1.1探索勾股定理1

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北师版八年级数学上册第一章勾股定理1 探索勾股定理

式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表方法
伽菲尔德总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75，求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2，则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)．所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.

1.1.1探索勾股定理北师大版数学八年级上册

121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册授课老师：孙老师
复习回顾三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形.
角三角形的内角和是 180°.
边两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角三角形
定义有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形.
边？
新课导入我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系. 与同伴进行交流.
B
左图

北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理(教案)

1. 探究勾股定理1.经历用测量法和数格子的方法探究勾股定理的过程,开展合情推理才能,体会数形结合的思想.2.会解决直角三角形的两边求另一边的问题.1.经历“测量—猜测—归纳—验证〞等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜测、归纳、验证等过程中培养语言表达才能和初步的逻辑推理才能.3.在探究过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.通过让学生参加探究与创造,获得参加数学活动成功的经历.【重点】勾股定理的探究及应用.【难点】勾股定理的探究过程.【老师准备】分发给学生打印的方格纸.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:展示教材P2开头的情境.如下图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,假如这条钢索在地面的固定点间隔电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.[设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入二:如下图,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?【师生活动】在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探究吧!一、用测量的方法探究勾股定理思路一【学生活动】1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探究欲望.思路二任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.直角三角形直角边长直角边长斜边长123【师生活动】师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很准确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探究勾股定理1.探究等腰直角三角形的情况.思路一展示教材P2图1 - 2局部图.探究问题:(1)这个三角形是什么样的三角形?(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出S A+S B=S C)[设计意图]通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.思路二展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜测的数量关系吗?你是如何计算的?【师生活动】师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜测如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.师:再准确点说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流面积C的求法,老师巡视点评)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算) 生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)师:方法不错,你们很擅长动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?生1:S A+S B=S C.生2:a2+b2=c2.师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?2.探究边长为3,4,5的直角三角形的情况.展示教材P2图1 - 3局部图.对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?(3)三个正方形的面积之间有什么关系?同桌交流、小组讨论,共同讨论如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.【提示】在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.【拓展】假如直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜测的数量关系还成立吗?说明你的理由.学生考虑、交流,老师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.【学生总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.[考虑](1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知直角三角形中,只要知道条边,就可以利用求出.[设计意图]让学生经历“独立考虑——小组讨论——合作交流〞的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.[知识拓展]1.由勾股定理的根本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2<c2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2>c2.1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探究方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,那么ΔABC的斜边AB的长是()C.9.6D.8解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.应选A.2.直角三角形两直角边长分别是6和8,那么周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶7解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.应选B.3.(2021·温州模拟)如下图,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,假设BC=10,AD=12,那么AC=.解析:根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.4.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,那么S1+S2的值等于.解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=1πAB2=12.5π.故填12.5π.8第1课时1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.表示法:假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第2题.二、课后作业【根底稳固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,那么AC=.2.假设三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,那么此三角形的周长为,面积为.3.(2021·凉山中考)直角三角形的两边长分别是3和4,那么第三边长为.4.假如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【才能提升】5.如下图,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c6.如下图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如下图,阴影局部是一个正方形,它的面积为.8.如下图,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中程度飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机间隔这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如下图,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,那么BD=.13.如下图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的间隔是.【答案与解析】1.8(解析:AC2=BC2-AB2=64.)2.3030(解析:由题意得此直角三角形的斜边长为13.)3.5或√74.12米5.D(解析:两个正数比拟大小,可以按照下面的方法进展:假如a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b2<a2<c2,所以b<a<c.)6.5∶8(解析:可以设每个小正方形的边长为1,那么正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.)7.64 cm2(解析:设阴影局部的边长为x,那么它的面积为x2=172-152=64(cm2).)8.7(解析:根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.)9.解:根据题意可以先画出符合题意的图形.如下图,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行×3=540(千米).答:飞机每小时飞行540千米.的间隔为36002010.解:连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.11.解:在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.12.2(解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC 长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.)13.15(解析:解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.)从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探究活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.在引导学生进展探究的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进展尝试.比方在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.在利用教材给出的例如进展勾股定理结论探究的时候,一定要立足于“面积相等〞这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探究活动的方向.随堂练习(教材第3页)1.解:字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.2.解:不同意他的想法,因为29 in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29 in,由屏幕的长为58 cm,宽为46 cm,可知屏幕的对角线长的平方=(46025.4)2+(58025.4)2,所以对角线长≈29 in.习题1.1(教材第4页)1.解:①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.2.解:172-152=64,所以另一条直角边长为8 cm.面积为12×8×15=60(cm2).3.解:此题具有一定的开放性,现给出4种方案:如下图,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d ,⑩的面积为c ,那么(1)a +b +c +d =g ,(2)a +b +f =g ,(3)e +c +d =g ,(4)e +f =g.4.解:过C 点作CD ⊥AB 于D ,因为CA =CB =5 cm,所以AD =BD =12AB =3 cm .在Rt ΔADC 中,CD 2=AC 2-AD 2,所以CD =4 cm,所以S ΔABC =12AB ·CD =12×6×4=12(cm 2).(2021·淮安中考)如左下列图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A ,B 都是格点,那么线段AB 的长度为( )C .7D .25〔解析〕此题考察勾股定理的知识,解答此题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如下图,利用勾股定理求解AB 的长度即可.由图可知AC =4,BC =3,那么由勾股定理得AB =5.应选A .如下图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,假设a ,c 的面积分别为3和4,那么b 的面积为 .〔解析〕 ∵∠ACB +∠ECD =90°,∠DEC +∠ECD =90°,∴∠ACB =∠DEC.∵∠ABC =∠CDE ,AC =CE ,∴ΔABC ≌ΔCDE ,∴BC =DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.。

