高一下互斥事件与相互独立事件月考题
【高中数学】新人教A版高一10.2 事件的相互独立性(练习题)
新人教A 版高一10.2 事件的相互独立性(2464)1.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为（）A.0.42B.0.28C.0.18D.0.122.分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚硬币正面向上”为事件A ，“第2枚硬币正面向上”为事件B ，“2枚硬币向上的结果相同”为事件C ，有下列三个判断：①事件A 与事件B 相互独立；②事件B 与事件C 相互独立；③事件C 与事件A 相互独立.以上判断中，正确的个数是（ ）A.0B.1C.2D.33.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇绿灯的概率分别是13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为 （）A.19B.16C.13D.718 4.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的.从甲盒中任取一个螺杆，从乙盒中任取一个螺母，则恰好可配成A 型螺栓的概率为（）A.120B.1516C.35D.1920 5.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率和B 发生A不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)等于（）A.29B.118C.13D.23 6.设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次.记事件A =｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝；事件B =｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝；C =｛两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数｝.给出下列结论:①P(A)=12；②P(AB)=14；③P(ABC)=18.其中正确的结论个数为（ ）A.0B.1C.2D.37.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是否闭合是相互独立的，则灯亮的概率是（）A.5564B.164C.18D.9648.某射击爱好者射击一次命中目标的概率为p，已知他连续射击三次，每次射击的结果相互独立，则他至少有一次命中目标的概率为3764，则p的值为（）A.14B.34C.3√38D.√3789.已知A,B是相互独立事件，且P(A)=13，P(B)=34，则P(AB)=.10.给出下列各组事件：①甲盒中有6个白球、4个黑球，乙盒中有3个白球、5个黑球，从甲盒中取出一个球称为甲试验，从乙盒中取出一个球称为乙试验，事件A1表示“从甲盒中取出的是白球”，事件B1表示“从乙盒中取出的是白球”；②盒中有4个白球、3个黑球，从盒中有放回地取出两个球，事件A2表示“第一次取出的是白球”，事件B2表示“第二次取出的是白球”；③盒中有4个白球、3个黑球，从盒中不放回地取出两个球，事件A3表示“第一次取出的是白球”，事件B3表示“第二次取出的是白球”.其中组中事件为相互独立事件的是.(填序号)11.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15,13,14，则此密码被破译的概率为.12.乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球，则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为.13.甲、乙两人在商场夹娃娃，两个人分别夹一次，其中甲夹中的概率为0.7，乙夹中的概率为0.5.求：(1)2人中恰有1人夹中娃娃的概率；(2)2人中至少有1人夹中娃娃的概率.14.眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在某年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)分别求甲队总得分为0分、2分的概率；(2)求甲队得2分，乙队得1分的概率.15.甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是12，三人都做对的概率是124，三人都做错的概率是14.则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为;甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.16.随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名).某驾校规定：前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.该驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为34，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为23.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试交的补考费用之和为200元的概率.参考答案2.【答案】:D【解析】:由题知P(A)=12，P(B)=12，P(C)=12，P(AB)=P(AC)=P(BC)=14，因为P(AB)=14=P(A)P(B)，所以A,B 相互独立；因为P(AC)=14=P(A)P(C)，所以A,C 相互独立；因为P(BC)=14=P(B)P(C)，所以B,C 相互独立.故选D.3.【答案】:D【解析】:设汽车在甲、乙、丙三处遇到绿灯分别为事件A ，B ，C ，则P(A)=13，P(B)=12，P(C)=23.因遇红灯停车一次即为事件A ¯BC ＋AB ¯C ＋ABC ¯，故其概率为(1−13)×12×23＋13×(1−12)×23=13×12×(1−23)=718.4.【答案】:C【解析】:依题意，在甲盒中取到A 型螺杆的概率为160200=45，在乙盒中取到A 型螺母的概率为180240=34，所以从甲盒中任取一个螺杆，从乙盒中任取一个螺母，则恰好可配成A 型螺栓的概率为45×34=35，故选C ．5.【答案】:D【解析】:由P(AB ¯)=P(A ¯B)，得P(A)P(B ¯)=P(A ¯)P(B)，即P(A)[1−P(B)]=P(B)·[1−P(A)]，∴P(A)=P(B).又P(A ¯B ¯)=19，∴P(A ¯)=P(B ¯)=13， ∴P(A)=1−13=23.6.【答案】:C【解析】:由古典概型的概率公式知P(A)=24=12，则①正确；∵P(B)=24=12，事件A ，B 相互独立，∴P(AB)=12×12=14，则②正确；∵事件AB 与事件C 为互斥事件，∴P(ABC)=0，则③错误．故选C．7.【答案】:A【解析】:设“C闭合”为事件G，“D闭合”为事件H，“A与B中至少有一个不闭合”为事件T，“E与F中至少有一个不闭合”为事件R，则P(G)=P(H)=12，P(T)=P(R)=1−12×12=34，所以灯亮的概率P=1−P(T)P(R)P(G¯)P(H¯)=5564，故选A．8.【答案】:A【解析】:因为该人射击一次命中目标的概率为p，所以该人射击一次未命中目标的概率为1−p，因为每次射击的结果相互独立，所以该人三次都未命中目标的概率为(1−p)3，因为“连续射击三次，至少有一次命中目标”的对立事件为“三次都未命中目标”，所以连续射击三次，至少有一次命中目标的概率为1−(1−p)3=3764，解得p=14.故选A．9.【答案】:14【解析】:∵A，B是相互独立事件，且P(A)=13，P(B)=34，∴P(AB)=P(A)P(B)=13×34=14.10.【答案】:①②【解析】:①甲试验与乙试验是两个相互独立的试验．事件A1和B1是否发生，相互之间没有影响，故事件A1与事件B1是相互独立事件．②在有放回地取球过程中，事件A2与B2是否发生相互之间没有任何影响，所以它们是相互独立事件．③在不放回地取球过程中，事件A3发生与否对事件B3发生的概率产生了影响，因此，事件A3与B3不是相互独立事件．11.【答案】:35【解析】:用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙破译出密码，则P(A)=15，P(B)=13，P(C)=1 4，且P(A¯B¯C¯)=P(A¯)P(B¯)P(C¯)=45×23×34=25，所以此密码被译出的概率为1−25=35．12.【答案】:2875【解析】:比分为1比2的情况有三种：(1)甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分；(2)甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分;(3)甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分.所以所求概率为35×25×23+25×35×23+25×25×13=2875.13(1)【答案】“2人各夹1次，恰有1人夹中娃娃”包括两种情况：一种是甲夹中、乙未夹中(事件A ·B ¯发生)，另一种是甲未夹中、乙夹中(事件A ¯·B 发生)根据题意，事件A ·B ¯与A ¯·B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P(A ·B ¯)+P(A ¯·B)=P(A)P(B ¯)+P(A ¯)P(B)=0.7×(1−0.5)+(1−0.7)×0.5=0.35+0.15=0.5. 所以2人中恰有1人夹中娃娃的概率是0.5．(2)【答案】“2人中至少有1人夹中娃娃”与“2人都未夹中娃娃”为对立事件，2人都未夹中娃娃的概率是P(A ¯·B ¯)=P(A ¯)P(B ¯)=(1−0.7)(1−0.5)=0.15，∴“2人中至少有1人夹中娃娃”的概率P =1−P(A ¯·B ¯)=1−0.15=0.85．14(1)【答案】记“甲队总得分为0分”为事件A ，“甲队总得分为2分”为事件B ，甲队总得分为0分，即甲队3人都回答错误，其概率P(A)=(1−23)3=127； 甲队总得分为2分，即甲队3人中有1人答错，其余2人答对，其概率 P(B)=3×(23)2×(1−23)=49. (2)【答案】记“乙队得1分”为事件C ，“甲队得2分，乙队得1分”为事件D ， 乙队得1分，即乙队3人中有2人答错，其余1人答对， 则P(C)=(1−23)×23×(1−12)+23×(1−23)×(1−12)+(1−23)×(1−23)×12=518， 则P(D)=P(BC)=P(B)P(C)=49×518=1081.15.【答案】:13，14或14，13；1124【解析】:设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A ，B ，C ，则P(A)=12， 由题意得{12P(B)P(C)=124,(1−12)[1−P(B)][1−P(C)]=14,解得P(B)=13，P(C)=14或P(B)=14，P(C)=13， 所以乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为13和14，或14和13． 