最新高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.1

数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)
D．(0,2)
解析： f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)<0得0<x<2，所以f(x)的单调递减区间为(0,2)．
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3．函数f(x)＝xln x的单调递增区间是________．
解析： 函数定义域为{x|x>0}， f′(x)＝ln x＋1，令 f′(x)>0 得 x>1e， ∴函数 f(x)的单调递增区间是1e，＋∞. 答案： 1e，＋∞
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函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的 正负有如下关系
导函数的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
函数在(a，b)上的单调性 单调_递__增__ 单调_递__减__ _常__数___函数
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3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
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解 析 ： 由 y ＝ f′(x) 的 图 象 可 知 ， 当 x<0 或 x>2 时 ， f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0，
∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在 (0,2)上为减少的．
答案： C
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答案： D
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2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所 示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
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1．掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的 多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．
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2010年舒马赫复出的消息是F1赛车上的重磅炸弹，人们 纷纷研究这位传奇的“F1之王”．研究发现，其除了超群的技 术外，速度的调节也恰到好处，他不轻易使用刹车，在某个时 间段内速度连续增加，在另一个时间段内速度则连续减少，呈 现一定的规律性．
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2．对导数法研究函数单调性的两点注意： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函 数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导 数的符号来判断函数的单调区间． (2) 如 果 一 个 函 数 具 有 相 同 单 调 性 的 单 调 区 间 不 止 一 个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗 号”或“和”字隔开．
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求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－ex 2； (2)y＝x3＋ax(a∈R)．
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上述结论可用图来直观理解．
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பைடு நூலகம்
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1．深入理解导数与单调性的关系 在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增 (减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使 f′(x) ＝ 0 ， 不 会 影 响 函 数 f(x) 在 包 含 该 点 的 某 个 区 间 内 的 单 调 性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由 f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都 满足f′(x)>0.
[思路点拨] 对(1)，求导后，应注意a的讨论．
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(1)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝exxx－－22－2 ex＝exx－x－232. 因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以 ex>0，(x－2)2>0. 由 f′(x)>0 得 x>3，所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋ ∞)；由 f′(x)<0 得 x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所 以函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
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4．已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R.若函数f(x)在[1,2] 上是减函数，求实数a的取值范围．
解析： ∵函数在[1,2]上是减函数， ∴f′(x)＝2x＋a－1x≤0 在[1,2]上恒成立，令 h(x)＝2x＋a－1x， 易知 h(x)在[1,2]上单调递增，故只需 h(2)≤0 即可． 解得 a≤－72， 故实数 a 的取值范围是－∞，－72.
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[问题1] 在某个时间段内速度连续增加，若v＝f(t)，那 么f′(t)是否为正呢？
[提示1] f′(t)>0. [问题2] 在某个时间段内速度连续减少，若v＝f(t)，那 么f′(t)是否为负呢？ [提示2] f′(t)<0.