第四章控制系统的频率特性

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控制工程基础第4章控制系统的频率特性

控制工程基础第4章控制系统的频率特性

插值计算可大致确定闭环截止频率为 b
=1.3rad/s。
非单位反馈系统的闭环频率特性
对于非单位反馈系统,其闭环频率特性可
写为
X X
o i
j j
1
G j G j H
j
H
1
j
1
G j H j G j H j
在求取闭环频率特性时,在尼柯尔斯图上画
出 G j H j 的轨迹,由轨迹与M轨线和N轨
频域法是一种工程上广为采用的分析 和综合系统间接方法。另外,除了电路 与频率特性有着密切关系外,在机械工 程中机械振动与频率特性也有着密切的 关系。机械受到一定频率作用力时产生 强迫振动,由于内反馈还会引起自激振 动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归 结为机械系统在频率域中表现的特性。 频域法能简便而清晰地建立这些概念。
如果M=1,由式(4.26)可求得X=-1/2,即为
通过点(-1/2,0)且平行虚轴的直线。
如果M≠1,式(4.26)可化成
X
M M2
2
2
1
Y
2
M2 M 2 1 2
(4.27)
该式就是一个圆的方程,其圆心为
M2
,半径为 M 。如下图。
[
M
2
, 1
j0]
M 2 1
在复平面上,等M轨迹是一族圆,对于给定 的M值,可计算出它的圆心坐标和半径。下 图表示的一族等M圆。由图上可以看出,当 M>1时,随着M的增大M圆的半径减小,最后 收敛于点(-1,j0)。当M<1时,随着M的 减小M圆的半径亦减小,最后收敛于点 ( 0 , j0)。M=1 时 , 其 轨 迹 是 过 点 ( 1/2,j0)且平行于虚轴的直线。

自动控制原理与系统控制系统的频率特性

自动控制原理与系统控制系统的频率特性

如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 : G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 : G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 : L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 : arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
(极坐标表示法)
U () jV ()
(直角坐标表示法)
(A指(数表)e示j法 ())
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解:惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统(或环节)输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性, 简称幅频特性,它随角频率ω变化,常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性,简称相频特性,它 也随角频率ω变化,常用φ(ω)表示,
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性,用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大(或衰减) 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后(或超前)的特性。

第四章频率特性

第四章频率特性

第四章控制系统的频域分析法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 频率特性法本章是通过对系统的频率特性研究分析自动控制系统,是一种经典方法。

问题:什么是频率特性,如何描述?如何利用频率特性分析控制系统?5.1 频率特性5.1.1频率特性的基本概念我们知道,系统(包括开环系统和闭环系统)对正弦输入信号的稳态反应是用以描述系统性能的一种广泛应用的工程方法。

频率特性描述了系统在正弦输入信号作用下,其输出信号与输入信号之间的关系。

设系统的传递函数为又设其中:的振幅为常值:正弦函数的角频率有一般地A(s),B(s)为s的多项式;为的极点,包括实数和共扼复数对稳定的系统而言均具有负实部。

(设系统无重极点)其中,待定,是的共扼复数,为待定系数。

由拉氏反变换可得:则输出信号的稳态分量:(对于稳定的系统具有负实部)注:如果系统中含有k个重极点,则在中将会出现象(j=0,1,2,……,k-1)这样一些项,然而对于稳定的系统来说,由于具有负实部,所以各项都将随着趋于无穷大而趋于零。

因此具有重极点的稳定系统的稳态分量具有和上式相同的形式。

可按下式计算:(由留数公式)及其中为一复数,可表示为其中,模幅角同样可以证明,是的偶函数是的奇函数证明:设式中则有是的偶函数是的奇函数稳定的线性定常系统在正弦输入下的稳态响应为:可见:线性定常系统在正弦信作用下的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号。