设“甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题”为事件D ，则P(D)=P(A)P(B ¯)P(C ¯)+P(A ¯)P(B)P(C ¯)+P(A ¯)P(B ¯)P(C)=1124， 所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为1124．16(1)【答案】设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i 次通过”为事件A i ，“妻子在科目二考试中第i 次通过”为事件B i (i =1,2,3,4,5)，则P(A i )=34，P(B i )=23. 设事件A =“丈夫在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费”，事件B =“妻子在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费”，事件C =“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”.则P(A)=P(A 1+A 1¯A 2)=P(A 1)+P(A 1¯A 2)=34+14×34=1516， P(B)=P(B 1+B 1¯B 2)=P(B 1)+P(B 1¯B 2)=23+13×23=89， P(C)=P(AB)=1516×89=56． 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为56.(2)【答案】设事件D =“丈夫在本次报名中参加科目二考试需交补考费200元”，事件E =“妻子在本次报名中参加科目二考试需交补考费200元”，事件F =“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试交的补考费用之和为200元”，则P(D)=P(A 1¯A 2¯A 3)=14×14×34=364， P(E)=P(B 1¯B 2¯B 3)=13×13×23=227， P(F)=P(AE +DB)=P(A)P(E)+P(D)P(B)=1516×227+364×89=19. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试交的补考费用之和为200元的概率为1．9。
高考数学互斥事件专题复习训练(含答案)
2019-2019年高考数学互斥事件专题复习训练（含答案）事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，下面是互斥事件专题复习训练，请考生练习。
一、选择题1.如果事件A与B是互斥事件，则()A.A+B是必然事件B.与一定互斥C.与一定不互斥D.+是必然事件[答案] D[解析] 特例检验：在掷一粒骰子的试验中，上面出现点数1与上面出现点数2分别记作A与B，则A与B是互斥而不对立的事件，A+B不是必然事件，与也不互斥，A、B选项错误，+是必然事件，还可举例验证C不正确.2.从1,2,3，，9这9个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A. B.C. D.[答案] C[解析] 可根据互斥和对立事件的定义分析事件，中至少有一个是奇数即两个奇数或一奇一偶，而从1～9中任取两数共有3个事件：两个奇数一奇一偶两个偶数，故至少有一个是奇数与两个偶数是对立事件.3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为()A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96[答案] D[解析] 设抽得正品为事件A，则P(A)=1-0.03-0.01=0.96.4.抽查10件产品，设至少抽到2件次品为事件A，则为()A.至多2件次品B.至多2件正品C.至少2件正品D.至多1件次品[答案] D[解析] 至少2件次品与至多1件次品不能同时发生，且必有一个发生.5.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8[答案] B[解析] 设身高低于160 cm为事件M，身高在[160,175] cm为事件N，身高超过175 cm为事件Q，则事件M、N、Q两两互斥，且M+N与Q是对立事件，则该同学的身高超过175 cm 的概率为P(Q)=1-P(M+N)=1-P(M)-P(N)=1-0.2-0.5=0.3. 6.如果事件A与B是互斥事件，且事件A+B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为() A.0.2 B.0.4C.0.6D.0.8[答案] C[解析] 由题意知P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8，P(A)=3P(B)，解组成的方程组知P(A)=0.6.互斥事件专题复习训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。
事件的相互独立性试题及答案
事件的互相独立性1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( )A.A 与AB.A 与BC.A 与B D A 与B2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( )A.0.12B.0.88C.0.28D.0.423.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A.P 1P 2B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1)C.1-P 1P 2D.1-(1-P 1)(1-P 2) 4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.901 C.54 D. 95 5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________.6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________. 7.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.8.外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.9.如图，用A、B、C、D四类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C、D都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A、B至少有一个正常工作，且C、D至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90、0.70，分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.10.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为P ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率.11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31,从乙袋内摸出1个红球的概率是21，从两袋内各摸出1个球，则32等于( )A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率12.某人有一串8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，一次该人醉酒回家每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是____________.13.下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”.（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”. 是互斥事件的有____________；是相互独立事件的有____________.14.某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？16.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.事件的互相独立性1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有( )A.A 与AB.A 与BC.A 与B D A 与B解析：由定义知，易选A. 答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( )A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42 解析：P=（1-0.3）（1-0.4）=0.42. 答案：D3.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1,乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A.P 1P 2B.P 1(1-P 2)+P 2(1-P 1)C.1-P 1P 2D.1-(1-P 1)(1-P 2)解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1(1-p 2)+p 2(1-p 1). 答案：B4.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）( ) A.94 B.901 C.54 D. 95 解析：P=901516131=⨯⨯.答案：B.5.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____________.解析：P=2411413221433121433221=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯. 答案：2411.6.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_______________. 解析：因为这位司机在第一，二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=(1-31)(1-31)×31=274. 答案：2747.某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.解析：记“甲理论考核合格”为事件A 1；“乙理论考核合格”为事件A 2；“丙理论考核合格”为事件A 3；记i A 为A i 的对立事件，i=1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B 1;“乙实验考核合格”为事件B 2；“丙实验考核合格”为事件B 3.