1.1_探索勾股定理_公开课课件1 (4)

a
b
c
证明1 ：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为
2
a
1 也可以表示为 (b a ) 4 ab 2 c 1 2 ∵ c2= (b a ) 4 ab 2 b =b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2
40
A
90
B
C
160 40
答：两孔中心A，B的距离为130mm.
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？２.理解“勾股定理”应该注意什么问题？３.你觉得“勾股定理” 有用吗？
教师寄语
要养成用数学的思维去解读世界的习惯。只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会有质的进步。其实数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在我们的身边,我们的眼前, 还有很多象 “勾股定理”那样的知识等待我们去探索，等待我们去发现……
理．科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许能够知道勾股定理．
规律发现落实新知
毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500多年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯看着朋友家的方砖地发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块等腰直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，开心地跑回家去了．
勾
弦
股
勾
股
１.基础练习之出谋划策
１、如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( C)

1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版

（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169，所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题

新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件

△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1）若a=5，b=12，则c=___1_3____；（2）若a=15，c=25，则b=__2_0_____；（3）若c=61，b=60，则a=___11_____；（4）若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______；（5）若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的思想方法及数学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做

1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理(教案)2022秋八年级上册初二数学北师大版(安徽)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明方法这两个重点。对于难点部分，我会通过构造图形和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量合作意识和表达交流素养，通过小组讨论和课堂分享，促进学生之间的交流与合作。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解勾股定理的概念及其表达形式：即直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这是本节课的核心内容，教师需通过直观的图形演示和实际操作，使学生深刻理解这一数学规律。
-掌握勾股定理的证明方法：通过不同的证明方法（如构造法、割补法、代数法等），让学生体会数学的严谨性和多样性，加强对定理的理解。
-灵活运用勾股定理解决问题：学生在解决问题时可能会出现对定理运用不灵活的情况，例如，无法将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题。
-掌握勾股定理的适用范围：学生需要明确勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不适用。
举例：针对证明过程的难点，可以设计以下教学活动：
a.通过割补法证明勾股定理时，教师可以引导学生通过剪纸、拼接等实际操作，直观地感受证明过程，降低理解难度。
-应用勾股定理解决实际问题：将勾股定理应用于解决直角三角形边长计算等问题，使学生掌握定理在实际生活中的运用。

1.1 勾股定理学案

1.1 探索勾股定理（1）一、课前预习1、正方形面积的计算公式，边长为5时，面积为多少？2、三角形两边分别是2,5第三边是c ，求第三边的取值范围.3、直角三角形两直角边为3、4求则第三边斜边的取值范围，斜边与这两条直角边的长度之间还有什么关系？二、新课学习 1、观察下面两幅图：2、填表：A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积）左图右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？【小结】求面积常用方法： ____________________________（4）你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？【结论】：以_______三角形两_______边为边长的小正方形的面积的和，等于以______边为边长的正方形的面积．AB CC BA思考：（1）若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？★【勾股定理】如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么_________________ 即_______三角形两_____边的______和等于斜边的_______．几何语言：∵在△ABC 中，∠____＝900∴____2＋____2＝____2三、典型例题及练习：例1、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？解：∵在△ABC 中，∠____ ＝900 ∴____2＋____2＝____2 即92 ＋122＝AB 2∴AB 2＝____ ∴AB ＝____∴大树在折断之前高。