其振幅是输入信号振幅R的倍,在相位上,正弦输出相对于输入的相移,同样是的函数,对确定的来说,振幅C及相移将是确定的。

综上:在正弦输入信号的作用下,线性定常系统的输出信号的稳态分量是和正弦输入信号同频率的正弦函数,其振幅C与输入正弦的振幅R 的比值C/R=是角频率的函数。

它描述系统对不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减(或放大)特性,定义这种振幅比依赖于频率的函数为系统的幅频特性。

相对于输入信号r(t)的相移也是的函数,是系统输出信号的稳态分量对正弦输入信号r(t)的相移为该系统的相频特性,它描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生相角滞后或相角超前的特性。

第四章 控制系统的频率特性PPT课件

第四章 控制系统的频率特性PPT课件
一·乃氏图的一般作图法
1·写出 G ( j w ) 和G( jw)表达式; 2·分别求出 w 0 和 w时的 G ( j w ) ;
3·求乃氏图与实轴的交点,交点可利用 ImG(jw)0或 G(jw)n180o
的关系式求出;
4·求乃氏图与虚轴的交点,交点可利用 ReG(jw)0或 G(jw)n90o
K;
(T 1s1 )(T 2s1 )
K ,T 1,T 20
试概略绘制系统开环幅相曲线。
解:由于惯性环节的角度变化为 ~-900,故该系统开环幅
相曲线中
起点为:
终点为:
系统开环频率特性
A (0)K,
(0)00
A ( ) 0 , ( )2 ( 90) 0 10 80
G (j)K [1 (1 T 1 T T 12 2 2 2) 1 (j (T T 1 22 T 22 ))]
即多环节传递函数的幅频特性是各环节模的乘积,相频特性是各环节 相位角之和。
7
自动控制原理
§4-2频率响应的极 频率响应G(jw)是输入频率w的复变函数,是一种变换,当w从0逐渐增长至
时,G(jw)作为一个矢量,其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响
应的极坐标图,亦叫坐做乃标氏图图((Nyq乃uist氏曲线图) )
传递函数G(s)
S=jw
频率特性G(jw)
注:系统频率特性分析法是一种用“稳态”的方法(即输出稳态时 的正弦信号,不考虑过度过程)来分析系统的动态特性(稳,准, 快)
5
自动控制原理
二·频率特性的一些概念
G (jw ) U (w )jV (w )
幅频特性 A (w ) G (jw )[U (w )]2 [V (w )]2
(jw K)(j(wjw1T11)1()j(wjw2T21).1..)...

第四章系统的频率特性分析

第四章系统的频率特性分析

第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性?解 对于线性定常系统,若输入为谐波函数,则其稳态输出一定是同频率的谐波函数,将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性;将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。

将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。

4.2 什么叫机械系统的动柔度,动刚度和静刚度?解 若机械系统的输入为力,输出为位移(变形),则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度;机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度;当0=w 时,系统频率特性的倒数为系统的静刚度。

4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg),求系统的动刚度,动柔度和静刚度。

解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。

解:由频率特性的定义有 G (jw )=AB e jw。

4.5已知系统的单位阶跃响应为)(。

t x =1-1.8te 4-+0.8te9-,试求系统的幅辐频特性与相频特性。

解:先求系统的传递函数,由已知条件有)(。

t x =1-1.8te 4-+0.8te9-(t 0≥))(S X i =s 1)(。

S X =s 1-1.841+s +0.891+s )(S G =)()(。

S X S X =()()9436++s s )(jw G =jw s s G =)(=()()jw jw ++9436)(w A =)(jw G =22811636ww +•+)(w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。

机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)

机械工程控制基础(第4章 系统的频率特性分析)

(4.1.10)
根据频率特性的定义可知,系统的幅频特性和相频特性分别为:
G ( j ) Xi ( ) G ( j ) A ( ) X o ( )
(4.1.11)
故 G ( j ) G ( j ) e
j G ( j )
就是系统的频率特性,它是将 G ( s )
d dt
微分方程
dt
s 传递函数 s
系统
j
频率特性
j
图4.1.2 系统的微分方程、传递 函数和频率特性相互转换关系图
中原工学院
机电学院
4.1.4 频率特性的特点和作用
第1
系统的频率特性就是单位脉冲响应函数的Fourier变换,即频谱。 所以,对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。
第2
K