（1）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记C 为C 的对立事件 P （C ）=P （A 1A 23A +A 12A A 3+1A A 2A 3+A 1A 2A 3) =P(A 1A 23A )+P(A 12A A 3)+P(1A A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=0.902 (2)记“三人该课程考核都合格”为事件D P （D ）=P[(A 1·B 1)·（A 2·B 2）·（A 3·B 3）] =P （A 1·B 1）·P （A 2·B 2）·P （A 3·B 3） =P （A 1）·P （B 1）·P （A 2）·P （B 2）·P （A 3）·P （B 3) =0.9×0.8×0.7×0.8×0.7×0.9 0.254 016≈0.254所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254 8.外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解析：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P （A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P （D ）=54108 .显然，事件A·C 与事件B·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P=P(A·C+B·D)=P(A·C)+P(B·D)=P(A)·P(C)+P(B)·P(D)=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 9.如图，用A 、B 、C 、D 四类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2.当元件A 、B 、C 、D 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 、B 至少有一个正常工作，且C 、D 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90、0.70，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.解析：N 1正常工作等价于A 、B 、C 、D 都正常工作，N 2正常工作等价于A 、B 中至少一个正常工作，且C 、D 中至少有一个正常工作.且A 、B 、C 、D 正常工作的事件相互独立.分别记元件A 、B 、C 、D 正常工作为事件A 、B 、C 、D ，由已知P （A ）=0.80，P （B ）=0.90，P （C ）=0.90，P （D ）=0.70. (1)P 1=P(A·B·C·D) =P(A)P(B)P(C)·P(D)=0.80×0.90×0.90×0.70=0.453 6.(2)P 2=P(1-A ·B )·P(1-C ·D ) =［1-P(A )·P(B )］［1-P(C )·P(D )］=(1-0.2×0.1)×(1-0.1×0.3)=0.98×0.97=0.950 6. 拓展探究10.一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为P ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率.解析：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B. 由题意知P （A ）=p 3,P(B)=p 3, P(A )=1-p 3,P(B )=1-p 3.(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·B +A ·B)=P(A·B )+P(A ·B) =p 3(1-p 3)+(1-p 3)p 3=2p 3-2p 6.(2)方法一：两套设备都能正常工作的概率为 P(A·B)=P(A)·P(B)=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为 P(A·B +A ·B)+P(A·B)=2p 3-2p 6+p 6=2p 3-p 6. 方法二：两套设备都不能正常工作的概率为 P(A ·B )=P(A )·P(B )=(1-p 3)2. 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1-P(A ·B )=1-P(A )·P(B )=1-(1-p 3)2=2p 3-p 6. 答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3-2p 6,能进行通讯的概率为2p 3-p 6. 11.从甲袋中摸出一个红球的概率是31,从乙袋内摸出1个红球的概率是21，从两袋内各摸出1个球，则32等于( )A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率 答案：C12.某人有一串8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，一次该人醉酒回家每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是____________.解析：(87)2×81=51249. 答案：5124913.下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”.（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”. 是互斥事件的有____________； 是相互独立事件的有____________. 解析：（1）甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件.（2）甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否，对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件. （3）甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件.（4）甲、乙各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能会同时发生，二者构不成互斥事件，也不可能是相互独立事件. 答案：（1），（3）；（2）14.现有四个整流二极管可串联或并联组成一个电路系统，已知每个二极管的可靠度为0.8(即正常工作的概率），请你设计一种四个二极管之间的串并联形式的电路系统，使得其可靠度大于0.85.画出你的设计图并说明理由. 解析：（1）P=1-(1-0.8)4=0.998 4＞0.85; (2)P=1-(1-0.82)2=0.870 4＞0.85; (3)P=［1-(1-0.8)2］2=0.921 6＞0.85; (4)P=1-(1-0.8)(1-0.83)=0.902 4＞0.85; (5)P=1-(1-0.8)2(1-0.82)=0.985 6＞0.85. 以上五种之一均可.15.某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张. （1）两人都抽到足球票的概率是多少？（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？解析：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B .于是P （A ）=53106 ，P （A )=52; P(B)=104=52,P(B )=53.由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B 是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·25652=. 答：两人都抽到足球票的概率是256. (2)甲、乙两人均未抽到足球票（事件B A •发生）的概率为 P （B A •）=P （A ）·P （B ）=2565352=•. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为 P=1-P(B A •)=1-256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 16.（2005全国高考卷3，文18）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. DBBCA ，CCBCD ，BA18. 解析：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ， 则A 、B 、C 相互独立. 由题意得P(AB)=P(A)·P(B)=0.05 P(AC)=P(A)·P(C)=0.1,P(BC)=P(B)·P(C)= 0.125 解得P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5所以，甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 (Ⅱ)∵A 、B 、C 相互独立，∴A 、B 、C 相互独立∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为 P(A ·B ·C )=P(A )P(B )P(C )=0.8×0.75×0.5=0.3 ∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p=1-P(A ·B ·C )=1-0.3=0.7。
互斥事件与相互独立事件(高三复习)
1．互斥事件的定义
事件A与 B 不可能同时发生．这种 不可能同时发生的两个事件叫做互 斥事件．
一般地，如果事件 A1 , A2 , , An 中的任 何两个都是互斥的，那么就说事件 A1 , A2 , , An 彼此互斥．
对立事件 其中必有一个发生的互斥事件叫做 对立事件。事件A的对立事件通常 记作 。