【跟踪练习】：1、如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.弦股勾ACBabc2、求图形中未知正方形的面积：3、若△ABC 中，∠C =90°，（1）若a =5，b =12，则c =________；（2）若a =6，c =10，则b =________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =________，b =________.4.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为多少？5.底边长6cm ，底边上的高为4cm 的等腰三角形的腰长为多少？6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是_________cm 2．1.1 探索勾股定理（2）一、课前复习：1、勾股定理：直角三角形_________________________ 几何语言：在△ABC 中，∵∠____ ＝900∴____2＋____2＝____22、在直角三角形ABC 中, ∠C =900,BC =12,CA =5,AB = ______.3、如果直角三角形的一条直角边长为40，斜边长为41，那么另一条直角边的长为______.?2251002572577cmDACB二、典型例题：例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？例2、受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？(提示：方程思想)三、课堂练习：1．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为多少？2．我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？6米5000m4000mC B A500m400m C B A“路”4m3m3、一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（）． A ．30cm 2 B ．130cm 2 C ．120cm 2 D ．60cm 25、轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.6、如图学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．7、一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？A BOCD3米9km AB9km 4km6km9km 2km8、△ABC中，∠C=900,AC=6,BC=8,沿AD折叠，使C点与AB边上的E点重合，求CD的长。

北师大版八年级上册数学各章节重难点知识

1.1、探索勾股定理（一）教学目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

重点、难点重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。

难点：勾股定理的发现。

1.1、探索勾股定理（二）教学目标1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯2、掌握勾股定理和它的简单应用。

重点难点重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．难点：用面积证勾股定理．1.2 能得到直角三角形吗教学目的知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．重点、难点重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。

难点：运用直角三角形判别条件解题1.3.蚂蚁怎样走最近教学目标教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.教学重点难点：重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.第二章实数2.1. 数怎么又不够用了（一）教学目标(一)教学知识点1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由.(二)能力训练要求1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.2.1、数怎么又不够用了(二)教学目标：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.教学重点：1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.教学难点：1.无理数概念的建立及估算.2.2 平方根(一)教学目标：1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点：了解算术平方根的概念、性质.2.2平方根(二)教学目标：1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算..教学重点：1.了解平方根、开平方的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.教学难点：1.平方根与算术平方根的区别与联系.2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因.2.3 立方根教学目标：1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.了解立方根的性质.4.区分立方根与平方根的不同.教学重点：立方根的概念.教学难点：1.正确理解立方根的概念.2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处.教学方法：类比学习法.2.5 用计算器开方教学目标：1、会用计算器求平方根和立方根。

修改版：1.1探索勾股定理(1)雒萍

换个角度来看呢？
A B
C
你发现了什么？
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
SA+SB=SC C
B B 图甲图甲图乙 4 9 A的面积 4 16 B的面积 C的面积 8 25 SA+SB=SC
A
图乙
A
C C
？
图甲 c
Aa
C
A a
A B C B C
A
“割”
分割为四个直角三角形和一个小正方形
“补”
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
两个图的启示
a
c
b
C C
C
你可以用边长分别为a、b、c的四个直角三角形纸片和一个边长为c的正方形纸片拼接成上面图案吗？并且表示它的面积。
？
验证a、b、c 之间的关系？
启示1
a2 +b2 =c2
用拼图法证明1： a2+b2=c2 ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
a
b
a b c
b c
a
a
1 =4〃 ab+c2 2
=c2+2ab
c b
2 2 2+2ab 2 2 a +b +2ab c ∴ =c2+2ab
2 ∴a
2 +b
如图,折叠长方形的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
A
10
D

1.1探索勾股定理

两千多年前古希腊的毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，两千多年前古希腊的毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了等腰直角三角形三边的某种数量关系…… 的某种数量关系
1955年希腊为了纪念毕 1955年希腊为了纪念毕达拉斯学派的这一伟大发现，发现，发行了这枚纪念邮票。邮票。
把毕达拉斯的发现图形继续下去，图形继续下去，就等到了这个美丽的勾股树” “勾股树”。
观察两个图形中的三个正方形的面积分别有怎样的数量关用字母表示出来。系，用字母表示出来。
C A B B A
C
S A + S B = SC
a +b = c
2 2
2
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a,b和分别表示直角三角形的两平方。如果用和c分别表示直角三角形的两 2 2 直角边和斜边，那么：直角边和斜边，那么： 2
20秒后
C
4Km
B
A
生活中勾股定理的应用
练习】如图，受台风麦莎影响，【练习】如图，受台风麦莎影响，一棵高 18m的大树断裂的大树断裂， 18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底米处，这棵树折断后有多高？折断后有多高部6米处，这棵树折断后有多w/fbb7d8ef102de2bd960588 83.html 第1-5题题
a +b = c
a
b
c
【例1】求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度
100
x
17
225
15
?
随堂练习1；习题1.1 第1题. 【练习】课本 P5 随堂练习； P7.习题练习】习题题

