 为纯虚数，列方程组，求出m ； （2）由题意列不等式组，即可求出m 的范围． (1)因为复数()224124i z m m m =--+-，其中m R ∈，所以22412040m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得：m =6.(2)因为()224124i z m m m =--+-在复平面内对应的点为()22412,4m m m ---， 所以z 在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点()22412,4m m m -++-.由题意得：22412040m m m ⎧-++>⎨->⎩，解得：26m <<.即m 的取值范围为()2,6. 45．证明详见解析 【解析】 【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知：121212z z z z z z -<+<+.综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.。
复数练习题含答案
复数练习题含答案一、单选题1．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞2．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ）AB C D3．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．04．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +5．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要D ．既非充分又非必要 6．若0a <，则a 的三角形式为（ ） A ．()cos0isin0a + B ．()cos isin a ππ+ C ．()cos isin a ππ-+D ．()cos isin a ππ--7．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-11．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．3i3i-+=+（ ） A ．43i 55+B ．43i 55-+C ．43i 55D ．43i 55--13．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 14．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．5 C D ．2 15．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．216．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞17．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限18．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件19．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A．3B ．4C D 20．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．1i 2-C ．12D ．1i 2二、填空题21．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______． 22．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________；23．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________．24．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 25．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．26．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 27．设12z i =-，则z =___________ .28．设i 是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．33．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______.34．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.35．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．36．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 37．已知关于x 的方程，()()()221i i 0,,R x x ab a b a b ++++++=∈总有实数解，则a b +的取值范围是__________.38．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________.40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．已知z 是虚数，求证：4z z+是实数的充要条件是2z =．42．已知O 为坐标原点，向量12,OZ OZ 分别对应复数12z z ，，且12i z +和12iz-均为实数，211iz z =+，（z 为z 的共轭复数）.(1)求复数1z 和2z ；(2)求以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形的面积. 43．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值.44．若复数()()()22223i z m m m m m R =+-+--∈的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合.45．设C z ∈，则满足条件34z <<的点Z 的集合是什么图形？【参考答案】一、单选题 1．A 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D 9．A 10．C 11．C 12．B 13．B 14．A 15．A 16．A 17．D 18．A19．C 20．A 二、填空题 21．2221##1-23．124 25．1 26．i2728．0 29．2- 30．1 31．i - 32．-2 33．134．1##1+35．[]4,636．－1＋2i##2i －1 37．[)2,+∞ 38．2 39．2i -+40．三、解答题41．证明见解析 【解析】 【分析】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠，由复数运算化简得2222444i xyz x y z x y x y⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；当2z =时，可得42z x R z +=∈，证得充分性；当4z z+是实数时，可得224x y +=，必要性得证；由此可得结论.【详解】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠， 则2222224444i 44i i i i x y x y z x y x y x y zx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 当2z =时，224x y +=，则2240y y x y -=+，2242xx x R x y +=∈+， 42z x R z ∴+=∈，即4z z+是实数，充分性成立； 当4z z+是实数时，2240yy x y-=+，又0y ≠，224x y ∴+=，即2z =，必要性成立；4z z∴+是实数的充要条件是2z =.42．(1)142i z =-，2z =(2)12 【解析】 【分析】（1）设()1i ,z a b a b =+∈R ，根据复数代数形式的加法、除法运算法则化简12i z + 、12iz -，再根据复数的类型求出参数a 、b ，即可求出1z ，再化简2z ，从而求出其模；（2）首先根据复数的几何意义求出1Z 、2Z 的坐标，即可求出12OZ Z S ，从而求出平行四边形的面积； (1)解：设()1i ,z a b a b =+∈R ，则由()12i 2i z a b +=++为实数，20b ∴+=b 20∴+=，2b ∴=-．则由()()()()1i 2i i 22i 2i 2i 2i 2i 55a b z a b a b a b +++-+===+---+为实数，可得205a b+=， 4a ∴=，所以142i z =-，211142i 42i i 4i i iz z =+=++=+-=+，所以2z =(2)解：因为142i z =- ，24i z =+，所以()14,2Z -、()24,1Z ，所以1214362OZ Z S =⨯⨯=， 所以以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形的面积12212OZ Z S S==．43．