2020届高考数学三模试卷(理科)(有答案)(已审阅)
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国III卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为A. 2B. 3C. 4D. 6解：有下列（1，7）（2，6）（3，8）（4，4）2.复数113i -的虚部是 A. 310- B. 110- C. 110D. 310解：1131313101010i z i i +===+-3.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ==== 解：B4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531--=+t K I t e，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69()()()()()0.23530.23530.2353-10.951100511====1995951930010.2353=3,53132323153136623解：则，则------==++--===+≈t t t KI t Kee e t t t5. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)=>C y px p 交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)1212222122212124y y 0又由点在曲线2上y =4,y =4(y y )16,y y 44,1OD OEOD OE y px p p P p p →→⊥•=+====-=-=6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b += A. 3135-B. 1935-C. 1735D. 1935222解：（）=++2253612497()19cos(,)5735a b a b a b a b a a b a a a ba ab a a b+•=+-=+=•+•+•+===⨯+7. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 23222222222解：由余弦定理得：AB =AC +BC -2AC BC cos 216924393AB 3由余弦定理得：AB AC3341cosB=23392AB BCC BC=+-⨯⨯⨯==+-+-==⨯⨯8. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+表面积122221222sin 602323S VAB S VAC S ABC S VBC S ∆∆∆∆===⨯⨯==⨯⨯⨯= 9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 222221tan 解：原式=2tan 71tan 则2tan -2tan -1-tan 77tan 则2tan -8tan +8=0则tan -4tan +4=（tan 2)0则tan 2θθθθθθθθθθθθθ+-=-=--==10.若直线l 与曲线y x =2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+设00000000000设的切点P(x ,x )(x 0)111,,则切线方程为：y-x (x )222化为：-2x 0x 1又与圆相切则：d=x 114x 511直线方程为：y=22y x y k x 解：xx x x x y x =>'===-+==⇒=+∴+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．82222121212121222212121212222222222解：,则+=（2c)414,82又-=2a,-24164,4又5,54,1,1PF PF PF PF cS PF F PF PF PF PFPF PF PF PF PF PF PF PFc a c ace c a a a a aa∆⊥=====+-=-=-===⇒=-===12. 已知5458<，45138<，设5a log3=，8b=log5，13c log8=，则A. a b c<<B. b a c<<C. b c a<<D. c a b<<5445544588131381381325822222解;58,138,则log5log8,log13log8445log54,45log8;log5,log8,则55lg3lg5lg3lg8lg5log3log5lg5lg8lg5lg8lg3lg8lg24lg252lg5lg30,lg80,lg3lg8()()()()lg52222c ba b<<<<<<<>>•--=-=-=•+>>•<=<== 0,a b a b-<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国3卷高考理科数学仿真试卷(三)答案
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C8．C9．A10．B11．D12．D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．214．2015．32016．9π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】(1)2n a n =；(2)()1654209n nn S +-+=．【解析】(1)由题意得22228t t t t t -++==，所以2t =±，···········2分2t =时，12a =，公差2d =，所以2n a n =；···········4分2t =-时，16a =，公差2d =-，所以82n a n =-．···········6分(2)若数列{}n a 为递增数列，则2n a n =，所以2log 2n b n =，4n n b =，()()1214nn n a b n -=-⋅，···········8分所以()()231143454234214n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，·········9分()()23414143454234214n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，所以()23134242424214n n n S n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅ ()()211414422143n n n -+-=+⨯---()1206543n n +---=，···········10分所以()1654209n nn S +-+=．···········12分18．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）随机变量X 的可取值为0，1，2，3，4···········1分 (2) (3)分 (4) (5)分···········6分故随机变量X 的分布列为:X 01234P1708351835835170···········7分（2）随机变量X 服从超几何分布：()4428E x ⨯∴==，···········9分()1422E Y ∴=⨯=．···········11分()()224E X E Y ∴+=+=．···········12分19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在半圆柱中，1BB ⊥平面11PA B ，所以1BB PA ⊥．···········2分因为11A B 是上底面对应圆的直径，所以11PA PB ⊥．···········4分因为111PB BB B = ，1PB ⊂平面1PBB ，11BB PBB ⊂，所以1PA ⊥平面1PBB ．···········5分（2）以C 为坐标原点，以CA ，CB 为，y 轴，过C 作与平面ABC 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系C xyz -．如图所示，设1CB =，则()1,0,0B ，()0,1,0A，(1A，(1B，(P ．···6分平面11PA B 的一个法向量()10,0,1=n ．···········8分设平面11CA B 的一个法向量()2,,x y z =n ，则1z =···········10分···········11分由图可知二面角11P A B C --为钝角，所以所求二面角的余弦值为．···········12分20．【答案】（1）2214y x +=；（2）答案见解析．【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ，∵两圆相内切，∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，···········3分∴点P 的轨迹是以F ，F '为焦点的椭圆，其中24a =，2c =，∴2a =，c =，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=．···········5分（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =，12y y =-，由⊥m n ，得112y x =，又221114y x +=，∴122x =，1y =，∴111121222AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=．···········7分当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()2224240k x kmx m +++-=，则12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+，···········9分由0⋅=m n ，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=，整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，···········10分∴2224m k =+，1221==，综上所述，AOB △的面积为定值．···········12分21．【答案】（1）见解析；（2）当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．【解析】（1）1m =时，()1e ln x f x x x -=-，()1'e ln 1x f x x -=--，········1分要证()f x 在()0+∞，上单调递增，只要证：()0f x '≥对0x >恒成立，令()1e x i x x -=-，则()1e 1x i x -'=-，当1x >时，()0i x '>，···········2分当1x <时，()0i x '<，故()i x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10i x i =≥，···········3分即1e x x -≥（当且仅当1x =时等号成立），令()()1ln 0j x x x x =-->当01x <<时，()'0j x <，当1x >时，()'0j x >，故()j x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10j x j =≥，即ln 1x x +≥（当且仅当1x =时取等号），()1e ln 1x f x x -'=--()ln 10x x -+≥≥（当且仅当1x =时等号成立），()f x 在()0+∞，上单调递增．···········5分（2）由()e ln x m g x x m -=--有，显然()g x '是增函数，令()00g x '=，00e e x m x =，00ln m x x =+，则(]00,x x ∈时，()0g x '≤，[)0,x x ∈+∞时，()0g x '≥，∴()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，∴()g x ···········7分①当1m =时，01x =，()()=10g x g =极小值，()g x 有一个零点1；···········8分②当1m <时，001x <<02ln 0x <，001x <<，所以()0g x >0，()g x 没有零点；···········9分③当1m >时，01x >，()01010g x <--=，又()eee e e 0mmm mmg m m -----=+-=>，又对于函数e 1x y x =--，'e 10x y =-≥时0x ≥，∴当0x >时，1010y >--=，即e 1x x >+，∴()23e ln3m g m m m =-->21ln3m m m +--=1ln ln3m m +--，令()1ln ln3t m m m =+--，则()11'1m t m m m-=-=，∵1m >，∴()'0t m >，∴()()12ln30t m t >=->，∴()30g m >，又0e 1m x -<<，000333ln m x x x =+>，∴()g x 有两个零点，综上，当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．···········12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
2020年普通高等学校招生第三次统一模拟考试理科数学参考答案
2 Sn = 3 × 3 × 21 + 5 × 3 × 22 + 7 × 3 × 23 + × × × + (2n - 1) × 3 × 2n-1 + (2n + 1) × 3 × 2n
-------------------- ④ 由③－④得：
－ Sn = 9＋6[ 21 + 22 + 23 + × × × + 2n-1 ]－(2n + 1) × 3 × 2n ∴ Sn = (6n - 3) × 2n + 3 . -----------------------------------12 分
平均数为：
X 160 0.06 170 0.12 180 0.34 190 0.30 200 0.1 210 0.08
= 185（ 个 ）．
----------------------------------------6 分
（ Ⅱ ） 跳 绳 个 数 在 [155 ， 165) 内 的 人 数 为 100 0.06 6 个 ，
12
高三理科数学参考答案 第 5 页 （共 8 页）
20．（本小题满分 12 分）
已 知 函 数 f (x) x ln(x a) 1(a < 0) .
(Ⅰ)若 函 数 f (x) 在 定 义 域 上 为 增 函 数 ， 求 a 的 取 值 范 围 ；
(Ⅱ )证 明 ： f(x) < ex + sin x .
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生第一次统一模拟考试 理科数学参考答案及评分标准 2020.03
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国Ⅲ卷(含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅲ卷理科数学一、选择题1.已知集合*{()|}A x y x y y x =∈N ，，，，{()|8}B x y x y =+=，，则A B 中元素的个数为（ ） A.2 B.3C.4D.62.复数113i-的虚部是（ ） A.310-B.110-C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234p p p p ，，，，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A.140.1p p ==，230.4p p == B.140.4p p ==，230.1p p == C.140.2p p ==，230.3p p ==D.140.3p p ==，230.2p p ==4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1e t K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数.当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）（ ） A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线22(0)C y px p =>：交于D E ，两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A.(14)0， B.(12)0， C.(10)， D.(20)，6.已知向量a b ，满足||5||66===-a b a b ，，⋅，则cos +=a a b ，（ ） A.3135-B.1935-C.1735D.19357.在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B =（ ） A.19B.13C.12D.238.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A.642+B.442+C.623+D.423+9.已知π2tan tan()74θθ-+=，则tan θ=（ ）A.2-B.1-C.1D.210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为（ ）A.21y x =+B.122y x =+C.112y x =+ D.1122y x =+ 11.设双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为1F ，2F 5.P 是C上一点，且12F P F P ⊥.若12PF F 的面积为4，则a =（ ） A.1B.2C.4D.812.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（ ） A.a b c << B.b a c << C.b c a << D.c a b <<二、填空题13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，，，则32z x y =+的最大值为________.14.26()2x x+的展开式中常数项是___________（用数字作答）.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________. 16.关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称.②()f x 的图像关于原点对称. ③()f x 的图像关于直线π2x =对称. ④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是________. 三、解答题17.设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-.（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列{2}n n a 的前n 项和n S .18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：[0200]，(200400]， (400600]， 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次400>空气质量好 空气质量不好附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =.（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值.20.已知椭圆2221(05)25x y C m m +=<<：15，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积. 21.设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点11(())22f ，处的切线与y 轴垂直. （1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 23.设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =. （1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用max{}a b c ，，表示a ，b ，c 的最大值，证明：3max{}4a b c ，，.参考答案1.答案：C解析：2.答案：D解析：3.答案：B解析：4.答案：C解析：5.答案：B解析：6.答案：D解析：7.答案：A解析：8.答案：C解析：9.答案：D解析：10.答案：D解析：11.答案：A解析：12.答案：A解析：13.答案：7解析：14.答案：240解析：15. 解析：16.答案：②③ 解析：17.答案：解：（1）2357a a ==，. 猜想21n a n =+.由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n +-+=--，……21(3)53a a -=-.因为13a =，所以21n a n =+.（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯.①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.② ①-②得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯.所以1(21)22n n S n +=-+. 解析：18.答案：解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=. （3）根据所给数据，可得22⨯列联表：33 22根据列联表得2100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 解析：19.答案：解:设1,,AB a AD b AA c ===，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -.（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11(0,,)3C F b c =，得1EA C F =，因此1//EA C F ，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内. （2）由已知得1(2,1,3),(2,0,2),(0,1,1),(2,1,0),(0,1,1)A E F A AE =--，11(2,0,2),(0,1,2),(2,0,1)AF A E A F =--=-=-.设1,,()x y z =n 为平面AEF 的法向量，则 110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n . 设2n 为平面1A EF 的法向量，则 21210,0,A E A F ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n . 因为1212127cos ,||||⋅==⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --42.解析： 20.答案：解：（1=22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >. 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以|||BP y BQ =因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点P Q ，的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q ==-.11||PQ =直线11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A =-到直线11PQ，故11APQ的面积为1522=.22||P Q =，直线22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q，故22AP Q的面积为1522=.综上，APQ 的面积为52.解析：21.答案：解：（1）2()3f x x b '=+. 依题意得1()02f '=，即304b +=.故34b =-.（2）由（1）知3233(),()344f x x x c f x x '=-+=-.令()0f x '=，解得12x =-或12x =.()f x '与()f x 的情况为：因为11(1)()24f f c =-=+，所以当14c <-时，()f x 只有大于1的零点.因为11(1)()24f f c -==-，所以当14c >时，()f x 只有小于1-的零点.由题设可知1144c -. 当14c =-时，()f x 只有两个零点12-和1.当14c =时，()f x 只有两个零点1-和12. 当1144c -<<时，()f x 有三个零点123,,x x x ，且1231111(1,),(,),(,1)2222x x x ∈--∈-∈.综上，若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，则()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 解析：22.答案：解：（1）因为1t ≠，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为(0,12)；由2230t t -+=得2t =，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-.故||AB =.（2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为1412x y+=-，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=. 解析：23.答案：解：（1）由题设可知，,,a b c 均不为零，所以 22221[())(]2ab bc ca a b c a b c ++=++-++222)1(2a b c =-++0<.（2）不妨设max{,,}a b c a =，因为1,()abc a b c ==-+，所以000a b c ><<,,.由2()4b c bc +，可得34a abc ，故34a ，所以3max{,,}4abc .解析：。
2020年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
2020年江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的虚部为A. B. C. D.2.若集合，则A. B.C. D.3.若数列为等比数列，则“，是方程的两根”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.抛物线上一点到其准线的距离为A. B. C. D.5.若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为A. B. C. D.6.如图是九江市2019年4月至2020年3月每月最低气温与最高气温的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论错误的是A. 每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关B. 月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在10月C. 月的月温差相对于月，波动性更大D. 每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加7.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”昵称：，2020年3月14日是第一个“国际数学日”圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数．有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的T值与非常近似，则、中分别填入的可以是A. ，B. ，C. ，D. ，8.在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为A. B. C. D.9.函数的图象大致是A. B.C. D.10.设双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，都在以M为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为A. B. C. D.11.如图所示，三棱锥S一ABC中，与都是边长为1的正三角形，二面角的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为A. B. C. D.12.已知函数，若不等式恰有两个整数解，则m的个数为A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若与共线，则实数x的值为______．14.若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为______．15.设等差数列满足：，公差，其前n项和为若数列也是等差数列，则的最小值为______．16.在棱长为1的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，过A，M ，N三点作正方体的截面，将截面多边形向平面作投影，则投影图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，三内角A，B，C满足．Ⅰ判断的形状；Ⅱ若点D在线段AC上，且，，求tan A的值．18.已知正；边长为3，点M，N分别是AB，AC边上的点，，如图1所示．将沿MN折起到的位置，使线段PC长为，连接PB，如图2所示．Ⅰ求证：平面平面BCNM；Ⅱ若点D在线段BC上，且，求二面角的余弦值．19.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率为，A为椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C，，的面积为6．Ⅰ求椭圆E的标准方程；Ⅱ设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M，N两点N在直线OA的同侧，若，求直线l的方程20.已知函数，存在极小值点，．Ⅰ求a的取值范围；Ⅱ设m，，且，求证：．21.为筛查在人群中传染的某种病毒，现有两种检测方法：抗体检测法：每个个体独立检测，每一次检测成本为80元，每个个体收取检测费为100元．核酸检测法：先合并个体，其操作方法是：当个体不超过10个时，把所有个体合并在一起进行检测．当个体超过10个时，每10个个体为一组进行检测．若该组检测结果为阴性正常，则只需检测一次；若该组检测结果为阳性不正常，则需再对每个个体按核酸检测法重新独立检测，共需检测次为该组个体数，，每一次检测成本为160元．假设在接受检测的个体中，每个个体的检测结果是阳性还是阴性相互独立，且每个个体是阳性结果的概率均为．Ⅰ现有100个个体采取抗体检测法，求其中恰有一个检测出为阳性的概率；Ⅱ因大多数人群筛查出现阳性的概率很低，且政府就核酸检测法给子检测机构一定的补贴，故检测机构推出组团选择核酸检测优惠政策如下：无论是检测一次还是次，每组所有个体共收费700元少于10个个体的组收费金额不变已知某企业现有员工107人，准备进行全员检测，拟准备9000元检测费，由于时间和设备条件的限制，采用核酸检测法合并个体的组数不得高于参加采用抗体检测法人数，请设计一个合理的的检测安排方案；Ⅲ设，现有且个个体，若出于成本考虑，仅采用一种检测方法，试问检测机构应采用哪种检测方法？22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ写出曲线C的普通方程和极坐标方程；Ⅱ，N为曲线上两点，若，求的最小值．23.定义区间的长度为，已知不等式的解集区间长度为1．Ⅰ求m的值；Ⅱ若a，，，，求的最小值及此时a，b的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，复数的虚部为．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，，．故选：C．求出集合A和B，由此能求出．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：数列为等比数列，“，是方程的两根”，，“”；反之，满足“”的一元二次方程有无数个，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故选：A．“，是方程的两根”“”；反之，满足“”的一元二次方程有无数个．本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：抛物线上一点，可得：，解得；抛物线，即，准线方程为：．抛物线上一点到其准线的距离为：．故选：B．求出a，然后利用抛物线的定义转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由直线与直线互相垂直，所以，即；又a、b为正实数，所以，即，当且仅当，时取“”；所以ab的最大值为．故选：B．由两直线垂直求出，再利用基本不等式求出ab的最大值．本题主要考查了两条直线垂直的定义与性质应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是基础题．6.答案：D解析：解：每月最低气温与最高气温的线性相关系数，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，由所给的折线图可以看出月温差月最高气温月最低气温的最大值出现在10月，月的月温差相对于月，波动性更大，每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第六个月开始减少，所以ABC正确，D 错误；故选：D．由所给的折线图，可以进行分析得到ABC正确，D错误．本题主要考查变量间的相关关系，折线图的分析，属于基础题．7.答案：D解析：解：依题意，输出的．由题意可知循环变量i的初值为1，终值为2010，步长值为1，循环共执行2010次，可得中填入的可以是，又S的值为正奇数倒数正负交错相加，可得中填入的可以是，故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：A解析：解：在21组随机数中，代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是：1234，1224，3124，1224，4312，2234，共6组，恰好在第4次停止摸球的概率．故选：A．在21组随机数中，利用列举法求出代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数共6组，由此能估计恰好在第4次停止摸球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：解：函数为偶函数，当时，由常见不等式可知，，函数在上单调递增，又由指数函数增长性可知，选项B符合题意．故选：B．易知函数为偶函数，且当时，单调递增，结合指数函数的图象及性质即可得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．判断，则，说明三角形是等腰直角三角形，设，利用双曲线的定义求出，在中，结合勾股定理推出，即可求解双曲线C的离心率．【解答】解：以PQ为直径的圆经过点，则，又，可知，则，故三角形是等腰直角三角形，设，则，由双曲线的定义可知：，，可得，则，即，则，在中，，，由勾股定理可知，则双曲线C的离心率为：．故选：C．11.答案：A解析：解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得，，是二面角的平面角，，由题意得平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径，由题意知，，，，连结OD，在中，，，，球O的表面积为．故选：A．取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得，，是二面角的平面角，，由题意得平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径，由此能求出球O的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：解：的图象如图：由题意可得，当时，不等式，可得；所以，此时或；时，函数的零点为．