所以
A
X o Xi

1 T
2
2
arctan T

K 1 T
2 2
e
j arctan T
中原工学院
机电学院
2. 将传递函数中的s换为 j (s=j )来求取
由上可知,系统的频率特性就是其传递函数G(s)中复变量s j 的特殊情况。由此得到一个极为重要的结论与方法,即将系统的传递
G
j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
中原工学院
机电学院
图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
性分别为
A ( ) X o ( ) Xi G

自动控制第四章

自动控制第四章

Nyquist步骤:1 2 3 频率特性
幅频 G ( jw ) =
1 1+w 2T 2
w 0,幅值,相角
w ,幅值,相角
与实轴或虚轴的交点
幅相特性(Nyquist)
Re
相频 G( jw)=-arctg(wT)
2 wn ⑹ 振荡环节 G( s) 2 2 s 2wn s w n w 2 1 ( ) wn U (w ) w 2 2 w 2 2 [1 ( ) ] 4 ( ) wn wn w 2 wn V (w ) w 2 2 w 2 [1 ( ) ] 4 2 ( ) wn wn
一、典型环节的奈氏图
⑴ 比例环节 G( s) K ⑵ 微分环节 G( s ) s
1 ⑶ 积分环节 G ( s ) s
G( jw ) K G ( jw ) jw
幅值相角
G K G 0 G w G 90 G 1 w G 90
G 1
奈氏图
1 G( jw ) jw
0.237 76
G
G ( j )
2(2 j ) 0 j 0 0 90 2 2 2
证明:惯性环节 G ( jw )
G ( jw )
1 1 jwT的幅相特性为半圆
1 1 jw T X jY 2 2 1 jw T 1 w T
G( j 0.6) 0.92 j 0.27 0.959 16.4 G( j1) 0.8 j 0.4 0.804 26.6 G( j 2) 0.5 j 0.5 0.707 45 G( j 4) 0.2 j 0.4 0.447 63.4 G( j8) = 0.06 - j 0.24

控制工程基础第4章 控制系统的频率特性

控制工程基础第4章 控制系统的频率特性

( ) G ( j ) arctanT
As 0, 1) ( gain G ( j ) 1 L( ) 20lg G ( j ) 0
( ) 0
As 1 gain G ( j ) T L( ) 20lg G ( j ) 20 lg(T )
第四章 控制系统的频率特性
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方 法 4.2 极坐标图 4.3 对数坐标图 4.4 由频率特性曲线求系统的频率特性 4.5 控制系统的闭环频响
4.1 机电系统频率特性的概念及其实验基本方法
频率响应: 系统对正弦函数输入的问题响应。当输入正弦信号时, 系统的稳态输出也是正弦信号,且其频率与输入信号的 频率相同,其幅值及相角随着输入信号频率的变化而变 化。 当输入为非正弦的周期信号时,可将输入信号利用傅立 叶级数展开成正弦函数叠加的形式,系统的响应也是其 相应正弦函数响应的叠加 输入为非周期信号时也可以将它看作是周期为无穷大的 周期信号
V ( )
相频特性
A( )
( )
U ( )
4.2 极坐标图
Im( )
G ( j n )
Re( )
G ( j 2 )
G ( j1 )
4.2.1 典型环节的乃氏图

k

0
积分环节 比例环节
0
G (s) k G ( j ) k A( ) G ( j ) k
系统开环传递函数为: 100(0.05s+1) G(s)= s(0.1s+1)(0.2s+1) 试绘制其开环对数频率特性图
40 20 1 20lgk 5 10 20
1 -90 -180 -270
5
10