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析 (3)1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值. (1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=， 当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1. 44．312m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由共轭复数定义可得z ，根据对应点的象限可以构造不等式组求得结果. 【详解】由题意得：()()22223i z m m m m =+----，z 对应的点在第一象限，()2220230m m m m ⎧+->⎪∴⎨--->⎪⎩，解得：312m <<，∴实数m 的取值集合为312m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 45．是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界） 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义得出结论. 【详解】设()i ,R z x y x y =+∈22223,9z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为3的圆，22224,16z x y x y =+=+=，表示圆心在原点，半径为4的圆，所以满足条件34z <<的点Z 的集合是圆229x y +=与圆2216x y +=之间的圆环（不包括边界），如图所示.。
(完整版)复数练习(含答案)
复数基础2一、选择题1．下列命题中：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；③x ＋y i ＝2＋2i x ＝y ＝2；④若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．32．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．a 为正实数，i 为虚数单位，z ＝1－a i ，若|z |＝2，则a ＝()A ．2 B.3 C.2D ．14．(2011年高考湖南卷改编)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且a i ＋i 2＝b ＋i ，则()A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－15．复数z ＝3＋i 2对应点在复平面()A ．第一象限内B ．实轴上C ．虚轴上D ．第四象限内6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，则()A ．a ＝32，b ＝12B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝132，b ＝2D ．a ＝1，b ＝37．复数z ＝12＋12i 在复平面上对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于()A ．3＋iB ．3－IC ．－3－iD ．－3＋i 9．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于()A ．－34＋i B.3334－I C ．－4－i D.4＋i10．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝()A ．0B ．2i C ．6D ．6－2i 11．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为()A ．5－6i B ．3－5i C ．－5＋6i D ．－3＋5i12．向量OZ →对应的复数是5－4i ，向量OZ →→→12对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1＋OZ 2对应的复数是()A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i 13．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是()A.115B.3IC.115＋3iD.115＋23i15．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝()A ．1－3i B ．11i －2C ．i －2D ．5＋5i 16．复数z 1＝cos θ＋i ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为()A ．5 B.5C ．6 D.617．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为()A ．0B ．1 C.212 D.218．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．519．(2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则()A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.2i ∈S20．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝(A ．3－iB ．3＋IC ．1＋3iD ．3)2＋4i21．化简的结果是()(1＋i )2A ．2＋iB ．－2＋IC ．2－iD ．－2－i234i ＋i ＋i 22．(2011年高考重庆卷)复数＝()1－i11111111A ．－－i B ．－＋I C.－i D.＋i222222222＋i23．(2011年高考课标全国卷)复数的共轭复数是()1－2i33A ．－i B.i C ．－i D ．i551＋i424．i 是虚数单位，()等于()1－iA ．iB ．－IC ．1D ．－125．若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝()A ．4＋2i B ．2＋I C ．2＋2i D ．3＋i26．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则等于()z A ．i B ．－i C ．±1D ．±i27．(2010年高考浙江卷)对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是()A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |二、填空题28．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．29．复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________．30．复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－3－2i ，z 4＝3－2i ，z 1，z 2，z 3，z 4在复平面内的对应点分别是A ，B ，C ，D ，则∠ABC ＋∠ADC ＝________.→→→31．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA 与OB ，则向量AB 表示的复数是________．32．已知f (z ＋i)＝3z －2i ，则f (i)＝________.33．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.34．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________.35．(2011年高考江苏卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．36．已知复数z 满足|z |＝5，且(3－4i)z 是纯虚数，则z ＝________.z答案一、选择题1．解析：选A.在①中没有注意到z ＝a ＋b i 中未对a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方222与实数的平方等同，如：若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 2＝1－1＝0，从而由z 1＋z 2＝0/z 1＝z 2＝0，故②错误；在③中若x ，y ∈R ，可推出x ＝y ＝2，而此题未限制x ，y ∈R ，故③不正确；④中忽视0·i ＝0，故④也是错误的．故选A.π2．解析：选D.∵<2<π，∴sin 2>0，cos2<0.2故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．故选D.3．解析：选B.|z |＝|1－a i|＝而a 是正实数，∴a ＝ 3.4．解析：选D.a i ＋i 2＝－1＋a i ＝b ＋i ，故应有a ＝1，b ＝－1.5．解析：选B.∵z ＝3＋i 2＝3－1∈R ，∴z 对应的点在实轴上，故选B.a 2＋1＝2，∴a ＝± 3.⎧⎪a －b ＝1316．解析：选A.由1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i 得⎨，解得a ＝，b ＝.22⎪a ＋b ＝2⎩11⎫7．解析：选A.