力偶理论

M
M
y
0
0
60F1 50F3 sin 0
60F2 50F3 cos 0
F1
M1 O M2 F2
F2
F3 c 60
y

m
z
x
40 cm
sin 0.6
cos 0.8
图3-7
解得
F1 75kN
F2 100kN
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2 Mx cos( M , i ) M My cos( M , j ) M Mz cos( M , k ) M
（3-7）
3.3.2 空间力偶系的平衡方程 空间力偶系平衡的充分必要条件为：合力偶对应 的力偶矩矢量为零矢量。
x

cos( M , k )
M
M
z

800 0.9275 862.55
例 3-3 作用于如图3-7所示楔块上的三个力偶处于平衡。 已知： F3 F3 150 kN 。试求力F1和F2的大小。 解：取楔块为研究对象 将各力偶矩矢平移到O点，
30 cm
z
F3
F1 M3
ห้องสมุดไป่ตู้列空间力偶系平衡方程
M M1 M 2 M n M
在实际计算中，通常采用投影形式。
M x M 1x M nx M x M y M 1 y M ny M y M z M 1z M nz M z
（3-5）
（3-6）
3 力偶理论
与力一样，力偶是力学中的一个基本量。作 用于刚体上的力偶不能使刚体产生移动效应，只 能使刚体产生转动效应。 力偶是一种特殊的力系，没有合力，不能与 单个力平衡。 但它具有可移转性、可改变性等重要性质， 它对刚体的转动效应完全取决于力偶矩矢。
3.1 力偶、力偶矩矢
3.1.1 力偶的概念
如图3-1所示，作用于刚体上大小 相等、方向相反的一对平行力，称为 力偶（Couple），记作（F，F′）。
作用于刚体上的一群力偶构成力偶系（System of couples）。
力偶系可分为平面力偶系（Coplanar couple system） 和空间力偶系（Three dimensional couple system）。
3.1.2 力偶矩矢 力偶（F，F′）的两个力的作用线所确定的平面 称为力偶作用平面(见图3-2)。两个力作用线之间的垂 直距离d称为力偶臂，力偶对刚体的作用效应取决于三 M 个因素: （1）乘积Fd； （2）力偶的转向； （3）力偶作用面的方位。
M 1 F1 d1 200 42 22 400 5 kN m
d2 F1 M1 F2 O d1 2m y 3m
F2 F1
4m M2
M 2 F2 d2 100 2 200 kN m
x
图3-6
取Oxyz直角坐标系，将各力偶矩矢平移到O点，如图3-6 所示。则合力偶矩矢在三个直角坐标轴上的投影分别为
Fn dn
A
Fn1
F1
d1
d2
F2
B
A
F11 F21
d
FR
B
d
图3-4
M1 F1d1 F11d M 2 F2 d2 F21d ，…， M n Fn dn Fn1d
FR F11 F21 (Fn1 )
FR F11 F21 (Fn1 )
M1 M2
(3-2)
3.1.3.1 力偶的可移、可转性 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可在其作用 面内任意移动、转动，不改变力偶对刚体的转动效应。 因此，力偶对刚体的作用与其在作用面内的位置无关。 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可以平行地 移至另一个平面内，而不改变力偶对刚体的转动效应。 因此，力偶矩矢为自由矢量。
M 0
（3-8）
空间力偶系的平衡方程
M M M
x y z
0 0 0
（3-8）
例 3-2 如图3-6所示，在长方体的两个对角面上分别作用二 力偶 (F1，F1′)。已知：F1 = 200 kN，F2 = 100 kN。试求这两个 力偶的合力偶矩矢。 z 解：设力偶(F1，F1′)，(F2，F2′) 的力偶矩矢分别为M1和M2，
3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.2.1 平面力偶系的合成
设作用于刚体上同一平面内的n个力偶（F1，F1′）， （F2，F2′），…，（Fn，Fn′）对刚体的作用效应与力 偶（FR，FR′）对刚体的作用效应相同，则称力偶（FR， FR′）是力偶（F1，F1′），（F2，F2′），…，（Fn， Fn′）的合力偶。一般情况下，平面力偶系可合成为一 个合力偶，合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数 和，即
