1.3集合间的基本运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册1.3：集合间的基本运算1.并集的含义.（理解）2.交集的含义.（理解）3.全集与补集的含义.（理解）4.集合间的交、并、补运算.（理解）5.集合语言及其应用.（理解）学习指导：交、并、补的概念既有区别又有联系，特别是“且”“或”的区别，应结合Veen图或数轴加深理解.利用数形结合的思想将满足条件的集合用Veen图或数轴表示出来，从而求集合的交集、并集、补集，这时最直观、最基本的方法，应注意灵活运用。

知识导图：教材全解知识点1：并集 1.并集的概念例1-1：已知集合A={-1,1,3,5},B={0,1,3,4,6}，则B A ⋃=（ ）A.{1,3}B.{1}C.{-1,0,1,1,3,3,4,5,6}D.{-1,0,1,,3,4,5,6} 答案：D例1-2：已知集合}55|{},53|{>-<=≤<-=x x x N x x M 或，则=⋃N M （ ） A.}35|{->-<x x x 或 B.}55|{<<-x x C.}53|{<<-x x D.}53|{>-<x x x 或答案：A2.并集的性质例1-3：已知集合A==},,3,1{，则m等于（）⋃},,1{A=mABBmA.0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3 答案：B知识点2：交集1.交集的概念：交集的性质：例2-4：已知集合=2},|x{M则3{（）|1x},1=<-N⋂<<<x-Mx=NA.}1<xx D.}31|2-xx C.}3x<{<|{<<|2-x-x{<{<|<1x B.}1答案：B例2-5：已知集合}2,1,0,2<=BxA，则==x},{2|||{-A（）⋂BA.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}答案：A例2-6：已知集合}0x=mxA，若B=B|-{1},2,1{=⋂，则符合条件的实数m的值组成BA=的集合为（）A.}211{， B.}211{-， C.}2101{，， D.}211{-， 答案：C知识点3：全集与补集 1. 全集的概念一般地，如果一个集合含有所有研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，通常记作U . 2.补集的概念例3-7：设集合}4,2{},5,4,3,2,1,0{==A U ，则=A C U （ ）A.∅B.{1,3,5}C.{2,4}D.{0,1,3,5} 答案：D例3-8：若全集}22|{≤≤-∈=x R x U ，则集合}02|{≤≤-∈=x R x A 的补集=A C U （ ） A.}20|{<<∈x R x B.}20|{<≤∈x R x C.}20|{≤<∈x R x D.}20|{≤≤∈x R x 答案：C例3-9：已知全集}3,1{},5,4,3,2,1{==A U ，则=A C U （ ）A.∅B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5} 答案：C3.全集与补集的性质由全集与补集的概念及Veen 图，我们可以得到如下性质. （1）=U C U ∅，U C ∅=U ，A A C C U U =)(，A C A U A C A U U ⋂=⋃,=∅.（2）若B A ⊆，则B C A C U U ⊇，反之，若B C A C U U ⊇，则B A ⊆，这可利用A A C C U U =)(得到.（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B.知识点4：用图示法解决集合的混合运算 1.两种图示法（1）Veen 图表示集合的混合运算如图：A ，B 将全集U 分成了四部分，这四部分分别用集合表示如下：①表示B A ⋂ ②表示A B C U ⋂)( ③表示B A C U ⋂)(④表示).()()(B C A C B A C U U U ⋂=⋃（2）当集合为连续型实数集时，常用数轴表示集合的混合运算. 2.集合混合运算的两个重要等式的图形解释 设集合U 为全集，A ，B 为U 的子集，则有（1）交集的补集等于补集的并集，即)()()(B C A C B A C U U U ⋃=⋂ （2）并集的补集等于补集的交集，即)()()(B C A C B A C U U U ⋂=⋃ 这一结论也成摩根定律.下面用图形解释：①)()()(B C A C B A C U U U ⋃=⋂利用Veen 图表示如下：②)()()(B C A C B A C U U U ⋂=⋃利用Veen 图表示如下：例4-11：已知集合}3,2,1,0,1,2,3{},4,1,0,1,2,3,4{---=----=N M ，且M 、N 都是全集I 的子集，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.