概率论第七章5-7

§5 正态总体均值与方差的区间估计

一、复习正态总体的样本均值与样本方差的分布 1、(对一个正态总体)

设X 1,…,X n 是来自总体2~(,)X N μσ的样本, 则

(1) ~(0,1)X N μ−

~(1)X t n μ−−

(3)

2

2

2

(1)~(1)n S

n σ

χ−−

2、(对两个正态总体) 设

,,,n X X X 112L 是来自总体211~(,)X N μσ的样本, ,,,n Y Y Y 212L 是来自总体222

~(,)Y N μσ的样本,

且两个样本相互独立, 则有

()()

~(0,1)X Y N μμ−−−

(2) 当222

1

2

σσσ==时

12()()~(2)X Y t n n μμ−−+−−

(3)

221222

1221

~(1,1)S

S

F n n σσ

−−

二、正态总体均值、方差的置信区间 (置信水平为α−1)

一个正态总体均值与方差的置信区间

例1-2(P164) 有一大批糖果. 现从中随机取16袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496

设袋装糖果的重量近似服从正态分布, 试求总体均值μ与总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.

两个正态总体均值差与方差比的置信区间

例3(P 166) 为比较I, II 两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取I 型子弹10发, 得到枪口速度的平均值1500(/)x m s =, 标准差s 1=1.10(m/s), 随机地取II 型子弹20发, 得到枪口速度的平均值2496(/)x m s =, 标准差s 2=1.20(m/s). 假设两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生产过程可认为方差相等. 求两总体均值差12μμ−的一个置信水平为0.95的置信区间.

例4(P 166) 为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用一种新的催化剂. 为慎重起见, 在实验工厂先进行试验. 设采用原来的催化剂进行了

n 1=8次试验, 得到得率的平均值191.73x =, 样本方差21 3.89s =; 又采用新的催化剂进行了n 2=8次试验, 得到得率的均值293.75x =, 样本方差

22

4.02s =. 假设两总体都可认为服从正态分布, 且方差相等, 两样本

独立. 试求两总体均值差的置信水平为0.95的置信区间.

例5(P 167) 研究由机器A 和机器B 生产的钢管的内径, 随机抽取机器A 生产的管子18只, 测得样本方差22

1

0.34()s mm =; 抽取机器B 生产的管

子13只, 测得样本方差22

2

0.29()s mm =. 设两样本相互独立, 且设由机

器A, 机器B 生产的管子内径分别服从211

(,)N μσ, 222

(,)N μσ, 这里

2,(1,2)i i

i μσ=均未知. 试求方差比σσ221

2

的置信水平为0.90的置信区间.

§7 单侧置信区间

一、定义: 设总体~(;)X F x θ, θ∈Θ是未知参数, 对给定的()αα<<01, 若统计量(,,,)n X X X θθ=L 12满足: 对任意θ∈Θ有

α−1——为置信水平;

随机区间(,)θ+∞——θ的置信水平为α−1的单侧置信区间;

θ——置信水平为α−1的单侧置信下限.

同理定义单侧置信区间(,)θ−∞与单侧置信上限θ. 二、单侧置信区间的求法:

1、寻找枢轴量(,,,;)n W W X X X θ=L 12:

W 的分布不依赖于θ以及其它未知参数. 2、确定a 或b , 使{}P W a α>≥−1或{}P W b α<≥−1:

对置信水平α−1, 由W 的分布确定出常数a 或b , 使{}P W a α>≥−1 或{}P W b α<≥−1成立.

3、反解求θθ或, 使{}P θθα>≥−1或{}P θθα<≥−1成立.

例(P 169) 若正态总体~(,)X N μσ2

且μ与σ2

未知, 设X 1, X 2,…,X n 是一个

样本, 分别求:

(1) 均值μ的置信水平为α−1的单侧置信下限; (2) 方差σ2

的置信水平为α−1的单侧置信上限.

例(P 170) 从一批灯泡中随机取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为

1050 1100 1120 1250 1280

设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信水平0.95的单侧置信下限.

小结:

课堂练习:

(P175－176) 19(1)

第七章 参数估计

§5 正态总体均值与方差的区间估计 §7 单侧置信区间

作业:

(P175－176) 16(2)、18、22、23

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