讲义矩形和菱形知识讲解

讲义矩形和菱形
龙文教育学科教师辅导讲义
线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 .
【答案】3:2
例1. 如图，菱形ABCD中，AC和BD交于点O，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OG⊥CD于G，OH⊥AD于H，试说明四边形EFGH为矩形。

分析：四边形EFGH与已知条件有关的主要是对角线，如果能够证明对角
线EG和HF相等且互相平分，那么就能够判定四边形EFGH是矩形，根据
菱形的对角线平分每一组对角，知AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，DE
是∠ADC和∠ABC的角平分线，因为OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH
⊥AD，根据角平分线的性质很容易得出OE＝OF＝OG＝OH
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC、BD平分对角
∴O点在∠DAB、∠BCD、∠CDA、∠ABC的角平分线上
又∵OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD
∴OE＝OF＝OG＝OH
又∵AB//CD
∴OE⊥CD
又∵OG⊥OD
∴直线OE与OG重合
即E、O、G三点共线
同理可证H、O、F共线∴EFGH是平行四边形
又∵HF=EG ∴四边形EFGH是矩形
点拨：（1）用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形。

（2）用对角线判定一个四边形是矩形也必须同时满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形。

例2．如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。

例3．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒
=
∠120
AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

D
A
C
B
H
G
F
E
例4．如图，矩形ABCD 中，BD CE ⊥，E 为垂足，1:3:=∠∠ECB DCE ，则ACE ∠等于多少？
【巩固练习】
1、在矩形中，对角线具有的性质是（ ）
A ．相等且互相垂直
B ．相等且互相平分
C ．互相垂直且互相平分
D ．互相垂直且平分内角
2、下列说法错误的是（ ）．
（A ）矩形的对角线互相平分 （B ）矩形的对角线相等
（C ）有一个角是直角的四边形是矩形 （D ）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3、矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ） （A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对
4、①矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是
②已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°，则矩形两条 对角线相交所得的四个角的度数分为 、 、 、 ．
③已知矩形的一条对角线长为10cm ， 两条对角线的一 个交角 为120°，则矩形的边长分别 为 cm ， cm ， cm ， cm
5. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。

已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 。

【答案】
1
14n - 6. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.
【答案】25
7.如图，矩形ABCD 中，CE 平分15,=∠∠ACE BCD °，求BOE DOC ∠∠,的度数。

8、如图，矩形纸片ABCD 中，3cm 4cm AB BC ==，，现将A C 、重合使纸片折叠压平，设折痕为
……
D A
O
B
C E
A E
B F
O
D
C
M'
M
D
C
B
A
【巩固】(湖南湘西24,10分)如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠ACB=30°,AB=2.
(1)求AC的长.
(2)求∠AOB的度数.
(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEC,求菱形OBEC的面积.
【综合题】已知等腰ABC
△中，AB AC
=，AD平分BAC
∠交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF AB
∥，分别交AC、BC于E、F点，作PM AC
∥，交AB于M点，连结ME.
⑴求证四边形AEPM为菱形
⑵当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
M
P F
A B
C
D
E
考点三：矩形和菱形的综合应用
例（2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（1
2
1
<
<a），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，
a的值为_____________．
练习1：(2011江苏南京，21，7分)如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC 于点F．
第一次操作第二次操作
（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．
解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．
又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．
∴口ABEC是矩形．
2011江苏南通，26，10分【答案】（1）AE′＝BF
证明：如图2，
∵在正方形ABCD中， AC⊥BD
∴∠''
F OE＝∠AOD＝∠AOB＝90°
即∠AO E′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′
∴∠AOE′＝∠BOF′
又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA
∴OE′＝OF′
∴△OAE′≌△OBF′
∴AE′＝BF
（2）作△AOE′的中线AM，如图3.
则OE′＝2OM＝2OD＝2OA
∴OA＝OM
∵α＝30°
∴∠AOM＝60°
∴△AOM为等边三角形
∴MA＝MO＝ME′，∠'
AE M＝∠'E AM
又∵∠'
AE M＋∠'E AM＝∠AMO
即2∠'
AE M＝60°
∴∠'
AE M＝30°
∴∠'
AE M＋∠AOE′＝30°＋60°＝90°
∴△AOE′为直角三角形.
2011湖南衡阳，26，10分【解】(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），。