}3,2,1{---B.}3,2,1,0{C.}3,2{D.}3,2,1,0{---答案：C例4-12：（1）已知全集U ，集合}7,5,3,1{=A ，}6,4,2{=A C U ，}6,4,1{=B C U ，则集合B= .（2）设集合{3,4,5}N {1,2,3}},6,5,4,3,2,1{===，M U ，则)()(N C M C U U ⋂=（ ） A.}5432{，，， B.}65421{，，，， C.}621{，， D.}6{ 答案：（1）}7532{，，， （2）D知识点5：集合运算中元素的个数问题在部分有限集中，我们经常遇到有关集合的个数问题，我们常用Veen 图表示集合的交、并、补.如果用card 表示有限集中元素的个数，即card(A)表示有限集合A 中元素的个数，则有如下结论：(1));()()()(B A card B card A card B A card ⋂-+=⋃(2)+⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃)()()()()()()(C B card C A card B A card C card B card A card C B A card);(C B A card ⋂⋂例5-13：某市场调查公司为了了解市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500位市民，调查结果显示：订阅日报的334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人（假定只有这两种报纸），试问：（1）只订日报不订晚报的有多少人？（2）只订晚报不订日报的有多少人？（3）至少订一种报纸的有多少人？（4）有多少人不订报纸？答案：（1）184；（2）147；（3）481；（4）19.题型与方法题型1：集合的综合运算例14：已知全集}4|{≤=x x U ，集合A=}33|{≤≤-x x ，求，B A ⋂).(,)(BC A B A C U U ⋃⋃ 答案：}22|{≤<-=⋂x x B A ，}432|{)(≤≤≤=⋃x x x B A C U 或，}32|{)(<<=⋂x x B C A U .变式训练：已知全集}5,4,3,2,1{=U ，集合}5,4,3{=M ，{1,2,5}=N ，则集合}2,1{可表示为（ ）.A.N M ⋂B.)()(N C M C U U ⋂C.)(N C M U ⋂D.N M C U ⋂)(答案：D题型2：图示法的应用例15：设集合}1|),{(},123|),{(},,|),{(+≠==--=∈=x y y x N x y y x M R y x y x U ，则)()(N C M C U U ⋂ = .答案：{（2,3）}例16：设：}7,6,4{)()(},3{},9,1{)(,,},,10|{=⋂=⋂=⋂⊆⊆∈<=+B C A C B A A B C U B U A N x x x U U U U ，则集合A= ；B= .答案：{1,3,9} {2,3,5,8}例17：某班有36名学生参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.答案：8人题型3：集合运算的参数问题例18：若}4,12,{2--=x x A ，B=}9,1,5{x x --，}9{=⋂B A ，则x = . 答案：-3例19：（1）设集合}|{},21|{a x x B x x A <=<≤-=，若≠⋂B A ∅，则a 的取值范围是（ ）.A. }21|{≤<-a aB.}2|{>a aC.}1|{-≥a aD.}1|{->a a（2）已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且R B A =⋃，则实数a 的取值范围是 . 答案：（1）D ；（2）}1|{≤a a例20：设集合}5312|{-≤≤+=a x a x A ，}223|{≤≤=x x B ，则使)(B A A ⋂⊆成立的a 的取值集合为 .答案：}9|{≤a a变式训练:设集合}05)1(2|{},023|{222=-+++==+-=a x a x x B x x x A .（1）若}2{=⋂B A ，求实数a 的值；（2）若B B A =⋂，求实数a 的取值范围；（3）若A B C A R U U =⋂=)(，，求实数a 的取值范围.题型4：补集思想的应用——正难则反例21.若集合}023|{2=++=x ax x A 中至多有1个元素，则实数a 的取值范围为 .