当时，不等式，可得，时，，当，，，，，时，不等式恰有两个整数解，整数解为：，和，综上，，，，，，0，共有7个值．故选：B．画出函数的图象，利用x的范围，讨论m值，得到选项．本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：解析：解：，，，，解得．故答案为：．利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出．本题考查了向量的坐标运算和向量共线定理，属于基础题．14.答案：54解析：解：令，有，解得，所以展开式通项为：，令得，．故常数项为：．故答案为：54．先利用赋值法求出n的值，然后利用展开式通项求常数项．本题考查二项式展开式的通项，以及利用通项研究系数的问题．属于基础题．15.答案：3解析：解：由题意可得：，即，公差，解得．．．．数列是等差数列，则，当且仅当时取等号，的最小值为3．故答案为：3．由题意可得：，即，公差，解得可得代入变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的求和公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：直线MN分别与直线，交于E，F两点，连接AE，AF，分别与棱，交于G，H两点，连接GN，MH，得到截面五边形AGNMH，向平面作投影，得到五边形，由点M，N分别是棱，的中点，可得，由∽，可得，同理，则，，则，故答案为：．由图象可得投影为五边形，利用三角形相似性质得到，，进而求得，，则可得本题考查正方体截面投影面积的求法，考查数形结合思想，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ，，，，，，即，即，，，可得，可得的形状为等腰三角形；Ⅱ设，，，在中，由正弦定理可得，即，在中，由正弦定理可得，即，即，，，，，，，．解析：Ⅰ由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，结合范围，可得，即可判断的形状为等腰三角形；Ⅱ设，，，在，中，由正弦定理可得，利用三角函数恒等变换的应用可求，结合，可求tan A的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：依题意，在中，，，，由余弦定理及勾股得，，即，在图中，，，，，，，平面BCNM，平面PMN，平面平面BCNM．Ⅱ解：以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，2，，0，，，2，，，设平面MPD的一个法向量y，，则，取，得1，，设平面PDC的法向量b，，则，取，得，设二面角的平面角为，由图知是钝角，．二面角的余弦值为．解析：Ⅰ推导出，即，，从而平面BCNM，由此能证明平面平面BCNM．Ⅱ以N为坐标原点，NM为x轴，NC为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ因为，可得，，由，可得为BC的中点，所以，即，所以，即，，，所以椭圆的方程为；Ⅱ由Ⅰ可得，右焦点为，因为，所以，所以，又，直线AM，AN的斜率互为相反数，设直线AM：，联立椭圆方程，消去y，可得，设，，则，所以，将k换为，同理可得，，，，所以直线l的方程为，即．解析：Ⅰ运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，结合三角形的面积公式和线段的中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；Ⅱ求得A的坐标和右焦点坐标，运用等腰三角形的性质，可得线AM，AN的斜率互为相反数，设直线AM：，联立椭圆方程，运用韦达定理，求得，同理可得，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到k，进而得到所求直线方程．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和斜率公式，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．20.答案：解：，，当时，恒成立，在上单调递减，不合题意；当时，由可得，可得，故函数在上单调递减，在上单调递增，故，由，即，可得，故a的范围，，不妨设，因为，所以，，又，故，令，，则，故在上单调递增，，即，即，故．解析：先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，然后结合单调性及极值的关系可求a，先代入整理可得，结合结果特点构造函数，结合导数进行证明．本题主要考查了函数与单调性，极值的关系的应用及利用导数证明不等式，还考查了学生的逻辑推理与运算的能力．21.答案：解：Ⅰ现有100个个体采取抗体检测法，其中恰有一个检测出为阳性的概率为：．Ⅱ设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法，则由条件知：，x，，总检测费用为．画出可行域如图：由，解得，则在可行域内临近A点的整点有，，此时，，即安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低．Ⅲ设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX，采用核酸检测，检测机构成本期望为EY，由已知得，设采用核酸检测法检测次数为，则的取值只有1和，且，，，，设，则，即，，，，即，设，，则，由，得，，得，在上单调递减，在上单调递增，又，，，当，时，，当时，采用抗体检测法，当，时，采用核酸检测法．解析：Ⅰ利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出其中恰有一个检测出为阳性的概率．Ⅱ设安排x个个体采用抗体检测法，y组个体采用核酸检测法，则由条件知：，x，，总检测费用为利用线性规划能求出安排17人采取抗体检测法，90人采用核酸检测法，或者安排10人采取抗体检测法，97人采用核酸检测法，可使所有员工参加检测，且费用偏低．Ⅲ设采用抗体检测法，检测机构成本期望为EX，采用核酸检测，检测机构成本期望为EY，由已知得，求出，设，推导出，从而，设，，则，由此能求出当时，采用抗体检测法，当，时，采用核酸检测法．本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、线性规划、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为，整理得．根据，转换为极坐标方程为．Ⅱ，N为曲线上两点，设对应的极径为，，所以，．所以，由于，解得，所以，即，故，当且仅当时，等号成立．故，即．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：Ⅰ由，得，，，，由原不等式的解集区间长度为1得原不等式的解集为，则，即．Ⅱ由Ⅰ知，又，，，，，，即，，即．当且仅当，即时等号成立，取得最小值1．解析：Ⅰ由已知得，，再脱绝对值解不等式，利用区间长度为1解m．Ⅱ把化简变形利用和基本不等式可求解．本题考查了基本不等式的应用及多项式的化简，属于中档题．。
2020届重庆市高考数学三模试卷(理科)(有答案)(加精)
重庆市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．13．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．244．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．465．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．2169．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．重庆市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|＜x≤3} B．{x|＜x＜3}C．{x|≤x＜2}D．{x|＜x＜2}【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【分析】首先化简集合A和B，然后根据V enn图求出结果．【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}图中的阴影部分表示集合N去掉集合M∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}故选：B．2．已知复数z=1+，则1+z+z2+…+z2016为（）A．1+i B．1﹣i C．i D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】化简复数，然后利用复数单位的幂运算求解即可．【解答】解：复数z=1+=1+=i．1+z+z2+…+z2016=1+i+i2+…+i2016=1．故选：D．3．（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=（）A．1024 B．243 C．32 D．24【考点】二项式系数的性质．【分析】由于|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1，即可求得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值．【解答】解：由题意（1﹣3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5可得，|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于（1+3x）5的各项系数和，故在（1+3x）5的展开式中，令x=1可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=45=1024，故选：A．4．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A．43 B．44 C．45 D．46【考点】程序框图．【分析】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n﹣1，然后判断p＞2016是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n﹣1，成立时算法结束，输出n的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问题．当前n项和大于2016时，输出n的值．【解答】解：框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，执行n=1+1=2，p=1+（2×2﹣1）=1+3=4；判断4＞2016不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3﹣1）=1+3+5=9；判断9＞2016不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4﹣1）=1+3+5+7=16；…由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，由p=＞2016，且n∈N*，得n=45．故选：C．5．给出下列四个结论：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.2．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：①“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故为假命题，故错误；②若x，y∈R，当“x≥2或y≥2”时，“x2+y2≥4”成立，当“x2+y2≥4”时，“x≥2或y≥2”不一定成立，故“x ≥2或y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件，故正确；③当x=0时，y=log a（x+1）+1=1恒成立，故函数y=log a（x+1）+1（a＞0且a≠0）的图象必过点（0，1），故正确；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1，故错误；故选：C6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，进而可得其侧视图的面积．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．7．已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5）D．[，5）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．8．某中学学生社团活动迅猛发展，高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）A．72 B．108 C．180 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，分2步讨论，首先分析甲，因为甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，此时分甲单独参加一个社团与甲与另外1人参加同一个社团，2种情况讨论，由加法原理，可得第二步的情况数目，进而由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，必有2人参加同一个社团，首先分析甲，甲不参加“围棋苑”，则其有3种情况，再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A44=24种情况，若甲是1个人参加一个社团，则有C42•A33=36种情况，则除甲外的4人有24+36=60种情况；故不同的参加方法的种数为3×60=180种；故选C．9．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos （β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D11．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（）A．a，a B．a，C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=2a，转化为|AF1|﹣|AF2|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】解：根据题意得F1（﹣c，0），F2（c，0），设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A1，B1，与F1F2切于点A，则|PA1|=|PB1|，|F1A1|=|F1A|，|F2B1|=|F2A|，又点P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|F1A|﹣|F2A|=2a，而|F1A|+|F2A|=2c，设A点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|=2a，得（x+c）﹣（c﹣x）=2a，解得x=a，∵|OA|=a，∴在△F1CF2中，OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）==a，∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．故选：A．12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，）C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】二次函数的性质．【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，当x=1时，使F（1）=≠0；当x≠1时，解得a=，∴a′==0，得x=2或x=，（＜1，舍去），x （1，2） 2 （2，4）a′+0 ﹣a ↗最大值↘∴当x=2时，a最大==，所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=9．【考点】等差数列的性质；定积分的简单应用．【分析】先利用定积分求得，再根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵=（x2+x）|02=5，∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为8千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【分析】利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程y=bx+a，通过x=2，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由题意知，n=10，==8，=y i=2，b===0.3，a=﹣b=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴线性回归方程为y=0.3x﹣0.4，当y=2时，x=8，故答案为：8．16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，可得公共弦的方程为（2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，即（﹣2a）x+（﹣2•ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣a），当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，即：2ax+2by=a2+8．O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9 ①．令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离为==，故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．故答案为：2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，A+3C=B，（1）求cosC的值；（2）若b=3，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）把A+3C=B代入A+B+C=π得B=+C，可得sinB=cosC＞0，由条件和正弦定理化简后，利用平方关系求出cosC的值；（2）由条件求出边c的值，由（1）和平方关系求出cosB和sinC的值，利用两角和的正弦公式求出sinA 的值，代入三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意得A+3C=B，则A=B﹣3C，代入A+B+C=π得，B=+C，所以sinB=cosC＞0，∵，∴由正弦定理得，，则，①又sin2C+cos2C=1，②由①②得，cos2C=，则cosC=；（2）∵，b=3，∴c=，由（1）知sinB=cosC=，且B=+C，∴cosB=﹣=﹣，同理可得sinC=，则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+（﹣）×=∴△ABC的面积S===．18．市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动小组对2014年1月﹣2014年12月（一月）内空气质量指数API进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：指数API [0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中重度污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15（Ⅰ）若市某企业每天由空气污染造成的经济损失P（单位：元）与空气质量指数API（记为t）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失P∈若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100下面临界值表功参考．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：．【考点】独立性检验．【分析】（Ⅰ）由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，即可求出概率；（Ⅱ）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈=…．（Ⅱ）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100…．K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…所以有95%的把握认为A市本年度空气重度污染与供暖有关．…19．在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）设Q为棱PC上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q﹣BD﹣P为60°．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，通过面面垂直的判定定理即得结论；（2）过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．则∠QNM是二面角Q﹣BD ﹣P的平面角，在Rt三角形MNQ中利用tan∠MNQ=计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PCD，DC⊂平面PDC，图1所示．∴AD⊥PD，AD⊥DC，在梯形ABCD中，过点作B作BH⊥CD于H，在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°，又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC=D．AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD．∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：过点Q作QM∥BC交PB于点M，过点M作MN⊥BD于点N，连QN．由（1）可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，∵QM∩MN=M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2所示．∴∠QNM是二面角Q﹣BD﹣P的平面角，∴∠QNM=60°，∵，∴，∵QM∥BC，∴，∴QM=λBC，由（1）知，∴，又∵PD=1，MN∥PD，∴，∴MN===1﹣λ，∵tan∠MNQ=，∴，∴．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与定直线l2：x=4交于点P，试探索当m变化时，直线BP 是否过定点？【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C 的右焦点F，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），从而得到满足题意的定点只能是（，0），设为D点，再证明P、B、D三点共线．由此得到BP恒过定点（，0）．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，直线l：x﹣my﹣1=0（m∈R）过椭圆C的右焦点F，∴由题设，得，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程为=1．（Ⅱ）令m=0，则A（1，），B（1，﹣）或A（1，﹣），B（1，），当A（1，），B（1，﹣）时，P（4，），直线BP：y=x﹣，当A（1，﹣），B（1，）时，P（4，﹣），直线BP：y=﹣x+，∴满足题意的定点只能是（，0），设为D点，下面证明P、B、D三点共线．设A（x1，y1），B（x2，y2），∵PA垂直于y轴，∴点P的纵坐标为y1，从而只要证明P（4，y1）在直线BD上，由，得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，∵△=144（1+m2）＞0，∴，，①∵k DB﹣k DP=﹣=﹣==，①式代入上式，得k DB﹣k DP=0，∴k DB=k DP，∴点P（4，y1）恒在直线BD上，从而P、B、D三点共线，即BP恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数f′（x）=e x﹣m，则f′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF 的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）求证：AM•MB=DF•DA．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM•MB，再利用切割线定理得到DC2=DF•DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．【解答】证明：（1）连接OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA，∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OAC=∠FAC∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AD．…∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM•MB．又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF•DA．∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，∴AM•MB=DF•DA…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（1，1），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．把代入上述方程即可化为直角坐标方程．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的方程为ρsin2θ=4cosθ，即ρ2sin2θ=4ρcosθ．化为直角坐标方程：y2=4x．（Ⅱ）直线l经过点P（1，1）（t=0时），把直线l的参数方程（t为参数），代入抛物线方程可得：t2+6t﹣6=0，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x+5|．（Ⅰ）试求使等式f（x）=|2x+1|成立的x的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）f（x）=|x﹣4|+|x+5|和f（x）=|2x+1|，根据绝对值不等式，对|x﹣4|+|x+5|放缩，注意等号成立的条件，（Ⅱ）把关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，转化为关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）+（x+5）|=|2x+1|，当且仅当（x﹣4）（x+5）≥0，即x≤﹣5或x≥4时取等号．所以若f（x）=|2x+1|成立，则x的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[4，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣4|+|x+5|≥|（x﹣4）﹣（x+5）|=9，所以若关于x的不等式f（x）＜a的解集非空，则a＞f（x）min=9，即a的取值范围是（9，+∞）．。
2020年高考理科数学全国3卷(word版,含答案)
1.【ID:4002701】已知集合，，则中元素的个数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：集合，，．中元素的个数为．故选：C．2.【ID:4002702】复数的虚部是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，复数的虚部是．故选：D．3.【ID:4002703】在一组样本数据中，，，，出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：选项A：，所以；同理选项B：，；选项C：，；选项D：，；故选：B．4.【ID:4002704】模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选：C．5.【ID:4002705】设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：将代入抛物线，可得，，可得，即，解得，所以抛物线方程为：，它的焦点坐标．故选：B．6.【ID:4002706】已知向量，满足，，，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：向量，满足，，，可得，．故选：D．7.【ID:4002707】在中，，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：在中，，，，由余弦定理可得；故；，故选：A．8.【ID:4002708】右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，，、、两两垂直，故，几何体的表面积为：，故选：C．9.【ID:4002709】已知，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由，得，即，得，即，即，则，故选：D．10.【ID:4002710】若直线与曲线和圆都相切，则的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：直线与圆相切，那么直线到圆心的距离等于半径，四个选项中，只有A，D满足题意；对于A选项：与联立可得：，此时：无解；对于D选项：与联立可得：，此时解得；直线与曲线和圆都相切，方程为，故选：D．11.【ID:4002711】设双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，设，，可得，，，，可得，可得，解得．故选：A．12.【ID:4002712】已知，．设，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，；，，，；，，，，综上，．故选：A．13.【ID:4002713】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】7【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由解得，如图，当直线过点时，目标函数在轴上的截距取得最大值时，此时取得最大值，即当，时，．故答案为：．14.【ID:4002714】的展开式中常数项是________（用数字作答）．【答案】24015.【ID:4002715】已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】【解析】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线，底面半径，则其高，不妨设该内切球与母线切于点，令，由，则，即，解得，，故答案为：．16.【ID:4002716】关于函数有如下四个命题：①的图象关于轴对称．②的图象关于原点对称．③的图象关于直线对称．④的最小值为．其中所有真命题的序号是________．【答案】②③【解析】解：对于①，由可得函数的定义域为，故定义域关于原点对称，由；所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；对于③，由，所以该函数关于对称，③对；对于④，令，则，由双勾函数的性质，可知，，所以无最小值，④错；故答案为：②③．17. 设数列满足，．（1）【ID:4002717】计算，，猜想的通项公式并加以证明．【答案】见解析【解析】解：，，，，由此可猜测的通项公式为．证明：当时，左边，右边，等式成立．假设当时等式成立，即，则当时，，等式成立．综上所述，对都成立．（2）【ID:4002718】求数列的前项和．【答案】，【解析】解：由得，，，①，②，得：，综上，数列的前项和，．18. 某学生兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：（1）【ID:4002719】分别估计该市一天的空气质量等级为，，，的概率．【答案】见解析【解析】解：设表示事件“该市一天的空气质量等级”．由表格数据得：；；；．（2）【ID:4002720】求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【答案】【解析】由题意得：一天中到该公园锻炼的平均人次的估值一天中到该公园锻炼的平均人次的估值为．（3）【ID:4002721】若某天的空气质量等级为或，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为或．则称这天“空气质量不好”，根据所给数据，完成下面的列联表．并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：，【答案】见解析【解析】由题意得：(空气质量好，人数)；(空气质量好，人数)；(空气质量不好，人数)；(空气质量不好，人数)；，可以有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．（1）【ID:4002722】证明：点在平面内．【答案】见解析【解析】解：连接，；取的三等分点，，且，四边形为平行四边形，，又长方体性质易得：，，，，，在同一平面内，在平面内．（2）【ID:4002723】若，，，求二面角的正弦值．【答案】【解析】解：以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，在长方体内建立空间直角坐标系，易得：，，，，，，，，设平面的法向量，则，，令，则可以为，设平面的法向量，，，令，则可以为，，二面角的正弦值为．20. 已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右顶点．（1）【ID:4002724】求的方程．【答案】【解析】，，，，即，的方程为．（2）【ID:4002725】若点在上，点在直线上，且，，求的面积．【答案】【解析】设，，，则，，①，又，②，由①，，代入②式：，，，不妨设，代入①：，时，；时，；，或，，①，，，：，即，且，，．②，，，：，即，且，，，综上所述，．方法：由，设，点，根据对称性，只需考虑的情况，此时，，，有①，又，②，又③，联立①②③得或，当时，，，，同理可得当时，，综上，的面积是．21. 设函数，曲线在点处的切线与轴垂直．（1）【ID:4002726】求．【答案】【解析】解：，，．（2）【ID:4002727】若有一个绝对值不大于的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于．【答案】见解析【解析】，，令，，，，，，，时，，，，，，，若，，则，则，，，，所有零点都在上．解法：设为的一个零点，根据题意，，且，则，由，令，，当时，，当时，可知在，上单调递减，在上单调递增．又，，，，．设为的零点，则必有，即，，得，即．所有零点的绝对值都不大于．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数且)，与坐标轴交于，两点．（1）【ID:4002728】求．【答案】【解析】解：与坐标轴交于，，则令或，即或，则或(舍)或或(舍)，，，，，，，则，坐标为，，．（2）【ID:4002729】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．【答案】【解析】：，即，由，，则直线极坐标方程为：．23. 设，，，，．（1）【ID:4002730】证明：．【答案】见解析【解析】解：，且，，．（2）【ID:4002731】用表示，，的最大值，证明：．【答案】见解析【解析】不妨设为最大值，，则由，，，，，即．。
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三
视图，则该三棱锥的外接球的体积为
A.