机械工程控制基础 第四章 频率特性

机械工程控制基础 第四章 频率特性

x r (t) x rm sin( t)
x c (t) x cm sin( t ())
稳态输出量与输入量的频率相同,仅振幅和相位不同。
P3
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
机械工程控制基础
第四章 系统的频率特性
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) Ts 1
机械工程控制基础
第四章 系统的频率特性
4.1.3 频率特性的物理意义 频率特性与传递函数的关系: G(jω)=G(s)|s=jω 频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦 输入的响应特性。
(ω)大于零时称为 相角超前,小于零 时称为相角滞后。
P14
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
机械工程控制基础
L() 20 lg
() 90
L() |1 20lg |1 0
P29
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
机械工程控制基础
第四章 系统的频率特性
纯微分环节幅相频率特性
G ( j) j
| G ( j) |
P16
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
机械工程控制基础
第四章 系统的频率特性
应用频率特性分析系统性能的基本思路:实际施加于控制 系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的 傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数,因此根据 控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出 它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。 设f(x)在(-,+)内绝对可积,则f(x)
二阶微分环节
P18
振荡环节
延滞环节
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所

第四章 系统的频率特性分析

第四章 系统的频率特性分析

61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示,在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr(Mr)、wb。
1.零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时,闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解:根据回路电压定律有
系统的传递函数为:
系统的频率特性为 :
系统的幅频特性为:
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为:
根据系统频率特性的定义有 ,系统稳态输出为:
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时,测得 系统的输出 ,试确定该系统的参数nω,ξ。 解:系统的闭环传递函数为:
因为,如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下,只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求,此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以,微分环节频率特性的nyquist图是:
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)

4 系统的频率特性响应-2(Nyquist)

4 系统的频率特性响应-2(Nyquist)

G开 ( j ) arctgT1 arctgT2
当=0时, G开 ( j 0) K , G开 ( j 0) 00 当=时, G开 ( j) 0, G开 ( j) 1800
16

K T1T2 T1 T2
=0
曲线与虚轴相交时,相角为90度
arctgT1 arctgT2 900
当当逐渐增长至逐渐增长至时频率特时频率特作为一个矢量其端点在复平作为一个矢量其端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标极坐标图极坐标图也称为曲线曲线
控制工程基础
主讲人:李金平 lijp@ 长安大学工程机械学院
第四章 控制系统的频率特性
4.1 系统频率特性的概念 4.2 频率特性图示方法1:极坐标图(Nyquist图) 4.2频率特性图示方法2:对数坐标图(Bode图) 4.3 频率特性的特征量
20lg G1G2 20lg G1 20lg G2
若系统增加一个积分环节(1型系统) 则
G开 ( s ) K s(T1 s 1)(T2 s 1)
K
G开 ( j )
2T1 2 1 2T2 2 1
G开( j ) 900 arctgT1 arctgT2
2 2
1 T 2T
2
j
1 T 2T
2 2 2
2
2T
2
G j
1
1 T 2 T
2 2 2
2 T 1 arctan 1 T 2 2 T G j 1 180 arctan 2 T 2 2 1 T T
作业

控制系统的频率特性

控制系统的频率特性

频域法是利用频率特性研究自动控制系统的一种古典方 法,它有如下特点
1) 应用Nyquist(奈奎斯特)稳定性判据,可以根据系统的开环频率特 性,研究闭环系统的稳定性,而不必求特征方程的根。 2) 对于二阶系统,频率响应和瞬态响应的性能指标之间有确定的对 应关系,而高阶系统也存在类似的关系。因为系统的频率特性与系 统参数、结构之间有着密切关系,所以可以利用研究频率特性的方 法,把系统的参数、结构变化和瞬态响应性能指标之间联系起来。 3) 频率特性有明确的物理意义,很多元件的这一特性都可以用实验 的方法确定,这对难于分析其物理规律来列出微分方程的元部件和 系统,有很重要的工程实际意义。 4) 频率特性分析法不仅适用于线性系统,而且可以推广到某些非线 性系统。 5) 当系统在某些频率范围存在着严重噪声时,应用频率法,可以设 计出能够很好抑制这些噪声的系统。
2
2
系统的幅频特性的Bode图由各典型环节的幅频特性Bode图 相叠加。系统的对数相频特性为
对数相频特性
φ(ω) = ∑arctanωτ i + ∑arctan
一.对数频率特性的坐标
对数幅频特性是对数值20lgA(ω)和频率ω的关系曲线。 对数相频特性是相角φ(ω)和频率ω的关系曲线。 这两条特性曲线画在半对数坐标纸上,采用同一个横坐 标作为频率轴。横坐标采用对数分度,但标写的却是ω 实际值,单位为弧度/秒(rad/s).
L(ω) (dB)
40 20 0 0.01 -20 -40 0.1 1 10 100 ω(rad/s)
4.1 频率特性
一.频率特性的基本概念
xi (t) xi (t) t R C xo(t)
RC网络的传递函数为
X0 (s) 1 G(s) = = Xi (s) Ts +1