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度快の话十天半月就能回来！" "没事,放心去吧,噬大人绝对不会伤害不咋大的白！"这时鹿老也传音给白重炙,因为白重炙炼化了逍遥戒,所以鹿老可以通过逍遥戒直接和白重炙灵魂传音,这点连夜若水都不能察觉半毫. "好！" 白重炙得到了夜若水和鹿老の传音,放心下来,和夜若水点了 点头,朝祖坟外跑去. 本书来自 品&书#网 当前 第2捌玖章 告别 文章阅读 "什么?哥你呀要出去?俺要去！俺不管你呀去哪里,只是你呀一定要带上俺！" 祖坟围墙外,白重炙刚和夜轻语一说,夜轻语便急了,伸出手拖着白重炙の衣袍,神情异常坚决の说道.看书 "额?这个…" 白重炙羞愧の 望着夜轻语,他也没有想到刚回来就马上要和夜轻语他们分开了.但是噬大人の命令,他可没胆子抗拒,并且事关不咋大的白の身世.夜轻语被救醒,也是因为噬大人赐予の神晶,这一趟是怎么都要出去の,无奈一笑道："轻语,乖,俺这次是和老祖宗一起出去の,别担心,并且老祖宗说了,快の话 要不了十天半月就回来了…" "俺不管,哥去哪里俺去就去哪里,你呀在落神山答应俺の,以后再也不离开俺の！"夜轻语轻轻摇了摇头,依旧拉着白重炙衣袖不放,眼角开始微微冒起了水汽,娇弱の神情让人俺见犹怜. "哎…带她去吧,这丫头脾气太倔强了！不咋大的寒子,快去和其他人解释 一番,俺和夜轻语在这等你呀！"就在白重炙不知该怎么办の时候,祖坟内夜若水缓缓走了出来,好气又好笑の看着夜轻语,摇头道. "恩！"白重炙苦笑一声,转身朝白家堡内快速走去. …… 白家西园,曼舞园. 这是白家特别赐予夜轻语の园子.园子不大,但是却很是雅致,而夜轻舞平时除了 在后山住,其他时候都是住在这个园子. 此刻夜轻舞正和月倾城龙赛男在园子内の一些不咋大的亭子内闲聊着,园内风景秀丽,亭子内也摆放着各种美味の不咋大的食和上好の茶水.只是…三人虽然看起来聊の很是欢快,但是很明显三人都有些心不在焉の感觉. "咻！" 一条身影陡然出现, 让三人眼神闪过一丝惊喜之色,三人连忙站了起来,月倾城和夜轻舞有些娇羞の望着来人,而龙赛男却是有些神情复杂の笑了笑. "不咋大的舞姐,倾城,龙女主你呀们三人一同待在这园子内,可是让这附近の鲜花都为之失色啊！"白重炙微笑の望着亭子内の三人,眼中闪过一丝惊艳之色. 月 倾城依旧一身桃红色宫群,加上一张出尘绝美の脸,宛如坠楼凡尘の仙子.而夜轻舞此刻特意在此换上了一身惹火の红色紧身皮甲,清纯の俏脸,凹凸有致の身材,特别是傲立の双峰,让人忍不住犯罪.龙赛男一袭劲装,腰间别着一把龙吟剑,整个人却透露出一股英气,别有一番风味. "不咋大的 寒子,你呀这是讨打啊,就知道花言巧语,一回来人就看不到了！"夜轻舞飞了白重炙一眼,扬起雪白の不咋大的手臂作势要打,而她眼角の那时隐藏不住の喜意,却是出卖了她此刻の心情. "寒！"月倾城莞尔一笑,轻轻喊了一声,眼中全是白重炙. "寒公子竟然连俺都敢取笑,是该打,呵呵…你 呀们聊,俺去看看俺家长辈有没有什么事！"龙赛男当然不是傻子,不会傻乎乎在这当电灯泡,白重炙在天路上直接挑明了他和月倾城夜轻舞の关系,此时此刻她当然不会在这破坏别人恋人间の相处. 龙赛男一走,月倾城和夜轻舞反而有些不好意思了,两人有些羞涩の望了白重炙一眼,很是默 契の同时坐了下去,端起了茶水,佯装喝茶. "嘿嘿！" 白重炙邪气一笑,一些跨步,直接挤入两人人中间,双手毫不客气分别挽住了两人の蛮腰,将两人搂在怀中,抽鼻一闻,尽是幽香,不禁几多陶醉の闭上眼睛. "哎呀,你呀干什么?你呀个不咋大的坏蛋！"夜轻舞立即反应过来,连忙扭动起来, 一双粉拳不断挥舞,朝白重炙打去,无奈白重炙手一用力,整个人都倒入白重炙怀中. 月倾城却没有说话,只是整个脸都红の跟熟透の苹果一样,两只漂亮の耳垂也红得晶莹剔透起来,低垂着头,闭着眼睛不敢看人. "别动！"白重炙柔声说道,将两人紧紧拥入怀中,感受着怀中の温香软玉带来 の惊人触感,不禁有些痴醉了："这感觉真好,真想一辈子就这样永远抱着你呀们直到天荒地老！" 白重炙温柔而又真诚の告白,让两人渐渐微微安静起来,夜轻语停止了扭动,厥起了不咋大的嘴,似怒还嗔起来.而月倾城则睁开了眼睛望着白重炙の侧脸,嘴角荡起了醉人の微笑. 三人不在说 话,而是紧紧依偎在一起,享受着这迟来了几年の拥抱.片刻之后,白重炙无奈苦笑一声,突然睁开眼睛开口说道："倾城,明ri你呀就和你呀家太上上老回月家吧！" "嗯?"月倾城抬起头露出不解之意,而夜轻舞也转过来望着白重炙. "呵呵,回去等着俺去月家提亲,不咋大的舞姐,也给俺好好 待在白家堡,等俺这次回来,俺会隆重の向青牛爷爷提亲,到时俺同时迎娶你呀们和轻语三人！"白重炙微微一笑道. "提亲?" 夜轻舞和月倾城同时一惊,但是却又再次娇羞起来.月倾城却是听出了白重炙语气中の话外含义,眼睛猛然睁大道："你呀要去哪里?什么时候去?" "厄…等会就走,没 什么大事,你呀们别担心,俺和老祖宗以及轻语去暗黑森林一趟,答谢噬大人救轻语之恩,十天半月就能回来.老祖宗是白家の神级强者,安全没问题,不咋大的舞姐知道の！"白重炙怕两人担心,连忙解释道. "马上走?"月倾城眼中闪过一丝失落,才相聚几天,便又要分离.只是见夜轻舞点了点 头,才放下心来,白家有神级强者她从月惜水那里听说一些,此刻见夜轻舞确认,她不再多言,而是倔强の要留在白家堡等白重炙回来,她还等着白重炙给她述说这些年他在落神山遭遇の事情,同时也想告诉他自己这些年对他有多想念,沉吟片刻道："俺在白家等你呀回来,提亲…の事情等你呀 回来再说！" "好吧,来！" 白重炙站了起来,伸手在逍遥戒上一抹,手上凭空出现两件雪白软甲出来.两件软甲外表很是漂亮,宛如天鹅毛编制而成一样,散发出淡淡圣洁光芒. "这是两件圣器软甲,俺特意为你呀们留下の,可抵挡圣人境强者一击,一直没有送过你呀们像样の礼物！这次算是 补上了."白重炙每人递过去一件,顺势在两人俏脸上闪电般の亲了一下. "俺不要,给轻语妹妹吧！"夜轻舞啐了一口,嗔道.连忙伸手擦拭,又将软甲递了过来. 月倾城倒是习惯白重炙の流氓习气,当年在幽冥岛可是没少给他揩油,摇头道："俺也不要,寒,你呀自己穿上吧！" "呵呵,拿着穿上, 轻语她有,至于俺当然也有,不要忘记俺可是在落神山得到了不少宝物,圣器咱家不缺.行就这样,老祖宗还在等俺.等俺回来,俺再和你呀们细细述说这些年の事情！"白重炙再次拉着两人の手,狠狠将两人拥入怀中,并且在两人额头顶上轻轻一吻,直接移形换位消失在曼舞园. 而后,白重炙再 次和风紫花草龙赛男简单告别了几句,直接去了白家后山.至于夜天龙他们,自有夜白虎去知会一声. 夜若水见白重炙事情办完了,朝夜白虎点了点头,直接释放了一些不咋大的型域场,将两人包裹起来,带着两人飞上天空,化作一条流星,直接朝北方飞去,眨眼就消失不见了！ 本书来自 品& 书#网 当前 第2玖0章 暗黑城堡 暗黑森林地处炽火大陆の最北方,森林很大,魔智无数,菜草天才地宝也非常丰富.看书 但是却很少练家子敢进里面探险寻宝,最多也就在最外围区域转悠,不敢深入,因为深入の人……从来都未走出来. 不知道多青年前,暗黑森林有了绝地之凶名.大陆传言 暗黑森林力住着恶魔,有人说森林内有着几十头圣智,入者必死.但是大陆上の顶级强者都明白,暗黑森林内有一座漂亮奢华の城堡,城堡内住着一些女人,她自称噬大人. 噬大人の威名开始并不盛,她奠定大陆最强者の地位,是在四千年前.那时候因为还有不断の强者不信邪,不知情,进入暗 黑森林探险寻宝,死于非命.最后神城也很是好奇,派出了一队由三名圣级强者带队の强者队伍,前去探查,不料不咋
互斥事件、相互独立事件的概率单元练习题
§11.2 互斥事件、相互独立事件的概率一、选择题：一、选择题：1．若1)(=+B A P ，则事件A A 与与B B 的关系是（的关系是（的关系是（ ））A ．A A 、、B B 是互斥事件是互斥事件是互斥事件 B B B．．A A 、、B B 是对立事件是对立事件是对立事件C ．A A 、、B B 不是互斥事件不是互斥事件不是互斥事件D D D．以上都不对．以上都不对．以上都不对2．两个事件对立是这两个事件互斥的（ ））A ．充分但不是必要条件．充分但不是必要条件B B．必要但不是充分条件．必要但不是充分条件．必要但不是充分条件C ．充分必要条件．充分必要条件D D．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件．既不充分又不必要条件3．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（现二级品的概率为（ ））A ．35035C CB B．．350352515C C C C ++ C C．．3503451C C -D D．．3501452524515C C C C C + 4．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是（一个目标，则他们都中靶的概率是（ ））A ．1514B B．．2512C C．．43D D．．53 5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.030.03，，丙级品的概率为0.010.01，，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ））A ．0.99B B．．0.98C ．0.97D D．．0.966．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A 型的螺栓概率为（ ））． A ．201 B.1615 C C．．53 D ．2019 7．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.0020.002，则流星数量为，则流星数量为10个的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率约为（个落在地面上的概率约为（ ））A ．51032.3-´B ．81032.3-´C ．51064.6-´D ．81064.6-´8．有10门炮同时向目标各发射一发炮弹，如果每门炮的命中率都是0.10.1，则目，则目标被击中的概率约为（标被击中的概率约为（ ））. 则乘客期待电车首先停靠的概率等于 .18.A 、B 、C 、D 、E 五人分四本不同的书，每人至多分一本，求：（1）A 不分甲书,B 不分乙书的概率. （2）甲书不分给A 、B ，乙书不分给C 的概率. 19.19.从从1，2，3，…，，…，100100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率概率2020．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是0.03 0.03 ，第二台出废品的，第二台出废品的概率是0.02 0.02 ．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工的零件的2倍，求任意取出的零件是合格品的概率．21.21.学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门．已知会唱歌的有学校文艺队每个成员，唱歌、跳舞至少会一门．已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人现从中选3人，至少要有一人既会唱歌又会跳舞的概率是2116 ，求该队的人数．队的人数．22.22.对贮油器进行对贮油器进行8次独立射击，若第一次命中只能使汽油流出而不燃烧，第二次命中才能使汽油燃烧起来．每次射击命中目标的概率为0.20.2，求汽油燃烧起来，求汽油燃烧起来的概率．的概率．某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买 0 元 元的概率 43，甲、丙，甲、丙 两人都做错的概率是1，乙、丙两人都做对的概率是1。
高考数学互斥事件专项练习题及答案