B.
C.
D.
10.若将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，且 的 图象关于原点对称，则 的最小值为
A. B. C. D.
11.已知双曲线 的右焦点为F，过F作直线的垂线，垂足为M，
10
2
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20Байду номын сангаас
3
超过12000至25000元的部分
20
某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，扣除 险金后，制成下面的频数分布表：
收入
元
人数
10
20
25
20
15
10
Ⅰ估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少？
本题主要考查两个向量的夹角的求法，直角三角形中的边角关系，属于中档题．
【解答】
解： 两个非零向量 ， 满足 ，如图， 设 ， ，则 ， ， 则四边形OACB为矩形 ， ．
设向量 与 夹角为 ，则 ，
5.答案：B
解析： 解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p的值， 可得程序框图实质是计算排列数 的值， 当 ， 时，可得： ．
2020
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知全集 ，集合 ， ，则
A.
C.
2.已知复数z满足，则其共轭复数 在复平面内对应的点在
3.
A.
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 函数 在 的图象大致为
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国Ⅲ卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合*{()|}A x y x y y x =∈N ，，，，{()|8}B x y x y =+=，，则A B 中元素的个数为（ ） A.2 B.3C.4D.62.复数113i-的虚部是（ ） A.310-B.110-C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234p p p p ，，，，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A.140.1p p ==，230.4p p == B.140.4p p ==，230.1p p == C.140.2p p ==，230.3p p ==D.140.3p p ==，230.2p p ==4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1e t K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数.当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）（ ） A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线22(0)C y px p =>：交于D E ，两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A.(14)0， B.(12)0， C.(10)， D.(20)，6.已知向量a b，满足||5||66===-a b a b，，⋅，则cos+=a a b，（）A.3135- B.1935- C.1735D.19357.在ABC中，2cos3C=，4AC=，3BC=，则cos B=（）A.19B.13C.12D.238.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.62+ B.442+ C.623+ D.423+9.已知π2tan tan()74θθ-+=，则tanθ=（）A.2-B.1-C.1D.210.若直线l与曲线y x=和圆2215x y+=都相切，则l的方程为（）A.21y x=+ B.122y x=+ C.112y x=+ D.1122y x=+11.设双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的左、右焦点分别为1F，2F5.P是C上一点，且12F P F P⊥.若12PF F的面积为4，则a=（）A.1B.2C.4D.812.已知5458<，45138<.设5log3a=，8log5b=，13log8c=，则（）A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东省临沂市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年山东省临沂市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|ln x＜1}，B={-2，-1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A. {1}B. {1，2}C. {-2，-1，0，1}D. {-2}2.已知复数z满足（z-i）i=2+i，则=（）A. B. C. D.3.2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40%；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A. 1B. 2C. 3D. 44.已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值与最小值之和为（）A. 4B. 6C. 8D. 105.从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A. B. C. D.6.函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x+1）|+g（x+1），则下列结论中正确的是（）A. h（x）的图象关于（1，0）对称B. h（x）的图象关于（-1，0）对称C. h（x）的图象关于x=1对称D. h（x）的图象关于x=-1对称7.秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法是将f（x）=2019x2018+2018x2017+2017x2016+...+2x+1化为f（x）=（...（（2019x+2018x）x+2017）x+ (2)x+1再进行运算，在计算f（x0）的值时，设计了如图程序框图，则在◇和□中可分别填入（）A. n≥2和S=Sx0+nB. n≥2和S=Sx0+n-1C. n≥1和S=Sx0+nD. n≥1和S=Sx0+n-18.在△ABC中，B=45°，D是BC边上一点，AD=，AC=4，DC=3，则AB的长为（）A. B. C. D.9.若双曲线的一条渐近线被圆x2+（y-2）2=2所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）A. B. 2 C. D.10.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（）A. 2B.C.D. 111.若函数f（x）=x2-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1﹣x2）＝（）A. -B. -C. -D. -二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，满足：||=3，||=4，||=，则||=______．14.已知函数f（x）=log a（x-1）-1（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，若点A在角α的终边上，则cos2α-sin2α=______．15.在的展开式中，x3项的系数为______．16.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，AF⊥BF，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，则的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足．（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．18.如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，点E是CD的中点，将△BEC沿BE折起到△BEC′的位置，使二面角C′-BE-C是直二面角．（1）证明：BC′⊥平面AEC’；（2）求二面角C′-AB-E的余弦值．19.已知椭圆C：的离心率为，且与抛物线y2=x交于M，N两点，△OMN（O为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点）F1，F2为左、右焦点，AF2的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求△ABC面积的最大值．20.在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的A、B两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如表：月薪（百万）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）人数203644504010将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关？非高薪收入群体高薪收入群体合计A专业B专业20110合计（2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X（单位：百元）近似地服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值）．若X落在区间（μ-2σ，μ+2σ）的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导．①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费，月薪不低于μ的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞Z及对应的概率分别为：赠送话费Z（单位：元）60120180概率则李阳预期获得的话费为多少元？附：，其中，n=a+b+c+d．21.已知函数．（1）若m∈（-1，1），求函数f（x）的单调区间；（2）若m∈，则当x∈[0，2m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在不等式y＞x所表示的平面区域内，请写出判断过程．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）射线与圆C的交点为O，M，与直线l的交点为N，求|OM|•|ON|的取值范围．23.已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|2x-3|+2．（1）解不等式g（x）＜5；（2）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|0＜x＜e}；∴A∩B={1，2}．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2.答案：A解析：解：复数z满足（z-i）i=2+i，则z-i==1-2i，∴z=1-i，∴==．故选：A．根据复数的定义与运算性质，计算即可．本题考查了复数的定义与计算问题，是基础题．3.答案：C解析：解：对于①，除2012年外，每年市场规模量逐年增加，即①错误，对于②，增长最快的一年为2013～2014，且增量为6.7（十亿美元），即②正确，对于③，这8年的增长率约为40%，因为45.3×（1+40%）=63.42≈63.5，即③正确，对于④，分析数据可得：2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，即④正确，即②③④正确，故选：C．先对图表数据进行分析再结合频率分布折线图逐一判断即可得解．本题考查了对图表数据的分析及频率分布折线图，属中档题．4.答案：C解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知：A（0，2），B（2，2），且A，B分别为目标函数z=2x+y取得最大值和最小值的最优解，则z min=2×0+2=2，z max=2×2+2=6，∴z=2x+y的最大值和最小值之和等于8．故选：C．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标分别代入目标函数求得最小值和最大值，则z=2x+y的最大值和最小值之和可求．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n=3×3=9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m=1×3+1×2=5．∴这个两位数是偶数的概率为p==．故选：D．基本事件总数n=3×3=9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m=1×3+1×2=5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．6.答案：D解析：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，设h（x）=|f（x+1）|+g（x+1），设t=x+1，则x=t-1，则h（x）=|f（x+1）|+g（x+1）等价为h（t-1）=|f（t）|+g（t），则h（-t-1）=|f（-t）|+g（-t）=|-f（t）|+g（t）=|f（t）|+g（t）=h（t-1，则h（x）共有x=-1对称，故选：D．利用换元法结合函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，利用换元法结合对称性的定义是解决本题的关键．7.答案：C解析：解：模拟程序的运行，由题意，n为x的次数，初值为2018，终值为0，步长值为-1，即当n≥1时继续循环，否则退出循环，故处可填n≥1？．结合已知函数表达式及循环语句可得：处应填S=Sx0+n．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：D解析：解：△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC==，∴sin∠ADB=sin∠ADC=，△ABD中，由正弦定理可得，，∴AB==2．故选：D．在△ADC中，先由余弦定理求cos∠ADC，然后结合诱导公式及同角基本关系求sin∠ADB=sin∠ADC，△ABD中，由正弦定理可得，，代入可求．本题主要考查了利用正弦定理，余弦定理求解三角形，属于中档试题．9.答案：B解析：解：双曲线的渐近线方程为y=，由对称性，不妨取y=，即bx-ay=0．圆x2+（y-2）2=2的圆心坐标为（0，2），半径为，则圆心到准线的距离d=，∴，解得e=．故选：B．写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解．本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．10.答案：A解析：解：首先把三视图转换为几何体，该几何体为：底面为半圆的圆锥体的一半，所以：该圆锥的母线长为：，截面扇形面积为：S=，当时，界面的最大值为．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.答案：C解析：解：函数f（x）=x2-ke x在（0，+∞）上单调递减，则：f′（x）=2x-ke x在（0，+∞）上有f′（x）≤0恒成立，即：k≥在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，则求g（x）=在（0，+∞）上的最大值即可．g′（x）=；可知在x=1时，g（x）在（0，+∞）上有最大值g（1）=∴在（0，+∞）上，k≥，即k≥，则k的取值范围为：k≥，故选：C．利用基本初等函数的性质和函数的导数，对选项逐项判断即可本题考查函数的单调性，需要熟练应用常用函数的性质和图象，属于中档题目．12.答案：B解析：解：因为0＜x＜，∴，又因为方程的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），∴，∴，∴，因为，∴0＜x1＜，∴，∴由，得，∴，故选：B．由已知可得，结合x1＜x2求出x1的范围，再由求解即可．本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．13.答案：3解析：解：因为||=3，||=4，||=，由||2+||2=2（||2+||2），所以||2=2（9+16）-41=9，所以||=3，故答案为：3．由向量模的运算得：由||2+||2=2（||2+||2），所以||2=2（9+16）-41=9，所以||=3，得解．本题考查了向量模的运算，属简单题．14.答案：解析：解：令x-1=1，求得x=2，y=-1，故点A的坐标为（2，-1）．再根据任意角的三角函数的定义，可得cosα==，sinα==-，可得：cos2α-sin2α=2cos2α-1-sin2α=，故答案为：．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα，sinα的值，再利用二倍角公式求得cos2α-sin2α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．15.答案：40解析：解：的展开式中，x3项的系数为+=40，故答案为：40．由二项式定理得：展开式中x3项的系数为+=40，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．16.答案：解析：解：设|AF|=m，|BF|=n，AF⊥BF，可得|AB|=，由抛物线的定义可得|MN|==，由m2+n2≥2mn，即为2（m2+n2）≥2mn+m2+n2=（m+n）2，当且仅当m=n取得等号，可得≥，即有=≥，当且仅当m=n取得等号，则的最小值为，故答案为：．设|AF|=m，|BF|=n，运用勾股定理和抛物线的定义以及梯形的中位线定理，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的定义和性质，考查梯形的中位线定理，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于基础题．17.答案：解：（1）数列{a n}满足．可得a n+1+2n+1=a n+2n+2，可得数列是首项为3，公差为2的等差数列；（2）a n+2n=3+2（n-1）=2n+1，可得a n=2n+1-2n，S n=（3+5+…+2n+1）-（2+4+8+…+2n）=n（2n+4）-=n2+2n-2n+1+2．解析：（1）在等式的两端同时加2n+1，运用等差数列的定义，即可得到结论；（2）求得a n=2n+1-2n，再由分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于基础题．18.答案：证明：（1）∵AB=2AD=2，点E是CD的中点，∴△ADE，△BCE都是等腰直角三角形，∴∠AEB=90°，即AE⊥BE，又∵二面角C′-BE-C是直二面角，即平面C′EB⊥平面ABE，平面C′EB∩平面ABE=BE，AE⊂平面ABE，∴AE⊥平面C′EB，∵BC′⊂平面C′BE，∴BC′⊥AE，∵BC′⊥EC′，EC′⊂平面AEC′，AE∩EC′=E，∴BC′⊥平面AEC′．解：（2）如图，取BE的中点O，连结C′O，过O点作OF⊥AB，连结C′F，∵C′B=C′E，∴C′O⊥BE，∵平面C′EB⊥平面ABE，平面C′EB∩平面ABE=BE，C′O⊂平面C′EB，∴平面C′O⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴C′O⊥AB，∵OF⊥AB，C′O∩OF=O，∴AB⊥平面C′FO，∴C′F⊥AB，∴∠C′FO即为二面角C′-AB-E的平面角，在Rt△C′BE中，C′E=C′B=1，∴BE=，∴C′O=，又OF∥BC，O为BE的中点，∴OF=，∴C′F==，∴cos∠C′FO===，∴二面角C′-AB-E的余弦值为．解析：（1）推导出AE⊥BE，AE⊥平面C′EB，BC′⊥AE，BC′⊥EC′，由此能证明BC′⊥平面AEC′．（2）取BE的中点O，连结C′O，过O点作OF⊥AB，连结C′F，则C′O⊥BE，从而平面C′O⊥平面ABE，进而C′O⊥AB，由OF⊥AB，得AB⊥平面C′FO，C′F⊥AB，进而∠C′FO即为二面角C′-AB-E的平面角，由此能求出二面角C′-AB-E的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.答案：解：（1）椭圆C：与抛物线y2=x交于M，N两点，可设M（x，），N（x，-），∵△OMN的面积为，∴，解得x=2，∴M（2，），N（2，-），由已知得，解得，b=c=2．∴椭圆C的方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨取A（），B（），C（），故；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-8=0．△=64k4-4（1+2k2）（8k2-8）=32（k2+1）＞0．．|AB|===．点O到直线kx-y-2k=0的距离d=，∵O是线段AC的中点，∴点C到直线AB的距离为2d=．∴．∵，又k2≠k2+1，∴等号不成立，∴＜．综上，△ABC面积的最大值为．解析：（1）由已知结合△OMN的面积为，求得M（2，），N（2，-），再由椭圆离心率及点M的坐标可得关于a，b，c的方程组，求解即可得到椭圆C的方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨取A（），B（），C（），可得△ABC 面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再由点到直线距离公式求点C到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用放缩法求△ABC面积的范围，则△ABC面积的最大值可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）根据题意填写列联表如下，非高薪收入群体高薪收入群体合计A专业603090B专业9020110合计15050200计算K2==≈6.061＞5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关；（2）①月薪频率分布表如下表；月薪（百万）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）人数203644504010频率0.10.180.220.250.20.05将样本中的频率视为总体的概率，该大学届的大学本科毕业生平均工资为μ=35×0.1+45×0.18+55×0.22+65×0.25+75×0.2+85×0.05=59.2，又月薪X～N（μ，196），∴σ2=196，解得σ=14，∴μ-2σ=59.2-28=31.2，2018届大学本科毕业生李阳的月薪为3500元=35百元＞μ-2δ=31.2百元，∴李阳不属于“就业不理想”的学生；②由①知μ=59.2百元=5920元，所以李阳的工资为3500元，低于μ，可获赠两次随机话费，则所获得的话费Z的取值分别为120、180、240、300和360；计算P（Z=120）=×=，P（Z=180）=××=，P（Z=240）=×+××=，P（Z=300）=××=，P（Z=360）=×=；所以Z的分布列为：Z120180240300360P则李阳预期获赠的话费为E（Z）=120×+180×+240×+300×+360×=200（元）．解析：（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照数表得出结论；（2）①列月薪频率分布表，计算样本中的平均数μ，由X～N（μ，196）求出σ=14，计算μ-2σ的值，比较得出结论；②由①知李阳的工资低于μ，可获赠两次随机话费，得出获得话费Z的取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了概率与离散型随机变量的分布列学期望的计算问题，是中档题．21.答案：解：（1）∵m∈（-1，1），∴△=4m2-4＜0，∴y=x2-2mx+1＞0恒成立，则函数的定义域为R．，①当m=0时，2m+1=1，此时f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，②当0＜m＜1时，1＜2m+1＜3，x∈（-∞，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，2m+1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（2m+1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；③-1＜m＜0时，1＜2m+1＜1，x∈（-∞，2m+1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（2m+1，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，①当m=0时，f（x）在R上单调递增，②当0＜m＜1时，f（x）在（-∞，1），（2m+1，+∞）上递增，在（1，2m+1）上递减；③当-1＜m＜0时，f（x）在（-∞，2m+1），（1，+∞）上递增，在（2m+1，1）上递减．（2）当m∈（0，]时，由（1）知f（x）在[0，1]上递增，[1，2m+1]上递减，令g（x）=x，则g（x）在R上为增函数．函数y=f（x）的图象总在不等式y＞x所表示的平面区域内，等价于函数y=f（x）的图象总在g（x）的图象上方．当x∈[0，1]时，f（x）min=f（0）=1，g（x）min=g（x）=1，则函数y=f（x）的图象在g（x）的图象上方；当x∈[1，2m+1]时，函数单调递减，∴，g（x）max=g（2m+1）=2m+1，则需判断与2m+1的大小，令x=2m+1，∵，∴，即可判断e x与x（x+1）的大小，令u（x）=e x-x（x+1），u′（x）=e x-2x-1，u″（x）=e x-2，∵，∴u″（x）＞0恒成立，u′（x）在x∈（1，]上单调递增；又∴，故u（x）在（1，t）单调递减，在（t，]单调递增，，且u（t）在上单调递减，∴，则e x＞x（x+1），即得证函数y=f（x）的图象总在不等式y＞x所表示的平面区域内．解析：（1）对函数进行求导，由于一次导数无法直接判断正负，即可进行多次求导．（2）将问题转化为比较函数的大小，利用作差法构造新函数，对其进行求导求单调性求极值，以此证明．本题考查利用导数研究函数的单调性，有一定的综合性，属于难题．22.答案：解：（1）圆C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为：（x-1）2+y2=1，转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ．直线l的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为：．（2）设M（ρ1，θ1），由于点M在圆C上，故：ρ1=2cosθ1，点N在直线l上，故：，故：|OM||ON|=ρ1•ρ2，=，=，由于，整理得：，故：|OM|•|ON|的取值范围为[1，3]．解析：直接利用转换关系，把方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出三角函数的值的范围，进一步求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础性题．23.答案：解：（1）由|2x-3|+2＜5，得 0＜x＜3，（2）由题意对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|2x-3|+2≥2，所以|a+3|≥2⇒a≥-1或a≤-5．解析：（1）利用绝对值不等式转化求解即可．（2）求出函数的值域，利用函数的值域的包含关系，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，绝对值不等式的解法，考查计算能力．。
安徽省合肥市2020届高三高考数学(理科)三模试卷及答案解析
安徽省合肥市2020届高三高考数学（理科）三模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则()R C A B =（ ）A.{}23x x << B.{}23x x ≤<C.{}023x x x <≤<或D.{}023x x x ≤≤<或2.若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，z 1＝1+i ，则12z z ⋅＝（ ） A.﹣2B.﹣2iC.2D.2i3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为（ ） A.59B.49C.445D.21354.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个顶点到一条渐近线的距离为2a ，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.35.“关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是（ ） A.113a << B.12a ≥C.213a << D.112a ≤<6.已知tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝（ ）A.19C.137.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（ ）A.10101010887⨯-斗B.9101010887⨯-斗C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +b ＝2c cos B ，则2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A. B.3C. D.49.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（ ）A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝6，AA 1＝2，M 为棱BC 的中点，动点P 满足∠APD ＝∠CPM ，则点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线长等于（ ）A.23πB.πC.43π11.已知不等式e x ﹣x ﹣1＞m [x ﹣ln （x +1）]对一切正数x 都成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.（﹣∞，1]D.（﹣∞，e ]12.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝G ，H 分别为直线BC ，CD 上的动点，AH 交DG 于点P .若2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），矩形ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是点N ，则PMN 的周长为（ ）A.12B.16C.24λD.32λ第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．14.在544x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 2的系数为______. 15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16.已知三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c .点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为S A ，S B ，S C ，S D .在下列所给的命题中，正确的有______.（请写出所有正确命题的编号） ①三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为（a 2+b 2+c 2）π； ②S A •S △BCO ＝S D 2； ③S A 3＜S B 3+S C 3+S D 3；④若三条侧棱与底面所成的角分别为α1，β1，γ1，则sin 2α1+sin 2β1+sin 2γ1＝1； ⑤若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为α2，β2，γ2，则cos 2α2+cos 2β2+cos 2γ2＝1.三、解答题（题型注释）17.已知函数()cos (sin )f x x x x ωωω=+（ω＞0）. （1）求函数f （x ）的值域；（2）若方程f （x [0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围. 18.如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，11AC ，M 为线段AC 的中点.（1）求证：平面1BMC ⊥平面11A BC ； （2）求点C 到平面11A BC 的距离.19.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数； （2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.20.已知函数()x x f x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R. （1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：2214x y +=上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点.（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，直线l 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线P A 的位置关系，并说明理由.22.在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23.已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1.D【解析】1.先求得集合{|0R C A x x =≤或2}x ≥，再结合集合的交集运算，即可求解. 由题意，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<， 则{|0R C A x x =≤或2}x ≥，所以()R C A B ={0x x ≤或23}x ≤<.故选：D. 2.B【解析】2.首先求2z ，再根据运算法则求12z z ⋅的值. 由条件可知21z i =--()()12112z z i i i ∴⋅=+--=-，故选：B 3.C【解析】3.