(第10讲) 第四章 频响求传函

(第10讲) 第四章 频响求传函
控制系统的频率特性 5
2 1型系统 K 1 的确定 1型系统的传递函数为:
G (s) K 1 ( 1 s 1)( 2 s 1) ( m s 1) s (T1 s 1)( T 2 s 1) (T n s 1)
K 1 ( 1 j 1)( 2 j 1) ( m j 1) j (T1 j 1)( T 2 j 1) (T n j 1)
06-7-20 控制系统的频率特性 19
(二) 闭环频域指标
谐振角频率 r 谐振峰值
M
r
M : r

A max A(0)
,当
A 0 1时, A max 与 M
r
相等
,A max 为最大值。 复现频率和带宽:规定 作为反映低频正弦输入信号作用上的 允许误差,当幅频特性 A 与 A 0 的差第一次达到 时,对应 的频率称为复现频率 M 。频率范围 [ 0 , M ]表示复现低频正 弦输入信号的带宽,称为复现带宽或称为工作带宽。 截止频率
4
30 20logK 20
cf1_dB=23.5218252
-20dB/dec
10
0
cf2_dB=9.5424251
-40dB/dec
-10
-20
-30
cf3_dB=-30.4575749
10
0
-40 -1 10
10
1
G (s)
06-7-20
15 ( s 1)( 0 . 2 s 1)
某一0型系统对数幅值曲线
v
根据传递函数分母中积分环节的数目: v=0 0型系统 v=2
06-7-20
v=1 1型系统

《机械控制工程基础》第四章 控制系统的频率特性

《机械控制工程基础》第四章 控制系统的频率特性

解:列写力平衡方程
f(t)
Kx(t) Cx(t) f (t)
其传递函数为:G(s) X (s)
1
1 K
1 K
F(s) Cs K C K s 1 Ts 1
K
X(t)
c
f (t) F sin wt 拉氏变换:
F(s) F w s2 w2
输出位移 X (s) G(s)F(s)
x(t)
F K
( T )w 1 Tw2
(1,j0)
w
U
τ<T
当w=0 A(w)=1 w→∞
(w) 0 A(w)
T
() 0
要画准确的奈氏曲线需计算不同频率下的幅值和相位,或实部 和虚部,得到相应的各点,将各点顺次连接得到奈氏曲线。
若系统传递函数是由多个环节组成,幅频特性曲线其幅值 是各环节幅值的乘积,相角是各环节相位相加。
U (w)
比例环节的特点:不改变曲线的形状,只改变L(w)的大小 。
2.积分环节
G( jw) 1 j 1 jw w
L(w)/dB
20
L(w) 20lg A(w) 20lg 1 20lg w 0.1 w
-20dB/dec
1
(w) arctg V (w) 90
U (w)
φ(w)°
-90°
8.延时环节 传递函数 G(s) eτs
频率特性 G( jw) ejw cosTw j sin Tw
U (w) cosTw
jV
V (w) sinTw
A(w) U 2 (w) V 2 (w) 1
(w) arctg V (w) Tw
U (w)
(1,j0) U
w
例3. 已知系统传递函数为 G(s) s 1 ,试画其奈氏曲线图

