二次函数图像过定点的研究

函数图像过定点的研究

二、方法剖析与提炼

例1.求证：拋物线y ＝(3－

2定点，并求出定点的坐标．

y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＝3x 2－2x －1－kx 2＋kx ＋2k

＝3x 2－2x －1－k( )(k≠3)，

上式中令 ＝0，得x 1＝ ，x 2＝ . 将它们分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)，

解得y 1＝ ，y 2＝ ，

把点(－1，4)、(2，7)分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)，

无论k 取何值，等式总成立，

即点 、 总在抛物线y ＝(3－k)x 2＋(k －

2)x ＋2k －1(k≠3)上，

即拋物线y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＋2k －1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．

【解析】因为不论k 取何值，函数均过某定点，所以思考的方向是将k 前面的系数化为零，从而得到本题的解法。另外，本题也可以任意取两个K 的值，然后列方程组，求解即可。

例2．（北京市西城区）无论m 为任何实数，二次函数

的图像总过的点是（ ）

A. （1，3）

B. （1，0）

C. （－1，3）

D. （－1，0）

m 妨设m=0和m=2。 则函数解析式变为：

联立方程组

解得

把

中，无论m 为何值，等式总成立。

所以，抛物线群

中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。

故应选A 。 ①

令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-+=-310

2012y x y x x x 解得， 所以，无论m 为何值时， 恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。

故应选A 。

【解析】图像总过定点说明函数的取值与m 的取值无关，所

以把m 看成元，其余看成常数进行重新化简整合，含m 项的系数为0得出关于x 、y 的方程（组）并求解。另一种思考就是m 取不同的值得到不同的函数解析式求出公共点即可。 例3.已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y 轴的交点为（0，n ﹣m ），其顶点恰好在直线y=x+（1﹣m ）上（其中m 、n 为正数）．

（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有2个交点； （2）在x 轴上是否存在这样的定点：不论m 、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：把（﹣

，﹣）代入 得﹣+（1﹣m ）=﹣

， 整理得m 2﹣mn+m ﹣n=0， ∵（m ﹣n ）（m+1）=0，

∴m=n 或m=﹣1（舍去），

∴二次函数的顶点坐标为 ，与y 轴的交点为 ，

∵m 为 数，

∴二次函数的顶点在第 象限，而抛物线过原点， ∴抛物线开口向上，

∴此二次函数的图象与x 轴有2个交点；

令y=0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横

坐标，△=b 2﹣4ac 决定抛物

线与x 轴的交点个数。

（2）存在．∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，抛物线与x 轴的一个交点坐标为，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点（﹣1，0）和（0，0）．

【解析】（1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+（1﹣m）得﹣+（1﹣m）=﹣，整理后利用因式分解得到（m﹣n）（m+1）=0，则m=n或m=﹣1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，0），由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）由（1）得到抛物线的对称轴为直线x=﹣，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）。

三、能力训练与拓展

1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）

A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）

2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）

①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；

③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．

A．1个B．2个C．3个D．4个

3.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ．4．二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ．

5．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（3﹣m）x+m+1的图象总是过定点_________ ．

6．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ．

7.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标

8.（2020南京）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．

⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上

的一个定点；

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

9.（2019荆州）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．