基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=，每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区的概率.解：从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，每个小区安排2人，则基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=， 每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为：849045m P n ===， 故选：C 4.D【解析】4.写出其中一条渐近线方程by x a=，整理成一般式0bx ay -=，顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离公式即可求解.渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， 所以顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离2a d ==即12b c =，所以a c =离心率c e a ==故选：D 5.C【解析】5.首先根据题意得到221xxa =+，令2x t =，()111f t t =-+，再根据()f t 的范围结合选项即可得到答案.由题知：()212xxa +=，221xxa =+，令21x t =≥，()1111t f t t t ==-++， 因为1t ≥，11012t <≤+，所以()1,12f t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是213a <<. 故选：C 6.B【解析】6.到1tan 3πα⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而注意到2tan tan 333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并利用两角和差的正切公式计算.11tan 3πα-⎛⎫⎪⎪=-=-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2tan tan 333πππαα+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-==- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,故选：B. 7.B【解析】7.直接根据等比数列的求和公式求解即可． 由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10 项和为10； 设首项为a ；则1071810718a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭-；∴910101010110108878718a ⨯⨯==--. 故选：B ． 8.B【解析】8.应用余弦定理化角为边，然后变形后应用基本不等式可得最小值．由余弦定理得2222cos 22a c b a b c B c ac +-+==⨯，21c ab b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2113b a b c b a b a =+⎛⎫+ ⎭+⎝⎪≥=，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立，所以2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为3．故选：B ． 9.D【解析】9.先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可.3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故349982.48v =≈米/小时350km /h ≈，故选：D 10.A【解析】10.根据∠APD ＝∠CPM ，求出在平面11DCC D 内P 点性质，确定其轨迹后可计算出交线长． 显然在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11DCC D ，PD ⊂平面11DCC D ，∴AD PD ⊥，同理MC PC ⊥，tan tan AD CMAPD CPM PD PC∠==∠=， 因为M 是BC 中点，所以1122CM BC AD ==，∴2PD PC =，在平面11DCC D 内以DC 中x 轴，棱DC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图，则(3,0),(3,0)D C -，设(,)P x y ，由2PD PC =得2222(3)4(3)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得22(5)16x y -+=，所以P 为在以(5,0)H 为圆心，4为半径的圆上，由于14HC =<，因此该圆与11C D 交点，设交点为Q ，圆与CD 交于点K ，则P 点在侧面11DCC D 的轨迹就是圆弧QK ，作QN CD ⊥于N ，则12QN CC ==， 又4HQ =，∴6QHN π∠=，QK 的长度为2463ππ⨯=， 故选：A ．11.C【解析】11.设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，求出函数的导数，通过讨论m 的取值范围，结合函数的单调性判断.由题意可知，当0x >时，()1ln 10xe x m x x ----+>⎡⎤⎣⎦恒成立，设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，则()1111xf x e m x ⎛⎫'=--- ⎪+⎝⎭，()()21x m f x e x ''=-+， ①当0m ≤时，()0f x ''>恒成立，()f x '∴单调递增，()00f '=，0x ∴>时，()()00f x f ''>=，()f x ∴单调递增，又()00f =，0x ∴>时，()()00f x f >=，符合题意，②0m >时，()()321x mf x e x '''=++，()0f x '''∴>恒成立，()f x ''单调递增，()01f m ''=- ，（ⅰ）当10m -≥，即01m <≤时，与①同理，符合题意； （ⅱ）当10m -<，即1m 时，()00f ''<， 当x →+∞时，()0f x ''>，且()f x ''连续，∴由零点存在性定理可知，存在()00x ∈+∞,，使得()00f x ''=00x x ∴<<时，()0f x ''<，()f x '递减，又()00f '=，00x x ∴<<时，()0f x '<，()f x 递减，()00f =，00x x ∴<<时，()0f x <，不合题意，综上，m 的范围是(],1-∞. 故选：C 12.A【解析】12.分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用点斜式可写出直线AH 的方程和直线DG 的方程，然后将其联立成方程组求出点P 的坐标，进一步得到点P 的坐标满足2211612x y +=，最后结合椭圆的定义，求得PMN 的周长.解：分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,(0,(2,0),(2,0)A D M N --,因为2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），所以(8,(4,))H G λλ-， 所以直线AH的方程为82y x x λλ=-=- 直线DG的方程为y x =+=+，联立这两条件直线方程可得点28(1P λλ+ 所以2222224222222222228()6412(1)412(1)111161216(1)12(1)(1)(1)λλλλλλλλλλλλ-+-+++++=+===++++即点P 的坐标满足2211612x y +=，所以点P 的轨迹是以O 为对称中心，,N M分别为左右焦点的椭圆，其中4,2a b c ===，则椭圆的定义可知，28PM PN a +==所以PMN 的周长为8412PM PN MN ++=+= 故选：A 13.480；【解析】13.根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =， 故答案为：480. 14.﹣960【解析】14.把式子化为二项式，然后写出二项展开式通项公式，令x 的指数为2，求得项数后得系数．10544x x =⎛⎫ ⎪⎝-+⎭，10511010(2)rr r r r rr T C C x --+⎛==- ⎝，令52r ，3r =，所求系数为3310(2)960C -=-．故答案为：960-． 15.4【解析】15.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n nb -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论. 由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式， 故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立， 所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 16.①②④⑤【解析】16.建立空间直角坐标系，利用坐标法可以得到⑤正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得到④正确；由'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，进而可得②正确；构造长方体，可得①正确；特殊排除可知③错误.如图所示建立空间直角坐标系，设(),,M x y z ,并构造如图所示的长方体.ABFC DGHE - 连接DO 并延长交BC 于O',则'AO BC ⊥，则AM =222222222222cos cos cos 1x y z AM AM AM αβγ⎛⎫⎪++=++= ⎪⎝⎭,故⑤正确； 当M 与O 重合时，结论仍然正确，由于各侧棱与底面所成的角与侧棱与AO 所成的角互为余角，故④正确；由于'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，∴2'O A O O O D '=⨯',∴2A BCOD S S S ⋅＝,故②正确；三棱锥A ﹣BCD 外接球的的直径是长方体ABFC DGHE -的对角线2222,,AH AH a b c =++外接球的表面积为()()2222242R R a b c πππ==++,故①正确；当1a b c ===时，33331128BCDS S S ⎛⎫==== ⎪⎝⎭， 可得33338B C D S S S ++=，而33A S ==⎭3333A B C D S S S S >++,故③错误， 综上，正确的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤.17.（1）；（2）5463ω≤<．【解析】17.（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）解方程()2f x =，由第二小的正数解[0,]π∈，第三小的正数解大于π可得出ω的范围．（1）2()cos (sin )sin cos f x x x x x x xωωωωωω==+)1sin 2cos 2122x x ωω=++sin(2)32x πω=++， 因为sin(2)[1,1]3x πω+∈-，所以()f x的值域是22,]22． （2）()sin(2)3f x x πω=+=，sin(2)03x πω+=，23x k πωπ+=，显然0x ≠，32k x ππω-=，k Z ∈，因为方程在[0,]π上只有两个解，又0>ω，所以232332πππωπππω⎧-⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪>⎪⎩，解得5463ω≤<．18.（1）证明见解析；（2【解析】18.（1）首先根据四边形11A ACC为菱形，11AC 得到1ACC ∠△为等边三角形，从而易证1AC C M ⊥，AC BM ⊥，得到AC ⊥平面1BMC ，又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC ，再利用面面垂直的判定即可得到平面1BMC ⊥平面11A BC .（2）首先根据平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥得到1C M ⊥平面ABC .再以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到面的距离即可.（1）因为四边形11A ACC 为菱形，所以11A C AC ⊥.又因为11AC =，所以160ACC ∠=，即1ACC ∠△为等边三角形. 因为11AC CC =，M 为线段AC 的中点，所以1AC C M ⊥. 因为AB BC =，M 为线段AC 的中点，所以AC BM ⊥.又因为1C M BM M =，所以AC ⊥平面1BMC .又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC .又11A C ⊂平面11A BC ，所以平面1BMC ⊥平面11A BC . （2）因为平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥， 所以1C M ⊥平面ABC .以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：()0,1,0C，)B，(1C，(10,A -，则()110,2,0AC =，(1BC =-，(10,CC =-，设平面11A BC 的法向量(),,n x y z =，则1112030n AC y n BC ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()1,0,1n = 所以点C到平面11A BC 的距离1322CC n d n⋅===. 19.（1）28天；（2）①分布列见解析，25；②56750000.【解析】19.（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数； （2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；②甲不适宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，然后求解概率即可.解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(]90,110的天数为2天，所以估计空气质量指数在(]90,100的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴()224230920145C P X C ===，()11624230481145C C P X C ⋅===，()262301229C P X C ===， ∴X 的分布列为∴2()012145145295E X =⨯+⨯+⨯=. ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310， ∴2223219375671010101050000P C C ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎝⎭. 20.（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】20.（1）求导后，对a 分类讨论，利用导数符号可得函数的单调性； （2）根据1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数，可得当*n N ∈且2n ≥时，111ln 11n n n n >--+，再利用裂项求和可证不等式. （1）因为()x xf x e e a -'=+-，且2x x e e -+≥，所以当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上为增函数，当2a >时，由()0f x '>，得0x x e e a-+->，所以2()10x xe ae -+>，所以22()124x a a e ->-，所以22x ae ->或22xa e -<-，所以xe >xe <所以24ln2aa x 或24ln2aa x ，由()0f x '<，得0x x e e a -+-<，解得2244ln22a a aa x，所以()f x 在⎛⎝⎭上递减，在,ln ⎛-∞ ⎝⎭和⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增. （2）由（1）知，当2a =时，()2x xf x e e x -=--在R 上为增函数，所以1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数， 所以当*n N ∈且2n ≥时，13()(2)22ln 2ln 422g n g ≥=--=-=32ln 04e >，即12ln 0n n n-->，所以212211ln 1(1)(1)11n n n n n n n >==---+-+， 所以211111ln 2ln 23ln 34ln 4ln ni i i n n==++++∑ 1111111121213131414111n n >-+-+-++--+-+-+-+ 111121n n =+--+2322(1)n n n n --=+， 所以22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.（1）证明详见解析；（2）动点Q 的轨迹方程是2241x y +=，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.【解析】21.（1）根据对称性设点,A B 的坐标，再设()00,P x y ，代入斜率公式，化简即可；（2）由条件可知2OP OQ =-，利用点()00,P x y 的坐标满足220014x y +=，代入可得点Q 的轨迹方程，设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则由条件可知22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后分类讨论两种情况，当20y ≠和20y =，分别求直线PA 的方程，判断直线与曲线的位置关系.（1）设()00,P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --1010PA y y k x x -=-，1010PB y y k x x --=-- ()()()()()222210101010222210101101144PA PB x x y y y y y y k k x x x x x x x x ------⋅=⨯===------， 所以直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值14-； （2）设(),Q x y ，()00,P x y0OA OB OP ++=，∴点O 是ABP △的重心，且2OA OB OQ +=，2OP OQ ∴=-，即02x x =-，02=-y y ，220014x y +=，即2241x y +=， ∴动点Q 的轨迹方程是2241x y +=设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，①当20y ≠时，220022111414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减得：()()22221010104x x y y -+-=，化简得1010210102144y y x x x x x y y y -+=-⋅=--+，1021024PAy y x k x x y -∴==--， ∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，整理得2224x x y y +=-，将2224x x y y +=-代入动点Q 的轨迹方程得()()2222222244410x y x x x y +++-=，（Δ） 将222214x y +=代入（Δ），整理得2222440x x x x ++= ，222216160x x ∆=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切；②当20y =时，()2,0B 或()2,0-，且PA k 不存在，即直线PA ⊥x 轴， 若()2,0B ，则()00,P x y ，()00,A x y -，002,22x y Q +⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 2OP OQ =-，00222x x +∴=-⨯，解得：01x =-， 同理可得，若()2,0B -，解得01x =，因此直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切，综上所述，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.22.（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】22.（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=，因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<） 所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα． 由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=，当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．23.（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】23. （1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．。
2020年山东省济宁市高考数学三模试卷(理科)含答案解析
2020年山东省济宁市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．3．二项式（x﹣）6的展开式中x﹣2的系数为（）A．6 B．15 C．20 D．284．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（）A．±B．±C．±2D．±5．若不等式e x＜|a|+|a﹣1|对任意a∈R恒成立，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，10）C．（0，1）D．（﹣∞，1）6．命题p：a＜b，则ac2＜bc2；命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．，s1＞s28．已知实数x，y满足，若z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，则m等于（）A．5 B．C．7 D．159．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（）A．3 B．4C．3D．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡中的横线上）11．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为．12．记[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为．13．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，=t（0≤t≤1），且•=﹣1，则t=．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，设三棱锥A1﹣AEF和四棱锥A﹣BCFE的体积分别为V1，V2，则=．15．设M，N分别是曲线f（x）=﹣x3+x2（x＜）与g（x）=alnx（x≥）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值．17．如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．18．已知数列{a n}满足： ++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．19．2020年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（0，1，0）（1，2，1）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m﹣n，求X的分布列及其数学期望．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆上，经过椭圆的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为线段AD的中点，OM∥l，并且OM交椭圆C于点M．（i）是否存在点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（ii）求的最小值．21．已知函数f（x）=（x＞0），m∈R．（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜．2020年山东省济宁市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}，则A∩B中元素的个数为3，故选：D．2．设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵a+=是纯虚数，∴a+，即a=﹣．故选：A．3．二项式（x﹣）6的展开式中x﹣2的系数为（）A．6 B．15 C．20 D．28【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：二项式（x﹣）6的展开式中T r+1=x6﹣r=（﹣1）r x6﹣2r，令6﹣2r=﹣2，解得r=4．∴T5=x﹣2，∴x﹣2的系数为=15．故选：B．4．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（）A．±B．±C．±2D．±【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，3），半径r=，求出圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y 轴截得的线段AB的长为2，从而得到圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，再求出圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d，由勾股定理得：，由此能求出b．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2的圆心C（1，3），半径r=，联立，得或，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB的长为2，∵圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD 的长度相等，∴圆C：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，∵圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d==，∴由勾股定理得：，即2=，解得b=．故选：B．5．若不等式e x＜|a|+|a﹣1|对任意a∈R恒成立，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，10）C．（0，1）D．（﹣∞，1）【考点】绝对值三角不等式．【分析】将x的值进行分段讨论，①0≤a≤1，②a＜0，③a＞1，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出x的范围．【解答】解：当①0≤a≤1时，原不等式可化为：e x＜1，解得：x＜0；②当a＜0时，原不等式可化为：e x＜1﹣2a；此时可解得x＜0；③当a＞1时，原不等式可化为：e x＜2a﹣1，解得：x＜0；综合以上a的三个范围可得x＜0，即实数x的取值范围为（﹣∞，0）．故选：A．6．命题p：a＜b，则ac2＜bc2；命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：c=0时不成立，即可判断出真假．命题q：利用正切函数的性质、充要条件的判定方法即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：a＜b，则ac2＜bc2，c=0时不成立，因此是假命题．命题q：“x=”是“tanx=1”的充分不必要条件，是真命题．∴下列命题为真命题的是（￢P）∧q．故选：C．7．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差，、分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（）A．，s1＜s2B．，s1＜s2C．，s1＞s2D．，s1＞s2【考点】茎叶图．【分析】由茎叶图知甲、乙两名运动员测试的成绩，利用平均数、方差公式计算后比较大小．【解答】解：由茎叶图中的数据知，甲运动员测试成绩的平均数为=×（18+19+22+28+28）=23．方差为s12=×[（18﹣23）2+（19﹣23）2+（22﹣23）2+（28﹣23）2+（28﹣23）2]=；乙动员测试成绩的平均数为=×（16+18+23+26+27）=22，方差为s22=×[（16﹣22）2+（18﹣22）2+（23﹣22）2+（26﹣22）2+（27﹣22）2]=；∴＞，s12＜s22，∴s1＜s2．故选：B．8．已知实数x，y满足，若z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，则m等于（）A．5 B．C．7 D．15【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平行求出目标函数的最大值和最小值建立方程关系进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象知，当直线y=4x﹣z经过A时，直线的截距最大，此时z最小，经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（1，），此时z最小值为z=4﹣，由得，即B（5，5），此时z最大值为z=4×5﹣5=15，∵z=4x﹣y的最大值是最小值的15倍，∴15=15（4﹣），即4﹣=1，得=3，即m=5，故选：A9．若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象关于直线x=对称，且当x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由正弦函数的对称性可得sin（2×+φ）=±1，结合范围|φ|＜，即可解得φ的值，得到函数f（x）解析式，由题意利用正弦函数的性质可得x1+x2=﹣代入函数解析式利用诱导公式即可计算求值．【解答】解：∵sin（2×+φ）=±1，∴φ=kπ+，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），当x∈（﹣，﹣），2x+∈（﹣，﹣π），区间内有唯一对称轴x=﹣，∵x1，x2∈（﹣，﹣），x1≠x2时，f（x1）=f（x2），∴x1，x2关于x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，∴f（x1+x2）=．故选C．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（）A．3 B．4C．3D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出双曲线的左焦点得出抛物线的方程，解出A点坐标，取O关于准线的对称点B，则|AB|为|PO|+|PA|的最小值．【解答】解：双曲线的标准方程为，∴双曲线的左焦点为（﹣3，0），即F（﹣3，0）．∴抛物线的方程为y2=﹣12x，抛物线的准线方程为x=3，∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，∴A点横坐标为﹣3，不妨设A在第二象限，则A（﹣3，6）．设O关于抛物线的准线的对称点为B（6，0），连结AB，则|PO|=|PB|，∴|PO|+|PA|的最小值为|AB|．由勾股定理得|AB|===3．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡中的横线上）11．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），即得到=，分子有理化并进行对数的运算便可得到=，这样便可得出3t=1，从而求出实数t的值．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即=；∴log2（3t）=0；∴3t=1；∴．故答案为：．12．记[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为7．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=8时，退出循环，输出的S的值为7．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，执行循环体，S=0+[]=0，不满足条件n＞6，n=2，S=0+[]=1，不满足条件n＞6，n=4，S=1+[]=3，不满足条件n＞6，n=6，S=3+[]=5，不满足条件n＞6，n=8，S=5+[]=7，满足条件n＞6，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．13．在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=60°，=t（0≤t≤1），且•=﹣1，则t=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，，利用数量积的运算性质计算．【解答】解：=9，=4，=3×2×cos60°=3．∵==，．∴=（）•（）=﹣t+（t﹣1）=4﹣9t+3（t﹣1）=﹣6t+1．∴﹣6t+1=﹣1，解得t=．故答案为：．14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6，若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE=B1E，C1F=CC1，设三棱锥A1﹣AEF和四棱锥A﹣BCFE的体积分别为V1，V2，则=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，再求出两个三棱锥A﹣BCFE的体积和A1﹣B1C1FE的体积，作差求得三棱锥A1﹣AEF的体积，则答案可求．