数学第一单元

弦股勾1.1《探索勾股定理》（1）导学案【学习目标】在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理，掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【重点】掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【难点】探索勾股定理。

【新课学习和探究】1、导入新课：P 22、探索发现图三图1 图2图四观察图形完成下列问题：如果正方形 A 边长为a ，则其面积为______；正方形 B 边长为b , 则其面积为________；正方形 C 边长为c ,则其面积为_______；你能发现正方形A 、B 、C 围住的直角三角形的两直角边长a 、b ，斜边c 之间有怎样的关系。

（小组讨论）结论：_____________________3、画一画：在草稿纸上，以cm 3、cm 4为直角边画一个直角三角形，并测量斜边的长度，前面的结论对这个三角形还成立吗？4、归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

222a b c += 或 222AC BC AB +=注：① 作用：知道直角三角形的任意两边可以求出第三边。

②我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾．，较长的直角边称为股．，斜边称为弦．．【巩固练习】1、【新课学习和探究】中“导入新课”中的答案为_______米。

2、正方形A 的面积为______，正方形B 的面积为______。

【例题精讲】如图，强台风使得一根旗杆在离地面9m 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处．旗杆折断之前有多高？【巩固练习】求出下列直角三角形中未知边的长度。

（要求写出简单过程）（１）（２）【课堂小结】本节课有哪些收获？【课后作业】1、在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝；（2）若c ＝15，a ＝9，则b ＝.2、直角三角形的斜边长为17cm ，一条直角边长为15cm ，则直角三角形的面积为_________cm 23、如图，求等腰△ABC 的面积。