第四章 频率特性分析解析

第四章  频率特性分析解析

以R-C电路为例,说明频率特性的物理
R
意义。如右图所示电路的传递函数为:
Uo (s) G(s) 1
ui
Ui (s)
1 RCs
C uo
设输入电压 ui (t) Asin t
U o ( j) G( j) 1 1
U i ( j)
1 RCj 1 Tj
图5-3 R-C电路
式中 T=RC G(jω) 称为电 路的频率特性。
— 稳态输出信号的相位
频率特性
线性定常系统在谐波输入信号作用下的频率 响应与输入信号频率的关系称为频率特性,它包 括幅频特性和相频特性。
系统的频率响应幅值与谐波输入信号幅值之 比随输入信号频率变化的关系称为幅频特性,即
A X o G j
Xi
G j
系统的频率响应相位与谐波输入信号相位之 差 (ω)随输入信号频率变化的关系称为相频特性。
❖ 频率响应与输入谐波信号之间存在相位差 (ω),其相 位差 (ω)随输入信号的频率ω的变化而改变。
❖ 即输出信号与输入信号的幅值比和相位差都是频率ω的 非线性函数。
频率响应演示
6 4 2 幅值 0 -2 -4 -6 -8
0
红 —输 入 , 蓝 —全 响 应 , 黑 —稳 态 响 应 yss(t)
频率特性记作 A(ω)·∠ (ω)
频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取;
2. 将系统传递函数G(s)中的s换为jω来求取; 3. 用试验方法求取。
当输入信号xi t
Xi
sin
t时,X i s
X i s2 2
则输出为:xos t
AX i
sin t
,X o s
AX i s sin cos
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第四章控制系统的频率特性本章要点本章主要介绍自动控制系统频域性能分析方法。

内容包括频率特性的基本概念,典型环节及控制系统Bode图的绘制,用频域法对控制系统性能的分析。

用时域分析法分析系统的性能比较直观,便于人们理解和接受。

但它必须直接或间接地求解控制系统的微分方程,这对高阶系统来说是相当复杂的。

特别是当需要分析某个参数改变对系统性能的影响时,需反复重新计算,而且还无法确切了解参数变化量对系统性能影响的程度。

而频率特性不但可以用图解的方法分析系统的各种性能, 而且还能分析有关参数对系统性能的影响,工程上具有很大的实用意义。

第一节频率特性的基本概念一、频率特性的定义频率特性是控制系统的又一种数学模型,它是系统(或元件)对不同频率正弦输入信号的响应特性。

对线性系统,若输入信号为正弦量,则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量,但是输出信号的幅值和相位一般不同于输入量,如图4-1。

若设输入量为r(t)=A「sin( 3 t+ u r)其输出量为c(t)=A c sin@ t+ u c)若保持输入信号的幅值A r不变,改变输入信号的角频率3,则输出信号的角频率也变化,并且输出信号的幅值和相位也随之变化。

图4-1控制系统的频率响应我们定义系统(或环节)输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性,简称幅频M( 3 )表示。

输出量与输入量的相位差为相位频率特3变化,常用U (3 )表示。

其数学定义为M"AU ( 3 )= U c - U幅频特性和相频特性统称为频率特性,用G(j 3 )表示。

由此,幅频特性M( 3 )又可表示为|G(j ;i ),相频特性u (3 )又可表示为Z G(j ■),三者可表示成下面的形式:G(j a )=|G(j m )|Z G(j s )M (co ) = G(jco) 「()二/G( j •)二、频率特性与传递函数的关系频率特性和传递函数之间存在密切关系:若系统(或元件)的传递函数为 G(s),则其频率特性为 G(j 3 )。

这就是说,只要将传递函数中的复变量 s 用纯虚数j 3代替, 就可以得到频率特性。

即G(s) > G(j ■)三、频率特性的表示方法 1 .数学式表示法频率特性是一个复数,所以它和其他复数一 |样,可以表示为极坐标式、直角坐标和指数坐标 三种形式。

见图 4-2所示。

G(j •)二 G(j J- G(j )二U (■) jVC )-M ( )e j ()显然,M=|G( j ⑷)| 2(co )+V 2®)w G(j "arcta说例4-1写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。

