人教版高中数学高一-A版必修3练习古典概型
人教A版高中数学必修三3古典概型(一)牛老师
答案
知识点二 古典概型 思考 一枚矿泉水瓶盖抛一次,出现正面向上与反面向上的概率相同吗? 答案 因为瓶盖重心的原因,正面向上和反面向上的可能性是不一样的. 由此可以看出基本事件不一定等可能. 如果某概率模型具有以下两个特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ; (2)每个基本事件出现的可能性相等 ; 那么我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
所以事件A只包含一个基本事件,所以P(A)=14.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,质检人员依次
不放回地从某箱中随机抽出2听,求检测出不合格产品的概率.
解 只要检测的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品.
分为两种情况:1听不合格和2听都不合格.设合格饮料为1,2,3,4,不合格
解析答案
1 2345
3.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是( C )
A.16
B.12
C.13
D.23
解析 基本事件有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙 甲共六个, 甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个,
所以甲站在中间的概率:P=26=13.
解析答案
1 2345
4.用1,2,3组成无重复数字的三位数,这些数能被2整除的概率是( C )
A.16
B.12
C.13
D.23
解析 用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个, 分别为123,132,213,231,312,321, 其中能被2整除的有132,312这2个数,
故能被2整除的概率为13.
解析答案
1 2345
5.从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表, 甲被选中的概率是( B )
人教版数学高一A版必修3作业古典概型
课时检测区·基础达标1.下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)=.A.②④B.①③④C.①④D.③④【解析】选B.根据古典概型的特征与公式进行判断,①③④正确,②不正确.2.同时投掷两颗大小完全相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的基本事件数是( )A.3B.4C.5D.6【解析】选D.事件A包含的基本事件有6个:(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(3,1).3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为( )A. B. C. D.1【解析】选C.从甲、乙、丙三人中任选两人有:(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=.4.从一副扑克牌(52张,无大小王)中随机抽取1张,事件A为“抽得红桃K”,事件B为“抽得黑桃”,则概率P(A∪B)= (结果用最简分数表示).【解析】52张中抽1张的基本事件有52种,事件A包含1种,事件B 包含13种,并且事件A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.答案:5.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为.【解析】设数学书为A,B,语文书为C,则不同的排法共有(A,B,C),(A,C,B),(B,C,A),(B,A,C),(C,A,B),(C,B,A)共6种排列方法,其中2本数学书相邻的情况有4种,故所求概率为P==.答案:6.现从A,B,C,D,E五人中任选三人参加一个重要会议.五人被选中的机会相等.求:(1)A被选中的概率.(2)A和B同时被选中的概率.(3)A或B被选中的概率.【解析】从A,B,C,D,E五人中任选三人参加会议共有以下10种结果:(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B, D,E),(C,D,E),且每种结果出现是等可能的.(1)事件“A被选中”共有6种结果,故所求事件的概率为P1==0.6.(2)A,B同时被选中共有3种结果,故所求事件的概率为P2==0.3.(3)方法一:“A或B被选中”的对立事件为“A和B均未被选中”,故所求事件的概率为P3=1-==0.9.方法二:“A或B被选中”即A,B两人至少有一个被选中,共有9种结果.故所求事件的概率为P3==0.9.。
高中数学 人教A版 必修三 第三章 3.2 古典概型(1)
四、课堂练习
1、将一枚质地均匀的硬币连掷三次,分别求出现“2 次正面朝上、1次反面朝上”和“1次正面朝上、2次反 面朝上”的概率。
解:将一枚质地均匀的硬币连掷三次会出现以下8种情况: 正正正、正正反、正反正、正反反
反正正、反正反、反反正、反反反
其中“2次正面朝上、 1次反面朝上”出现了3次, “1次正面朝上、2次反面朝上” 也出现了3次, 所以“2次正面朝上、 1次反面朝上”和“1次正面 朝上、2次反面朝上”出现的概率都为3/8。
共36个 其中检测出不合格事件数为:18个 所求概率 P(A)=18/30 =0.6
答:检测出不合格产品的概率为0.6
解二:(不考虑抽取顺序) 可以理解为一次“随机抽取2听”,这样(1,2),
(2,1)作为相同事件, 于是基本事件总数就为:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b), (2,3),(2,4),(2,a),(2,b), (3,4),(3,a),(3,b), (4,a),(4,b), (a,b) 而检测出不合格事件数为: 9个 所求概率 P(A)=9/15 =0.6
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率 模型,简称古典概型。
作业:P134 习题3.2 A组 第4题
四、课堂练习
2、在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球, 若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的 概率是多少?