M M1 M 2 M n M
（3-3）
证明：设作用于刚体上的平面力偶系（F1，F1′）， （F2，F2′），…，（Fn，Fn′），其力偶臂分别为d1， d2，…，dn，如图3-4所示。 则各力偶的力偶矩分别为 M1 F1d1 M 2 F2 d2 ，…，M n Fn dn
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2 (280)2 1602 (800)2 862.55 kN m
M cos( M , i )
280 0.3246 M 862.55 M y 160 0.1855 cos( M , j ) M 862.55
M 0
FB O2 B M 2 0
M 2 FB O2 B FB O2 B 500 60 102 300 N
3.3 空间力偶理论 3.3.1 空间力偶系的合成 一般情况下，平面力偶系可合成为一个合力偶， 合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数和，即
M FR d (F11 F21 (Fn1 )) d M1 M2 Mn M
3.2.2 平面力偶系的平衡方程 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：所有各 力偶矩的代数和等于零，即
M M
1
M 2 M n 0
（3-4）
式（3-4）称为平面力偶系的平衡方程。由于只有一 个平衡方程，因此只能求解一个未知量。
例 3-1 如图3-5所示机构，各杆自重不计，在两力偶作用 下处于平衡。已知：M1 = 100 N · m，O1A = 40 cm，O2B = 60 cm。 试求力偶矩M2的大小。 B A FB FA F B
30 o
B
B
A M2 FA FO1 A O1 M1 O2
O1
M1
M
2
O2
FO2
(a)
B d A F F
F
图3-1
由二力平衡公理可知，力偶不是平衡力系，它是一种 特殊的力系。在力偶的作用下，刚体会产生转动效应。例 如，汽车司机用双手转动方向盘，钳工用丝锥攻螺纹，电 动机转子受到电磁力作用旋转等等，都是力偶作用下刚体 的转动效应。
力偶是力学中的一个基本量。 力偶没有合力。 力偶不能与单个力等效，也不能与单个力平衡。 力偶只能与力偶等效，只能与力偶平衡。
3.1.3.2 力偶的可改变性 在保持力偶矩矢不变的前提下，可以任意改变力 偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体 的转动效应。可见，力偶中力的大小和力偶臂的长短 都不是决定力偶效应的独立因素。
在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶的这些变化 都不会改变力偶对刚体的作用效应。因此，今后我们 只关心力偶的力偶矩矢，而不过问该力偶中力的大小、 方向和作用线。故在表示力偶时，只要在力偶作用面 内用一带箭头的弧线表示力偶的转向，旁边标注力偶 矩M的值即可，如图3-3所示。
此各力偶矩矢的方位相同。这时，力偶矩矢可用一
代数量表示(见图3-3)，即
M Fd
M
图3-3
一般规定，当力偶使刚体产生逆时针的转动时， 力偶矩取正号，反之则取负号。力偶矩的单位为 牛·米（N · m），或千牛·米（kN · m）。
3.1.3 力偶的等效
若两个力偶对刚体的作用效应相同，则称这二力 偶等效。 两力偶的等效条件 ：力偶矩矢相等，即
1 3 200 280kN m 5 5 4 M y M y M 1 y M 2 y 0 200 160kN m 5 2 M z M z M1z M 2 z 400 5 0 800kN m 5 M x M x M1x M 2 x 400 5
图3-5
(b)
解：取O1A杆为研究对象，受力如图3-5(b) 所示，
列平衡方程有
M 0
FA 100 1 40 102 2
M1 FA O1 A sin 30 0
500 N
AB杆为二力构件，则有
FB FA FA 500 N
取O2B杆为研究对象，受力如图3-5(b)所示。 列平衡方程有
F
d F′
图3-2
这三个因素用一个矢量表示，称为力偶矩矢，记 为M。力偶矩矢的表示法如下：矢的长度按一定的比 例表示力偶矩的大小Fd ；矢的方位垂直于力偶作用面； 矢的指向按右手规则确定，即右手四指的指向符合力 偶转向而握拳时，大拇指伸出的方向就是力偶矩矢的 转向。
对于平面力偶系，各力偶作用面相互重合，因