第一章勾股定理

第一章勾股定理1．1 探索勾股定理第1课时探索勾股定理基础题知识点1 认识勾股定理1．下列说法正确的是( D )A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a22．在Rt△ABC中，斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为(A)A．18 B．9C．6 D．无法计算3．若一个直角三角形的两条直角边长都为1，则它的斜边长的平方是(C)A.12B．1C．2 D．44．(淮安中考)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为(A)A．5B．6C．7D．255．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)若a＝3，b＝4，则c＝5；(2)若a＝6，c＝10，则b＝8；(3)若c＝25，b＝15，则a＝20.知识点2 勾股定理的简单应用6．如图，做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在相对角的顶点加一根加固木条，则木条的长为(B) A．90厘米B．100厘米C．105厘米 D．110厘米7．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．8．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．解：如图，因为AD是BC的中线，所以BD ＝12BC ＝3，AD ⊥BC.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AB 2＝AD 2＋BD 2＝42＋32＝25. 所以AB ＝5，即腰长为5.知识点3 利用勾股定理求面积9．(深圳校级期中)图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为(D)10．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15 cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积为(C)A ．150 cm 2B ．200 cm 2C ．225 cm 2D ．无法计算中档题11．(资阳中考)如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是(C) A ．48 B ．60 C ．76 D ．8012．如图，若∠BAD ＝∠DBC ＝90°，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，则CD ＝(B) A ．5 B ．13 C ．17 D ．1813．如图，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为(A)A ．21B ．15C ．6D ．以上答案都不对14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ∶b ＝3∶4，c ＝100，其中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则b 的长为(C)A ．30B ．60C ．80D ．12015．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为(B)A ．2B ．4C ．8D ．1616．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则BD ＝2．17．如图，小明将一张长为20 cm ，宽为15 cm 的长方形纸剪去了一角，量得AB ＝3 cm ，CD ＝4 cm ，则剪去的直角三角形的斜边长为20cm.18．如图所示，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．解：因为△ABC 是直角三角形，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，由勾股定理有 AC 2＝AB 2－BC 2，所以AC ＝52－32＝4(cm)．又因为S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ，得CD ＝AC ·BC AB ＝125 cm.所以CD 的长是125cm.综合题19．在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝15，BC 边上的高等于12，求△ABC 的周长．解：①如图1，BD ＝202－122＝16，CD ＝152－122＝9，所以BC ＝BD ＋CD ＝16＋9＝25.所以周长为AB ＋BC ＋CA ＝20＋25＋15＝60.图1 图2②如图2，BD＝202－122＝16，CD＝152－122＝9，所以BC＝BD－CD＝16－9＝7.所以周长为AB＋BC＋CA＝20＋7＋15＝42.所以△ABC的周长为60或42.第2课时验证勾股定理及其计算基础题知识点1 验证勾股定理1．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE 、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是(D)A ．S △EDA ＝S △CEBB ．S △EDA ＋S △CEB ＝S △CDEC ．S 四边形CDAE ＝S 四边形CDEBD ．S △EDA ＋S △CDE ＋S △CEB ＝S 四边形ABCD2．用如图1所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼，摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，你能利用这个图形验证勾股定理吗？解：观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a ＋b)，里面小的正方形的边长为c.大正方形面积可以表示为(a ＋b)2，也可以表示为12ab ×4＋c 2.对比这两种表示方法，可得出(a ＋b)2＝12ab ×4＋c 2.整理得c 2＝a 2＋b 2.因此利用这个图形可以验证勾股定理．知识点2 勾股定理的简单应用3．为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小王搬来一架长为2.5米的木梯，准备把梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为(A) A ．0.7米 B ．0.8米 C ．0.9米 D ．1.0米4．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答(A) A ．一定不会 B ．可能会C ．一定会D ．以上答案都不对5．某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距50海里．6．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为100mm.7．如图是某小区一健身中心的平面图，活动区是面积为200 m 2的长方形，休息区是直角三角形，请你求出半圆形餐饮区的面积．解：AD 的长为20020＝10(m)．由勾股定理可得DE ＝6 m.所以半圆形餐饮区的面积S ＝12π×(6÷2)2＝92π(m 2)．答：半圆形餐饮区的面积为92π m 2.中档题8．如图1是边长分别为a ，b 的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为c 的正方形，且面积等于割补前的两正方形面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是(B)A ．割⑤补⑥B ．割③补①C ．割①补④D ．割③补②9．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是(A) A ．4 B ．6 C ．8 D ．1010．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于(A) A ．4.1米 B ．4.0米 C ．3.9米 D ．3.8米11．如图，将一根20 cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 和12 cm 的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是7cm.12．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30 m 处，过了2 s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m ．这辆小汽车超速了吗？解：这辆小汽车超速了．依题意得AB ＝50 m ， AC ＝30 m ，由勾股定理得BC ＝AB 2－AC 2＝502－302＝40(m)．小汽车速度为40÷2＝20(m/s)＝72(km/h)．因为小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70 km/h ，所以这辆小汽车超速了．13．4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为： c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为：a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，所以c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab ，即a 2＋b 2＝c 2.综合题14．为了向建国六十八周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是： ①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的长方形纸片ABCD ； ②将纸片沿着直线AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 处．请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC ，FC 的长．解：因为△ADE 与△AFE 关于AE 对称，所以△ADE ≌△AFE. 所以DE ＝FE ，AD ＝AF.因为BC ＝20 cm ，AB ＝16 cm ，所以CD ＝16 cm ，AD ＝AF ＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm.所以FC＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2. 解得x＝6.所以EC＝6 cm.1.2 一定是直角三角形吗基础题知识点1 直角三角形的判别1．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，则该三角形为(B) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c 且a 2－b 2＝c 2，则下列说法正确的是(C) A ．∠C 是直角 B ．∠B 是直角 C ．∠A 是直角 D ．∠A 是锐角3．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 的形状为(A)A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对4．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60 cm ，宽为32 cm ，对角线长为68 cm ，则这个桌面合格(填“合格”或“不合格”)．5．如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝10，BC 边上的中线AD ＝12.求： (1)AC 的长度； (2)△ABC 的面积．解：(1)因为AD 是BC 的中线，BC ＝10，所以BD ＝CD ＝5.因为52＋122＝132，所以AD 2＋BD 2＝AB 2. 所以∠ADB ＝90°. 所以∠ADC ＝90°.所以AC ＝AD 2＋CD 2＝144＋25＝13.(2)S △ABC ＝12CB ·AD ＝12×10×12＝60.知识点2 勾股数6．下列几组数中，为勾股数的一组是(D)A ．0.3，0.5，0.4B ．－15，8，7C ．21，45，20D ．15，20，257．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是15．8．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：如5，12，13；7，24，25等．9．如图，四边形ABDC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，CD ＝13，BD ＝12，求这个四边形的面积．解：连接BC.在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，由勾股定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2＝32＋42＝25，则BC ＝5. 在△BDC 中，CD ＝13，BD ＝12，BC ＝5， BD 2＋BC 2＝122＋52＝169，CD 2＝132＝169，所以BD 2＋BC 2＝CD 2，即△BDC 为∠CBD ＝90°的直角三角形．所以四边形ABDC 的面积为12AB ·AC ＋12BC ·BD ＝12×4×3＋12×5×12＝36.中档题10．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是(D)A ．b 2＝c 2－a 2B ．a ∶b ∶c ＝3∶4∶5C ．∠C ＝∠A －∠BD ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶511．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(C)12．小红要求△ABC 中最长边上的高，测得AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，BC ＝10 cm ，则可知最长边上的高是(B) A ．48 cm B ．4.8 cm C ．0.48 cm D ．5 cm13．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形14．如图，方格中的点A ，B 称为格点(横线的交点)，以AB 为一边画△ABC ，其中是直角三角形的格点C 的个数为(B)A ．3B ．4C ．5D ．615．观察下列一组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；…；a ，b ，c.根据你的发现，写出当a ＝20时，b ＝99，c ＝101.16．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ，则△ABC 是什么特殊三角形？解：因为c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ，所以(c ＋a)(c －a)＝2b ·12b.所以c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为∠C ＝90°的直角三角形．综合题17．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ，AD ＝24 cm ，BC 与CD 的长度之和为34 cm ，其中点C 是直线l 上的一个动点，请你探究当点C 离点B 有多远时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．解：因为BC 与CD 的长度之和为34 cm ，所以设BC ＝x cm ，则CD ＝(34－x)cm.因为在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6 cm ，所以AC 2＝AB 2＋BC 2＝62＋x 2.因为△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形，AD ＝24 cm ，所以AC 2＝CD 2－AD 2＝(34－x)2－242.所以62＋x 2＝(34－x)2－242. 解得x ＝8，即BC ＝8 cm.答：当点C 离点B8 cm 时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．1.3 勾股定理的应用基础题知识点1 勾股定理在生活中的应用1．如图，湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA＝130米，CB＝120米，则AB为(C)A．30米B．40米C．50米D．60米2．一个圆柱形的油桶高120 cm，底面直径为50 cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为(D)A．5 cm B．100 cmC．120 cm D．130 cm3．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再向北走到6 km处往东拐，仅走了1 km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是(D)A．20 kmB．14 kmC．11 kmD．10 km4．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在高0.9 m，宽1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5_m长．5．一渔船从A点出发，向正北方向航行5公里到B点，然后从B点向正东方向航行12公里至C点，则AC长为13公里．6．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE＝3 m，CD＝1 m，求滑道AC的长．解：设AC的长为x m.因为AC＝AB，所以AB＝AC＝x m.因为EB＝CD＝1 m，所以AE＝(x－1)m.在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即x2＝32＋(x－1)2.解得x＝5.所以滑道AC的长为5 m.7．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？解：因为AB＝DE＝2.5，BC＝1.5，∠C＝90°，所以AC＝AB2－BC2＝ 2.52－1.52＝2.因为BD＝0.5，所以在Rt△ECD中，CE＝DE2－CD2＝ 2.52－（CB＋BD）2＝ 2.52－（1.5＋0.5）2＝1.5.所以AE＝AC－EC＝0.5.答：滑竿顶端A下滑了0.5米．知识点2 立体图形中两点之间的最短距离8．如图，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是(D)A．80 cm B．70 cmC．60 cm D．50 cm9．如图是棱长为1的正方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B处有一食物，它想尽快吃到食物，设蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程为a，则a2＝5.中档题10．已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走________公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺(C)A．100 B．180C．220 D．26011．(济南中考)如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)为(D)A．12 m B．13 mC．16 m D．17 m12．(东营中考)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10米．13．如图是延安某地一个农家的窑洞的洞门示意图，其上方为半圆形，若长方形的对角线AC ＝2.5米，AD ＝1.5米，则洞口的面积为4.5平方米(π取3)．14．如图，长方体的高为3 cm ，底面是正方形，边长为2 cm ，现有一苍蝇从A 点出发，沿长方体的表面到达C 点处，则苍蝇所经过的最短距离为5_cm.15．如图，圆柱的底面周长为6 cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6 cm ，点P 是BC 上一点，且PC ＝23BC.一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是多少？解：画侧面展开图，如图，因为圆柱的底面周长为6 cm ，所以右图中AC ＝3 cm. 又因为PC ＝23BC ，所以PC ＝23×6＝4(cm)．在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2，得AP ＝5 cm. 所以蚂蚁爬行的最短距离是5 cm.综合题16．印度数学家什迦罗(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75. 