五、课时小结 1、基本事件 在一个试验可能发生的所有结果中,那些不能再分 的最简单的随机事件称为基本事件.(其他事件都可由 基本事件来描述)
2、古典概型
(1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2) 每个基本事件出现的可能性相等。
解:(1)掷一个骰子的结果有6种。同时抛掷两个骰 子的结果如图所示,共有36种。
人教版数学高一-高中数学新人教A版必修3单元测试 古典概型
高中数学(人教A 版)能力形成单元测试卷(必修3 3.2 古典概型)班别 姓名 学号 成绩一、选择题1.一枚硬币连掷3次,只有一次出现正面的概率是A.83 B.32 C.31 D.41 2. 从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中,任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为A.51 B.52 C.103 D.107 3. 在第1、3、4、路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各5、8路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于A.21 B. 32 C.53 D.52 4. 某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为A.157 B.158 C.53D.1 5. 从全体3位正整数中任取一数,则此数以2为底的对数也是正整数的概率为A.2251 B.3001 C.4501D.以上全不对 二、填空题1. 在20瓶墨水中,有5瓶已经变质不能使用,从这20瓶墨水中任意选出1瓶,取出的墨水是变质墨水的概率为_________.2. 从1,2,3,4,5五个数字中,任意有放回地连续抽取三个数字,则三个数字完全不同的概率是_________.3. 从1,2,3,…,9这9个数字中任取2个数字,(1)2个数字都是奇数的概率为_________;(2)2个数字之和为偶数的概率为_________.三、解答题1. .抛掷两颗骰子,求:(1)点数之和出现7点的概率;(2)出现两个4点的概率.2. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:(1)3个矩形颜色都相同的概率;(2)3个矩形颜色都不同的概率.3. 连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的基本事件空间;(2)求这个试验的基本事件的总数;(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?4. 甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布),求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)乙赢的概率.5. 甲、乙两个均匀的正方体玩具,各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,将这两个玩具同时掷一次.(1)若甲上的数字为十位数,乙上的数字为个位数,问可以组成多少个不同的数,其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.6. 从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件,每次取出 后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”呢?参考答案一、选择题1.A2. B3. D4. B5.B 二、填空题1.41 2.2512 3.(1)185 (2)94 三、解答题1. 解:作图,从下图中容易看出基本事件空间与点集S={(x ,y )|x ∈N ,y ∈N ,1≤x≤6,1≤y≤6}中的元素一一对应.因为S 中点的总数是6×6=36(个),所以基本事件总数n=36.Ox654321(1)记“7点”的事件为A ,从图中可看到事件A 包含的基本事件数共6个:(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6),所以P (A )=61366=. (2)记“出现两个4点”的事件为B ,则从图中可看到事件B 包含的基本事件数只有1个:(4,4).所以P (B )=361. 2. 解:所有可能的基本事件共有27个,如图所示.红红红红红红红红红红红红红黄蓝黄黄黄黄黄黄黄黄黄黄黄黄蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝蓝 (1)记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ,由图知,事件A 的基本事件有1×3=3个,故P(A )=91273=.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B ,由图可知,事件B 的基本事件有2×3=6个,故P(B )=92276=. 3.解:(1)这个试验的基本事件空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}; (2)基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).4. 解.:甲有3种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果,可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏(试验)是古典概型.它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同,例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪,甲出剪且乙出布,甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出布且甲出锤这3种情况.设平局为事件A ,甲赢为事件B ,乙赢为事件C. 容易得到:甲布剪锤O(1)平局含△); (2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙); (3)乙赢含3个基本事件(图中的※).由古典概率的计算公式,可得P (A )3193==;P (B )3193==; P (C )3193==.5. 解:(1)甲有6种不同的结果,乙也有6种不同的结果,故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果,若十位数字与个位数字相同,十位数字确定后,个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果,即概率为61366=. (2)两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表.其中共有36种不同情况,但数字之和却只有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同结果.从中可以看出,出现2的只有一种情况,而出现12的也只有一种情况,它们的概率均为361,因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果.出现数字之和为6的共有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)五种情况,所以其概率为365.请同学们思考,出现概率最大的数字和是多少?6. 解:(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个基本事件组成,而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则 A={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)}.事件A 由4个基本事件组成.因而P (A )3264==.(2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(a 1,a 1),(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,a 2),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2),(b 1,b 1)},由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)}.事件B 由4个基本事件组成,因而P (B )=94.。
高中数学 专题1.11 古典概型练习(含解析)新人教A版必修3(2021年整理)
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古典概型1.下列试验中,属于古典概型的是()A.种下一粒种子,观察它是否发芽B.从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径dC.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面D.某人射击中靶或不中靶【答案】C【解析】依据古典概型的特点判断,只有C项满足:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相同.2.一枚硬币连掷3次,有且仅有2次出现正面向上的概率为( )A。
错误! B。
错误! C。
错误! D。
错误!3.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!【答案】A【解析】从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该问题属于古典概型.又所有基本事件包括(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)四种,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14.4.集合A={2,3},B={1,2,3},从A、B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( ) A.错误!B。