例22：若三个关于x 的方程012,045)1(,03442222=++=++-+=+-+ax x a x a x a x x 中至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围为 .变式训练：已知集合}42|{},1|{2≤≤=<+>=y y B a y a y y A 或，若≠⋂B A ∅，则实数a 的取值范围为 .题型5：集合运算的创新问题例23：设集合}31|{},43|{n x n x N m x m x M ≤≤-=+≤≤=，且集合M ，N 都是集合}10|{≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合},,|{R b a b x a x ∈≤≤的“长度”，那么集合N M ⋂的“长度”的最小值是（ ） A.31 B.32 C.121 D.125 答案：C例24：对于集合A ，B ，我们把集合},|),{(B b A a b a ∈∈记作A ×B.例如A={1,2},B={3,4}，则有：)},4,2(),3,2(),4,1(),3,1{(=⨯B A)},2,4(),1,4(),2,3(),1,3{(=⨯A B)},2,2(),1,2(),2,1(),1,1{(=⨯A A)}.4,4(),3,4(),4,3(),3,3{(=⨯B B 据此，试回答下列问题：（1）已知},3,2,1{},{==D a C 求D C ⨯；（2）已知)}1,2(),2,1{(=⨯N M ，求集合M 、N ；（3）若A 中有3个元素，B 中有4个元素，试确定A ×B 中有几个元素.答案：（1）)}.3,(),2,(),1,{(a a a D C =⨯（2）}2,1{=M ，}.2{=N（3）24个变式训练：若集合21A A ，满足A A A =⋃21，则称（21A A ，）为A 的一种分拆，并规定：当且仅当21A A =时，（21A A ，）与（12A A ，）为同一种分拆，则集合A=},,{321a a a 的不同分拆种数是（ ）A. 27B. 26C. 9D. 8答案：A易错题型易错1：忽略元素的互异性例25：设集合}1-{1,},,3,1{2+==x x B x A ，求B A ⋃；答案：当1-=x 时，}1,3,1{-=⋃B A ；当2=x 时，}2,3,1{=⋃B A ；当3,1,0,2,1-≠x 时，}1,,3,1{2+-=⋃x x x B A易错2：进行集合间运算时不能准确把握描述法的含义例26：已知集合},,132|{},,32|{22R x x x y y B R x x x y y E ∈++-==∈--==则=⋂B A . 答案：}144|{≤≤-y y .易错3：忽略空集例27：已知集合A=},32|{R x x x R x ∈>-<∈或,B=A B A a x a R x =⋃-≤≤∈若},12|{,则实数a 的取值范围为 .答案：}31|{><a a a 或创新升级例28：已知}065|{},019|{222=+-==-+-=x x x B a ax x x A ，是否存在实数a 使集合A ，B 同时满足下列三个条件：（1）；B A ≠（2）；B B A =⋃（3）∅⫋)(B A ⋂？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.答案：不存在这样的实数a感知高考考向1：交、并、补运算的简单考查例29：(1)已知集合}7,6,3,2{},5,4,3,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂A C B U （ ）A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}(2)已知集合}2|{},1|{<=->=x x B x x A ，则=⋂B A （ ）A.}1|{->x xB.}2|{<x xC.}21|{<<-x xD.∅（3）已知集合}023|{},2|{>-=<=x x B x x A ，则（ ） A.}23|{<=⋂x x B A B.=⋂B A ∅ C.}23|{<=⋃x x B A D.RB A =⋃答案：（1）C （2）C （3）A例30：已知M 、N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若=⋂)(M C N U ∅，则N M ⋃=（ ）.A.MB.NC.ID.∅答案：A考向2 ：由运算结果逆向求参例31:设集合}04|{},4,2,1{2=+-==m x x x B A .