∵复数z 在复平面上对应的点为⎛⎝2，2⎭，该点位于第一象限，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限．8．解析：选B.由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.2⎧⎧⎪n ＋mn ＋2＝0⎪m ＝3∴⎨，解得⎨，∴z ＝3－i.⎪2n ＋2＝0⎪⎩⎩n ＝－19．解析：选D.设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，3⎧2＋y 2＝2，⎧x ＝，x ＋x ⎪⎪4∴⎨解得⎨⎪⎪⎩y ＝1.⎩y ＝1.3∴z ＝＋i.410．解析：选D.由z ＋i －3＝3－i ，知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.11．解析：选A.(－i ＋3)－(－2＋5i)＝(3＋2)－(5＋1)i ＝5－6i.→→12．解析：选C.OZ 1＋OZ 2对应的复数是5－4i ＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i ＝0.13．解析：选D.∵z 1＋z 2＝(3－4i)＋(－2＋3i)＝(3－2)＋(－4＋3)i ＝1－i ，∴z 1＋z 2对应的点为(1，－1)，在第四象限．14．解析：选C.设这个复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝5＋3i ，即a ＋a 2＋b 2＋b i ＝5＋3i ，⎧⎧⎪b ＝3⎪b ＝3∴⎨，解得⎨11.22⎪⎪⎩a ＋a ＋b ＝5⎩a ＝511∴z ＝＋3i.515．解析：选D.先找出z 1－z 2，再根据求函数值的方法求解．∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋2)＋(4＋1)i ＝5＋5i.∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.故选D.16．解析：选D.|z 1－z 2|＝|(cos θ－sin θ)＋2i|＝＝＝(cos θ－sin θ)2＋45－2sin θcos θ5－sin2θ≤ 6.2.2(x －2)2＋(y －2)2＝17．解析：选C.|z ＋1|＝|z －i|表示以(－1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|z ＋i|＝|z －(－i)|表示直线上的点到(0，－1)的距离，数形结合知其最小值为18解析：选B.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则有|x ＋y i ＋2－2i|＝1，即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1，所以根据复数模的计算公式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，又|z －2－2i|＝|(x －2)＋(y －2)i|＝(x －2)2＋1－(x ＋2)2＝法二：利用数形结合法．|z ＋2－2i|＝1表示圆心为(－2,2)，半径为1的圆，而|z －2－2i|＝|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选B.219．解析：选B.因为i 2＝－1∈S ，i 3＝－i ∈/S ，＝－2i ∈/S ，故选B.i 20．解析：选A.(1＋z )·z ＝(2＋i)·(1－i)＝3－i.2＋4i2＋4i 1＋2i 21．解析：选C.＝＝＝2－i.故选C.2i i (1＋i )2i 2＋i 3＋i 4－1－i ＋1－i (－i )(1＋i )1－i 1122．解析：选C.＝＝＝＝＝－i.2221－i 1－i 1－i (1－i )(1＋i )2＋i )(1＋2i )2＋i ＋4i －22＋i(23．解析：选C.法一：∵＝＝＝i ，∴的共轭复数为－i.51－2i (1－2i )(1＋2i )1－2i2＋i －2i ＋i i (1－2i)法二：∵＝＝＝i ，2＋i21－8x .而|x ＋2|≤1，即－3≤x ≤－1，∴当x ＝－1时，|z －2－2i|min＝3.1－2i 1－2i 1－2i∴的共轭复数为－i.1－2i1＋i 1＋i 2i 2424．解析：选C.()＝[()2]2＝()＝1.故选C.1－i 1－i －2i 25．解析：选A.∵z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，∴z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i －i －i 2＝3＋2i ＋1＝4＋2i.故选A.2＋i26．解析：选D.法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由z ＋z ＝4，z ·z ＝8得，⎧⎧⎧⎪x ＋y i ＋x －y i ＝4，⎪x ＝2⎪x ＝2⇒⎨⇒⎨.⎨222⎪(x ＋y i )(x －y i )＝8.⎪⎪y ＝±⎩⎩x ＋y ＝8⎩x －y i x 2－y 2－2xy i ∴＝＝＝±i.z x ＋y i x 2＋y 2z法二：∵z ＋z ＝4，设z ＝2＋b i(b ∈R )，又z ·z ＝|z |2＝8，∴4＋b 2＝8，∴b 2＝4，∴b ＝±2，∴z ＝2±2i ，z ＝2∓2i ，∴z z ＝±i.27．解析：选D.∵z ＝x －y i(x ，y ∈R )，|z －z |＝|x ＋y i －x ＋y i|＝|2y i|＝|2y |，∴A 不正确；对于B ，z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，故不正确；∵|z －z |＝|2y |≥2x 不一定成立，∴C 不正确；对于D ，|z |＝正确．二、填空题28．解析：复数z 在复平面上对应的点为(m －3,2m )，∴m －3＝2m ，即m －2m －3＝0.解得m ＝9.答案：929．解析：∵|z |＝3，∴(x ＋1)2＋(y －2)2＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以O ′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆30．解析：|z 1|＝|z 2|＝|z 3|＝|z 4|＝5，所以点A ，B ，C ，D 应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内接四边形ABCD 对角互补，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°.→→→→31．解析：AB 表示OB －OA 对应的复数，由－2－5i －(4＋3i)＝－6－8i ，知AB 对应的复数是－6－8i.答案：－6－8i32．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则f [a ＋(b ＋1)i]＝3(a ＋b i)－2i ＝3a ＋(3b －2)i ，令a ＝0，b ＝0，则f (i)＝－2i.答案：－2i33．解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i ＝(a 2－a －2)＋(a 2＋a －6)i(a ∈R )为纯虚数，∴2⎧⎪a －a －2＝0，解得a ＝－1.⎨2⎪⎩a ＋a －6≠0，x 2＋y 2≤|x |＋|y |，故D34．解析：∵z ＝1－2i ，∴z ·z ＝|z |2＝5.∴z ·z ＋z ＝6－2i.答案：6－2i35．解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：1t i |t |36．解析：∵(3－4i)z 是纯虚数，可设(3－4i)z ＝t i(t ∈R 且t ≠0)，∴z ＝，∴|z |＝＝5，∴|t |＝25，∴t ＝±25，53－4i±25i ∴z ＝＝±i(3＋4i)＝±(－4＋3i)，z ＝±(－4－3i)＝±(4＋3i)．3－4i 答案：±(4＋3i)。
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一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1122i + D ．1122i - 3．在复平面内，复数534ii-（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3-C ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 4．212ii+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i5．已知i 为虚数单位，则复数23ii -+的虚部是（ ） A ．35B ．35i -C ．15-D ．15i -6．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y7．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i --C ．3i +D ．3i -+8．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若1m ii+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D10．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（ ）A ．B ．4C ．D ．811．