2020年高一数学第三章概率3.2.1古典概型限时规范训练新人教A版必修3
3.2.1 古典概型【基础练习】1.下列不是古典概型的是( )A .从6名同学中,选出4名参加数学竞赛,每个人被选中的可能性大小B .同时掷两枚骰子,点数和为7的概率C .近三天中有一天降雪的概率D .10个人站成一排,其中甲,乙相邻的概率 【答案】C【解析】对于A,从6名同学中,选出4名参加数学竞赛,每个人被选中的可能性相等,满足有限性和等可能性,是古典概型;在B 中,同时掷两枚骰子,点数和为7的事件是随机事件,满足有限性和等可能性,是古典概型;在C 中,不等可能性,不是古典概型;在D 中,10个人站成一排,其中甲,乙相邻的概率,满足有限性和等可能性,是古典概型. 故选C .2.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现“正面向上的点数为6”的概率是( ) A .13 B .14 C .15 D .16【答案】D【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子,有6种结果,每种结果等可能出现,出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种,故所求概率为16,故选D .3.某袋中有9个大小相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( )A .16 B .14 C .49 D .59【答案】C【解析】袋中有9个大小相同的球,从中任意取出1个,共有9种取法,4个白球,现从中任意取出1个,取出的球恰好是白球,共有4种取法,故取出的球恰好是白球的概率为49.故选C .4.从集合⎩⎨⎧ 2,3,4,12,⎭⎬⎫23中取两个不同的数a ,b ,则log a b >0的概率为( ) A .12 B .15 C .25 D .35【答案】C【解析】从集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫2,3,4,12,23中取两个不同的数a ,b ,共有20种不同情况,其中满足log a b >0有2+6=8种情况,故log a b >0的概率p =820=25,故选C .5.袋子中有大小相同的四个小球,分别涂以红、白、黑、黄颜色. (1)从中任取一球,取出白球的概率为________.(2)从中任取两球,取出的是红球、白球的概率为________. 【答案】(1)14 (2)16【解析】(1)任取一球有4种等可能结果,而取出的是白球只有一个结果,∴p =14.(2)取出2球有6种等可能结果,而取出的是红球、白球的结果只有一种,∴概率p =16.6.(2019年山东烟台校级月考)现有7名数理化成绩优秀者,分别用A 1,A 2,A 3,B 1,B 2,C 1,C 2表示,其中A 1,A 2,A 3的数学成绩优秀,B 1,B 2的物理成绩优秀,C 1,C 2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A 1和B 1不全被选中的概率为________.【答案】56【解析】从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以可能的结果组成的12个基本事件为:(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2).设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ,则其对立事件N -表示“A 1和B 1全被选中”.由于N -={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2)},所以P (N -)=212=16,由对立事件概率计算公式得P (N )=1-P (N -)=1-16=56.7.抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上一面的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果.连续抛掷两次,第一次抛掷的点数记为a ,第二次抛掷的点数记为b .(1)求直线ax +by =0与直线x +2y +1=0平行的概率;(2)求长度依次为a ,b,2的三条线段能构成三角形的概率.【答案】解:(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6×6=36种结果,满足条件的事件是1,2;2,4;3,6三种结果,∴所求的概率是p =336=112. (2)由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件数是36,根据题意可以知道a +b >2且|a -b |<2,符合要求的a ,b 共有1,2;2,1;2,2;2,3;3,2;3,3;3,4;4,3;4,4;4,5;5,4;5,5;5,6;6,5;6,6共有15种结果,∴所求的概率是1536=512.【能力提升】8.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ,n ,则点P (m ,n )在直线x +y =4上的概率是( )A .13 B .19 C .112 D .118【答案】C【解析】由题意知(m ,n )的取值情况有(1,1),(1,2),…,(1,6);(2,1),(2,2),…,(2,6);…;(6,1),(6,2),…,(6,6).共36种情况.而满足点P (m ,n )在直线x +y =4上的取值情况有(1,3),(2,2),(3,1),共3种情况,故所求概率为336=112,故选C .9.(2019年河南洛阳模拟)已知函数y =2mx n+|x |-1,其中2≤m <5,2≤n <5,m ,n ∈N *且m ≠n ,则该函数为偶函数的概率为( )A .13 B .23 C .25 D .35【答案】B【解析】(m ,n )所取的值有6种等可能的结果:(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,2),(4,3),使函数为偶函数的(m ,n )所取的值有(2,4),(3,2),(3,4),(4,2)所以所求概率为46=23.10.从集合M ={(x,y)|(|x|-1)2+(|y|-1)2<4,x,y ∈Z }中随机取一个点P (x ,y ),若xy ≥k (k >0)的概率为625,则k 的最大值是________.【答案】2【解析】因为M ={(x ,y )|(|x |-1)2+(|y |-1)2<4,x ,y ∈Z }={(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y∈Z },所以集合M 中元素的个数为5×5=25.因为xy =1的情况有2种,xy =2的情况有4种,xy =4的情况有2种,所以要使xy ≥k (k >0)的概率为625,需1<k ≤2,所以k 的最大值为2.11.(2019年山西太原模拟)某工厂对一批共50件的机器零件进行分类检测,其重量(克)统计如下:2件.(1)从该批零件中任选1件,若选出的零件重量在[95,100]内的概率为0.26,求m 的值; (2)从重量在[80,85)的5件零件中,任选2件,求其中恰有1件为甲型的概率. 解:(1)由题意可得n =0.26×50=13,则m =50-5-12-13=20.(2)设“从重量在[80,85)的5件零件中,任选2件,其中恰有1件为甲型”为事件A ,记这5件零件分别为a ,b ,c ,d ,e ,其中甲型为a ,b .从这5件零件中任选2件,所有可能的情况为ab ,ac ,ad ,ae ,bc ,bd ,be ,cd ,ce ,de ,共10种, 其中恰有1件为甲型的情况有ac ,ad ,ae ,bc ,bd ,be ,共6种. 所以P (A )=610=35.。
高中数学人教A版必修3《古典概型综合练习》PPT
古典概型的概率计算公式:
P(A)
A包含的基本事件的个数m
基本事件的总数 n
在使用古典概型的概率公式时,应该注意: 要判断所用概率模型是不是古典概型(前提)
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
例2.同时抛掷两枚均匀的硬币,会出现几种结果?列举出来. 出现 “一枚正面向上,一枚反面向上” 的概率是多少?
(3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之 和为9的结果(记为事件A)有4种,因此,
P(A)= A所包含的基本事件的个数 = 4 =1
基本事件的总数
36 9
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号会出
现什么情况?你能解释其中的原因吗? 如果不标上记号,类似于(3,6)和(6,3)的结果将没有 区别。这时,所有可能的结果将是:
所去掉大王和小王,在剩下的52张牌中随意抽出一张牌,
试求以下各个事件的概率: A: 抽到一张Q
41 52 13
思考题
B: 抽到一张“梅花” 13 1
C:抽到一张红桃 K
52 1
4
52
同时抛掷三枚均匀的硬币,会出现几种结果?
出现“一枚正面向上,两枚反面向上”的概率是多少?
3. 一副扑克牌,去掉大王和小王,在剩下的52张牌中随意抽出一张牌,
试求以下各个事件的概率: A: 抽到一张Q B: 抽到一张“梅花” C:抽到一张红桃 K
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
1. 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从 A 、B 、C 、D 四个
选项中选择一个正确的答案。
树状图
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
高中数学 必修三 3.2.1古典概型练习 新人教A版必修3