设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺．小专题(一) 利用勾股定理解决最短路径问题——教材P19T12的变式与应用【教材母题】(教材P19T12)如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C的距离是5 cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：所以BD＝CD＋BC＝10＋5＝15(cm)，AD＝20 cm.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB＝AD2＋BD2＝202＋152＝25(cm)．②把长方体的上侧表面剪开与右面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，所以BD＝CD＋BC＝20＋5＝25(cm)，AD＝10 cm.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB＝AD2＋BD2＝102＋252＝725(cm)．③把长方体的上侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，所以AC＝CD＋AD＝10＋20＝30(cm)．在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝302＋52＝925(cm)．因为25<725<925，所以最短路程是25 cm.1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是多少？解：经分析，如图，应把台阶看成是纸片折成的，拉平(没高度)成一张长方形(宽为3×3＋2×3＝15 dm，长为20 dm)的纸．所以AB2＝152＋202＝625(dm2)．所以AB＝25 dm，即蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是25 dm.2．(青岛中考改编)如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底3 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是多少？解：如图，将杯子侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接的A′C即为最短距离．A′C2＝A′D2＋CD2＝92＋132＝250(cm2)．小专题(二) 利用勾股定理解决折叠问题1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为(A) A ．1 cm B ．1.5 cm C ．2 cm D ．3 cm2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于(B)A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为(D) A.252cm B.152 cm C.254cmD.154cm4．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254 cm ，则AD 的长为(C)A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm5．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为(B) A ．3 B.154 C ．5D.1526．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝1.5．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是6_cm2．8．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，求AM的长．解：连接BM，B′M.因为四边形ABCD为正方形，所以∠A＝∠D＝90°.由题意，得DB′＝9－3＝6，BM＝B′M.设AM＝x，则DM＝9－x.由勾股定理，得x2＋92＝BM2，(9－x)2＋62＝B′M2，所以x2＋92＝(9－x)2＋62，解得x＝2，即AM的长为2.章末复习(一) 勾股定理基础题知识点1 勾股定理及其验证1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别是a 、b 、c ，若∠A ＋∠C ＝90°，则下列等式中成立的是(C)A ．a 2＋b 2＝c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2D ．c 2－a 2＝b 22．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为(B)A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．10 cm3．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是(D)知识点2 直角三角形的判别4．在△ABC 中，AB ＝12 cm ，AC ＝9 cm ，BC ＝15 cm ，则S △ABC 等于(A)A ．54 cm 2B ．108 cm 2C ．180 cm 2D ．90 cm 25．下列说法中，错误的是(D)A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A －∠B ，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 为直角三角形 C ．在△ABC 中，若a ＝35c ，b ＝45c ，则△ABC 为直角三角形D ．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，则△ABC 为直角三角形6．已知如图，在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝14，BC 边上的中线AD ＝24，试说明△ABC 是等腰三角形．解：因为AB ＝25，AD ＝24， BD ＝12BC ＝12×14＝7，AD 2＋BD 2＝242＋72＝625＝252＝AB 2，所以△ADB 为直角三角形，且∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC.在Rt △ADC 中，AC＝AD2＋CD2＝242＋72＝625＝25，所以AB＝AC.故△ABC是等腰三角形．知识点3 勾股定理的应用7．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200 m，他在水中实际游了520 m，那么该河的宽度为(C)A．440 m B．460 mC．480 m D．500 m8．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇．公路PQ上A处距离O点240米，距离MN这条铁路的距离是120米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？解：作AD⊥MN，并作AB＝AC＝200 m交MN于点B、C.因为AD＝120 m，所以BD＝2002－1202＝160(m)，BC＝160×2＝320(m)，t＝0.32÷72×3 600＝16(s)．答：A处受噪音影响的时间是16 s.中档题9．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是(D)A．100 B．28C．10或14 D．100或2810．在△ABC中，AB＝n2＋1，AC＝2n，BC＝n2－1(n>1)，则这个三角形是(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形11．某会会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，则中间小正方形的面积是(A)A．1 B．2C．4 D．612．在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一条直角边的比为13∶5，则这个三角形的三边长分别为26，24，10．13．(泰州中考)如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至△EBP, PE与CD 相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为4.8.14．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你说明理由．你能利用这个结论得出一些勾股数吗？解：因为a 2＝4m 2，b 2＝m 4－2m 2＋1，c 2＝m 4＋2m 2＋1，a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角．又m 为大于1的整数，故2m ，m 2－1，m 2＋1都是正整数，因此，a ，b ，c 为勾股数．利用这个结论可以得出勾股数：如4，3，5；8，15，17等．15．小明把一根长为160 cm 的细铁丝弯折成三段，将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC ，已知风筝的高AD ＝40 cm ，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？解：设腰长AB ＝AC ＝x ，则BC ＝160－2x ，BD ＝12BC ＝80－x. 在Rt △ABD 中，AB 2＝BD 2＋AD 2，即x 2＝(80－x)2＋402.解得x ＝50.所以AB ＝AC ＝50 cm ，BC ＝160－2×50＝60(cm)．所以小明先量取铁丝50 cm 弯折一次，再量取50 cm 弯折一次，然后将铁丝的两端点对接即可得到等腰三角形风筝的边框ABC.综合题16．如图，一根长度为50 cm 的木棒的两端系着一根长度为70 cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？解：分两种情况：①如图1，当∠B ＝90°时，设BC ＝x cm ，则AC ＝(70－x)cm.在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即(70－x)2＝502＋x 2，解得x ＝1207，则AC ＝70－x ＝3707.②如图2，当∠C ＝90°时，根据勾3股4弦5可知这两段绳子的长度分别为30 cm 和40 cm.答：该点将绳子分成长度分别为1207 cm 和3707 cm 的两段或30 cm 和40 cm 的两段．。