高考数学互斥事件专项练习题及答案1.甲袋中有大小相同的4只白球、2只黑球，乙袋中有大小相同的6只白球、5只黑球，现从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率是a.b.c.d.[答案] d[解析] 基本事件总数存有6×11=66，而两球颜色相同包含两种情况：两黑或两白，其涵盖的基本事件存有4×6+2×5=34个，故两球颜色相同的概率p==.2.从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”;“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”;“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”;“取出3只红球”与“取出3只白球”.其中是对立事件的是a.b.c.d.[答案] d[解析] 从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”，由此可知中的两个事件都不是对立事件.对于，“取出3只球中至少有1只白球”包含“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”三种情况，故是对立事件.3.同时投掷两枚骰子，没5点或6点的概率为，则至少存有一个5点或6点的概率就是________.[答案][解析] 记“没5点或6点”的事件为a，则pa=，“至少存有一个5点或6点”的事件为b.由未知a与b就是矛盾事件，则pb=1-pa=1-=.4.一枚五分硬币连掷三次，事件a为“三次反面向上”，事件b为“恰有一次正面向上”，事件c为“至少两次正面向上”.写出一个事件a、b、c的概率pa、pb、pc之间的正确关系式__________.[答案] pa+pb+pc=1[解析] 一枚五分硬币连掷三次包含的基本事件有反，反，反，反，正，正，反，正，反，正，反，反，反，反，正，正，反，正，正，正，反，正，正，正共8种，事件a+b+c刚好包含这8种情况，且它们两两互斥，故pa+b+c=pa+pb+pc=1.5.在某一时期，一条河流某处的年最低水位在各个范围内的概率如下：年最高水位低于10m10～12m12～14m14～16m不低于16m概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流该处的年最高水位在下列范围内的概率.110～16m;2高于12m;3不高于14m.[解析] 分别设年最高水位低于10m，在10～12m，在12～14m，在14～16m，不低于16m为事件a，b，c，d，e.因为这五个事件是彼此互斥的，所以1年最低水位在10～16m的概率就是：pb+c+d=pb+pc+pd=0.28+0.38+0.16=0.82.2年最低水位高于12m的概率就是：pa+b=pa+pb=0.1+0.28=0.38.3年最低水位不高于14m的概率就是：pd+e=pd+pe=0.16+0.08=0.24.6.某射手射击一次，中靶的概率为0.95.记事件a为“射击一次中靶”，谋：1的概率是多少?2若事件b环数大于5的概率就是0.75，那么事件c环数大于6的概率就是多少?事件d环数大于0且大于6的概率就是多少?[解析] 1p=1-pa=1-0.95=0.05.2由题意言，事件b即为“环数为6,7,8,9,10环”而事件c为“环数为0,1,2,3,4,5环”，事件d为“环数为1,2,3,4,5环”.可见b与c是对立事件，而c=d+.因此pc=p=1-pb=1-0.75=0.25.又pc=pd+p，所以pd=pc-p=0.25-0.05=0.20.7.2021·四川文，16一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.1谋“提取的卡片上的数字满足用户a+b=c”的概率;2求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.[解析] 1由题意，a，b，c所有的可能将为1,1,1，1,1,2，1,1,3，1,2,1，1,2,2，1,2,3，1,3,1，1,3,2，1,3,3，2,1,1，2,1,2，2,1,3，2,2,1，2,2,2，2,2,3，2,3,1，2,3,2，2,3,3，3,1,1，3,1,2，3,1,3，3,2,1，3,2,2，3,2,3，3,3,1，3,3,2，3,3,3，共27种.设立“提取的卡片上的数字满足用户a+b=c”为事件a，则事件a包括1,1,2，1,2,3，2,1,3，共3种.所以pa==.因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.2设“提取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件b，则事件包括1,1,1，2,2,2，3,3,3，共3种.所以pb=1-p=1-=.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.。
高一数学互斥事件试题
高一数学互斥事件试题1.在某试验中，若是互斥事件，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是互斥事件，所以不可能同时发生。
从集合角度看，即交集为空集，利用其与全集的关系知，故选B。
【考点】本题主要考查互斥事件的概率计算。
点评：转化成集合问题，数形结合，易于理解。
2.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（）A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】A【解析】事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。
“甲站排头”与“乙站排头”必不可能同时发生，故选A。
【考点】本题主要考查对立事件、互斥事件的概念。
点评：判断事件间的关系，主要运用定义或集合集合关系。
互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系。
3.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则是（）A．乙胜的概率B．乙不输的概率C．甲胜的概率D．甲不输的概率【答案】B【解析】，乙胜或乙平，也就是乙不输的概率，故选B。
【考点】本题主要考查对立事件、互斥事件的概念及概率计算。
点评：判断事件间的关系，主要运用定义或集合集合关系。
互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系。
“甲获胜的概率，和棋的概率和乙获胜的概率的和是1”。
4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率是0.28．若红球有21个，则黑球有个．【答案】15【解析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3，所以由21÷0.42=50，知共有球50个，故黑球有50×0.30=15（个）【考点】本题主要考查对立事件、互斥事件的概念及概率计算。
高中数学细说“互斥”与“相互独立”事件专题辅导
细说“互斥”与“相互独立”事件万晓红事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念，虽然它们都是针对两个事件而言，但互斥事件是说两个事件不能同时发生，而相互独立事件可以同时发生，并且一个事件发生与否对另一事件的发生没有影响，一般来说，两个事件不可能既是互斥事件又是相互独立事件，因为相互独立事件是以它们能够同时发生（如果这些事件是同一个随机试验的不同结果，或同一结果的不同试验，并且其中没有不可能事件）为研究前提的。
在解题过程中，如不注意区分这两个概率念，便会弄混事件的关系，错误地使用概率加法或乘法公式，导致结果出错。
例1 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人都恰好投中2次为A+B 。
∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=825.03.07.0C 2.08.0C 223223=⨯⨯+⨯⨯。
错因剖析：本题错解的原因在于把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的事件和。
正解：设“甲恰好投中2次”为事件A ，“乙恰好投中2次”为事件B ，则两人都恰好投中2次为事件AB ，则P （AB ）=P （A ）·P （B ）=169.03.07.0C 2.08.0C 223223=⨯⨯⨯⨯⨯。
例2 某家庭电话在家中有人时，打进的电话铃响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？错解：设电话铃响第一声时被接的概率为P （A 1）=0.1；电话铃响第二声时被接的概率为P （A 2）=0.3；电话铃响第三声时被接的概率为P （A 3）=0.4；电话铃响第四声时被接的概率为P （A 4）=0.1，所以在电话铃响前4声内被接的概率是：P=P （A 1）·P （A 2）·P （A 3）·P （A 4）=0012.01.04.03.01.0=⨯⨯⨯。
互斥事件与相互独立事件(高三复习)(2019年11月)
1．互斥事件的定义
事件A与 B 不可能同时发生．这种 不可能同时发生的两个事件叫做互 斥事件．
一般地，如果事件
中的任
何两个都是互斥的，那么就说事件
彼此互斥．
对立事件
其中必有一个发生的互斥事件叫做 对立事件。事件A的对立事件通常 记作 。
A
2．互斥事件有一个发生的概率
设 、 是两个互斥事件，那么 表 示这样一个事件：在同一试验中，其中有一 个发生就表示它发生．那么事件 的概率 是多少？
3)根据对立事件的意义，A＋A 是一个 必然事件，它的概率等于1。
又由于A与 A 互斥，我们得到 P(A+A)＝P(A)＋P(A )＝1
对立事件的概率的和等于1
P（ A ）＝1－P（A）
Ⅰ.相互独立事件：
一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 没有影响的两个事件叫相互独立事件.
Ⅱ.互 斥 事 件 ：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生 相互独立事件指： 在不同试验下的两个事件互不影响.
(1) A、B相互独立时： 彼此独立：
独立重复试验
如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那
么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的
概率
Pn
(
k)
C
k n
P
k
(
1
P)n
k（k＝0,1,2,…，n）
说明：⑴独立重复试验，是在同样的条件下重复
地、各次之间相互独立地进行的一种试验；
⑵每一次独立重复试验只有两种结果，即某事件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发
生的概率都是一样的；
(3)此公式仅用于独立重复试验．
高一数学互斥事件试题