高中数学 3.2.1古典概型练习基础巩固一、选择题1.下列试验中,是古典概型的为( )A .种下一粒花生,观察它是否发芽B .向正方形ABCD 内,任意投掷一点P ,观察点P 是否与正方形的中心O 重合C .从1、2、3、4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率D .在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率[答案] C[解析] 对于A ,发芽与不发芽的概率一般不相等,不满足等可能性;对于B ,正方形内点的个数有无限多个,不满足有限性;对于C ,满足有限性和等可能性,是古典概型;对于D ,区间内的点有无限多个,不满足有限性,故选C.2.从甲、乙、丙三人中,任选两名代表,甲被选中的概率为( )A.12B.13C.14D.23 [答案] D[解析] 甲、乙、丙三人中任选两名代表有如下三种情况:(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙),其中甲被选中包含两种,因此所求概率为P =23. 3.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车),有一位乘客等候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )A.12B.23C.35D.25 [答案] D[解析] 由题知,在该问题中基本事件总数为5,一位乘客等车这,事件包含2个基本事件,故所求概率为P =25. 4.从1、2、3、4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14D.16 [答案] B[解析] 从1、2、3、4中任取2个不同的数有以下六种情况:{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4},满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3}、{2,4},故所求概率是26=13. 5.集合A ={2,3},B ={1,2,3},从A 、B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16 [答案] C[解析] 从A ,B 中各任意取一个数记为(x ,y ),则有(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3),共6个基本事件.而这两数之和为4的有(2,2)、(3,1),共2个基本事件.又从A ,B 中各任意取一个数的可能性相同,故所求的概率为26=13. 6.若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ,则点P (m ,n )在直线x +y =4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112 [答案] D[解析] 由题意知(m ,n )的取值情况有(1,1),(1,2),…,(1,6);(2,1),(2,2),…,(2,6);…;(6,1),(6,2),…,(6,6).共36种情况.而满足点P (m ,n )在直线x +y =4上的取值情况有(1,3),(2,2),(3,1),共3种情况,故所求概率为336=112,故选D. 二、填空题7.袋子中有大小相同的四个小球,分别涂以红、白、黑、黄颜色.(1)从中任取1球,取出白球的概率为________.(2)从中任取2球,取出的是红球、白球的概率为________.[答案] (1)14 (2)16[解析] (1)任取一球有4种等可能结果,而取出的是白球只有一个结果,∴P =14. (2)取出2球有6种等可能结果,而取出的是红球、白球的结果只有一种,∴概率P =16. 8.小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2015年暑假期间的旅游目的地,则济南被选入的概率是________.[答案] 34[解析] 事件“济南被选入”的对立事件是“济南没有被选入”.某城市没有入选的可能的结果有四个,故“济南没有被选入”的概率为14,所以其对立事件“济南被选入”的概率为P =1-14=34. 三、解答题9.随意安排甲、乙、丙3人在3天假期中值班,每人值班1天,则:(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法?(2)这3人的值班顺序中,甲在乙之前的排法有多少种?(3)甲排在乙之前的概率是多少?[解析] (1)3个人值班的顺序所有可能的情况如下图所示.甲乙丙丙乙 乙甲丙丙甲 丙甲乙乙甲由图知,所有不同的排列顺序共有6种.(2)由图知,甲排在乙之前的排法有3种.(3)记“甲排在乙之前”为事件A ,则P (A )=36=12. 10.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1、2、3;蓝色卡片两张,标号分别为1、2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.[解析](1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:(红1红2),(红1红3),(红1蓝1),(红1蓝2),(红2红3),(红2蓝1),(红2蓝2),(红3蓝1),(红3蓝2),(蓝1蓝2).其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,故所求的概率为P =310. (2)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种情况外,多出5种情况:(红1绿0),(红2绿0),(红3绿0),(蓝1绿0),(蓝2绿0),即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以概率为P =815. 能力提升一、选择题1.从集合{a ,b ,c ,d ,e }的所有子集中任取一个,这个集合恰好是集合{a ,b ,c }的子集的概率是( )A .1 B.12 C.14D.18[答案] C[解析] 解析:集合{a ,b ,c ,d ,e }的所有子集有25=32,集合{a ,b ,c }的所有子集有23=8,故所求概率为832=14. 2.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )A.15B.25C.310D.710 [答案] B3.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字组成一个两位数,则这个两位数大于40的概率是( )A.15B.25C.35D.45 [答案] B[解析] 十位数字有5种不同的取法,个位数字有4种不同的取法,所以组成的两位数共有5×4=20个,其中大于40的数十位数字只能是4、5,共有2×4=8个,故所求概率为820=25. 4.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34 [答案] A[解析] 记三个兴趣小组分别为1、2、3,甲参加1组记为“甲1”,则基本事件为“甲1,乙1;甲1,乙2;甲1,乙3;甲2,乙1;甲2,乙2;甲2,乙3;甲3,乙1;甲3,乙2;甲3,乙3”,共9个.记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,其中事件A 有“甲1,乙1;甲2,乙2;甲3,乙3”,共3个,因此P (A )=39=13. 二、填空题5.菲特台风重创宁波,志愿者纷纷前往灾区救援,现从四男三女共7名志愿者中任选2名(每名志愿者被选中的机会相等),则2名都是女志愿者的概率为________.[答案] 17[解析] 从7人中选2人有21种情况,选出2名女志愿者的情况有3种,所以概率为321=17. 6.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是________. [答案] 25[解析] 若使两点间的距离为22,则为对角线一半,选择点必含中心,设中心为G ,四个顶点为A ,B ,C ,D ,基本事件有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,G ),(B ,C ),…,(D ,G ),共10个,所求事件包含的基本事件有:(A ,G ),(B ,G ),(C ,G ),(D ,G ),共4个,所求概率为410=25. 三、解答题7.某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,①列出所有可能的抽取结果;②求抽取的2所学校均为小学的概率.[解析] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3、2、1.(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A 1,A 2,A 3,2所中学分别记为A 4,A 5,1所大学记为A 6,则抽取2所学校的所有可能结果为(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 4),(A 1,A 5),(A 1,A 6),(A 2,A 3),(A 2,A 4),(A 2,A 5),(A 2,A 6),(A 3,A 4),(A 3,A 5),(A 3,A 6),(A 4,A 5),(A 4,A 6),(A 5,A 6),共15种.②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),共3种,所以P (B )=315=15. 8.小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x ;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y ,(1)在直角坐标系xOy 中,以(x ,y )为坐标的点共有几个?试求点(x ,y )落在直线x +y =7上的概率;(2)规定:若x +y ≥10,则小王赢;若x +y ≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.[解析] (1)因x ,y 都可取1,2,3,4,5,6,故以(x ,y )为坐标的点共有36个.记点(x ,y )落在直线x +y =7上为事件A ,事件A 包含的点有:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)6个,所以事件A 的概率P (A )=636=16. (2)记x +y ≥10为事件B ,x +y ≤4为事件C ,用数对(x ,y )表示x ,y 的取值.则事件B 包含(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)共6个数对;事件C包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6个数对.由(1)知基本事件总数为36个,所以P(B)=636=16,P(C)=636=16,所以小王、小李获胜的可能性相等,游戏规则是公平的.。