【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，侧棱垂直底面，∴三棱柱为正三棱柱，在底面正三角形ABC中，取BC中点D，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AB=BC=AC=4，∴AD=．则．∵四边形BCFE与四边形EB1C1F均为直角梯形，且BE=EB1=3，C1F=CC1=2，CF=4．∴，．，．∴=．∴=．故答案为：．15．设M，N分别是曲线f（x）=﹣x3+x2（x＜）与g（x）=alnx（x≥）上一点，△MON是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是（0，]．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的值．【分析】由题意不妨设N（t，f（t））（t≥），由中点坐标公式求出M的坐标，利用向量垂直的条件列出式子并分离出a来，构造函数h（x）=（x+1）lnx（x≥），求出导数判断单调性、求出最值，可得到a的范围．【解答】解：由题意不妨设N（t，f（t））（t≥），由M、N的中点恰好在y轴上得M（﹣t，t3+t2），∵△MON是以O为直角顶点的直角三角形，∴，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0①，当t≥时，f（t）=alnt，代入①式得：﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt，令h（x）=（x+1）lnx（x≥），则h′（x）=lnx+1+＞0，∴h（x）在[，+∞）上单调递增，∵t≥，∴h（t）≥h（）=（e+1，）∴h（t）的取值范围是[（e+1），+∞）．∴对于0＜a≤，方程①总有解，则满足条件．故答案为：（0，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知函数f（x）=sin2x+sin2x．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，△ABC的面积为3，求a的最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可得解函数f（x）的单调递减区间．（2）由f（）=，化简可得：sin（A﹣）=，由A∈（0，π），可得A﹣的范围，从而可求A的值，利用三角形面积公式可求bc=12，利用余弦定理，基本不等式即可解得a 的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+sin2x=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）∵f（）=，即：sin（2×﹣）+=，化简可得：sin（A﹣）=，又∵A∈（0，π），可得：A﹣∈（﹣，），∴A﹣=，解得：A=，∵S△ABC=bcsinA=bc=3，解得：bc=12，∴a==≥=2．（当且仅当b=c时等号成立）．故a的最小值为2．17．如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点E，连结PE，推导出PE⊥AB，AP⊥BP，从而PB⊥平面APD，由此能证明平面APD⊥平面BDP．（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BP﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）取AB中点E，连结PE，∵AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，设CD=AD=AQ=PQ=AB=1．∴PB⊥AD，PE=1，且PE⊥AB，∴AP=PB==，∴AP2+BP2=AB2，∴AP⊥BP，∵AD∩AP=A，∴PB⊥平面APD，∵PB⊂平面BDP，∴平面APD⊥平面BDP．解：（2）以A为原点，AQ为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，则P（1，1，0），B（0，2，0），C（0，1，1），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面BPC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），平面ABP的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BP﹣C的平面角为θ，则cosθ==，∴sinθ==．∴二面角A﹣BP﹣C的正弦值为．18．已知数列{a n}满足： ++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意和数列前n项和与通项公式的关系式，求出，即可求出a n；（2）把a n代入b n=a n a n+1化简，利用裂项相消法求出S n，根据数列的单调性求出S n的最小值，由恒成立的条件列出不等式，求出实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，当n=1时，，则a1=2，当n≥2时，，则，两式相减得，=，即a n=，当n=1时，也符合上式，则a n=；（2）由（1）得，b n=a n a n+1===2（），所以S n=2[（1﹣）+（）+（）…+（）]=2（1﹣），则n越大，越小，S n越大，即当n=1时，S n最小为S1=，因为对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，所以＞2λ﹣，解得，故实数λ的取值范围是（﹣∞，）．19．2020年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿素人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随即抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：种植地编号A1A2A3A4A5（x，y，z）（0，1，0）（1，2，1）（2，1，1）（2，2，2）（0，1，1）种植地编号A6A7A8A9A10（x，y，z）（1，1，2）（2，1，2）（2，0，1）（2，2，1）（0，2，1）（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X=m﹣n，求X的分布列及其数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；随机事件；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，由此能求出这两地的空气温度的指标z 相同的概率．（2）由题意得长势等级是一级（ω≥4）有A2，A3，A4，A6，A7，A9，长势等级不是一级（ω＜4）的有A1，A5，A8，A10，从而随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数n==45，这两地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m==18，∴这两地的空气温度的指标z相同的概率p===．（2）由题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10综合指1 4 4 62 4 53 5 3标其中长势等级是一级（ω≥4）有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，长势等级不是一级（ω＜4）的有A1，A5，A8，A10，共4个，随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，∴X的分布列为：X 1 2 3 4 5PE（X）=+=．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在椭圆上，经过椭圆的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为线段AD的中点，OM∥l，并且OM交椭圆C于点M．（i）是否存在点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（ii）求的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率和点（1，）在椭圆上，结合隐含条件列式求得a，b的值，则椭圆C的标准方程可求；（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），与椭圆联立，得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（ii）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为x=±，由OM∥l，把转化为点的横坐标的关系求得答案．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=9，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）（i）直线l的方程为y=k（x+3），由，得（1+9k2）x2+54k2x+81k2﹣9=0，∴x1=﹣3，．当x=时，y=k（+3）=，∴D（，）．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为（），则（k≠0）．直线l的方程为y=k（x+3），令x=0，得E点坐标为（0，3k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即﹣•=﹣1恒成立，∴（9m+3）k﹣n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣，0）．（ii）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为x=±，由OM∥l，得=====．当且仅当，即k=±时取等号，∴当k=±时，的最小值为．21．已知函数f（x）=（x＞0），m∈R．（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在点（1，f（x））处的切线的斜率为，且函数f（x）的最大值为M，求证：1＜M＜．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可得f（x）=0有解，即m+lnx=0有解，即有﹣m=，设g（x）=，求得导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到m的范围；（2）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，可得m=1，再令f′（x）=0，设出极大值点，也即最大值点，运用函数零点存在定理，可得t的范围，化简整理由二次函数的单调性，即可得证．【解答】解：（1）若函数f（x）有零点，则f（x）=0有解，即m+lnx=0有解，即有﹣m=，由g（x）=的导数为g′（x）=，当x＞e2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e2时，g′（x）＞0，g（x）递增．可得g（x）在x=e2时，取得极大值，且为最大值，可得﹣m＞，解得m＜﹣，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）；（2）证明：函数f（x）=（x＞0）的导数为f′（x）=，可得f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1﹣=，解得m=1，即有f（x）=的导数为f′（x）=，令f′（x）=0，可得lnx+=1，设方程的解为t，由h（x）=lnx+﹣1递增，且h（1）﹣1=﹣＜0，h（）=ln+﹣1＞0，可得1＜t＜，且lnt+=1，即有f（x）的最大值为f（t）===+=（+）2﹣，可得f（t）在（1，）递减，f（1）=，f（）=+＞1，即有f（t）∈（f（），f（1）），则有1＜M＜．第21页（共22页）2020年8月7日第22页（共22页）。
2020届高考高三第三次模拟考试卷 理科数学(一) 含答案解析
2020届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1}A =，{0,1,2}B =，则满足A C B =U 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数93i2i 1i z -=++，则||z =（ ）A ．235+B ．2022 C ．5 D ．253．抛物线22y x =的通径长为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．124．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2,,9L 填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方记(3)n n ≥阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么8N 的值为（ ） A ．260 B ．369 C ．400 D ．420 6．根据如下样本数据 得到的回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 7．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为n S ，2n S ，3n S ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．322n n n S S S += B ．2233()()n n n n n n S S S S S S -=- C ．223n n n S S S = D ．223()()n n n n n n S S S S S S -=- 8．设2019log 2020a =，2020log 2019b =，120202019c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 9．已知函数()sin()(0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为2 B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()f x 的图像关于点π(,0)3对称 10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号则满足条件的平面α的个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．611．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=12．已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC △内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒， 则MAD ∠=（ ）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．26(32)x x ++展开式中x 的系数为 ．14．设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为 ．15．已知等差数列{}n a 的公差(0,π)d ∈，1π2a =，则使得集合{|sin(),}n M x x a n *==∈N ，恰好有两个元素的d 的值为 ．16．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是 ；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，2π3MCN ∠=，在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ． （1）若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC △的周长，并求周长的最大值． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． （1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ； （2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC所成的角的正弦值为5？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知(1,0)A -，(1,0)B ，AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，||||4AP AC +=u u u r u u u r ．（1）求P 的轨迹E ； （2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线1l ，2l ，设直线OP ，1l ，2l 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111()k k k +时候是定值，请说明理由，并加以证明． 20．（12分）已知函数242()x x x f x e ++=．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对任意的(2,0]x∈-，不等式2(1)()m x f x+>恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：20192020-年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量()m m*∈N在17与26之间，日需求量m（件）的频率()P m分布如下表所示：己知其成本为每件5元，售价为每件10元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．（1）设每天的进货量为(16,1,2,,10)n nX X n n=+=L，视日需求量(16,1,2,,10)i iY Y i i=+=L的频率为概率(1,2,,10)iP i=L，求在每天进货量为nX的条件下，日销售量nZ的期望值()nE Z（用iP表示）；（2）在（1）的条件下，写出()nE Z和1()nE Z+的关系式，并判断X为何值时，日利润的均值最大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:)4C ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设0a >，0b >，且a b ab +=．（1）若不等式2x x a b +-≤+恒成立，求实数x 的取值范围；（2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由A C B =U 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}共4种情况．2．【答案】C【解析】对复数z 进行化简：93i (93i)(1i)2i 2i 34i 1i 2z ---=+=+=-+，所以5z ==．3．【答案】D【解析】标准化212x y =，通径122p =．4．【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S ．对于选项A ，2015年一本达线人数为0.28S ，2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=， 可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=， 显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=， 不达线人数有所增加．5．【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(125N =+345678910111213141516171819+++++++++++++++++202122232425)65++++++=，…， ∴222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++=++++++=⨯=L ， ∴288(81)2602N +==． 6．【答案】A 【解析】画出散点图知0a >，0b <，故选A ． 7．【答案】D 【解析】由等比数列的性质得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，2232()()n n n n n S S S S S -=-，化简得223()()n n n n n n S S S S S S -=-． 8．【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=，2020202020201110log log 2019log 2020222b <==<=，1202020191c =>． 9．【答案】B 【解析】由条件知π()sin(2)6f x x =-，结合图像得B ． 10．【答案】C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B D C -的四面与12条棱所成的角相等， ∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个． 11．【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 交点P 到两焦点的距离分别为,(0)m n m n >>，焦距为2c ， 则2222cos 2(2)m n mn c θ+-=， 又12m n a +=，22m n a -=，故12m a a =+，12n a a =-，2222222221212222212sin cos sin cos (1cos 2)(1cos 2)211a a a a c c c e e θθθθθθ-++=⇒+=⇒+=． 12．【答案】D 【解析】设正方形ABCD 的边长为1， 在BMD △中，由正弦定理得2sin 35sin 35sin135DM DB DM =⇒=︒︒︒，在AMD △中，由余弦定理得2214sin 354sin35cos551AM =+︒-︒︒=，∴AMD △为等腰三角形，70MAD ∠=︒．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】576【解析】26(32)x x ++展开式中含x 的项为15565C (3)C 26332576x x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576．14．【答案】5π2 【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故1010r d ===，从而圆的面积为5π2．15．【答案】2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d =．16．【答案】3；5π【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离， 由11PP A PPC ≌△△，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =， 所以球的表面积为254π()5π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7；（2）周长π()2sin()33f θθ=+，π6θ=时，()f θ取得最大值为23． 【解析】（1）a ，b ，c 成等差数列，且公差为2，∴4a c =-，2b c =-， 又2π3MCN ∠=，1cos 2C =-，∴222(4)(2)12(4)(2)2c c c c c -+--=---， 恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =， 又∵4c >，∴7c =． （2）在ABC △中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠， ∴32πsin sin()sin 33AC BC θθ===-，2sin AC θ=，π2sin()3BC θ=-， ∴ABC △的周长π()||||||2sin 2sin()33f AC BC AB θθθ=++=+-+13π2[sin ]32sin()323θθθ=++=++， 又∵π(0,)3θ∈，∴ππ2π333θ<+<， 当ππ32θ+=，即π6θ=时，()f θ取得最大值23． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为线段PB 的中点． 【解析】（1）证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥， ∵PA AC A =I ，∴BE ⊥平面PAC ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ． （2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF PA ∥，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥， 又BE AC ⊥，∴EB ，EC ，EF 两两垂直， 分别以EB u u u r ，EC uuu r ，EF u u u r 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,2)P -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，设(23,2,2)BG BP λλλλ==--u u u r u u u r ，[0,1]λ∈， 所以(23(1),2(1),2)AG AB BG λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(23,2,0)BC =-u u u r ，(0,4,2)PC -u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则023204200BC x y y z PC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u ur u u u r n n ，令1x =，则3y =，23z =，∴(1,3,23)=n ，由已知221515431552||||416(1)4AG AG λλλ⋅=⇒=⇒=⋅-+uu u ru u u r n n 或1110（舍去）， 故12λ=，故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBG 所成的角的正弦值为155，此时G 为线段PB 的中点．19．【答案】（1）22:143x y E +=；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）方法一：如图因为AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以四边形ACPB 是平行四边形， 所以||||BP AC =u u u r u u u r ，由||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得||||4AP BP +=u u u r u u u r ，所以P 的轨迹以A ，B 为焦点的椭圆易知24a =，1c =，所以方程E 为22143x y +=．方法二：设(,)P x y ，由AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得(1,)AC AP AB BP x y =-==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，再||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得2222(1)(1)4x y x y +++-+=， 移项2222(1)4(1)x y x y ++=--+，平方化简得22143x y +=． （从2222(1)(1)4x y x y +++-+=发现是椭圆方程也可以直接得24a =，1c =）． （2）设00(,)P x y ，过P 的斜率为k 的直线为00()y y k x x -=-， 由直线与圆O 相切可得0231k =+，即2220000(3)230x k x y k y --+-=， 由已知可得1k ，2k 是方程（关于k ）2220000(3)230x k x y k y --+-=的两个根， 所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除0012212023x y k k k k y +=⋅-， 又因为2200143x y +=，所以2200334y x -=-， 代入上式可得01212083y k k k k x +=-⋅，即0121118()3k k k +=-为定值． 20．【答案】（1）见解析；（2）2(1,]e ． 【解析】（1）2(22)()x x x f x e -+-'=，记2()22g x x x =--+， 令()0g x >，得1313x -<<-，函数()f x 在(13,13)--上单调递增；()0g x <，得13x <-13x >-+()f x 在(,13)-∞--或(13,)-++∞上单调递减．（2）记2()2(1)42x h x me x x x =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，()0h x '=，得2x =-或ln x m =-，∵(2,0]x ∈-，所以2(2)0x +>．①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )x m ∈--时，()0h x '<； (ln ,0)x m ∈-时，()0h x '>，所以min ()(ln )ln (2ln )0h x h m m m =-=⋅->，∴(2,0]x ∈-时，()0h x >恒成立；②当2m e =时，2()2(2)(1)x h x x e +'=+-，因为(2,0]x ∈-，所以()0h x '>，此时()h x 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，所以(2,0]x ∈-，()(2)0h x h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e -=-+<，(0)220h m =->，所以存在0(2,0)x ∈-使得0()0h x =，因此()0h x >不恒成立，综上，m 的取值范围是2(1,]e ．21．【答案】（1）见解析；（2）20件．【解析】（1）当日需求量n m X ≤时，日销售量n Z 为m ；日需求量n m X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望()n E Z 为：当19n ≤≤时，1011()(16)(16)n n i i i i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，10101()(16)i i E Z i P ==+∑．（2）1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i i i i n i i i n i i n i n E Z i P n P i P n P E Z P ++==+==+=+=++++=++++=+∑∑∑∑∑， 设每天进货量为n X ，日利润为n ξ，则()5()3[(16)()]8()3(16)n n n n E E Z n E Z E Z n ξ=-+-=-+，111210()()8[()()]38()3n n n n n n E E E Z E Z P P P ξξ++++-=--=+++-L ， 由1125()()08n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+++≤L ， 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， ∴4()E ξ最大，所以应进货20件时，日利润均值最大． 22．【答案】（1）:40l x y +-=，22:(1)(1)2C x y -+-=；（2）． 【解析】（1）由31x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t ，得40x y +-=， 所以直线l 的普通方程为40x y +-=，由πππ)cos sin sin )2cos 2sin 444ρθθθθθ=-=+=+， 得22cos 2sin ρρθρθ=+， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （2）设曲线C上的点为(1,1)P αα++， 则点P 到直线l的距离d ==π|2sin()2|α+-= 当πsin()14α+=-时，max d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为 23．【答案】（1）[]1,3-；（2）不存在，详见解析． 【解析】（1）由a b ab +=，得111a b +=，11()()4a b a b a b +=++≥=， 当且仅当2a b ==时""=成立．不等式2x x a b +-≤+，即为24x x +-≤，当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<； 当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤； 当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤， 综上，实数x 的取值范围是[]1,3-．（2）由于0a >，0b >， 则1144(4)()5b a a b a b a b a b +=++=++59≥+=， 当且仅当4b a a b a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即32a =，3b =时，4a b +取得最小值9， 所以不存在实数a ，b ，使得48a b +=成立．。
全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(理科)(含解析)
1.已知集合 A = {x (x +1)(x − 4) ≤ 0}， B = {x log2 x ≤ 2} ，则 A ∩ B = （ ）
A. [− 2 , 4 ]
B. [1,+∞)
C. (0,4]
D.[−2, +∞)
2.若复数 z 满足 z(1−i)2 = i （i 是虚数单位），则 z 为（ ）
b = 2×1 = 2
成 a < b 不 立
n =1+1= 2
a = 9 + 1 × 9 = 27 2 22 4
b = 2×2 = 4
成 a < b 不 立
n = 2+1= 3
a = 27 + 1 × 27 = 81 4 24 8
b = 2×4 =8
成 a < b 不 立
n = 3+1= 4
8 / 18
x≥ 0，
14．已知
，x y
满足Βιβλιοθήκη x+y
≥
4，若
x
+
2
y
的最小值为_________．
≤ x − 2 y 1.