高一数学互斥事件试题1.（2014•湖北模拟）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”【答案】D【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题2.（2014•郑州一模）将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答．解：随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现的情况如下，（正，正，正，正），（正，正，正，反），（正，正，反，正），（正，反，正，正），（反，正，正，正），（反，反，正，正），（反，正，反，正），（反，正，正，反），（正，反，反，正），（正，反，正，反），（正，正，反，反），（正，反，反，反），（反，正，反，反），（反，反，正，反），（反，反，反，正），（反，反，反，反）共有16种等可能的结果，其中至少两次正面向上情况有11种，概率是．故选：D．点评：本题主要考查古典概率模型的概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3.（2013•宜宾一模）先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．【解析】至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果．解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，至少一次正面朝上的对立事件的概率为，1﹣=．故选D．点评：本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．4.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6（俗称骰子），将这个玩具向上拋掷一次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”（指向上一面的点数是奇数），事件B表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【答案】D【解析】A中A与B不互斥，因为都包含向上的一面出现的点数是3；由A知A与B不对立；事件B与C不同时发生且一定有一个发生，故B与C是对立事件解：∵事件B与C不同时发生且一定有一个发生，∴B与C是对立事件．故C不正确D正确；而A与B都包含向上的一面出现的点数是3，故A与B不互斥，也不对立．故选D点评：本题考查事件之间的关系的判断和互斥事件、对立事件的理解，属基本概念的考查．5.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果．解：分两种情况3，1，1及2，2，1这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率，当取球的个数是3，1，1时，试验发生包含的事件是35，满足条件的事件数是C31C43C21∴这种结果发生的概率是=同理求得第二种结果的概率是根据互斥事件的概率公式得到P=故选B点评：本题是一个等可能事件的概率问题，考查互斥事件的概率，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件．6.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为（）A．60%B．30%C．10%D．50%【解析】本题考查的是互斥事件的概率，甲不输的概率为90%，其中包括甲获胜和甲不输两种情况，两数相减即可．解：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%=40%+p，∴p=50%．故选D点评：分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件．7.某人射击10次击中目标3次，则其中恰有两次连续命中目标的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据相互独立事件的概率乘法公式，运算求得结果解：某人射击10次击中目标3次，恰有两次连续击中目标的概率为=，故选A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于基础题．8.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶【答案】C【解析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，故选C．点评：本题考查互斥事件和对立事件，对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．9.如果事件A、B互斥，那么（）A.A+B是必然事件B.+是必然事件C.与一定互斥D.与一定不互斥【答案】B【解析】由于事件A、B互斥，利用事件的定义为：在随机试验中出现的每一个结果成为一个事件，在利用必然事件，及对立事件性质即可判断．解：因为事件A、B互斥，当以个随机事件出现的结果为3个或多余3个时，利用必然事件的定义则，A错；由互斥事件的定义，A、B互斥即A∩B为不可能事件，故B正确．而C中当B≠时，和不互斥，故C错误．而D中当B=时，和互斥，故D错误．故选B点评：此题考查了随机事件的定义，互斥事件，必然事件．10.下列说法中正确的是（）A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件【答案】D【解析】互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件是A不发生B就一定发生的事件，他两个的概率之和是1．解：由互斥事件和对立事件的概念知互斥事件是不可能同时发生的事件对立事件是A不发生B就一定发生的事件，故选D点评：对立事件包含于互斥事件，是对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键．。
北师大版数学高一必修3练习 互斥事件
[A 基础达标]1．给出事件A 与B 的关系示意图，如图所示，则( )A ．A ⊆BB ．A ⊇BC ．A 与B 互斥D ．A 与B 对立解析：选C.显然事件A 与B 不能同时发生，但又不一定非要发生一个，有可能都不发生，故A 与B 不是互为对立事件．2．口袋内装有一些形状大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7解析：选C.摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军，若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34解析：选D.甲队若要获得冠军有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为14，故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.故选D. 4．从1，2，3，…， 9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③解析：选C.从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C.5．现有政治、生物、历史、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C.记取到政治、生物、历史、物理、化学书分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．所以P (B ＋D ＋E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝15＋15＋15＝35. 6．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________．解析：出现一级品的概率为0.98－0.21＝0.77；出现三级品的概率为1－0.98＝0.02. 答案：0.77，0.027．同时抛掷两枚骰子，没有5点且没有6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．解析：记“没有5点且没有6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“至少有一个5点或6点”的事件为B .分析题意可知A 与B 是对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.故至少有一个5点或6点的概率为59. 答案：598．袋中12个小球，分别有红球，黑球，黄球各若干个(这些小球除颜色外其他都相同)，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球的概率比得到黄球的概率多16，则得到黑球、黄球的概率分别是________．解析：因为得红球的概率为13，所以得到黑球或黄球的概率为23. 记“得到黄球”为事件A ，“得到黑球”为事件B ，则⎩⎨⎧P （A ）＋P （B ）＝23，P （B ）－P （A ）＝16，所以P (A )＝14，P ＝(B )＝512.答案：512，149．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A 、B 、C 能答对题目的概率P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，诸葛亮D 能答对题目的概率P (D )＝23，如果将三个臭皮匠A 、B 、C 组成一组与诸葛亮D 比赛，答对题目多者为胜方，问哪方胜？解：如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝4760>P (D )＝23，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．10．某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件．如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A 与C ； (2)B 与E ； (3)B 与D ； (4)B 与C ；(5)C 与E .解：(1)由于事件C “至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报”与事件E “一种报也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 发生可导致事件E 一定不发生，且事件E 发生会导致事件B 一定不发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B 发生，事件D 也可能发生，故B 与D 不互斥．(4)事件B “至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E “一种报纸也不订”只是事件C 的一种可能，事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不互斥．[B 能力提升]1．据某医疗机构调查，某地区居民血型分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%，现有一血型为A 的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为 ( )A ．65%B ．45%C ．20%D ．15%解析：选A.50%＋15%＝65%.2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，那么乙不输的概率是________．解析：由题意可知乙获胜的概率为20%，则乙不输的概率P ＝P (和棋)＋P (乙胜)＝50%＋20%＝70%.答案：70%3．甲射击一次，中靶的概率是p 1，乙射击一次，中靶的概率是p 2，已知1p 1，1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，且p 1满足方程x 2－x ＋14＝0，则甲射击一次， 不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________．解析：由p 1满足方程x 2－x ＋14＝0知，p 21－p 1＋14＝0，解得p 1＝12.因为1p 1，1p 2是方程x 2－5x ＋6＝0的根，所以1p 1·1p 2＝6，解得p 2＝13.因此甲射击一次，不中靶的概率为1－12＝12，乙射击一次，不中靶的概率为1－13＝23. 答案：12 234．(选做题)猎人在相距100 m 处射击一野兔，命中的概率为12，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150 m ，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200 m ，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．解：设距离为d ，命中的概率为P ，则有P ＝k d 2. 将d ＝100，P ＝12代入，得k ＝Pd 2＝5 000，所以P ＝5 000d 2. 设第一、二、三次击中野兔分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝5 0001502＝29，P (A 3)＝5 0002002＝18.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝ P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝12＋29＋18＝6172. 故射击不超过三次击中野兔的概率为6172.。