人教版高中数学高一-A版必修3练习 第三章古典概型与几何概型(强化训练)
古典概型与几何概型(强化训练)[学生用书单独成册] [A 基础达标] 1.(2015·高考广东卷)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为( )A .0.4B .0.6C .0.8D .1解析:选B .记3件合格品为a 1,a 2,a 3,2件次品为b 1,b 2,则任取2件构成的基本事件空间为Ω={(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,a 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2)},共10个元素.记“恰有1件次品”为事件A ,则A ={(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2)},共6个元素.故其概率为P (A )=610=0.6. 2.在一个游戏中,有两枚大小相同、质地均匀的正四面体骰子,每个面上分别写着数字1,2,3,5.同时投掷一次,记x 为两个朝下的面上的数字之和,则x 不小于6的概率为( )A.18 B .14C.38 D .12解析:选D.因为骰子是均匀的,所以各面朝下的可能性相等,出现的所有可能情况为(1,1),(1,2),(1,3),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5),共16种.记事件A =“x 不小于6”,则其包含的可能情况有:(1,5),(2,5),(3,3),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,5),共8种,所以P (A )=816=12.故选D. 3.利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ,则事件“3a -1<0”发生的概率为( ) A.12 B .13C.23 D .14解析:选B .在区间[0,1]上随机产生一个数a ,即a ∈[0,1],要使3a -1<0发生,即a <13成立. 所以由几何概型知使事件“3a -1<0”发生的概率为P =符合条件的区间长度所有结果构成的区间长度=131=13. 4.如图,在矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,点F 为边AD 的中点,AE 和BF 相交于点O ,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ,则点Q 取自△AOB 内部的概率等于( )A.110B .18 C.14D .15解析:选D.设AB =x ,BC =y ,则所求事件涉及相关图形的面积问题.矩形ABCD 的面积为S 矩形ABCD =xy .过点O 向AB 作垂线,垂足设为G ,过点E 向AB 作垂线,垂足设为H ,则AD ∥OG ∥EH .在△AEH 中,OG EH =AG AH,① 在△ABF 中,OG AF =BG AB,② 又AF =12AD ,EH =BC ,AH =HB , 结合①②解得OG =25y , 所以△AOB 的面积为S △AOB =12AB ×OG =15xy . 由几何概型的概率公式得所求的概率为P =S △AOB S 矩形ABCD =15xy xy =15.故选D. 5.对于某次抽奖活动,每1 000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ,B ,C ,则1张奖券不中特等奖且不中二等奖的概率为( )A .0.000 1B .0.000 2C .0.988D .0.949解析:选D.由等可能事件的古典概型概率,知P (A )=11 000=0.001,P (B )=101 000=0.01,P (C )=501 000=0.05, 则1张奖券不中特等奖且不中二等奖是指A +C ,因为A +C 与A +C 是对立事件,所以P (A +C )=1-P (A +C )=1-P (A )-P (C )=1-0.001-0.05=0.949,即1张奖券不中特等奖且不中二等奖的概率为0.949.故选D.6.如图所示是一台微波炉的操作界面.若一个两岁小孩触碰A ,B ,C 三个按钮是等可解析:本题中总的基本事件Ω={AA ,BB ,CC ,AB ,AC ,BA ,CA ,BC ,CB },共9种.记事件E ={小孩按两次按钮启动微波炉},则E ={AA ,AB ,BA ,AC ,CA },共5种.由古典概型的概率计算公式,可得P (E )=n (E )n (Ω)=59. 答案:597.在等腰直角三角形ABC 中,直角顶点为C ,在∠ACB 的内部任作一条射线CM ,与线段AB 交于点M ,则满足AM <AC 的概率为________.解析:记“AM <AC ”为事件D ,在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的,所以射线CM 所在任何位置都是等可能的,则所求事件涉及对应角的角度问题.在AB 上取一点C 1,使得AC 1=AC ,连接CC 1,则∠ACC 1=67.5°,而∠ACB =90°,根据几何概型的概率公式,知满足AM <AC 的概率为P (D )=构成事件D 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度=∠ACC 1∠ACB =67.5°90°=34. 答案:348.从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是男生或都是女生的概率等于________.解析:设2名男生为A ,B ,3名女生为a ,b ,c ,则从5名同学中任选2名的方法有(A ,B ),(A ,a ),(A ,b ),(A ,c ),(B ,a ),(B ,b ),(B ,c ),(a ,b ),(a ,c ),(b ,c ),共10种,而这2名同学刚好是一男一女的有(A ,a ),(A ,b ),(A ,c ),(B ,a ),(B ,b ),(B ,c ),共6种,故所求的概率P =1-610=25. 答案:259.北京市为缓解交通压力,计划在某路段实施“交通限行”,为调查公众对该路段“交通限行”的态度,某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查,将调查情况进(1)若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40,求x 的值;(2)在(1)的条件下,若从年龄在[45,60),[60,75)内的两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访,求选中的2人中至少有1人来自[60,75)内的概率.解:(1)经过该路段的人员中对“交通限行”赞成的人数为12+14+x +3,因为样本中的赞成率为0.40,所以12+14+x +380=0.40, 解得x =3.(2)记“选中的2人中至少有1人来自[60,75)内”为事件M .设年龄在[45,60)内的3位被调查者分别为A ,B ,C ,年龄在[60,75)内的3位被调查者分别为a ,b ,c ,则从这6位被调查者中抽出2人的情况有{a ,b },{a ,c },{a ,A },{a ,B },{a ,C },{b ,c },{b ,A },{b ,B },{b ,C },{c ,A },{c ,B },{c ,C },{A ,B },{A ,C },{B ,C },共15个基本事件,且每个基本事件等可能发生.其中事件M 包括{a ,b },{a ,c },{a ,A },{a ,B },{a ,C },{b ,c },{b ,A },{b ,B },{b ,C },{c ,A },{c ,B },{c ,C },共12个基本事件,所以选中的2人中至少有1人来自[60,75)内的概率P (M )=1215=45. 10.在以3为半径的圆内任取一点P 为中点作圆的弦,求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.解:设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A .在以半径为3的圆内任取一点P 的结果有无限个,属于几何概型.如图所示,△BCD 是圆内接等边三角形,再作△BCD 的内切圆.则满足“弦长超过圆内接等边三角形边长”的点P 在等边△BCD 的内切圆内.可以计算得:等边△BCD 的边长为3,等边△BCD 的内切圆的半径为32, 所以事件A 构成的区域面积是等边△BCD 的内切圆的面积π×⎝⎛⎭⎫322=34π, 全部结果构成的区域面积是π×(3)2=3π, 所以P (A )=34π3π=14, 即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.[B 能力提升] 1.在2016年的欧洲杯足球赛的小组赛中,英国队与法国队进行足球比赛,若两队平局的概率是14,法国队战输的概率是13,则法国队不胜的概率是( ) A.112 B .712C.34 D .23解析:选B .记事件A 为“法国队不胜”,事件B 为“法国队战输”,事件C 为“两队平局”,则事件B ,C 为互斥事件,所以法国队不胜的概率为P (A )=P (B ∪C )=P (B )+P (C )=14+13=712. 2.在0~1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0~1之间的线段分成了三条,则这三条线段能构成三角形的概率为( )A.12 B .14C.18 D .116解析:选B .记“三条线段能构成三角形”为事件M ,设三条线段的长度分别为x ,y ,1-x -y ,因为⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1,0<y <1,0<1-x -y <1,则⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1,0<y <-x +1.① 在平面上建立如图所示的直角坐标系,则不等式组①所表示的平面区域为三角形AOB 内部的区域G ,每一对(x ,y )对应着G 内的点(x ,y ),由题意可知,每一个试验结果出现的可能性相等,因此,试验属于几何概型.而三条线段能构成三角形当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x +y >1-x -y ,1-x >x ,1-y >y ,即⎩⎪⎨⎪⎧y >-x +12,x <12,y <12,② 不等式组②所表示的平面区域为三角形CDE 内部的区域g . 