．D [−1, 1] 3
15.已知 线 与 有 的 ， 是两 抛物
y2 = 2 px( p > 0)
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0)
相同 焦点 F
P
曲
线的公共点，若
PF
=
5
，则此 的 为 . p
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。
2020年东北三省三校高考数学三模试卷(理科)
2020年东北三省三校高考数学三模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=x}，则A∩B的子集个数为()A. 2B. 4C. 6D. 82.已知复数z=sinθ−2√23+(cosθ−13)i为纯虚数，则tanθ=()A. −2√2B. −√24C. √24D. 2√23.小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为()A. 4B. 3C. 2D. 14.“新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．如图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是()A. 2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省B. 2月7日到2月13日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省C. 2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增“新冠肺炎”确诊人数的波动大D. 后四日(2月10日至13日)乙省每日新增“新冠肺炎“确诊人数均比甲省多5.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A. 23B. 43C. 53D. 736.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为()A. a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值B. a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值C. a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值D. a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值7.函数y=sinx+√3cosx的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f(x)的图象，则下列说法不正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期2πB. 函数f(x)的图象关于直线x=5π6对称C. 函数f(x)的图象关于(π3,0)对称中心D. 函数f(x)在[5π6,11π6]上递增8.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=AB=2，∠BAD=60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为()A. −√105B. −15 C. 15D. √1059. 已知圆M ：x 2+y 2=12，过圆M 内一点E(1,√2)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A. 6√2B. 12√2C. 12√3D. 24√310. 已知函数f(x)={|x −1+1|,x <0|x −1|−1,x ≥0，若函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，则实数k 的取值范围为( )A. [−1,12) B. (−∞,−116)∪(12,+∞) C. [−116,12)D. {−116}∪[0,12)11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的右焦点为F ，过原点的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且|BF|=3|AF|，则双曲线C 的离心率取值范围为( )A. (1,2]B. (1,3]C. (3,+∞)D. [2,+∞)12. 若对任意x ∈(0,+∞)，不等式2e 2x −alna −alnx ≥0恒成立，则实数a 的最大值为( )A. √eB. eC. 2eD. e 2二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 2020年5月17日晚“2019年感动中国人物名单揭晓”，中国女排位列其中，在感动中国的舞台上，她们的一句“我们没赢够”，再次鼓舞中国人民．中国之光--中国女排，一次次在逆境中绝地反击赢得奥运冠军，“女排精神”也是我们当前处于“新冠”逆境中的高三学子们学习的榜样，前进的动力．一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率是______．14. 稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌．下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式： 名称 萘蒽并四苯……并n 苯结构简式…… …… 分子式C 10H 8 C 14H 10C 18H 12…………由此推断并十苯的分子式为______．15. f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f′(x)，若2f(x)+f′(x)>2，f(1)=2，则不等式f(x)>e 2−2x +1(其中e 为自然对数的底数)的解集为______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB)，则A=；若O是△ABC外接圆的圆心，且cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m=．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}，{b n}(b n≠0,n∈N∗)，满足a1=2b1，a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0．(Ⅰ)令c n=a nb n，证明：数列{c n}为等差数列，并求数列{c n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=13 n，求数列{a n}的前n项和S n．18.新冠肺炎疫情这只“黑天鹅”的出现，给经济运行带来明显影响，住宿餐饮、文体娱乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重．随着复工复产的有序推动，我市某西餐厅推出线上促销活动：A套餐(在下列食品中6选3)西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司；中式面点：豆包、桂花糕．B套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合．复工复产后某一周两种套餐的日销售量(单位：份)如表：(Ⅰ)根据该西餐厅上面一周A、B两种套餐的销售情况，结合两种套餐的平均销售量和方差，评价两种套餐的销售情况(不需要计算，只给出结论即可)；(Ⅱ)如果该西餐厅每种套餐每日销量少于20份表示业绩“一般”，销量大于等于20份表示业绩“优秀”，求该西餐厅在这一周内B套餐连续两天中至少有一天销量业绩为“优秀”的概率；(Ⅲ)某顾客购买一份A套餐，求她所选的面点中所含中式面点个数X的分布列及数学期望．19. 如图1，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =4√2，AD =2√2，DC =3√2，点E 在CD 上，且DE =2√2，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，PB =2√6(如图2)．(Ⅰ)求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；(Ⅱ)在线段PC 上存在点F ，满足PC =4PF ，求平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆C 1：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，P 1(1,1)，P 2(0,2)，P 3(√32,−1)，P 4(√32,1)四点中恰有三点在椭圆C 1上，抛物线C 2：y 2=2px(p >0)焦点到准线的距离为12． (Ⅰ)求椭圆C 1、抛物线C 2的方程；(Ⅱ)过椭圆C 1右顶点Q 的直线l 与抛物线C 2交于点A 、B ，射线OA 、OB 分别交椭圆C 1于点M 、N ． (i)证明：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值； (ii)求△AOB 、△MON 的面积分别为S 1、S 2，求S 1S 2的最小值．21. 已知函数f(x)=sinx +cosx −ax(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1时，求f(x)在[−π4,π2]上最值；(Ⅱ)若对一切x ∈[−π,0]，不等式f(x)≤1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 1：{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π4)． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程及点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．23. 已知函数f(x)=|ax −1|(a >0)．(Ⅰ)若不等式f(x)+f(x −1)≥1对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值集合A ； (Ⅱ)若x ，y ∈A ，求证：x +y +1xy ≤1x +1y +xy ．答案和解析1.【答案】B【解析】解：解{x 2+y 2=1y =x得，{x =−√22y =−√22或{x =√22y =√22；∴A ∩B ={(−√22,−√22),(√22,√22)}； ∴A ∩B 子集个数为C 20+C 21+C 22=22=4．故选：B ．可解方程组{x 2+y 2=1y =x得出{x =−√22y =−√22，或{x =√22y =√22，从而得出A ∩B 有两个元素，从而得出A ∩B 的子集个数为C 20+C 21+C 22=4．考查描述法表示集合的概念，交集的定义及运算，以及子集的定义，子集个数的求法．2.【答案】A【解析】解：∵z =sinθ−2√23+(cosθ−13)i 为纯虚数，∴{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0，解得sinθ=2√23，cosθ=−13．则tanθ=sinθcosθ=−2√2． 故选：A ．由已知可得{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0，求得cosθ与sinθ的值，即可得解． 本题考查复数的概念，同角三角函数的基本关系，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为南岗区空置房套数有7套，则其中位数是79；道里区空置房套数有8套，则其中位数为76+802=78，所以两中位数之差是79−78=1． 故选：D ．由茎叶图分别求出两区的中位数，相减即可． 本题通过茎叶图考查中位数的求法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据图象所给数据可得2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为19，方差为53，单日新增最大值为28，2月7日到2月13日乙省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为22，方差约为17，单日新增最大值为29，故可得AB正确，C错误，由图可知，后四日乙人数均比甲人数多，故D正确，故选：C．根据图象计算平均数、方差进行比较即可本题考查学生合情推理能力，考查统计的相关知识，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以：V=13×2×2×1=43．故选：B．直接利用三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得k=3，S=a3，满足条件k>0，执行循环体，k=2，S=a2+a3x0，满足条件k>0，执行循环体，k=1，S=a1+x0(a2+a3x0)，满足条件k>0，执行循环体，k=0，S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))，不满足条件k>0，退出循环，输出S的值为a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))．故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k =0时，不满足条件k >0，退出循环，输出S 的值为a 0+x 0(a 1+x 0(a 2+a 3x 0))．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，依次正确写出每次循环得到的S ，k 的值是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：把函数y =sinx +√3cosx =2sin(x +π3)的图象向右平移2π3个单位长度， 得到函数f(x)=2sin(x −π3)的图象， 显然，f(x)的周期为2π，故A 正确； 当x =5π6时，f(x)=2，为最大值，故f(x)的图象关于直线x =5π6对称，故B 正确；当x =π3时，f(x)=0，故f(x)的图象关于点(π3,0)对称，故C 正确； 在[5π6,11π6]上，x −π3∈[π2,3π2]上，f(x)单调递减，故D 错误，故选：D ．利用三角恒等变换化简函数的解析式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：∵M 是BB 1的中点，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AA 1=AB =2，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， ∴|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，又∠BAD =60°，∠AA 1B 1=∠AA 1D 1=90°，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×2×12+12×4=4，∴cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=√105， ∴异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值为√105． 故选：D ．可以得出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，进行数量积的运算即可求出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，然后即可求出cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值，从而得出异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值．本题考查了用向量求异面直线所成角的方法，异面直线所成角的定义，正四棱柱的定义，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，|OE|=√12+(√2)2=√3，则|BD|=2√12−3=6， |AC|=4√3．∴四边形ABCD 的面积为12×6×4√3=12√3． 故选：C ．由题意画出图形，分别求出最长弦和最短弦的值，再由12|AC|⋅|BD|求解． 本题考查直线与圆的性质，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．10.【答案】D【解析】解：函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，即方程kx +12=f(x)有三个根． 函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象如图：当直线y =kx +12过(−1,0)与(0,12)时，k =12−00−(−1)=12； 当直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时，联立{y =kx +12y =1x+1，得2kx 2−x −2=0． 由△=(−1)2+16k =0，解得k =−116．结合图象可知，若函数y =f(x)与y =kx +12的图象有3个交点， 则实数k 的取值范围为{−116}∪[0,12)． 故选：D ．函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，即方程kx +12=f(x)有三个根．由函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象，求出直线y =kx +12过(−1,0)时的斜率，再利用判别式法求出直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时直线的斜率，数形结合可得实数k 的取值范围．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】A【解析】解：设双曲线的左焦点为F 1，根据对称性知AFBF 1是平行四边形，所以有|AF|=|BF 1|， 又点B 在双曲线上，所以|BF|−|BF 1|=2a因为|BF|=3|AF|，所以|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ，即|BF|=3a ，|BF 1|=a ， 而在三角形BFF 1中，|BF|+|BF 1|=4a ≥2c ，|BF|−|BF 1|=2a <2c ， 所以双曲线的离心率e ∈(1,2]， 故选：A ．由双曲线的对称性，连接A ，B 与右焦点F 的连线，可得AFBF 1是平行四边形，对应边平行且相等，3|AF|=|BF|，推出|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ，然后结合三角形的边长关系，求和双曲线的离心率的范围． 本题考查双曲线的性质及三角形的性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：依题意，对任意x ∈(0,+∞)，2e 2x ≥aln(ax)恒成立， 记f(x)=2e 2x ，g(x)=aln(ax)(x >0)，则f′(x)=4e 2x ,g′(x)=ax ， 易知函数f(x)在(0,+∞)上单增，显然a >0，则函数g(x)在(0,+∞)上递增， 要使f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立，只需x ∈(0,+∞)时，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方，如图可知，a 越大，函数g(x)图象的开口越大，故当两函数恰好相切时，此时实数a 取得最大值，设切点为(m,n)，则{am=4e2m2e2m=n aln(am)=n ，解得{m=12n=2ea=2e，则实数a的最大值为2e．故选：C．记f(x)=2e2x，g(x)=aln(ax)(x>0)，则只需x∈(0,+∞)时，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方，当a取得最大值时，两函数恰好相切，设出切点，建立方程组，解出即可．本题考查利用导数研究函数的最值，考查不等式的恒成立问题，同时也涉及了导数的几何意义的运用，考查转化思想及运算能力，属于中档题．13.【答案】0.72【解析】解：一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率为：P=0.8×0.9=0.72．故答案为：0.72．利用相互独立事件概率乘法公式能求出中国女排闯进决赛且获得冠军的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】C42H24【解析】解：设并n苯的分子式中C原子的个数为a n，H原子的个数是b n，由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列，{b n}是公差为2的等差数列，因为a2=10，b2=8，所以a n=10+4(n−2)=4n+2，b n=8+2(n−2)=2n+4，所以a10=42，b10=24，所以并十苯的分子式为C42H24，所以答案为C42H24．本题主要考察等差数列．设并n苯分子式中C原子的个数为a n，H原子的个数是b n，由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列，{b n}是公差为2的等差数列，进而求得n=10时a n和b n的值，从而得到并十苯的分子式．本题考查等差数列，要求学生能够利用已知归纳出等差数列的首项和公差，进而求解指定项．属于基础题．15.【答案】(1,+∞)【解析】解：f(x)>e2−2x+1，即e2x f(x)−e2x>e2，令g(x)=e2x f(x)−e2x，则g′(x)=e2x[2f(x)+f′(x)−2]>0，故g(x)在R递增，而g(1)=e2f(1)−e2=e2，∴e2x f(x)−e2x>e2，即g(x)>g(1)，即x>1，故不等式的解集是(1,+∞)，故答案为：(1,+∞)令g(x)=e2x f(x)−e2x，得到g(x)>g(1)，结合函数的单调性求出不等式的解集即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．16.【答案】π3√32【解析】解：①2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB)，2sinC⋅tanB=sinB⋅(tanA+tanB)，因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入上式得，2[sinAcosB+cosAsinB]⋅sinBcosB=sinB⋅(sinAcosA+sinBcosB)2[sinAcosB+cosAsinB]⋅1cosB =sinAcosA+sinBcosB，2[sinAcosB+cosAsinB]⋅cosA=sinAcosB+sinBcosA，2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB=sinAcosB+sinBcosA，2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB−sinAcosB−sinBcosA=0，sinAcosB(2cosA−1)+cosAsinB(2cosA−1)=0，(2cosA−1)(sinAcosB+cosAsinB)=0，(2cosA−1)sin(A+B)=0，(2cosA−1)sinC=0，所以2cosA−1=0，即cosA=12，因为是锐角三角形，所以A=π3，②取AB边中点D，则AB⊥ODcosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，cosB 2sinC ⋅c2+cosC2sinB⋅b⋅c⋅cosA=m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ )，cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=m⋅12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2，cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=12m⋅sin2C，cosB+cosAcosC=msinC，所以m=cosB+cosAcosCsinC =cos[π−(A+C)]+cosAcosCsinC=−cosAcosC+sinAsinC+cosCcosAsinC=sinA=√32．故答案为：π3，√32．①利用正弦定理边化角，结合两角和差公式进行化简变形，即可得答案．②取AB边中点D，则AB⊥OD，cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用正弦定理边化角，化简即可得出答案．本题考查正弦定理，向量数量积，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵b n≠0，a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0，∴a nb n −a n+1b n+1+2=0.又c n=a nb n，∴c n−c n+1+2=0，即c n+1−c n=2，c1=a1b1=2，∴{cn}为首项、公差均为2的等差数列，∴c n=2n；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得c n=a nb n =2n，∵bn=13 n，∴a n=2n×(13)n．∵S n=2[1×13+2×(13)2+3×(13)3+⋯n⋅(13)n]①，∴13S n=2[1×(13)2+2×(13)3+⋯(n−1)⋅(13)n+n⋅(13)n+1]②，由①−②可得：23S n=2[13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n−n⋅(13)n+1]=2[13[1−(13)n]1−13−n⋅(13)n+1]=1−(2n3+1)⋅(13)n，∴S n=32−2n+32⋅13n．【解析】(Ⅰ)先由题设条件⇒a n bn −a n+1b n+1+2=0，再由c n=a nb n⇒c n+1−c n=2，进而证明数列{cn}为等差数列，求出其通项公式；(Ⅱ)先由(Ⅰ)和题设条件求出a n ，再利用错位相减法求其前n 项和即可．