2019届辽宁省沈阳市郊联体高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)

2019届辽宁省沈阳市郊联体高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，若，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】B【解析】解一元一次不等式得集合，由，能求出的取值范围．【详解】∵集合，，，∴，∴的取值范围为，故选B．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2．设a为的虚部，b为的实部，则a+b=（）A．B．C．D．0【答案】A【解析】算出和后可得前者的虚部和后者的实部从而得到要求的和.【详解】，故，又，故，所以，选A.【点睛】本题考查复数的运算及复数的概念，属于基本题.3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①；②；③；④．则输出函数的序号个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】判断各选项的函数是否有零点后可得正确的选项.【详解】若，则恒成立，故无零点；若，则恒成立，故无零点；若，则或，故无零点；若，令，则，故有零点，综上，有一个函数有零点，故输出函数的序号个数为1，选D．【点睛】本题考查算法中的判断结构，属于基础题.4．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数在、上的符号及的值可得正确的选项.【详解】当时，，故D不正确，当时，，故A不正确，当时，，故C不正确，综上，选B．【点睛】对于函数的图像问题，我们可先计算函数的定义域，然后研究函数的奇偶性，再研究函数在特殊点的函数值的大小或特殊范围上函数值的符号，必要时可依据导数的符号确定函数的单调区间，结合排除法可得正确的结果．5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】: 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，C C÷C=6．若sin（）=，则cos（）=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，利用诱导公式和倍角公式可得．【详解】令，则，所以，故选C．【点睛】三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．7．已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为：，即：，由直线与圆的位置关系可得：，整理可得：，则：，据此有：.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设为第等人的得金数，则为等差数列，利用等差数列的性质可得．【详解】设为第等人的得金数，则为等差数列，由题设可知，，故，而，故选C．【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列； （4）为等差数列.9．已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，向量()1,1b =v ，函数()·f x a b =v v ，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 【答案】D【解析】()·f x a b =vv 2442222213+cos2sin cos sin cos 2sin cos 1sin =22222224x x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 是偶函数， 4x π=不是其对称轴，最小正周期为π，在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以选D. 【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T πω=(3)由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间10．将正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】分析：将正方形沿对角线折起，可得当三棱锥体积最大时，平面.设是折叠前的位置，连接，可得就算直线与所成角，算出的各边长，得是等边三角形，从而求得直线与所成角的大小.详解：设是正方形对角线、的交点，将正方形沿对角线折起，可得当平面时，点到平面的距离等于，而当与平面不垂直时，点到平面的距离为，且，由此可得当三棱锥体积最大时，平面.设是折叠前的位置，连接，因为，所以就算直线与所成角，设正方形的边长为，因为平面，平面，所以，因为，所以，得是等边三角形，，所以直线与所成角为，故选C.点睛：该题所考查的是有关平面图形的翻折问题，解决该题的关键是要明确翻到什么程度是题中的要求，因为底面是定的，所以高最大时就是三棱锥体积最大时，即翻折成直二面角时满足条件，之后将异面直线所成角转化为平面角，即三角形的内角来解，求出三角形的各边长，从而求得角的大小.11．若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】两边平方后得到，求出后可得．【详解】因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故，故，故，故选A．【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．12．设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据得到是周期函数且周期为，在坐标平面中画出两个函数的图像，依据它们有三个不同的交点得到，解这个不等式组可得的取值范围．【详解】因为为偶函数，故，所以，故是函数且周期为，因时，，故在上的图像如图所示：因为有3个不同的解，所以的图像与的图像有3个不同的交点，故即，解得，故选B．【点睛】含参数的函数的零点个数问题，可以利用函数的单调性和零点存在定理来判断，如果该函数比较复杂，那么我们可以把该零点个数问题转化为两个熟悉函数图像的交点问题，其中一个函数的图像为动态变化的，另一个函数的图像是确定的.二、填空题13．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y最小值为______．【答案】【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可得所求的最小值．【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线过时目标函数有最小值，由的，故，填．【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．14．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（a，b），=（sinA，cosB），且∥，若点D是△ABC外接圆O的劣弧上的点，AB=3，BC=2，AD=1，则四边形ABCD的面积为______．【答案】【解析】根据向量共线得到，利用正弦定理得到，求出后利用余弦定理算出，再利用面积公式可求得四边形的面积．【详解】因为共线，故，由正弦定理有：，由，故，所以即，，所以，故．在中，，在中，有，故解得，故四边形的面积为，填．【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.注意三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量，具体如下：（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.15．若直线是曲线的切线，则实数的值为_______．【答案】1.【解析】分析：设切点为（m，n），求得函数y=ax+lnx的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得m，n的方程组，解方程可得a的值．详解：设切点为（m，n），y=ax+lnx的导数为y′=a+，可得切线的斜率为a+=2，又2m﹣1=n=am+lnm，解得m=a=1，故答案为：1点睛：（1）本题考查导数的几何意义和解方程的能力，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）导数里，遇到有切线的问题，一般都要先找到切点，如果切点不知道，要设切点的坐标再解答.16．已知椭圆=1的左、右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点M，设M的坐标为，若，则下列结论序号正确的有______．