特性,它随角频率 3变化,常用 性,简称相频特性,它也随角频率 其中 图4-2频率特性的表示方法其频率特性为1G( j ■)=j +1幅频特性为1A()= ------------------Jg )2 +1相频特性为 (■)二 G(j ,)=0 〜arcta nT ,2 •图形表示法1 )极坐标图(又称奈奎斯特图)当3从0^8变化时,G(j 3 )运动的轨迹称为极坐标图。

根据频率特性的极坐标式 G(j 3 ) = M( 3 ) Z U ( 3 ),可以算出每一个 3值所对应的幅值 M( 3 )和U ( 3 ),将它们画 在极坐标平面图上,就得到了频率特性的极坐标图。

2)对数频率特性对数频率特性是将频率特性表示在半对数坐标中,通常称为 Bode 图。

对数频率特性的定义为:L( 3 )=20lgM( 3 )U ( 3 )= Z G( 3 )引入对数幅频特性 L( 3 ),可以把幅频特性相乘的关系转化成对数幅频特性相加的 关系从而简化计算和方便作图。

另外,以后的分析会表明, L( 3 )或它的渐近线大多与lg 3成线性关系。

因此,若以 L( 3 )为纵轴,lg 3为横轴,则其图线为直线,这也使频率特性的计算和绘制过程大为简化。

①对数幅频特性曲线横坐标表示角频率 3 ,单位为弧度/秒(rad/s ) ,按 lg 3均匀分度,但对 3而言是不 均匀的,两者的相应关系参见图 4-3所示,频率从1到10的对数值见表4-1所示。

在 横坐标上,3每变化10倍,横坐标就变化一个单位长度, 我们以后称为一个 “10倍频 程”(记为dec )。

纵坐标表示L( 3 ),单位为分贝(dB ),均匀分度,如图4-3所示。

由于只有横坐标 为对数坐标,纵坐标不是对数坐标,所以又称为半对数坐标图。

这一点在画图时必须'VTT T 、\■、、》;要注意。

②对数相频特性曲线解:惯性环节的传递函数为G(s )\s 1横坐标表示角频率3,单位为弧度/秒 (rad/s),按lg 3均匀分度,但对3而言是不均匀的,纵坐标表示u(3 ),单位为度(°),均匀分度,如图4-4所示。

图4-3 Bode图坐标系小 /异矗卜_r—i-a-ns—s 点屛耐鬲二圈駅4筋血圈尝極系第二节典型环节的Bode图一、比例环节C(s)1 .传递函数为G(s) KR(s)二、积分环节 1 .传递函数为G(s) =—(~) —R(s) TsCj) 12 .频率特性为 G( j )=R( j®) jT«3 .对数频率特性为 L( 3 )=-20lgT 3 =-20lgT-20lg 3(dB)U ( 3 )=-904. Bode 图1) 对数幅频特性 L( 3 ) L( 3)为过点(1, 20lgK )、斜率为—20dB/dec 的一条直线。

如图4-5所示。

JOdB- 201 gK1000.11IDrad/ s90 ■①0.110rad/$-90C(j) R(j )2 •频率特性为3 .对数频率特性为L( 3 )=20lgK (dB)oU (3 ) = 04. Bode 图1) 对数幅频特性 其高度为20lgK 。

2) 对数相频特性 的水平直线。

如图G(j )L( 3 ) L( 3 )为水平直线, 如图4-4所示。

U (3 ) U (3 )为与横轴重合4-4所示。

L( 3 )上下比例环节放大倍数 K 变化,系统的 平移,但U (3 )不变。

图4-4 比例环节的Bode 图2) 对数相频特性U (3 ) U (3 )为一条—90°的水平直线。

如图 4-5所示。

90-20图4-5积分环节的Bode 图三、理想微分环节 1 .传递函数为G(s)二少=sR(s)2 .频率特性为C( i o ) G(j ) j 'Rj)3.对数频率特性为L( 3 )=20lg T 3(dB)U (3 )=90o4. Bode 图1)对数幅频特性L( 3 ) L( 3 )为过点(1, 20lg T )、斜率为20dB/dec 的一条直线。