互斥事件与对立事件小练习
“互斥事件与对立事件”专项练习
班级姓名
1.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设
事件A={3个球中有1个红球，2个白球}， B={3个球中有2个红球，1个白球}，C={3个球中至少有1个红球}， D={3个球中既有红球又有白球}，问：
（1）事件D与A,B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
2.某小组3名男生2名女生，从中任选2人参加演讲比赛，判断下列事件是否是互斥事件或对立事件。
（1）恰有1名男生和恰有2名男生
（2）恰有1名男生和恰有1名女生
（3）至少1名男生和至少1名女生
（4）至少1名男生和全是女生
3.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）
A.至少有一个白球和全是白球
B.至少有一个白球和至少有一个红球
C.恰有一个白球和恰有两个白球
D.至少有一个白球和全是红球
4.从一批产品中取出三件产品，设事件A=“三件全不是次品”， B=“三件全是次品”，C=“三件不全是次品”，下列说法正确的是（）A.A与C互斥 B. B与C互斥
C.任何两个均互斥
D.任何两个均不互斥
5.在同一条件S下的事件A与B，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（）A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立
D.不对立，不互斥
6.如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么（）
A. A∪B是必然事件
B. A∪B是必然事件
C.
C. A与B一定互斥
D. A与B一定不互斥。
高中数学-事件的相互独立性跟踪测试卷及答案
课时跟踪检测（四十三）事件的相互独立性层级(一)“四基”落实练1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B () A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥解析：选A对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是 ()A.524 B.512C.124 D.38解析：选C两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝936×636＝1 24.3．有一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率分别为12，13，14，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为()A.124 B.1124C.1324 D.1724解析：选B设仅有一人解出的事件为D，则P(D)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.4．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是() A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.96解析：选C ∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.5．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是( )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12解析：选ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2相互独立．2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12＝16，A 正确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B 错误；2个球中至少有1个红球的概率为 1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23，C 正确；2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选A 、C 、D.6．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12P (B )＝23，则P (A B －)＝________；P (A － B －)＝________.解析：∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (A B －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16，P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.答案：16 167．已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和P ，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则P＝________.解析：由题意，得(1－0.01)(1－P)＝0.960 3，解得P＝0.03.答案：0.038．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D＝(A B－)∪(A－B)，则P(D)＝P(A B－)＋P(A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.层级(二) 能力提升练1.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要有一个开关正常工作即可靠)为()A．0.504 B．0.994C．0.496 D．0.064解析：选B由题意知，所求概率为1－(1－0.9)·(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994. 2．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为________．解析：设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件A为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件B为“取得红球”．∵事件A与B相互独立，∴事件A与B也相互独立．∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P(AB∪A B)＝P(AB)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23×12＋13×12＝12.答案：123．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为35和p .若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920，则p 的值为________． 解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P (A )＝35，P (A )＝25，P (B )＝p ，P (B )＝1－p ，依题意35×(1－p )＋25×p ＝920，解得p ＝34.答案：344．(2022·全国甲卷节选)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．求甲学校获得冠军的概率．解：设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A ，B ，C ，易知事件A ，B ，C 相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A ，B ，C 同时发生，或事件A ，B ，C 中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为P ＝P (ABC ＋A BC ＋A B C ＋AB C ) ＝P (ABC )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8) ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04 ＝0.6.5．已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A 与B 中至少有一个工作，C 工作，D 与E 中至少有一个工作时能听到声音，且若D 和E 同时工作则有立体声效果．(1)求能听到立体声效果的概率； (2)求听不到声音的概率．解：(1)能听到立体声效果的概率P 1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.835 222 9.(2)能听到声音的概率P 2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.941 847 1，故听不到声音的概率为1－P 2＝1－0.941 847 1＝0.058 152 9. 层级(三) 素养培优练在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是34112，乙、丙两人都回答正确的概率是14.设每人回答问题正确与否相互独立．(1)求乙答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．解：(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A ，B ，C ，设乙答对这道题的概率P (B )＝x ，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A ，B ，C 是相互独立事件．由题意可知，P (A )＝34，P (A B )＝P (A )P (B )＝ 1－34×(1－x )＝112，解得x ＝23，所以乙答对这道题的概率为P (B )＝23.(2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M ，丙答对这道题的概率P (C )＝y ，由题可知，P (BC )＝P (B )·P (C )＝23×y ＝14，解得y ＝38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (A B C )＝P (A )P (B )·P (C )＝ 1－34× 1－23× 1－38＝596. 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对”，所以P (M )＝1－596＝9196.。