①+＜1②+＞1③+＜1 ④【答案】①③④【解析】利用得到在圆上，它在椭圆的内部，从而可判断①正确，②错误，再根据原点（即圆心）到直线的距离及它在直线的下方得到③正确．最后根据不等式的性质得到④也是正确的．【详解】，因为，，所以即，在圆上，它在椭圆的内部，故，故①正确，②错误；到直线的距离为，在直线的下方，故圆在其下方即，故③正确；，但不同时成立，故，故④成立，综上，填①③④．【点睛】求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：（1）几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；（2）动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；（3）参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.三、解答题17．已知数列的前n项和为，且1，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数列的递推关系式推出数列是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可．【详解】（1）由已知1，，成等差数列得①，当时，，∴，当时，②①─②得即，因，所以，∴，∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，∴．（2）由得，所以．【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若AD=4，BC=2，设AC∩BD=O，且∠PDO=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．【答案】（1）见解析；（2）12【解析】（1）可证平面，从而得到．（2）连结，根据可得，再根据均为等腰直角三角形得到梯形的高和的长度，从而得到的长度后可利用体积公式计算四棱锥的体积．【详解】证明：（1）因为平面，平面，所以．又，是平面内的两条相交直线，所以平面．而平面，所以．（2）连结，由（1）知，平面，平面知，．在中，因为，所以，得．又因为四边形为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形．从而梯形的高为，于是梯形面积．在等腰直角三角形中，，所以，．故四棱锥的体积为．【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.棱锥体积的计算关键是几何体高的确定，必要时可把复杂几何体分割成若干个简单的三棱锥，它们的体积容易计算.19．某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度（单位：cm）的情况如表1：9007003001000.5 3.5 6.59.5该省某市2017年11月份AQI指数频数分布如表2：频数（天）361263（1）设，若与之间是线性关系，试根据表1的数据求出关于的线性回归方程；（2）小李在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3：日均收入（元）-2000-1000200060008000根据表3估计小李的洗车店2017年11月份每天的平均收入.附参考公式：，其中，.【答案】（1）；（2）2400【解析】试题分析：（1）计算和，根据题中公式计算和，从而得解；（2）由AQI指数频数分布可知亏损和盈利的天数，进而利用收入乘以天数求和后求均值即可. 试题解析：（1），，，.∴，，∴关于的线性回归方程为.（2）根据表3可知，该月30天中有3天每天亏损2000元，有6天每天亏损1000元，有12天每天收入2000元，有6天每天收入6000元，有3天每天收入8000元，估计小李洗车店2017年11月份每天的平均收入为 （元）.20．已知椭圆C ： 22221x y a b+=（0a b >> ）的离心率32e =，直线310x -= 被以椭圆C 的3. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()40M ， 的直线l 交椭圆于A ， B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅ ，求λ 的取值范围.【答案】(1) 2214x y +=；(2) 39124⎛⎤⎥⎝⎦，. 【解析】试题分析：（1）由直线与圆的位置关系可得1b =.由椭圆的离心率可得2a =，则椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB λ=⋅=，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 在y 轴上的截距式方程为4x my =+， ()11A x y ，， ()22B x y ，，联立方程可得()2248120m y my +++=，满足题意时212m >，结合韦达定理可知231214MA MB m λ⎛⎫=⋅=-⎪+⎝⎭，据此可知39124λ<<.综上可得39124λ⎛⎤∈⎥⎝⎦，. 试题解析：（1）因为原点到直线310x -=的距离为12， 所以2221322b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =. 又22222314c b e a a ==-=，得2a =所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB λ=⋅=，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ： 4x my =+， ()11A x y ，， ()22B x y ，，联立方程组224{ 14x my x y =++=，得()2248120m y my +++=，由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，()222122212131112144m MA MB m y m y m m λ+⎛⎫=⋅=+⋅+==-⎪++⎝⎭， 由212m >，得2330416m <<+，所以39124λ<<.综上可得：39124λ<≤，即39124λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，. 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．已知：函数（其中常数）.（Ⅰ）求函数的定义域及单调区间；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求a 的取值范围 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为，(2)【解析】（1）函数的定义域为………………………………………………1分……………………………………………3分由，解得，由，解得且的单调递增区间为，单调递减区间为和………5分（2）由题意可知，当且仅当，且在上的最小值小于或等于时，存在实数，使得不等式成立…………………………………6分若即时0 +单减极小值单增在上的最小值为，则，得………9分若，即时，在上单调递减，则在上的最小值为，由，得（舍）………………………………………11分综上所述，……………………………………………………………………12分22．已知平面直角坐标系中，过点的直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为与曲线C相交于不同的两点M，N ．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若，求实数a的值．【答案】（1）直线方程为 x-y-1=0,（2） .【解析】分析：(1)先根据加减消元得直线的普通方程；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，(2)先将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用参数几何意义以及韦达定理得实数的值.详解：（1）∵（为参数），∴直线的普通方程为.∵，∴，由得曲线的直角坐标方程为.（2）∵，∴，设直线上的点对应的参数分别是，则，∵，∴，∴，将，代入，得，∴，又∵，∴.点睛：涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．23．已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意的实数，存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围。