反比例函数知识点及举例

反比例函数

知识梳理

知识点ｌ． 反比例函数的概念

重点：掌握反比例函数的概念 难点:理解反比例函数的概念

一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x

k y =或y ＝kx －１

（k 为常数，0k ≠）的形式,那么称ｙ是x 的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点:

(1）k 是常数，且ｋ不为零;(2)

x k

中分母x 的指数为1，如22y x

=不是反比例函数。 (3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数．（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。 知识点2。 反比例函数的图象及性质

重点:掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用

反比例函数x

k

y =

的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限.它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、ｙ轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.

画反比例函数的图象时要注意的问题： (1)画反比例函数图象的方法是描点法；

(２）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。 (3)由于在反比例函数中，x 和ｙ的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。

反比例函数的性质

x

k

y =

)0k (≠的变形形式为k xy =（常数)所以: （1）其图象的位置是：

当0k >时,x 、y 同号,图象在第一、三象限； 当0k <时,x 、y 异号,图象在第二、四象限。 (2）若点（ｍ，ｎ)在反比例函数x

k

y =的图象上，则点(—m ，—ｎ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（３）当0k >时，在每个象限内,ｙ随x 的增大而减小；

当0k <时，在每个象限内,y 随x 的增大而增大； 知识点３. 反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点:由条件来确定反比例函数解析式

（１)反比例函数关系式的确定方法:待定系数法，由于在反比例函数关系式x

k

y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组ｘ、y 的

对应值或图象上点的坐标,代入x

k

y =中即可求出ｋ的值，从而确定反比例函数的关系式。

（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：x

k

y =

(0k ≠）; ②根据已知条件，列出含ｋ的方程; ③解出待定系数k 的值； ④把ｋ值代入函数关系式x

k

y =中. 知识点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：

①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时,要注意将实际问题转化为数学问题。

②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。

知识点5.反比例函数综合

最新考题

综观20０９年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时,加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的,富有挑战性的。” ２010年中考反比例函数复习策略： 1。 抓实双基，掌握常见题型； ２. 重视函数的开放性试题; 考查目标一。反比例函数的基本题 例1在函数1

2

y x =

-中，自变量ｘ的取值范围是（ ）。 A 、x ≠0 B 、x ≥２ C 、x ≤２ D 、x ≠2 例2．反比例函数6

y x

=-

图象上一个点的坐标是 。 考查目标二. 反比例函数的图象

例1．根据物理学家波义耳166２年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p (ｐａ)与它的体积v （m 3）的乘积是一个常数k ，即p ｖ=k （k 为常数,k ＞0)，下列图象能正

确反映p 与ｖ之间函数关系的是（ ）。

p p

p p

例2已知反比例函数)0(<=

k x

k

y 的图像上有两点A （1x ,1y ）

，Ｂ（2x ，2y ）,且21x x <，则21y y -的值是 （ )

A 、正数

B 、 负数

C 、非正数

D 、不能确定 考查目标三、反比例函数图象的面积与k 问题

例1、反比例函数x

k

y =

（k 0)在第一象限内的图象如图１所示，Ｐ为该图象上任一点，P Ｑ⊥x 轴，设△POQ 的面积为S ，则S 与ｋ之间的关系是（ ）

A ．4k S =

B.2

k

S = C ．Ｓ=ｋ D 。Ｓｋ 例2．设P 是函数4

p x

=在第一象限的图像上任意一点，点P 关于原点

的对称点为P',过P 作ＰA 平行于y 轴，过P’作P’A 平行于x 轴，PA 与P’A 交于A 点，则PAP '△的面积（ )

A 。等于2ﻩ B.等于４ﻩＣ.等于8 D 。随P 点的变化而变化 考查目标四。利用图象，比较大小 例1．已知三点

111()P x y ，,222()P x y ，，3(1

2)P -，都在反比例函数k

y x =

的图象上,若

10x <，20x >，则下列式子正确的是（ ）

A.1

20y y << Ｂ．120y y <>ﻩﻩ D.120y y >> 考查目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系

例1．如图,A 、Ｂ是反比例函数ｙ=

2

x

的图象上的两点.ＡC 、BD 都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D 。A Ｂ的延长线交x 轴于点E 。若C 、Ｄ的坐标分别为(1，0）、(4,0），则ΔＢＤＥ的面积与ΔACE 的面积的比值是（ ）

A ．21 B.41 Ｃ。81 D ．161

例2．如图，二次函数m

x m

x y +++=)14(412(m 〈4）的图

象与x 轴相交于点A 、Ｂ两点．（1）求点A 、B 的坐标（可用

含字母m 的代数式表示);

(2)如果这个二次函数的图象与反比例函数9

y x

=的图象相交于点C ，且∠ＢAC 的余弦值为4

5

，求这个二次函数的解析式。