容易求得区域g 的面积为18,区域G 的面积为12, 则P (M )=构成事件M 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积=g 的面积G 的面积=1812=14, 即这三条线段能构成三角形的概率为14.故选B . 3.一只受伤的候鸟在如图所示(直角梯形ABCD )的草原上飞翔,其中AD =3,CD =2,BC =5,它可能随机落在该草原上任何一处(点),若落在扇形沼泽区域(图中的阴影部分)CDE 以外候鸟能生还,则该候鸟生还的概率为________.解析:直角梯形ABCD 的面积S 1=12(3+5)×2=8,扇形CDE 的面积S 2=14π×22=π,根据几何概型的概率公式,得候鸟生还的概率P =S 1-S 2S 1=8-π8=1-π8. 答案:1-π84.(选做题)“顶香居”食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级,等级系数X 依次为A ,B ,C ,D ,E .现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验,对其等X A B C D E频率 0.1 0.2 0.45 0.15 0.1从等级系数为A ,D ,E 的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同).(1)求取出的两件样品是等级系数为A 与D 的概率;(2)求取出的两件样品是不同等级的概率.解:(1)A 级所取的样品数为20×0.1=2,D 级所取的样品数为20×0.15=3,E 级所取的样品数为20×0.1=2.将等级系数为A 的2件样品分别记为a 1,a 2;等级系数为D 的3件样品分别记为x 1、x 2,x 3;等级系数为E 的2件样品分别记为y 1,y 2.现从a 1,a 2,x 1,x 2,x 3,y 1,y 2这7件样品中一次性任取两件,共有21种不同的结果,分别为{a 1,a 2},{a 1,x 1},{a 1,x 2},{a 1,x 3},{a 1,y 1},{a 1,y 2},{a 2,x 1},{a 2,x 2},{a 2,x 3},{a 2,y 1},{a 2,y 2},{x 1,x 2},{x 1,x 3},{x 1,y 1},{x 1,y 2},{x 2,x 3},{x 2,y 1},{x 2,y 2},{x 3,y 1},{x 3,y 2},{y 1,y 2}.记事件M 为“取出的两件样品是等级系数为A 与D ”,则事件M 所包含的基本事件有6种,分别为{a 1,x 1},{a 1,x 2},{a 1,x 3},{a 2,x 1},{a 2,x 2},{a 2,x 3}.所以事件M 的概率P (M )=621=27. (2)法一:记事件N 为“取出的两件样品是等级系数为A 与E ”,则事件N 所包含的基本事件有4种,分别为{a 1,y 1},{a 1,y 2},{a 2,y 1},{a 2,y 2},所以事件N 的概率P (N )=421. 记事件Q 为“取出的两件样品是等级系数为D 与E ”,则事件Q 所包含的基本事件有6种,分别为{x 1,y 1},{x 1,y 2},{x 2,y 1},{x 2,y 2},{x 3,y 1},{x 3,y 2},所以事件Q 的概率P (Q )=621=27. 因为事件M ,N ,Q 为互斥事件,所以取出的两件样品是不同等级的概率为P (M ∪N ∪Q )=P (M )+P (N )+P (Q )=1621. 法二:记事件L 为“取出的两件样品是不同等级”,则事件L -为“取出的两件样品是同等级”,所以事件L -所含的基本事件有5种,分别为{a 1,a 2},{x 1,x 2},{x 1,x 3},{x 2,x 3},{y 1,y 2},所以事件L -的概率P (L -)=521, 所以P (L )=1-P (L -)=1-521=1621, 即取出的两件样品是不同等级的概率为1621.。
人教A版高中数学必修三练习:第三章概率分层训练进阶冲关3.2古典概型Word版含答案
分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.下列关于古典概型的说法中正确的是( B )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)=.A.②④B.①③④C.①④D.③④2.同时投掷两颗大小完全相同的骰子,用(x,y)表示结果,记A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的基本事件数是( D )A.3B.4C.5D.63.从甲、乙、丙三人中任选2人作代表,则甲被选中的概率为( C )A. B. C. D.14.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( D )A. B. C. D.5.一枚硬币连掷3次,有且仅有2次出现正面向上的概率为( A )A. B. C. D.6.已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458569 683 431 257 393 027 556 488730 113 537 989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( B )A.0.35B.0.25C.0.20D.0.157.从1,2,3,4,5这5个数字中,不放回地任取两数,两数都是奇数的概率是.8.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是.9.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为0.2.10.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标,则点P落在圆x2+y2=16内的概率是.11.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球.求:(1)基本事件总数;(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件?(3)摸出2个黑球的概率是多少?【解析】由于4个球的大小相等,摸出每个球的可能性是均等的,所以是古典概型.(1)将黑球编号为黑1,黑2,黑3,从装有4个球的口袋内摸出2个球,所有基本事件构成集合Ω={(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑1,白),(黑2,黑黑2,白),(黑3,白)},共有6个基本事件.3),((2)事件“摸出2个黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共3个基本事件.(3)基本事件总数n=6,事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m=3,故P=.12.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率.(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率.【解析】(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2个.因此所求事件的概率为P==.(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),共16个.又满足条件n≥m+2的事件有(1,3),(1,4),(2,4),共3个.所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=.故满足条件n<m+2的事件的概率为1-P1=1-=.B组提升练(建议用时20分钟)13.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为X,Y,则lo Y=1的概率为 ( C )A. B. C. D.14.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 ( D )A. B. C. D.15.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为.16.通过模拟试验,产生了20组随机数:6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 09526807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标,问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为.17.某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率.(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.【解析】(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)共6个.设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M,其包括事件有3个,故P(M)==.(2)从该小组5名同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D, E),共10个.设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中”为事件N,则事件N包括事件有:(C,D),(C,E),(D,E),共3个.则P(N)=.18.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数.(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.①用所给编号列出所有可能的结果;②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.【解析】(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2, A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5, A6},共9种.因此,事件A发生的概率P(A)==.C组培优练(建议用时15分钟)19.有五根细木棒,长度分别为1,3,5,7,9(cm),从中任取三根,能搭成三角形的概率是 ( D )A. B. C. D.20.某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车费多于14元的概率为,求甲的停车费为6元的概率.(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.【解析】(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车1到2小时”为事件B,“一次停车2到3小时”为事件C,“一次停车3到4小时”为事件D.由已知得P(B)=,P(C+D)=.又事件A,B,C,D互斥,所以P(A)=1--=.所以甲的停车费为6元的概率为.(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),共16个;而“停车费之和为28元”的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,所以所求概率为.关闭Word文档返回原板块。