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4B ．2C ．0D ．1-12．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i1i 2ia -=-+，则a ＝（ ） A ．2B ．1C ．-2D ．-113．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3B ．5C ．6D ．814．设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．715．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ） A ．z =-1+2i B ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=17．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =18．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i19．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>20．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >21．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z22．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 23．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为224．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=26．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限27．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =28．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=29．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模30．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C 解析：C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-.故选：C2．D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.因为，所以其共轭复数为. 故选：D.解析：D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.3．D 【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】 因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为. 故选：D解析：D 【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534ii-的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i i i i i i ⋅+-===-+--+， 所以在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：D4．D 【分析】利用复数的除法运算即可求解. 【详解】 ， 故选：D解析：D利用复数的除法运算即可求解. 【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i ii i i i i +++++====--+-， 故选：D5．A 【分析】先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】因为，所以其虚部是. 故选：A.解析：A 【分析】先由复数的除法运算化简复数23ii-+，再由复数的概念，即可得出其虚部. 【详解】 因为22(3)26133(3)(3)1055i i i i i i i i -----===--++-，所以其虚部是35. 故选：A.6．C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-.7．A【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】 因为， 所以，复数的共扼复数是， 故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133iz i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-， 故选：A8．B 【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】 因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B 【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.9．C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题1m ii+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.10．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得． 【详解】 因为，所以， 所以 故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --． 【详解】因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A11．A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】 ， 故选：A解析：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+ 3,1a b ==，4a b +=故选：A12．B 【分析】 可得，即得. 【详解】 由，得a ＝1. 故选：B ．解析：B 【分析】可得3(2)(1)3ai i i i -=+-=-，即得1a =. 【详解】由23(2)(1)223ai i i i i i i -=+-=-+-=-，得a ＝1. 故选：B ．13．D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】 ，故 则 故选：D解析：D 【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解 【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+=故选：D14．D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得． 【详解】 解：，解得. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则， 模的性质：，，．解析：D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得a ． 【详解】解：()()()()24242422221212501111i i i i aai ai++++====+--，解得7a =. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z =模的性质：1212z z z z =，(*)nnz z n N =∈，1122z z z z =． 15．A 【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.18．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．20．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.21．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 22．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于23．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围24．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-； 因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102zz ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．26．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 27．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 29．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。