本题主要考查等差数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)根据所给数据可知B 套餐的平均销售高于A 套餐，但A 套餐销售情况比B 套餐更稳定，波动性小；(Ⅱ)设“一周内B 套餐连续两天中至少有一天销量业绩优秀”为事件C ， 则P(C)=36=12；(Ⅲ)由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2； 计算P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 21⋅C 42C 63=35，P(X =2)=C 22⋅C 41C 63=15， 所以随机变量X 的分布列为， X 012P153515数学期望为E(X)=0×15+1×35+2×15=1．【解析】(Ⅰ)根据所给数据分析判断即可； (Ⅱ)利用古典概型的概率公式计算就；(Ⅲ)由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取AE 中点O ，连结OB ，∵在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =4√2，AD =2√2，DC =3√2，点E 在CD 上，且DE =2√2，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，PB =2√6， ∴∠OAB =π4，AO =12AE =2，在△OAB 中，AO =2，AB =4√2，∠OAB =π4， ∴OB 2=4+32−2×2×4√2×√22=20，在Rt △DAE 中，PO =12AE =2，PB =2√6， ∴PB 2=OB 2+PO 2，∴PO ⊥OB ，∵PA =PE ，AO =OE ，∴PO ⊥AE ， ∵OB ∩AE =O ，∴PO ⊥平面ABCE ， 又PO ⊂面DAE ，∴平面PAE ⊥平面ABCE ． (Ⅱ)解：取AB 中点M ，连结OM ， ∵AM =12AB =2√2，AO =2，∠OAB =π4，∴OM ⊥AE ，∵PO ⊥面ABCE ，∴PO ，OM ，AE 两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，A(0,−2,0)，E(0,2，0)，M(2,0，0)， 又∵M 是AB 中点，∴B(4,2，0)，P(0,0，2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)， ∴C(1,3，0)，又PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,34,−12)，∴F(14,34,32)， 设平面ABF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,114,32)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x +4y =0n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 4+11y 4+3z2=0，取y =1，得n ⃗ =(−1,1，−53)， 平面PAE 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√43=3√4343， ∴平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值为3√4343．【解析】(Ⅰ)证明：取AE 中点O ，连结OB ，推导出PO ⊥OB ，PO ⊥AE ，从而PO ⊥平面ABCE ，由此能证明平面PAE ⊥平面ABCE ．(Ⅱ)取AB 中点M ，连结OM ，推导出PO ，OM ，AE 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值．本题考查考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由C 1关于x 轴对称，P 3，P 4关于x 轴对称，所以P 3，P 4在C 1上，所以34b +1a =1，若P 1在C 1上，则1b 2+1a 2>34b 2+1a 2=1，所以P 1不在C 1上，P 2在C 1上， 所以a =2，b =1，即C 1：y 24+x 2=1，又由p =12，可得C 2：y 2=x ；(Ⅱ)(i)证明：设直线l ：x =my +1，代入y 2=x 中，可得y 2−my −1=0， 所以y 1+y 2=m ，y 1y 2=−1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=y 12y 22+y 1y 2=1−1=0；(ii)设直线OA ：x =m 1y(m 1>0)，将直线OA 代入C 1中， 可得y2(4m 12+1)=4，即y M =√1+4m 1，同理可得y N =1√4+m 1， S 1S 2=12|OA|⋅|OB|12|OM|⋅|ON|=|OA||OM|⋅|OB||ON|=|y 1||y M |⋅|y 2||y N |=|y 1y 2||y M y N |=√4m 12+1⋅√m 12+44|m 1|=14√4m 12+4m 12+17≥14√2√16+17=54，当且仅当m 12=1m 12，即m 1=1时取得等号．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于较难题目．(Ⅰ)由椭圆的对称性，判断P 3，P 4在C 1上，再由椭圆的范围可得P 1不在C 1上，P 2在C 1上，可得a ，b ，即有椭圆方程，由p 的值，可得抛物线的方程；(Ⅱ)(i)设直线l ：x =my +1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，即可得证； (ii)设直线OA ：x =m 1y(m 1>0)，将直线OA 代入C 1中，求得M 的纵坐标，同理可得N 的纵坐标，再由三角形的面积公式和基本不等式，即可得到所求最小值．21.【答案】解：(I)f′(x)=cosx −sinx −a ，当a =1时，f′(x)=cosx −sinx −1=−√2sin(x −π4)−1，令f′(x)>0可得sin(x −π4)<−√22可得x ∈[−π4,0),令f′(x)<0可得sin(x −π4)>−√22可得x ∈(0,π2],故f(x)在[−π4,0)上单调递增，在(0,π2)上单调递减， 故f(x)max =f(0)=1， ∵f(−π4)=π4，f(π2)=1−π2<π4， ∴f(x)min =f(π2)=1−π2， (II)f(−π)=aπ−1≤1，故a ≤2π， f′(x)=−√2sin(x −π4)−a ，∵−π≤x ≤0，∴−5π4≤x −π4≤−π4，∴−1≤sin(x −π4)≤√22，−1≤−√2sin(x −π4)≤√2，(i)a ≤−1时，f′(x)≥0，f(x)在[−π,0]上单调递增，f(x)<f(0)=1恒成立， (ii)−1<a ≤2π时，当−π≤x ≤−π4时，f′(x)单调递增，当−π4≤x ≤0时，f′(x)单调递减， ∴f′(π)=−1−a <0，f′(−π4)=√2−a >0，f′(0)=1−a >0， ∴存在a ∈(−π,−π4)，使得f′(a)=0，所以当−π≤x <a 时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当a <x ≤0时，f′(x)>0，函数单调递增， 又因为f(−π)=aπ−1≤1，f(0)=1≤1， ∴f(x)≤1，∴a ≤2π【解析】(I)把a =1代入，然后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值；(II)由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值，结合导数对a 进行分类讨论，然后结合导数与单调性关系及函数性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的最值，及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用． 22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数)整理得x 2=2t 1+t 2，y =−1+21+t 2≠−1， 所以转换为直角坐标方程为：x 24+y 2=1(y ≠−1)．曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π4).转换为直角坐标为(√2,√2) 所以B(2,3π4)转换为直角坐标为(−√2,√2)，C(2,5π4)转换为直角坐标为(−√2,−√2)，D(2,7π4)转换为直角坐标为(√2,−√2).(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，则：x 024+y 02=1，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x 02+4y 02+16=3x 02+20， 由于0≤x 02≤4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围为[20,32]．【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(Ⅱ)利用曲线上的点的范围，进一步求出关系式的范围．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)+f(x−1)≥1，即为|ax−1|+|ax−a−1|≥1，而a>0时，|ax−1|+|ax−a−1|≥|ax−1−ax+a+1|=|a|=a，当且仅当(ax−1)(ax−a−1)≤0时，上式取得等号．即有|ax−1|+|ax−a−1|的最小值为a，由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min，则a≥1，即A=[1,+∞)；(Ⅱ)证明：x+y+1xy −(1x+1y+xy)=(x−1x)+(y−xy)+(1xy−1y)=(x−1)(x+1)x+y(1−x)+1xy(1−x)=x−1xy [(x+1)y−xy2−1]=x−1xy[xy(1−y)+(y−1)]=(x−1)(xy−1)(1−y)xy，由x，y∈[1,+∞)，可得x−1≥0，1−y≤0，xy≥1，即xy−1≥0，则(x−1)(xy−1)(1−y)xy≤0，可得x+y+1xy≤1x+1y+xy．【解析】(Ⅰ)由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min，由绝对值不等式的性质可得最小值，即可得到所求集合A；(Ⅱ)运用作差比较法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．本题考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，考查绝对值不等式的性质和作差比较法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
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2019 年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 ．设集合A= { x |2 x ≥ 4 } ，集合B= { x | y=lg （x ﹣ 1 ）} ，则 A ∩ B= （）A ．[ 1 ， 2 ）B ．（ 1 ， 2 ]C ．[ 2 ，+ ∞ ）D ．[ 1 ，+ ∞ ）2 ．复数的共轭复数= （）A ． 1 + iB ．﹣ 1 ﹣iC ．﹣ 1 + iD ． 1 ﹣i3 ．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“ 甲降落在指定范围” ，q 是“ 乙降落在指定范围” ，则命题“ 至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为（）A ．（￢p ）∨（￢q ）B ．p ∨（￢q ）C ．（￢p ）∧（￢q ）D ．p ∨ q4 ．已知三个正态分布密度函数（x ∈ R ，i=1 ， 2 ， 3 ）的图象如图所示，则（）A ．μ 1 ＜μ 2 =μ 3 ，σ 1 =σ 2 ＞σ 3B ．μ 1 ＞μ 2 =μ 3 ，σ 1 =σ 2 ＜σ 3C ．μ 1 =μ 2 ＜μ 3 ，σ 1 ＜σ 2 =σ 3D ．μ 1 ＜μ 2 =μ 3 ，σ 1 =σ 2 ＜σ 35 ．如图，已知AB 是圆O 的直径，点 C 、 D 是半圆弧的两个三等分点，= ，= ，则= （）A ．﹣B ．﹣C ．+D ．+6 ．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：x 15 16 18 19 22y 102 98 115 115 120由表中样本数据求得回归方程为y=bx + a ，则点（ a ， b ）与直线x +18y=100 的位置关系是（）A ． a + 18b ＜100B ． a + 18b ＞100C ． a + 18b=100D ． a + 18b 与100 的大小无法确定7 ．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（）A ． a 1 + x 0 （ a 3 + x 0 （ a 0 + a 2 x 0 ））的值B ． a 3 + x 0 （ a 2 + x 0 （ a 1 + a 0 x 0 ））的值C ． a 0 + x 0 （ a 1 + x 0 （ a 2 + a 3 x 0 ））的值D ． a 2 + x 0 （ a 0 + x 0 （ a 3 + a 1 x 0 ））的值8 ．已知数列{ a n } 的前n 项和为S n =2a n ﹣ 1 ，则满足的最大正整数n 的值为（）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 59 ．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 C ：y 2 =2px （p ＞0 ）的焦点为 F ，M 是抛物线 C 上的点，若△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积9π ，则p= （）A ． 2B ． 4C ． 3D ．10 ．多面体MN ﹣ABCD 的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A ．B ．C ．D ． 611 ．函数 f （x ）= （ω ＞0 ），| φ | ＜）的部分图象如图所示，则 f （π ）= （）A ． 4B ． 2C ． 2D ．12 ．已知曲线 f （x ）=e 2x ﹣2e x + ax ﹣ 1 存在两条斜率为 3 的切线，则实数 a 的取值范围为（）A ．（ 3 ，+ ∞ ）B ．（ 3 ，）C ．（﹣∞ ，）D ．（0 ， 3 ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分，把答案填在题中横线上）13 ．已知等差数列{ a n } 的前n 项和为S n ，若 a 3 =9 ﹣ a 6 ，则S 8 = ．14 ．若直线ax + y ﹣3=0 与2x ﹣y + 2=0 垂直，则二项式展开式中x 3 的系数为．15 ．定义在R 上的函数 f （x ）满足 f （x ）=则 f （2019 ）的值为．16 ．若函数y=f （x ）在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得 f （x + t ）=tf （x ）恒成立，则称y=f （x ）是一个“ 关于t 的函数” ，现有下列“ 关于t 函数” 的结论：① 常数函数是“ 关于t 函数” ；② 正比例函数必是一个“ 关于t 函数” ；③ “ 关于 2 函数” 至少有一个零点；④ f （x ）= 是一个“ 关于t 函数” ．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共 5 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 ．（12 分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线y= x （x ≥ 0 ）交于点Q ，与x 轴交于点M ．记∠ MOP=α ，且α ∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα= ，求cos ∠ POQ ；（Ⅱ）求△ OPQ 面积的最大值．18 ．（12 分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20 个小球，这20 个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l 的奇数，则为一等奖，奖金100 元；若抽取的小球编号是十位数字为 2 的奇数，则为二等奖，奖金50 元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I ）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．19 ．（12 分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中， F 、G 、H 分别是PC 、AB 、BC 的中点，PA ⊥平面ABC ，PA=AB=AC=2 ，二面角 B ﹣PA ﹣ C 为120°．（I ）证明：FG ⊥ AH ；（Ⅱ）求二面角 A ﹣CP ﹣ B 的余弦值．20 ．（12 分）设椭圆 C ：+ =1 （ a ＞ b ＞0 ）的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，上顶点为 A ，过点 A 与AF 2 垂直的直线交z 轴负半轴于点Q ，且+ = ，过 A ，Q ， F 2 三点的圆的半径为2 ．过定点M （0 ， 2 ）的直线l 与椭圆 C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．（I ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线l 的斜率k ＞0 ，在x 轴上是否存在点P （m ，0 ），使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由．21 ．（12 分）已知函数 f （x ）= ax 2 ﹣2lnx ， a ∈ R ．（ 1 ）求函数 f （x ）的单调区间；（ 2 ）已知点P （0 ， 1 ）和函数 f （x ）图象上动点M （m ， f （m ）），对任意m ∈ [ 1 ， e ] ，直线PM 倾斜角都是钝角，求 a 的取值范围．四、请考生在第22 、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22 ．（10 分）已知曲线 C 1 的参数方程是（θ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程是ρ=4sinθ ．（Ⅰ）求曲线 C 1 与 C 2 交点的平面直角坐标；（Ⅱ） A ， B 两点分别在曲线 C 1 与 C 2 上，当| AB | 最大时，求△OAB 的面积（O 为坐标原点）．23 ．设函数 f （x ）= | 2x ﹣ 1 | ﹣| x + 2 | ．（ 1 ）求不等式 f （x ）≥ 3 的解集；（ 2 ）若关于x 的不等式 f （x ）≥ t 2 ﹣3t 在[ 0 ， 1 ] 上无解，求实数t 的取值范围．2019 年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 ．设集合A= { x |2 x ≥ 4 } ，集合B= { x | y=lg （x ﹣ 1 ）} ，则 A ∩ B= （）A ．[ 1 ， 2 ）B ．（ 1 ， 2 ]C ．[ 2 ，+ ∞ ）D ．[ 1 ，+ ∞ ）【考点】1E ：交集及其运算．【分析】先分别求出集合 A 和集合 B ，由此利用交集定义能求出 A ∩ B ．【解答】解：∵集合A= { x | 2 x ≥ 4 } = { x | x ≥ 2 } ，集合B= { x | y=lg （x ﹣ 1 ）} = { x ＞ 1 } ，∴ A ∩ B= { x | x ≥ 2 } = [ 2 ，+ ∞ ）．故选： C ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2 ．复数的共轭复数= （）A ． 1 + iB ．﹣ 1 ﹣iC ．﹣ 1 + iD ． 1 ﹣i【考点】A5 ：复数代数形式的乘除运算；A2 ：复数的基本概念．【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．【解答】解：∵= =1 + i∴ =1 ﹣i故选 D ．【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．3 ．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“ 甲降落在指定范围” ，q 是“ 乙降落在指定范围” ，则命题“ 至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为（）A ．（￢p ）∨（￢q ）B ．p ∨（￢q ）C ．（￢p ）∧（￢q ）D ．p ∨ q【考点】25 ：四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P 和命题q 写出对应的￢p 和￢q ，则命题“ 至少有一位学员没有降落在指定范围” 即可得到表示．【解答】解：命题p 是“ 甲降落在指定范围” ，则￢p 是“ 甲没降落在指定范围” ，q 是“ 乙降落在指定范围” ，则￢q 是“ 乙没降落在指定范围” ，命题“ 至少有一位学员没有降落在指定范围” 包括“ 甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“ 甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“ 甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围” 三种情况．所以命题“ 至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为（￢p ）V （￢q ）．故选 A ．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4 ．已知三个正态分布密度函数（x ∈ R ，i=1 ， 2 ， 3 ）的图象如图所示，则（）A ．μ 1 ＜μ 2 =μ 3 ，σ 1 =σ 2 ＞σ 3B ．μ 1 ＞μ 2 =μ 3 ，σ 1 =σ 2 ＜σ 3C ．μ 1 =μ 2 ＜μ 3 ，σ 1 ＜σ 2 =σ 3D ．μ 1 ＜μ 2 =μ 3 ，σ 1 =σ 2 ＜σ 3【考点】CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态曲线关于x=μ 对称，且μ 越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ 越小图象越瘦长，得到正确的结果．【解答】解：∵正态曲线关于x=μ 对称，且μ 越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从 A ， D 两个答案中选一个，∵ σ 越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ 比第三个的σ 要小，故选 D ．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．5 ．如图，已知AB 是圆O 的直径，点 C 、 D 是半圆弧的两个三等分点，= ，= ，则= （）A ．﹣B ．﹣C ．+D ．+【考点】9H ：平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD ，OD ，∵已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，∴ AODC 是平行四边形，∴= ．故选： D ．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．6 ．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：x 15 16 18 19 22y 102 98 115 115 120由表中样本数据求得回归方程为y=bx + a ，则点（ a ， b ）与直线x +18y=100 的位置关系是（）A ． a + 18b ＜100B ． a + 18b ＞100C ． a + 18b=100D ． a + 18b 与100 的大小无法确定【考点】BK ：线性回归方程．【分析】由样本数据可得，，，利用公式，求出 b ， a ，点（ a ， b ）代入x + 18y ，求出值与100 比较即可得到选项．【解答】解：由题意，= （15 + 16 + 18 + 19 + 22 ）=18 ，= （102 + 98 + 115 + 115 + 120 ）=110 ，xiyi=9993 ， 5 =9900 ，xi2=1650 ，n （）2=5•324=1620 ，∴ b= =3.1 ，∴ a=110 ﹣ 3.1 × 18=54.2 ，∵点（ a ， b ）代入x + 18y ，∴ 54.2 + 18 × 3.1=110 ＞100 ．即 a + 18b ＞100故选： B ．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．7 ．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（）A ． a 1 + x 0 （ a 3 + x 0 （ a 0 + a 2 x 0 ））的值B ． a 3 + x 0 （ a 2 + x 0 （ a 1 + a 0 x 0 ））的值C ． a 0 + x 0 （ a 1 + x 0 （ a 2 + a 3 x 0 ））的值D ． a 2 + x 0 （ a 0 + x 0 （ a 3 + a 1 x 0 ））的值【考点】EF ：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a 0 + x 0 （ a 1 + x 0 （ a 2 + a 3 x 0 ）），故选： C ．【点评】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．8 ．