高中数学必修三《古典概型》课后练习(含答案)
高中数学必修三《古典概型》课后练习(含答案)古典概型课后练习(1)列出所有可能结果.题三:从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于20的概率为.题四:一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1,2,3,4的红色卡片和三张分别写有数字1,2,3的蓝色卡片,卡片除颜色和数字外完全相同.(1)从中任意抽取一张卡片,求该卡片上写有数字1的概率;(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内,然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片,以红色卡片上的数字作为十位数,蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数,求这个两位数大于22的概率.求:(1)题七:在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小球被取出的可能性相等.求取出的两个球上标号为相邻整数的概率.题八:在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小球被取出的可能性相等.求事件“取出的两个球上标号之和能被3整除”的概率.题九:从1,3,5,7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数,则组成的两位数是5的倍数的概率为.题十:已知:a、b、c为集合A={1,2,3,4,5,6}中三个不同的数,通过如下框图给出的一个算法输出一个整数a,则输出的数a=5的概率是.据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为.题十二:从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动.(1)求所选2人中恰有一名男生的概率;(2)求所选2人中至少有一名女生的概率.题十三:已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.题十四:有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()1123A.B.CD.3234题十五:设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线某+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为()A.3B.4C.2和5D.3和4题十六:已知关于某的一元二次函数f(某)=a某2b某+1,设集合P={1,2,3},Q={1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.(1)求函数y=f(某)有零点的概率;(2)求函数y=f (某)在区间题一:312种结果,两位数大于20的为:题三:(1)0.56;(2)0.74.详解:记事件A为“不派出医生”,事件B为“派出1名医生”,事件C为“派出2名医生”,事件D为“派出3名医生”,事件E为“派出4名医生”,事件F为“派出不少于5名医生”.则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)“派出医生至少2人”的概率为P(C+D+E+F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74,或1-P(A+B)=1-0.1-0.16=0.74.题四:111,,.364详解:记“任取一球,得到红球,得到黑球,得到黄球,得到白球”分别为事件A、B、C、D,则由题意可得。
人教版数学高一-高中数学新人教A版必修三3.2《古典概型》文字素材3
深刻理解古典概型古典概型是一种特殊的数学模型,在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率的必不可少的内容。
我们要深刻理解古典概型的概念、特征及其概率公式,并能熟练应用概率公式解决有关概率问题。
一、概念辨析古典概型必须具备两个条件:(1)有限性(即指试验中所有可能出现的基本事件只有有限个);(2)等可能性(即指每个基本事件出现的可能性相等)。
判断一个事件是否为古典概型时,同学们只要紧紧抓住这两个条件,即可得出正确结论。
例1.下列概率模型中有几个是古典概型?A.从区间[1,10]内任意取出一个实数,求取到实数2的概率;B.向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率;C.从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率。
解:A不是古典概型,因为区间[1,10]中的有无限多个实数,取出的那个实数有无限多种结果,因此有无限多个基本事件,与古典概型定义中“基本事件只有有限个”矛盾。
B不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等,与古典概型定义中“每个基本事件出现的可能性相等”矛盾。
C是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有限的(100个),而且每个整数被抽到的可能性相等。
例2.在连续掷两次硬币的试验中,“第一次正面朝上”是基本事件吗?解:抛掷完两次硬币后试验才算完成,所以两次抛掷的结果合起来才算一个基本事件,故“第一次正面朝上”不是基本事件。
该试验所有的基本事件有四个:(正,正),(正,反),反,正),(反,反)二、公式应用在满足上面两个条件的情况下,我们可以用古典概型的概率公式计算事件A的概率:()AP A=包含的基本事件个数总的基本事件个数.例3.在一次数学研究性实践活动中,某兴趣小组做了两个均匀的正方体玩具,组长同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)后,请小组成员研究下面两个问题:(1)两个正方体朝上一面数字相同的概率是多少;(2)两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少?你能帮助他们研究出来吗?分析:共有36种(见右表);(2)等可能性,出现每一种朝向的情况具有等可能性。
高一下学期数学人教A版必修三单元检测卷:(10)古典概型Word版含解析
(10A.B.C.D.A.B.C.25D.25A.B.C.10D.104 A={2,3},B={1,2,3 AB6帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下列说法正确的是()A. 一定不会淋雨B. 淋雨的机会为34C. 淋雨的机会为12D. 淋雨的机会为146、假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4 表示命中靶心,5,6,7,8,9,0 表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:93 28 12 45 85 69 68 34 31 2573 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为()A.0.50B.0.45C.0.40D.0.357、某种心脏病手术,成功率为0.6,现准备进行3例此种手术,利用计算机取整数值随机数模拟,用0,1,2,3 代表手术不成功,用4,5,6,7,8,9 代表手术成功,产生20组随机数:966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,725,则恰好成功1例的概率为()A.0.6B.0.4C.0.63D.0.438、用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现2点的概率,则下列步骤中不正确的是()A.用计算器的随机函数RANDI 1,7或计算机的随机函数RANDBETWEEN 1,7 RAN产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x,如果x=2,我们认为出现2点B•我们通常用计算器n记录做了多少次掷骰子试验,用计数器m记录其中有多少次出现2点,置n =0, m =0C. 出现2点,则m的值加1,即m = m 1;否则m的值保持不变D. 程序结束,出现2点的频率—作为概率的近似值np21 - 4-1 - 2X1 - 2-1- 2D___ ‘P13-4 --3-4‘ 5P1-+514-25c一 c A,P(A)=mnm P A 二一nm , n ,解析:可看作分两次抽取,第一次任取一张有5种方法,第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法,因为(B,C)与(C,B)是一样的,故试验的所有基本事件总数为 5 4--2=10个,两4 2字母恰好是相邻字母的有A,B , B,C , C,D , D,E 4 个,故P= p二丄二上.””””10 54答案及解析:答案:C解析:从代B中各取一个数有2,1 2,2 2,3 3,1, 3,2 3,3共6种情况,其中和为4的2 1有2,2 , 3,1共2种情况,所以所求概率P = 2二1,故选C。