北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理课件(共20张PPT)

( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
填一填：观察右边两幅图：完成下表（每个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计算正方形C的面积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.

北师大版数学八年级上册课件第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)

北师大版八年级数学上册第一章第一节
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古希腊著名的数学家、哲学家.
发现了直角三角形三边的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请你在小组内交流.
知识：勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业

1.1 探索勾股定理(1)

课题：1.1探索勾股定理 (1)【教学目标】(1) 经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展学生的推理能力.(2)掌握勾股定理,并能运用它解决一些实际问题1、课前练习：1、三角形的三个内角的比为1:2:3, 则这个三角形是____________ 三角形.2、一个三角形的其中两边为5和8 , 则第三边x 的取值范围是_______________3、等腰三角形的其中两边为5和1, 则这个三角形的周长为___________4、已知a = 3, b = 4, 则a 2 + b 2=______, ( a + b ) 2=________。

5、如果a 2 = 25, 则 a = _____2课前预习：（阅读书本P 1—5页）（1）直角三角形三边有什么关系？你是怎样得到的? （2）勾股定理的内容？勾、股各是什么？【知识点一】出示投影（课本 P3 图1一2 1--3）并回答：1、观察图1一2中的左上图，正方形A 中有个小方格，即A 的面积为个面积单位。

正方形 B 中有个小方格．即B 的面积为个面积单位。

正方形 C 中有个小方格，即C 的面积为个面积单位。

2、你是怎样得出上面结果的？3、图 l 一2中，A 、B 、C 之间的面积之间有什么关系？_______________4、图1一 3中，A 、B 、C 之间有什么关系？【练习一】1、右图中字母所代表的正方形的面积,A=_____________B=______________【知识点二】小结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积_____，等于以_____为边的正方形面积。

勾股定理: 直角三角边的________的平方和等于______的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c 。

那么a 2+____=______【练习二】2、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=6 ,b =8 ,则c 2=__________a3、若一个直角三角形的的两条直角边长分别为3、4，以第三边的长向外作正方形，则这个正方形的面积是（）A 、25B 、49C 、 7D 、25或74、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。

八年级数学上册第一章勾股定理 1.1 探索勾股定理(第1课时)课件

平方
(píngfāng)
么
a2+b2=c2 .
3.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长的平方为(
A.2 B.24 C.74 D.12
为
第四页，共九页。
.如果(rúguǒ)
)
B
1.若直角三角形的三边(sān biān)长分别为6,8,m,则m2的值为( D
A.10
C.28
)
B.100
2
即阴影部分(bùfen)的面积为72π cm2.
第八页，共九页。
内容(nèiróng)总结
第一章勾股定理。A.2 B.24
C.74
D.12。1.若直角三角形的三边长分别为
6,8,m,则m2的值为(
)。2.如图,在边长为1个单位(dānwèi)长度的小正方形组成的网格中,点
A,B都是格点,则线段AB的长度为(
C.76
D.80
C
第六页，共九页。
4.在△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=20,求△ABC的周长(zhōu chánɡ).
解:∵AB2=AC2+BC2,
∴BC2=AB2-AC2=252-202=152.
∴BC=15.
∴△ABC的周长(zhōu chánɡ)是25+20+15=60.
第七页，共九页。
5.求下列图中阴影(yīnyǐng)部分的面积:
(1)
(2)
解:(1)由题图,得132-122=25(cm2),则阴影部分的面积为25 cm2.
(2)设半圆的直径(zhíjìng)为d cm,由勾股定理,得d2=252-72=576,则d=24,
S
1
2
半圆= π

1.1 探索勾股定理课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

拨
［答案］ B
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
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方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
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例如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
［解题思路］设 AC=b，BC=a，AB=c，易得 AB⊥DE，所
考
点

清以四边形 ACBE 的面积=S△ACB+S△ABE= AB·DG+ AB·EG=

单
解

2
读 AB·（DG+EG）= AB·DE= c ，四边形 ACBE 的面积
=S
梯形 ACFE
）b+
+S△EFB=
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［答案］解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
所以∠ADB=∠ADC=90°．
设 BD=x，则 CD=21-x，
在 Rt△ABD 中，AD2=102-x2，
在 Rt△ADC 中，AD2=172-（21-x）2，
解得 x=6，所以 AD2=102-62=64，
所以 AD=8，即 BC 边上的高为 8．
（1）已知∠C=90°，a=6，b=8，求 c；
（2）已知∠B=90°，a=15，b=25，求 c.
1.1 探索勾股定理
考
点
清