1 Ci *0Drad/ s20dB| 03)2 )对数相频特性U (3 ) U (3 )为一条90°的水平直线。

四、惯性环节Cj) 12•频率特性为G(j •■厂Rj)阿 +13.对数频率特性为L( •) =20lg 1—20lg f —)厂1p (T 时)2 +1u (3 )=-arctanT 34. Bode 图1)对数幅频特性 L( 3 )惯性环节的对数幅频特性 L( 3 )是一条曲线,逐点描绘很繁琐,通常采用近似方法绘制,即先作出 L( 3 )的渐近线。

① 低频渐近线:指 3 T 0时的L( 3 )曲线 当3《1/T , T 3《1时90-90恥)A.10. 1 —11 n X rad/ sTJ IT1 .传递函数为G(s)二C(s) R(s)1 Ts 12CdE图4-6理想微分环节的 Bode 图L( •)二-20lg ;.(T )2 1 二-20lg1 = 0 为一条OdB的水平线。

②高频渐近线:指3 时的L( 3 )曲线当3》1/T , T 3》1时L( •)二-20 lg ,(T )2 1 = -20lgT ■为过点(1/T, 0)、斜率为-20dB/dec的一条直线。

交接频率:指高、低频渐近线交接处的频率,显然,惯性环节的交接频率为3 =1/ T。

修正量:最大误差发生在交接频率 3 =1/ T处,该处的实际值为L©)怕」=—20lg Jg)2+1 = —20lg = —3.03dB所以其最大误差约为3dB。

因此,若需精确曲线,则先在交接频率 3 =1/ T处定一个-3dB点,然后用一条光滑曲线与渐近线连接起来,就得到精确曲线。

2 )对数相频特性U(3 )也可用近似画法。

①低频渐近线:当3 0时,U ( 3 )T 0。

因此,低频渐近线为一条U ( 3尸0的水平线。

②咼频渐近线:当3^8时,U ( 3 ) T -90°。

因此,咼频渐近线为一条U ( 3 )T -90°的水平线。

③交接频率处的相位:当 3 =1/ T时,U (3 )=-arctan仁-45 °。

五、比例微分环节1 •传递函数为G(s^C^ = s 1R(s)3.对数频率特性为 L (,) =20lg .C O 2 1u (3 )=arctan T W4. Bode 图同理,比例微分环节的对数幅频特性 L ( 3 )和相频特性u (3 )也是曲线,逐点描绘 很繁琐,通常也采用近似方法绘制。

因为其对数幅频特性和对数相频特性与惯性环节 只相差一个符号,所以只要把惯性环节的Bode 图向上翻转一下即可。

如图4-8所示。

3 .对数频率特性为2 •频率特性为G(j )C(j) R(j )六、振荡环节1 .传递函数为2 .频率特性为G(j)G(s)二C(s) R(s)C(j ) R(「)(J - I j2」•20JB④ 修正量:当3 = 3 n 时,该处的实际值为L 俾)J = -20lg f (2®2 = -20lg2SB阻尼比E0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.70.80.91.0 最大误差(dB ) +14+8 +4.4 +1.9 0-1.6 -2.9 -4.1 -5.1-6.0L(・)二20lg)2 (2J(•)--arctan-14. Bode 图1)对数幅频特性 L( 3 )振荡环节的对数幅频特性 琐,通常也采用近似方法绘制,即先作出 ①低频渐近线:当3《3 n 时L( 3 )是一条曲线,逐点描绘很繁L( 3 )的渐近线。

210 2*02L( •) =-20lg (1 -2) (2 —):-20lg1 =OdB为一条0dB 的水平线。

②高频渐近线: 当3》3 n 时Lg) = -20lg (1■ ■ 2 2 .•‘ 22)2(2 )2''n' 'n© 2尬□ —20lg(——)=-40 lg ——=—40lg , 40lg ,n为过点(3 n , 0)、斜率为-40dB/dec 的一条直线。

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