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[A 基础达标]1.同时投掷两颗大小完全相同的骰子,用(x ,y )表示结果,记A 为“所得点数之和小于5”,则事件A 包含的基本事件数是( )A .3B .4C .5D .6解析:选D.事件A 包含的基本事件有6个:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).故选D.2.下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n ,随机事件A 若包含k 个基本事件,则P (A )=k n. A .②④ B .①③④C .①④D .③④解析:选B .根据古典概型的特征与公式进行判断,①③④正确,②不正确,故选B .3.下列是古典概型的是( )(1)从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小;(2)同时掷两颗骰子,点数和为7的概率;(3)近三天中有一天降雨的概率;(4)10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.A .(1)(2)(3)(4)B .(1)(2)(4)C .(2)(3)(4)D .(1)(3)(4)解析:选B .(1)(2)(4)为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,而(3)不适合等可能性,故不为古典概型.4.已知集合A ={2,3,4,5,6,7},B ={2,3,6,9},在集合A ∪B 中任取一个元素,则它是集合A ∩B 中的元素的概率是( )A.23 B .35C.37 D .25解析:选 C.A ∪B ={2,3,4,5,6,7,9},A ∩B ={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是37. 5.把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为a ,第二次出现的点数为b ,则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax +by =3,x +2y =2只有一个解的概率为( ) A.512 B .1112C.513 D .913解析:选B .点(a ,b )取值的集合共有36个元素.方程组只有一个解等价于直线ax +by =3与x +2y =2相交,即a 1≠b 2,即b ≠2a ,而满足b =2a 的点只有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax +by =3,x +2y =2只有一个解的概率为3336=1112.6.甲、乙两人随意入住三间空房,则甲、乙两人各住一间房的概率是________.解析:设房间的编号分别为A 、B 、C ,事件甲、乙两人各住一间房包含的基本事件为:甲A 乙B ,甲B 乙A ,甲B 乙C ,甲C 乙B ,甲A 乙C ,甲C 乙A 共6个,基本事件总数为3×3=9,所以所求的概率为69=23. 答案:237.甲、乙两人玩数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为a ,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙想的数字记为b ,且a ,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a -b |≤1,则称“甲、乙心有灵犀”,现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________.解析:数字a ,b 的所有取法有36种,满足|a -b |≤1的取法有16种,所以其概率为P =1636=49. 答案:498.(2016·石家庄检测)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为________.解析:该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为26=13. 答案:139.(2014·高考山东卷)海关对同时从A ,B ,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区A B C 数量 50 150 100(1)求这6件样品中来自A ,B ,C 各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650+150+100=150, 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50×150=1,150×150=3,100×150=2. 所以A ,B ,C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ,B ,C 三个地区的样品分别为:A ;B 1,B 2,B 3;C 1,C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:{A ,B 1},{A ,B 2},{A ,B 3},{A ,C 1},{A ,C 2},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 1,C 1},{B 1,C 2},{B 2,B 3},{B 2,C 1},{B 2,C 2},{B 3,C 1},{B 3,C 2},{C 1,C 2},共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D :“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D 包含的基本事件有: {B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},{C 1,C 2},共4个.所以P (D )=415,即这2件商品来自相同地区的概率为415. 10.(2016·长沙联考)某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13,停车费多于14元的概率为512,求甲的停车费为6元的概率;(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.解:(1)设“一次停车不超过1小时”为事件A ,“一次停车1到2小时”为事件B ,“一次停车2到3小时”为事件C ,“一次停车3到4小时”为事件D .由已知得P (B )=13,P (C +D )=512. 又事件A ,B ,C ,D 互斥,所以P (A )=1-13-512=14. 所以甲的停车费为6元的概率为14. (2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个;而“停车费之和为28元”的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,所以所求概率为316. [B 能力提升]1.盒中有1个黑球和9个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球,设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1,第10个人摸出黑球的概率是P 10,则( )A .P 10=110P 1B .P 10=19P 1 C .P 10=0 D .P 10=P 1解析:选D.摸球与抽签是一样的,虽然抽签的顺序有先后,但只需不让后人知道先抽的人抽出的结果,那么各个抽签者中签的概率是相等的,并不因抽签的顺序不同而影响到其公平性.所以P 10=P 1.2.(2014·高考课标全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.解析:两本不同的数学书用a 1,a 2表示,语文书用b 表示,由Ω={(a 1,a 2,b ),(a 1,b ,a 2),(a 2,a 1,b ),(a 2,b ,a 1),(b ,a 1,a 2),(b ,a 2,a 1)}.于是两本数学书相邻的情况有4种,故所求概率为46=23.答案:233.某班体育兴趣小组共有12名同学(学号为1到12),要从中选出一个同学去参加某项比赛,由于1号同学受伤,只好从2至12号同学中选出.因为这11位同学水平相当,所以有人提议用如下的办法选出:用两台完全相同的计算机各随机产生1到6中的一个整数,这两个整数的和是几就选择几号.你认为这种方法公平吗?若公平,说明理由;若不公平,说明这种方法最有可能选中几号?几号同学被选中的可能性最小?解:所以基本事件空间中共有36个基本事件.其中,选中2号与12号的概率都为136,选中3号与11号的概率都为236=118,选中4号与10号的概率都为336=112,选中5号与9号的概率都为436=19,选中6号与8号的概率都为536, 选中7号的概率为636=16, 所以这种方法不公平,最有可能选中7号,2号和12号同学被选中的可能性最小.4.(选做题)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事,设齐王的三匹马分别为A 、B 、C ,田忌的三匹马分别为a 、b 、c ;三匹马各比赛一次,胜两场者获胜.若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示:A >a >B >b >C >c .(1)正常情况下,求田忌获胜的概率;(2)为了得到更大的获胜机会,田忌预先派出探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出上等马A ,于是田忌采用了最恰当的应对策略,求这时田忌获胜的概率.解:(1)比赛配对的基本事件共有6个,它们是:(Aa ,Bb ,Cc ),(Aa ,Bc ,Cb ),(Ab ,Ba ,Cc ),(Ab ,Bc ,Ca ),(Ac ,Ba ,Cb ),(Ac ,Bb ,Ca ).经分析:仅有配对为(Ac ,Ba ,Cb )时,田忌获胜,且获胜的概率为16. (2)田忌的策略是首场安排劣马c 出赛,基本事件有2个:(Ac ,Ba ,Cb ),(Ac ,Bb ,Ca ),配对为(Ac ,Ba ,Cb )时,田忌获胜且获胜的概率为12.故正常情况下,田忌获胜的概率为16,获得信息后,田忌获胜的概率为12.。