1-10基尔霍夫定律

A
+ US1 _ R1 I1
R2
I2 D
R3
UAC (沿ABC)=UAC (沿ADC） 物理本质: 电压的单值性
B _
I4 US4+ R4
I3
C
注：KVL可以推广到空间中任意假想路径 如：UBD+UDC+UCB=0
从以上叙述可见： KVL定律的一个重要应用是：根据电路中已知的某些 支路电压，求出另外一些支路电压，即
-4A
-2A
5A
i1 i2 i3 0 i2 i1 i3 1A 3A 4A
i3 i4 i5 0 i4 i3 i5 3A 5A 2A
i5 i6 0 i6 i5 5A
此例说明，根据KCL，可以从一些电流求出另一些电流。
点(或封闭面)的其余支路电流的代数和，即
i1 ik
k 2
流出结点的i1取正号时，流出结点的ik取负号。
m
结点的 KCL方程可以视为封闭面只包围一个结点的特 殊情况。根据封闭面 KCL对支路电流的约束关系可以得到：
流出(或流入)封闭面的某支路电流，等于流入(或流出)该封
闭面的其余支路电流的代数和。由此可以断言：当两个单 独的电路只用一条导线相连接时 (图l－10)，此导线中的电 流必定为零。
沿电路任一闭合路径(回路或闭合结点序列)各段电压代数
和等于零，意味着单位正电荷沿任一闭合路径移动时能量 不能改变，这表明KVL是能量守恒定律的体现。 说明：电路中两点间的电压是确定的，与路径无关。
例1
3A 1A 2A
3
I
图示电路：求U和I。 解： 3V 3+1-2+I=0，I= -2（A）
2V
U1
集总参数电路中任一支路电压等于与其处于同一回路
(或闭合路径)的其余支路电压的代数和，即
u1 uk
k 2
m
或集总参数电路中任两结点间电压uab等于从a点到b点 的任一路径上各段电压的代数和，即
uab uac ucd .... uij u jb
由支路组成的回路可以视为闭合结点序列的特殊情况。
I1 I4 _ U + S4 R4
–R1I1–US1+R2I2–R3I3+R4I4+US4=0
I3
–R1I1+R2I2–R3I3+R4I4=US1–US4
即
U
R
U S
电源电位升
电阻电压降
推论：电路中任意两点间的电压等于两点间任一条路径
经过的各元件电压降的代数和。元件电压方向与
路径绕行方向一致时取正号，相反取负号。
l－3－l 求图 l－3－1电路中的电流i.
i 1A 2A 0 i 3A
三、基尔霍夫电压定律
基尔霍夫电压定律，简写为KVL，陈述为： 对于任何集总参数电路的任一回路，在任一时 刻，沿该回路全部支路电压的代数和等于零，其
数学表达式为
u 0
KVL的应用条件：
1.该定律说明电路中沿任一回路的电压降必须 满足KVL，它仅与元件的联接方式有关，而与元 件的性质无关。 2.应用KVL时，必须先标出回路中各支路电压的 参考方向。还须指定一个回路绕行方向。
KCL不仅适用于结点，也适用于任何假想的封闭面——广义 结点，即流出任一封闭面的全部支路电流的代数和等于零。例如 对图示电路中虚线表示的封闭面，写出的KCL方程为
i3 i 4 i 6 0
KCL可推广到一个封闭曲面（广义节点）： i1+i2+i3=0 (其中必有负的电流) i1
从以上叙述可见： KCL的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路 电流，求出另外一些支路电流，即 集总参数电路中任一支路电流等于与其连接到同一结
方程，它对支路电压施加了线性约束。
例如图1－11电路中，若已知u1=1V, u2=2V和u5=5V，则由 KVL可求得：
u2=2V u1=1V
u5 u3 u1 0
u5=5V
u5 u4 u2 0
u3 u1 u5 1V 5V 4V u4 u2 u5 2V 5V 3V
电路是由电路元件构成的，因而整个电路的表现如何既
要看元件的联接方式，又要看每个元件的特性，这就决
定了电路中的各个支路的电流、电压要受到两种基本规 律的约束，即
1）电路元件性质的约束。也称电路元件的伏安关系（VCR）
它仅与元件性质有关，与元件在电路中的联接方式无关。 2）电路联接方式的约束（亦称拓扑约束）。这种约束关系 则与构成电路的元件性质无关。基尔霍夫定律是概括这种约 束关系的基本定律。
第一章 小结
1.电路模型 2.电流、电压及其参考方向
dq 电流 i dt
参考方向 3.功率计算公式
电压
u
dW dq
关联参考方向
非关联参考方向
dW p ui dt
p 0吸收功率（消耗电能） u, i关联 p 0发出功率（产生电能） p ui u, i非关联 p 0发出功率（产生电能） p 0吸收功率（消耗电能）
u
k
0
uab ubd uda 0 uab uda ubd uad udb
这表明电路中任两结点间电压uab等于从 a点到 b点的任一路 径上各段电压的代数和。
例:
R2 + US1 _ I2
首先考虑（选定一个)绕行方向: 顺时针或逆时针. 顺时针方向绕行: R3
U 0
R1
4.电阻元件和欧姆定律 欧姆公式
u Ri or i Gu( R 1 G)
5.电容元件
duC (t ) 1 t 1 2 iC C u u (t0 ) iC ( )d WC Cu dt C t0 2