已知数列{ a n } 的前n 项和为S n =2a n ﹣ 1 ，则满足的最大正整数n 的值为（）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5【考点】8H ：数列递推式．【分析】S n =2a n ﹣ 1 ，n=1 时， a 1 =2a 1 ﹣ 1 ，解得 a 1 ．n ≥ 2 时， a n =S n ﹣S n ﹣ 1 ，化为： a n =2a n ﹣ 1 ，利用等比数列的通项公式可得： a n =2 n ﹣ 1 . 化为： 2 n ﹣ 1 ≤ 2n ，即 2 n ≤ 4n ．验证n=1 ， 2 ， 3 ， 4 时都成立．n ≥ 5 时， 2 n = （ 1 + 1 ）n ，利用二项式定理展开即可得出． 2 n ＞4n ．【解答】解：S n =2a n ﹣ 1 ，n=1 时， a 1 =2a 1 ﹣ 1 ，解得 a 1=1 ．n ≥ 2 时， a n =S n ﹣S n ﹣ 1 =2a n ﹣ 1 ﹣（2a n ﹣ 1 ﹣ 1 ），化为： a n =2a n ﹣ 1 ，∴数列{ a n } 是等比数列，公比为 2 ．a n =2 n ﹣ 1 ．化为： 2 n ﹣ 1 ≤ 2n ，即 2 n ≤ 4n ．n=1 ， 2 ， 3 ， 4 时都成立．n ≥ 5 时， 2 n = （ 1 + 1 ）n = + + … + + + ≥ 2 （+ ）=n 2 + n + 2 ，下面证明：n 2 + n + 2 ＞4n ，作差：n 2 + n + 2 ﹣4n=n 2 ﹣3n + 2= （n ﹣ 1 ）（n ﹣ 2 ）＞0 ，∴ n 2 + n + 2 ＞4n ，则满足的最大正整数n 的值为 4 ．故答案为： C ．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9 ．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 C ：y 2 =2px （p ＞0 ）的焦点为 F ，M 是抛物线 C 上的点，若△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积9π ，则p= （）A ． 2B ． 4C ． 3D ．【考点】K8 ：抛物线的简单性质．【分析】根据△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，可得△ OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p 的值．【解答】解：∵△ OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，∴△ OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π ，∴圆的半径为 3又∵圆心在OF 的垂直平分线上，| OF | = ，∴+ =3∴ p=4故选： B ．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10 ．多面体MN ﹣ABCD 的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A ．B ．C ．D ． 6【考点】L! ：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图的数据，把几何体分割为 2 个三棱锥 1 个三棱柱，求解体积即可．【解答】解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为 2 ，底面边长为 4 ， 2 的矩形，棱柱的高为 2 ．可得，故选： C ．【点评】本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．11 ．函数 f （x ）= （ω ＞0 ），| φ | ＜）的部分图象如图所示，则 f （π ）= （）A ． 4B ． 2C ． 2D ．【考点】35 ：函数的图象与图象变化；3T ：函数的值．【分析】由图象的顶点坐标求出 A ，根据周期求得ω ，再由sin [ 2 （﹣）+ φ ] =0 以及φ 的范围求出φ 的值，从而得到函数的解析式，进而求得 f （π ）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=2 ，根据半个周期= • = ，解得ω=2 ．由图象可得当x= ﹣时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin [ 2 （﹣）+ φ ] =0 ．再由| φ | ＜，可得φ= ，故函数 f （x ）= ，∴ f （π ）=4 ，故选 A ．【点评】本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题．12 ．已知曲线 f （x ）=e 2x ﹣2e x + ax ﹣ 1 存在两条斜率为 3 的切线，则实数 a 的取值范围为（）A ．（ 3 ，+ ∞ ）B ．（ 3 ，）C ．（﹣∞ ，）D ．（0 ， 3 ）【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得 f （x ）的导数，由题意可得2e 2x ﹣2e x + a=3 的解有两个，运用求根公式和指数函数的值域，解不等式可得 a 的范围．【解答】解： f （x ）=e 2x ﹣2e x + ax ﹣ 1 的导数为f′ （x ）=2e 2x ﹣2e x + a ，由题意可得2e 2x ﹣2e x + a=3 的解有两个，即有（ e x ﹣） 2 = ，即为 e x = + 或 e x = ﹣，即有7 ﹣2a ＞0 且7 ﹣2a ＜ 1 ，解得 3 ＜ a ＜．故选 B ．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程的解的个数问题的解法，注意运用配方和二次方程求根公式，以及指数函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分，把答案填在题中横线上）13 ．已知等差数列{ a n } 的前n 项和为S n ，若 a 3 =9 ﹣ a 6 ，则S 8 = 72 ．【考点】85 ：等差数列的前n 项和．【分析】可得 a 1 + a 8 =18 ，代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得 a 3 + a 6 =18 ，由等差数列的性质可得 a 1 + a 8 =18故S 8 = （ a 1 + a 8 ）=4 × 18=72故答案为：72【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14 ．若直线ax + y ﹣3=0 与2x ﹣y + 2=0 垂直，则二项式展开式中x 3 的系数为﹣80 ．【考点】DB ：二项式系数的性质；IJ ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据两直线垂直求出 a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x 3 的系数．【解答】解：直线ax + y ﹣3=0 与2x ﹣y + 2=0 垂直，∴ 2a + 1 × （﹣ 1 ）=0 ，解得a= ；∴二项式（﹣） 5 = （2x ﹣） 5 展开式的通项公式为T r + 1 = • （2x ） 5 ﹣r • = （﹣ 1 ）r •2 5 ﹣r • •x 5 ﹣2r ，令 5 ﹣2r=3 ，求得r=1 ，∴展开式中x 3 的系数为﹣1•2 4 • = ﹣80 ．故答案为：﹣80 ．【点评】本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题．15 ．定义在R 上的函数 f （x ）满足 f （x ）=则 f （2019 ）的值为﹣ 1 ．【考点】3T ：函数的值．【分析】根据已知分析出当x ∈ N 时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化，可得答案．【解答】解：∵定义在R 上的函数 f （x ）满足 f （x ）=，∴ f （﹣ 1 ）=1 ， f （0 ）=0 ，f （ 1 ）=f （0 ）﹣ f （﹣ 1 ）= ﹣ 1 ，f （ 2 ）=f （ 1 ）﹣ f （0 ）= ﹣ 1 ，f （ 3 ）=f （ 2 ）﹣ f （ 1 ）=0 ，f （ 4 ）=f （ 3 ）﹣ f （ 2 ）=1 ，f （ 5 ）=f （ 4 ）﹣ f （ 3 ）=1 ，f （ 6 ）=f （ 5 ）﹣ f （ 4 ）=0 ，f （7 ）=f （ 6 ）﹣ f （ 5 ）= ﹣ 1 ，故当x ∈ N 时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化，故 f （2019 ）=f （ 1 ）= ﹣ 1 ，故答案为：﹣ 1 ．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当x ∈ N 时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化，是解答的关键．16 ．若函数y=f （x ）在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得 f （x + t ）=tf （x ）恒成立，则称y=f （x ）是一个“ 关于t 的函数” ，现有下列“ 关于t 函数” 的结论：① 常数函数是“ 关于t 函数” ；② 正比例函数必是一个“ 关于t 函数” ；③ “ 关于 2 函数” 至少有一个零点；④ f（x ）= 是一个“ 关于t 函数” ．其中正确结论的序号是①④ ．【考点】3S ：函数的连续性．【分析】根据抽象函数的定义结合“ 关于t 函数” 的定义和性质分别进行判断即可．【解答】解：① 对任一常数函数 f （x ）=a ，存在t=1 ，有 f （ 1 + x ）=f （x ）=a ，即1•f （x ）=a ，所以有 f （ 1 + x ）=1•f （x ），∴常数函数是“ 关于t 函数” ，故① 正确，② 正比例函数必是一个“ 关于t 函数” ，设 f （x ）=kx （k ≠ 0 ），存在t 使得 f （t + x ）=tf （x ），即存在t 使得k （x + t ）=tkx ，也就是t=1 且kt=0 ，此方程无解，故② 不正确；③ “ 关于 2 函数” 为 f （ 2 + x ）=2•f （x ），当函数 f （x ）不恒为0 时，有=2 ＞0 ，故 f （x + 2 ）与 f （x ）同号．∴ y=f （x ）图象与x 轴无交点，即无零点．故③ 错误，④ 对于 f （x ）= （）x 设存在t 使得 f （t + x ）=tf（x ），即存在t 使得（）t + x =t （）x ，也就是存在t 使得（）t （）x =t （）x ，也就是存在t 使得（）t =t ，此方程有解，故④ 正确．故正确是①④ ，故答案为①④ ．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键．三、解答题：本大题共 5 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 ．（12 分）（2019 • 乐山三模）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线y= x （x ≥ 0 ）交于点Q ，与x 轴交于点M ．记∠ MOP=α ，且α ∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα= ，求cos ∠ POQ ；（Ⅱ）求△ OPQ 面积的最大值．【考点】GI ：三角函数的化简求值；G9 ：任意角的三角函数的定义．【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα 的值，再利用两角差的余弦公式求得cos ∠ POQ 的值．（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ 的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．【解答】解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以．所以．（Ⅱ）由三角函数定义，得P （cosα ，sinα ），从而，所以= =．因为，所以当时，等号成立，所以△ OPQ 面积的最大值为．【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．18 ．（12 分）（2019 • 乐山三模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20 个小球，这20 个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l 的奇数，则为一等奖，奖金100 元；若抽取的小球编号是十位数字为 2 的奇数，则为二等奖，奖金50 元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I ）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；BA ：茎叶图；CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i 等奖的概率为P i （i=1 ， 2 ），没有中奖的概率为P 0 ，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X 的可能取值为0 ，50 ，100 ，150 ，200 ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX ．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i 等奖的概率为P i （i=1 ，2 ），没有中奖的概率为P 0 ，则P 1 + P 2 = = ，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P= = ．（Ⅱ）X 的可能取值为0 ，50 ，100 ，150 ，200 ，P （X=0 ）= ，P （X=50 ）= = ，P （X=100 ）= = ，P （X=150 ）= = ，P （X=200 ）= = ，∴ X 的分布列为：X 0 50 100 150 200P∴ EX= =55 （元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19 ．（12 分）（2019 • 乐山三模）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中， F 、G 、H 分别是PC 、AB 、BC 的中点，PA ⊥平面ABC ，PA=AB=AC=2 ，二面角 B ﹣PA ﹣ C 为120°．（I ）证明：FG ⊥ AH ；（Ⅱ）求二面角 A ﹣CP ﹣ B 的余弦值．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LO ：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I ）根据线面垂直的性质定理即可证明FG ⊥ AH ；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角 A ﹣CP ﹣ B 的余弦值．【解答】解：（I ）设AC 的中点是M ，连接FM ，GM ，∵ PF=FC ，∴ FM ∥ PA ，∵ PA ⊥平面ABC ，∴ FM ⊥平面ABC ，∵ AB=AC ，H 是BC 的中点，∴ AH ⊥ BC ，∵ GM ∥ BC ，∴ AH ⊥ GM ，∴ GF ⊥ AH（Ⅱ）建立以 A 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P （0 ，0 ， 2 ），H （，，0 ）， C （0 ， 2 ，0 ）， B （，﹣ 1 ，0 ）， F （0 ， 1 ， 1 ），则平面PAC 的法向量为= （ 1 ，0 ，0 ），设平面PBC 的法向量为= （x ，y ，z ），则，令z=1 ，则y=1 ，x= ，即= （， 1 ， 1 ），cos ＜，＞= = ，即二面角 A ﹣CP ﹣ B 的余弦值是．【点评】本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20 ．（12 分）（2019 • 乐山三模）设椭圆 C ：+ =1 （ a ＞ b ＞0 ）的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，上顶点为 A ，过点 A 与AF 2 垂直的直线交z 轴负半轴于点Q ，且+ = ，过 A ，Q ， F 2三点的圆的半径为 2 ．过定点M （0 ， 2 ）的直线l 与椭圆 C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．（I ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线l 的斜率k ＞0 ，在x 轴上是否存在点P （m ，0 ），使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由．【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合问题；K3 ：椭圆的标准方程．【分析】（I ）因为，知 a ， c 的一个方程，再利用△AQF 的外接圆与直线l 相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II ）设l 的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m 的取值范围．【解答】解：（I ）因为，所以 F 1 为 F 2 Q 中点．设Q 的坐标为（﹣3c ，0 ），因为AQ ⊥ AF 2 ，所以 b 2 =3c × c=3c 2 ， a 2 =4c × c=4c 2 ，且过 A ，Q ， F 2 三点的圆的圆心为 F 1 （﹣ c ，0 ），半径为2c因为该圆与直线l 相切，所以，解得c=1 ，所以a=2 ，b= ，所以所求椭圆方程为；（Ⅱ）设l 的方程为y=kx + 2 （k ＞0 ），与椭圆方程联立，消去y 可得（ 3 + 4k 2 ）x 2 + 16kx + 4=0 ．设G （x 1 ，y 1 ），H （x 2 ，y 2 ），则x 1 + x2= ﹣∴= （x 1 ﹣m ，y 1 ）+ （x 2 ﹣m ，y 2 ）= （x 1 + x 2 ﹣2m ，y 1 + y 2 ）．= （x 1 + x 2 ﹣2m ，k （x 1 + x 2 ）+ 4 ）又= （x 2 ﹣x 1 ，y 2 ﹣y 1 ）= （x 2 ﹣x 1 ，k （x 2 ﹣x 1 ））．由于菱形对角线互相垂直，则（）• =0 ，所以（x 2 ﹣x 1 ）[ （x 1 + x 2 ）﹣2m ]+ k （x 2 ﹣x 1 ）[ k（x 1 + x 2 ）+ 4 ] =0 ．故（x 2 ﹣x 1 ）[ （x 1 + x 2 ）﹣2m + k 2 （x 1 + x 2 ）+ 4k ] =0 ．因为k ＞0 ，所以x 2 ﹣x 1 ≠ 0 ．所以（x 1 + x 2 ）﹣2m + k 2 （x 1 + x 2 ）+ 4k=0 ，即（ 1 + k 2 ）（x 1 + x 2 ）+ 4k ﹣2m=0 ．所以（ 1 + k 2 ）（﹣）+ 4k ﹣2m=0 ．解得m= ﹣，即因为k ＞，可以使，所以故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[ ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．21 ．（12 分）（2019 • 乐山三模）已知函数 f （x ）= ax 2 ﹣2lnx ， a ∈ R ．（ 1 ）求函数 f （x ）的单调区间；（ 2 ）已知点P （0 ， 1 ）和函数 f （x ）图象上动点M （m ， f （m ）），对任意m ∈ [ 1 ， e ] ，直线PM 倾斜角都是钝角，求 a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（ 1 ）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0 或导数小于0 ，得到关于x 的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；（ 2 ）因为对任意m ∈ [ 1 ， e ] ，直线PM 倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0 恒成立的问题，对于导函数小于0 在区间[ 1 ， e ] 上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′ （x ）＜0 恒成立，通过化简最终转化为 f （m ）＜ 1 在区间[ 1 ， e ] 上恒成立，再通过研究 f（x ）在[ 1 ， e ] 上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．【解答】解：函数 f （x ）的定义域为（0 ，+ ∞ ），f′ （x ）=ax ﹣= ，（Ⅰ）当 a ＜0 时，f′ （x ）＜0 ，故函数 f （x ）在（0 ，+ ∞ ）上单调递减；当a=0 时，f′ （x ）= ＜0 ，故函数 f （x ）在（0 ，+ ∞ ）上单调递减；当 a ＞0 时，令f′ （x ）=0 ，结合x ＞0 ，解得，当x ∈（0 ，）时，f′ （x ）＜0 ，所以函数 f （x ）在（0 ，）上单调递减；当x ∈（，+ ∞ ）时，f′ （x ）＞0 ，所以函数 f （x ）在（，+ ∞ ）上单调递增；综上所述：当 a ≤ 0 时，f′ （x ）＜0 ，故函数 f （x ）在（0 ，+ ∞ ）上单调递减；当 a ＞0 时，函数 f （x ）在（0 ，）上单调递减，在（，+ ∞ ）上单调递增．（Ⅱ）因为对任意m ∈ [ 1 ， e ] ，直线PM 的倾斜角都是钝角，所以对任意m ∈ [ 1 ， e ] ，直线PM 的斜率小于0 ，即，所以 f （m ）＜ 1 ，即 f （x ）在区间[ 1 ， e ] 上的最大值小于 1 ．又因为f′ （x ）=ax ﹣= ，令g （x ）=ax 2 ﹣ 2 ，x ∈[ 1 ， e ]（ 1 ）当 a ≤ 0 时，由（Ⅰ）知 f （x ）在区间[ 1 ， e ] 上单调递减，所以 f （x ）的最大值为 f （ 1 ）= ＜ 1 ，所以 a ＜ 2 ，故 a ≤ 0 符和题意；（ 2 ）当 a ＞0 时，令f′ （x ）=0 ，得，① 当≤ 1 ，即 a ≥ 2 时， f （x ）在区间[ 1 ， e ] 上单调递增，所以函数 f （x ）的最大值 f （ e ）= ，解得 a ＜，故无解；② 当≥ e ，即时， f （x ）在区间[ 1 ， e ] 上单调递减，函数 f （x ）的最大值为 f （ 1 ）= ＜ 1 ，解得 a ＜ 2 ，故0 ；③ 当，即时，函数 f （x ）在（ 1 ，）上单调递减；当x ∈（， e ）上单调递增，故 f （x ）在区间x ∈ [ 1 ， e ] 上的最大值只能是 f （ 1 ）或 f （ e ），所以，即，故．综上所述 a 的取值范围．【点评】本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．四、请考生在第22 、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22 ．（10 分）（2019 • 乐山三模）已知曲线 C 1 的参数方程是（θ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程是ρ=4sinθ ．（Ⅰ）求曲线 C 1 与 C 2 交点的平面直角坐标；（Ⅱ） A ， B 两点分别在曲线 C 1 与 C 2 上，当| AB | 最大时，求△OAB 的面积（O 为坐标原点）．【考点】Q4 ：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线 C 1 ， C 1 的平面直角坐标方程，把两式作差，得y= ﹣x ，代入x 2 + y 2 =4y ，能求出曲线 C 1 与 C 2 交点的平面直角坐标．（Ⅱ）作出图形，由平面几何知识求出当| AB | 最大时| AB | =2 ，O 到AB 的距离为，由此能求出△ OAB 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线 C 1 的参数方程是（θ 为参数），∴曲线 C 1 的平面直角坐标方程为（x + 2 ） 2 + y 2 =4 ．又由曲线 C 2 的极坐标方程是ρ=4sinθ ，得ρ 2 =4ρsinθ ，∴ x 2 + y 2 =4y ，把两式作差，得y= ﹣x ，代入x 2 + y 2 =4y ，得2x 2 + 4x=0 ，解得或，∴曲线 C 1 与 C 2 交点的平面直角坐标为（0 ，0 ），（﹣ 2 ， 2 ）．（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：当 A ， C 1 ， C 2 ， B 依次排列且共线时，| AB | 最大，此时| AB | =2 ，O 到AB 的距离为，∴△ OAB 的面积为S= ．【点评】本题考查两曲线交点的平面直角坐标的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的相互转化及应用．23 ．（2019 • 乐山三模）设函数 f （x ）= | 2x ﹣ 1 | ﹣| x + 2 | ．（ 1 ）求不等式 f （x ）≥ 3 的解集；（ 2 ）若关于x 的不等式 f （x ）≥ t 2 ﹣3t 在[ 0 ， 1 ] 上无解，求实数t 的取值范围．【考点】R5 ：绝对值不等式的解法．【分析】（ 1 ）通过对x 范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得 f（x ）= ，再解不等式 f （x ）≥ 3 即可求得其解集；（ 2 ）当x ∈ [ 0 ， 1 ] 时，易求 f （x ）max = ﹣ 1 ，从而解不等式t 2 ﹣3t ＞﹣ 1 即可求得实数t 的取值范围．【解答】解：（ 1 ）∵ f （x ）= ，∴原不等式转化为或或，解得：x ≥ 6 或﹣ 2 ≤ x ≤ ﹣或x ＜﹣ 2 ，∴原不等式的解集为：（﹣∞ ，﹣] ∪ [ 6 ，+ ∞ ）；（ 2 ）只要 f （x ）max ＜t 2 ﹣3t ，由（ 1 ）知，当x ∈ [ 0 ， 1 ] 时， f （x ）max = ﹣ 1 ，∴ t 2 ﹣3t ＞﹣ 1 ，解得：t ＞或t ＜．∴实数t 的取值范围为（﹣∞ ，）∪（，+ ∞ ）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x 范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。