实际流体动力学基础

第五章 实际流体动力学基础

5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ′x 、p ′y 以及压应力p x 、p y 。

解：0y x xy

yx u u x y ττμ∂⎛⎫

∂==+= ⎪∂∂⎝⎭

24x

x

u p a x

μμ∂'=-=-∂，24y y u p a y μμ∂'=-=∂， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+

5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x

轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。（请将

d 0d p

x

=时的这一流动与在第一章中讨

论流体粘性时的流动相比较）

解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。 由例５－1中的（11）式可得

2d (1)2d h y p y y

u v h x h h μ=-

- （１） 当d 0d p x =时，y u v h

=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当d 0d p

x

≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为

(1)u y y y

p v h h h

=-- （２） 式中2d ()2d h p

p v x

μ=

- （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．

5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连

续性方程，证明过流断面上的速度分布为2

sin (2)2x g u zh z r q m

=

-，单宽流量3sin 3gh q r q m =。 解：（1）因是恒定

二维流动，

0y x z

u u u t t t

¶¶¶===抖?，u u x =，0y u =，

0z u =，由纳维——斯托克

斯方程和连续性方程可

得

2210x x u p f x z μρρ∂∂-+=∂∂，10z

p f z ρ∂-=∂，0x u x ∂=∂ sin x f g q =，cos z f g q =-。因是均匀流，压强分布与x 无关，

0x

p

=∂∂，因此，纳维——斯托克斯方程可写成

22

sin 0x u g z μθρ∂+=∂，1cos 0p

g z

θρ∂--=∂ 因u x 只与z 方向有关，与x 无关，所以偏微分可改为全微分，则

22

d sin 0d x u g z m q r +=，积分得 1d sin d x u g

z C z ρθμ

-=+， 212sin 2x g u z C z C ρθμ=-++，当0z =，0x u =；h z =，d 0d x u z

=，得1sin g

C h r q m =，

0C 2=，2sin sin 2x g g u z hz ρρθθμμ=-+，2sin (2)2x g u zh z r q m

=- （2）2

d sin (2)d 2h h x

g q u z zh z z r q m

=

=

-蝌333sin ()sin 233g h gh h r r q q m m =

-=。 5－4 设有两艘靠得很近的小船，在河流中等速并列向前行驶，其平面位置，如图a 所示。（1）试

问两小船是越行越靠近，甚至相碰撞，还是越行越分离。为什么？若可能要相碰撞，则应注意，并事先设法避免。（2）设小船靠岸时，等速沿直线岸平行行驶，试问小船是越行越靠岸，还是越离岸，为什么？（3）设有一圆筒在水流中，其平面位置如图b 所示。当圆筒按图中所示方向（即顺时针方向）作等角转速旋转，试问圆筒越流越靠近D 侧，还是C 侧，为什么？

解：（1）取一通过两小船的过流断面，它与自由表面的交线上各点的2

2p u z g g

r ++应相等。现两船间的流线较密，速度要增大些，压强要减小些，而两小船外侧的压强相对要大一些，致使将两小船推向靠近，越行越靠近，甚至可能要相碰撞。事先应注意，并设法避免、预防。

（2）小船靠岸时，越行越靠近岸，理由基本上和上面（1）的相同。

（3）因水流具有粘性，圆筒旋转后使靠D 侧流速增大，压强减小，致使越流越靠近D 侧。

5-5 设有压圆管流（湍流），如图所示，已知过流断面上的

流速分布为71

max )(r y

u u =，max u 为管轴处的最大流速。试求断面平均流速v （以u max 表示）和动能修

正系数α值。

解：设17

n =

， 5－6 设用一附有水银压差计的文丘里管测定倾斜管内恒定水流的流量，如图所示。已知d 1 =0.10m ，d 2 =0.05m ，压差计读数h ＝ｍ，文丘里管流量系数μ =，试求流量Q 。

解：由伯努利方程得

22

111222

1222p v p v z z g g g g

ααρρ++=++ （１） 由连续性方程得 22

2122210.05(

)()0.250.1

d v v v v d === （２） 由压差计得 1122()p g z z z h p gz gh ρρρ+-++=++Hg

1212()()p p

z z g g

ρρ+-+()()g g h h g ρρρρρρ--==Hg

Hg 1212()()p p z z g g ρρ+-+136001000()12.61000

h h -== （３） 将式（２）（３）代入（１）得

2

2

0.937512.62g

v h =，212.60.0429.8m/s 3.246m/s 0.9375v ⨯⨯⨯=

= 2

233322ππ0.05 3.246m /s 6.3710m /s 44

-==⨯⨯=⨯d Q v

5－7 设用一附有水银压差计的文丘里管测定铅垂管内恒定水流流量，如图所示。已知d 1 =0.10m ，

d 2 =0.05m ，压差计读数h ＝ｍ，文丘里管流量系数μ =，试求流量Q ．请与习题5－6、例5－4比较，在相同的条件下，流量Q 与文丘里管倾斜角是否有关。

解：与习题５－6的解法相同，结果亦相同，（解略）．它说明流量Q 与倾斜角无关． 5－8 利用文丘里管的喉道负压抽吸基坑中的积水，如图所示。已知d 1 =50mm ，d 2 =100mm ，h =2m ，能量损失略去不计，试求管道中的流量至少应为多大，才能抽出基坑中的积水。

解：对过流断面1－１、２－２写伯努利方程，得

332

m /s 0.0127m /s 12419

Q >

=，30.0127m /s 所以管道中流量至少应为。

5－9 密度为860kg/m 3的液体，通过一喉道直径d 1 =250mm 的短渐扩管排入大气中，如图所示。已

知渐扩管排出口直径d 2

=750mm ，当地大气压强为

92kPa ，液体的汽化压强（绝对压强）为5kPa ，能

量损失略去不计，试求管中流量达到多大时，将在喉道发生液体的汽化。

解：对过流断面1－1，2－2写伯努利方程

管道中流量大于0.703m 3/s 时，将在喉道发生液体的汽化。

5－10 设一虹吸管布置，如图所示。已知虹吸管直径d =150mm ，喷嘴出口直径d 2 =50mm ，水池水面面积很大，能量损失略去不计。试求通过虹吸管的流量Q 和管内A 、B 、C 、D 各点的压强值。

解：对过流断面1-1，2-2写伯努利方程，可得

28.85m/s v =，223322ππ

0.058.85m /s 0.0174m /s 44

=

=⨯⨯=Q d v 由连续性方程得 22

2A B C D 250()8.85()m/s 0.983m/s 150

d v v v v v d =====⨯=