6.电感元件
diL (t ) 1 2 1 t uL L iL (t ) iL (t0 ) uL ( )d WL Li 2 dt L t0
图示电路中 {1,2}、{1,3,4}、{1,3,5,6}、{2,3,4}、{2,3,5,6} 和{4,5,6}都是回路。
(4) 网孔：将电路画在平面上内部不含有支路的回路， 称为网孔。网孔是回路，但回路不一定是网孔。
图示电路中的{1,2}、{2,3,4}和{4,5,6}回路都是网孔。
网孔与平面电路的画法有关，例如将图示电路中的支
其数学表达式为
i 0
KCL的应用条件：
1.该定律说明电路中任一结点上各支路电流必 须服从KCL约束，它仅与元件的联接方式有关， 而与元件的性质无关。 2.应用KCL时，必须先标出结点上各支路电流的 参考方向。可规定流出该结点的支路电流取正 号，流入该结点的支路电流取负号。
例:
i1 i2 • i3 i4
U
U1=3I= -6（V）
U+U1+3-2=0，U=5（V）
例2 求下图电路开关S打开和闭合时的i1和i2。
i
10V
5 5
i1 2i i2
S打开：i1=0
i2=i+2i 5i+5i2=10 S S闭合：i2=0 i1=i+2i i=10/5=2
i2=1.5(A)
i1=6(A)
综上所述，可以看到： (l) KCL对电路中任一结点(或封闭面)的各支路电流施 加了线性约束。 (2) KVL对电路中任一回路(或闭合结点序列)的各支路 电压施加了线性约束。 (3)KCL表明在每一结点上电荷是守恒的；KVL是电 压单值性的具体体现(两点间电压与路径无关)。 (4) KCL和KVL适用于任何集总参数电路、仅于元件 的相互连接有关，而与电路元件的性质无关。
§1－10
基尔霍夫定律
基尔霍夫电流定律 (Kirchhoff’s Current Law—KCL )
基尔霍夫电流定律描述电路中各电流的约束关系
基尔霍夫电压定律(Kirchhoff’s Voltage Law—KVL ) 基尔霍夫电压定律描述电路中各电压的约束关系。 基尔霍夫定律与元件特性是电路分析的基础。
路1和支Βιβλιοθήκη Baidu2交换位置，则三个网孔变为 {1,2}、{1,3,4}和{4,5,6}。
{1,2}、{2,3,4}和{4,5,6}是网孔。 注：平面电路是指能够画在一个平面上而没有支路交叉的电路。
二、基尔霍夫电流定律
基尔霍夫电流定律,简写为KCL，它陈述为： 对于任何集总参数电路的任一结点，在任一时 刻，流出该结点全部支路电流的代数和恒等于零，
此例说明，根据KVL，可以从一些电压求出另一些电压。
KVL可以从由支路组成的回路，推广到任一闭合的结点序列， 即在任一时刻，沿任一闭合结点序列的各段电压 ( 不一定是支路 电压 ) 的代数和等于零。对图 l － 11 电路中闭合结点序列 abca 和 abda列出的 KVL方程分别为:
uab ubc uca 0 uab uca ubc uac ucb
i1 i2 i3 0
i3 i4 i5 0
i5 i6 0
i1 i2 i4 i6 0
KCL方程是以支路电流为变量的常系数线性齐次代数方程， 它对连接到该结点的各支路电流施加了线性约束。
若已知i1=1A, i3=3A和i5=5A，则由 KCL可求得： 3A 1A 5A
i=0
图l－10
在任一时刻，流入任一结点(或封闭面)全部支 路电流的代数和等于零，意味着由全部支路电流带 入结点(或封闭面)内的总电荷量为零，这说明KCL
是电荷守恒定律的体现。
通过一个闭合面的支路电流的代数和总是等 于零；或者说，流出闭合面的电流等于流入同 一闭合面的电流。这称为电流的连续性。
思考与练习
其电压参考方向与回路绕行方向相同的支路电压取正号， 与绕行方向相反的支路电压取负号。
例如对图1－11电路的三个回路，沿顺时针方向绕行回
路一周，写出的KVL方程为：
u2 u4 u3 u1 0
u5 u4 u2 0
u5 u3 u1 0
KVL方程是以支路电压为变量的常系数线性齐次代数
7.电压源
u(t ) us (t )
8.电流源
i(t ) is (t )
9.受控源 VCVS CCVS VCCS CCCS
u u1
u ri1
i gu1
i i1
10.基尔霍夫电流定律（KCL） 对任一结点n， 对任一封闭面
i
k
0
11.基尔霍夫电压定律（KVL） 对任一回路 l
令流出为“+”(支路电流背离节点)
–i1+i2–i3+i4=0
i1+i3=i2+i4
即 i i
入
出
7A • 4A
i1
10A
•
i2
4–7–i1= 0
i1= –3A
12A
i1+i2–10–(–12)=0 i2=1A
例如下图所示电路中的 a、b、c、d 4个结点写出的 KCL方 程分别为：
一、电路的几个名词
电路由电路元件相互连接而成。
(1) 支路：一个二端元件视为一条支路，其电流和电压分别 称为支路电流和支路电压。 下图所示电路共有6条支路。
(2) 结点：支路的连接点称为结点。
图示电路中，a、b、c点是结点，d点和e点间由理想导 线相连，应视为一个结点。该电路共有4个结点。
(3) 回路：由支路组成的闭合路径称为回路。