若}1{=⋂B A ，则B=（ ）.A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案:C考向3：集合元素个数的考查例32：某网站统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店：①第一天售出但第二天未售出的商品有 种；②这三天售出的商品最少有 种.答案：①6 ②29基础巩固：1.已知集合}4,2,0,2,4{},33||{--=<<-∈=B x Z x x A ，则B A ⋂=（ ）A. {-2,0,2}B. {0,2}C. {0}D. {2}2.已知全集}02|{},2,1,1,2{2=--=--=x x x A U ，则=A C U （ ）A.{-2,1}B. {-1,2}C.{-2，-1,1,2}D. {-2，2}3.已知集合}1|{},32|{-<=≤≤-=x x B x x A ，那么集合B A ⋂=（ ）.A.}42|{<≤x xB. }43|{≥≤x x x 或C.}12|{-<≤-x xD.}31|{≤≤-x x4.满足},,,{4321a a a a M ⊆，且},{},,{21321a a a a a M ==的集合M 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.45.设全集}8||{≤∈=x N x x U ，集合}8,3,2{},7,3,1{==B A ，则=⋂)()(B C A C U U （ ）A.{1,2,7,8}B. {4,5,6}C.{0,4,5,6}D. {0,3,4,5,6}6.设}0|{},3,2,1,0{2=+==mx x x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数m7.已知集合A={1,2,3,4}，B=},23|{A x x y y ∈-=，则B A ⋂= .8.已知集合A=}24|{-≤≤-x x ，集合B=}.03|{≥+x x 求：（1）;B A ⋂（2）;B A ⋃（3）).(B A C R ⋂综合提升：9.已知全集}3,2,1,0,1{-=U ，集合}1,0,1{},2,1,0{-==B A ，则B A C U ⋂)(=（ ）A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}10.已知集合}121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A ，若A B A =⋃，则实数m 的取值范围是（ ）A.}43|{≤≤-m mB.}43|{<<-m mC.}42|{<<m mD.}4|{≤m m11.已知全集R U =，集合A=}31|{},03|{≤<=≤≥x x B x x x 或，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）.A.}10|{<≤x mB.}30|{≤<x mC.}10|{≤<x mD.}31|{≤≤x m12.现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（ ）A.最多人数是55B.最少人数是55C.最少人数是75D. 最多人数是8013.对于集合A ，B 定义A-B=}|{B x A x x ∉∈且，A ⊕B=)()(A B B A -⋃-，设}6,5,4,3,2,1{=M ，}10,9,8,7,6,5,4{=N ，则M ⊕N 中元素的个数为（ ）. A.5 B.6 C.7 D.8 14.已知全集B A U ⋃=中有m 个元素，)()(B C A C U U ⋃中有n 个元素，若B A ⋂非空，则B A ⋂的元素个数为（ ）.A.mB.nC.n m +D.n m -15.当两个集合有公共元素，且互不为对方子集时，我们称这两个集合“相交”，对于集合}1,21,21{},0,01|{2-=>=-=N a ax x M ，若M 与N 相交，则=a （ ）.A.4B.3C.2D.116.已知集合}63{-<>=x x A 或，},1|{R k k x k x B ∈+≤≤=，若≠⋂B A ∅，则实数k 的取值范围为 .17.已知全集}5,4,3,2,1,0{=U ，集合},2|{},023|{2A a a x x B x x x A ∈===+-=，则集合=⋃)(B A C U .18.已知A=}012|{},082|{222=-++==--a ax x x B x x x .若A A B ≠⋃，则实数a 的取值范围为 .参考答案1. B2. A3. C4. B5. C6. -37. {1,4}8. （1）}23{-≤≤-=⋂x B A ；（2）};4|{-≥=⋃x x B A （3）}.23|{->-<x x x 或9. A10.D11.C12.B13.C14.D15.D16.}2<kk或-k6|{>17.{0,3,5}18.}2≤-a<aa且|,44{-≠。