互斥与相互独立
1.“互斥”的含义设若事件A与B不可能同时发生，即A与B的交为不可能事件（空集），从而P(AB)=0，则称A与B互不相容或互斥。
进一步地，设若A与B同时满足必有一个事件发生的条件，即A与B的交为不可能事件，A与B的并为必然事件，从而P(A)+P(B)=1，P(AB)=0，则称A与B互相对立(互逆)事件。
上述所谓两个互斥事件A 、B 不可能同时发生，具体包括三种情景：一是仅事件A 发生；二是仅事件B 发生；三是事件A和B 都不发生。
当然，设若事件A、B 对立，则只须考虑前两种情况了。
因此，互斥的概念适用于描述多个事件之间的关系，而对立概念则只适用于描述两个事件之间的关系。
两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可能都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
2.“相互独立”的含义设若事件A和B满足P(A/B)=P(A)，P(B/A)=P(B) ，从而满足P(AB)=P(A)P(B)，则称该事件A和B 相互独立。
可见，事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。
互斥说的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许两个事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另外一个事件发生的可能性不会产生任何影响。
因此，互斥属于纯粹用来刻画事件之间相互关系的概念；而相互独立则是用来刻画事件之间概率关系的概念。
在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多次不同试验下相应出现的不同事件。
故此，若A 与B 为互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。
而若A 与B 为相互独立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B) 。
3. “相互独立”与“互斥”互不相容设若A、B相互独立，则根据定义，必有P(AB)=P(A)P(B)。
午练23互斥事件和独立事件-2024-2025学年高中数学新教材高一下苏教版必修第二册PPT课件
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(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 解 设事件D为“三人考试后恰有两人获得合格证书”， 则 P(D)＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝25×12×94＋52×12×59＋35×12×95＝3110. ∴三人中恰有两人获得合格证书的概率为3110.
预报的概率为p＝0.8×(1－0.7)＋(1－0.8)×0.7＝0.38.
01 02 03 04 05 黑球和3个白球的口袋内任取3个球，下列选项正确的有
( AB )
A.恰有1个白球和全是白球是互斥事件 B.至少有1个白球和全是黑球是对立事件 C.至少有1个白球和至少有2个白球是互斥事件 D.至少有1个白球和至少有1个黑球是对立事件 解析 从4黑3白中任取3球，有：全白、2白1黑、1白2黑、全黑四种情况， 恰有1白即1白2黑，与全白互斥但不对立；至少1白即1白2黑或2白1黑，或全 白，其与全黑对立，其与至少2白不互斥，与至少1黑不互斥，故选AB.
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8.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回 答出2个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的 概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答4个问 题就晋级下一轮的概率为___0_.1_2_8__.
解析 此选手恰好回答4个问题晋级下一轮，说明第2个问题回答错误，第3、 第4个回答正确，第1个问题正确错误均可.因为每个问题的回答结果相互独 立，则所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.
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4.甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8
高一下互斥事件与相互独立事件月考题
互斥事件相对立事件的概率与几何概型1．从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )A ．至少有1个黑球，至少有1个白球B ．恰有一个黑球，恰有2个白球C ．至少有一个黑球，都是黑球D ．至少有1个黑球，都是白球2．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是 （ ）．A ．0.873 Ｂ．0.13 Ｃ．0.127 Ｄ．0.033．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次取到合格品的概率是2p ，第1次取到合格品的概率是1p ，则（ ）A ． 2p >1pB ． 2p =1pC ． 2p <1pD ．不能确定4．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）5．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（ ）6．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的事件的对立事件的概率为（ ）7．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的 概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率 为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4.参抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组.如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为 （ ）11．若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为（ ）12．．13．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）14．一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，不放回地每次从口袋中摸出一球，若第三次摸到红球的概率为54，则袋中红球有 个. 15．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点P,则点P 与A 的距离不小于1的概率是_______________．16．4个人中，至少有2人的生日是同一个月的概率是 ．17．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．18．袋中有红、白两种颜色的球，作无放回的抽样试验，连抽3次，每次抽一球。
高中数学互斥事件检测试卷(附解析)
高中数学互斥事件检测试卷（附解析）互斥事件同步练习思路导引1.若A与B是互斥事件,则有A.P（A）+P（B）B.P（A）+P（B）1C.P（A）+P（B）=1D.P（A）+P（B）1解析：A与B互斥,也可能对立,因此P（A）+P（B）1.答案：D2.下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②A、B为两个事件,则P（A+B）=P（A）+P（B）；③若事件A、B、C两两互斥,则P（A）+P （B）+P（C）=1；④事件A、B满足P（A）+P（B）=1,则A、B是对立事件.其中错误命题的个数是A.0B.1C.2D.3答案：解析：①正确；②错误,A与B不是互斥事件；③错误,A、B、C 两两互斥,有P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）,但不一定有P（A）+P （B）+P（C）=1；④正确.答案：C3.盒子里有大小相同的3个红球,2个白球,从中任取2个,颜色不同的概率是A. B. C. D.答案：解析：由树状图,易知共有20种不同结果,其中颜色相同的有8种,因此颜色不同的概率为1－.答案：C4.同时抛掷1分和2分的两枚硬币,显现一枚正面向上,一枚反面向上的概率是A. B. C. D.1解析：列表可知有4种情形,一枚正面且一枚反面有两种可能,结果为.答案：A5.某产品分一、二、三级,其中只有一级是正品,若生产中显现二级品的概率是0.03,三级品的概率是0.01,则显现正品的概率为A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96解析：产品共分为三个等级,二级品和三级品的概率分别为0.03和0.01,则一级品即正品的概率为1－0.03－0.01=0.96.答案：D6.从一批乒乓球产品中任取一个,若其重量小于2.45 g的概率为0.22,重量不小于2.50 g的概率为0.20,则重量在2.45~2.50 g范畴内的概率为_____ ___.解析：由于重量小于2.45 g的概率为0.22,因此重量大于或等于2.45 g 的概率为0.78.又因为重量不小于2.50 g的概率为0.20,因此重量在2.45~2.50 g范畴内的概率为0.78－0.20=0.58.答案：0.587.某单位的36人中,有A型血12人,B型血10人,AB型血8人,O型血6人,若从那个单位随机地找出2人,这2人血型相同的概率是________.解析：由树状图易知有3635种不同结果.两人血型相同的情形有1211+ 109+87+65（种）,因此两人血型相同的概率为.答案：8.甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率是,则甲获胜的概率为________.解析：甲获胜的概率为1－.答案：9.袋内有100个大小相同的红球、白球和黑球,其中有45个红球,从袋中摸出1球,摸出白球的概率是0.23,求摸出黑球的概率.解：由条件知,从袋中摸出1球是红球的概率为0.45.∵从袋中摸出1球是白球的概率为0.23,且袋中只有红球、白球、黑球这3种球,从袋中摸出1球是黑球的概率为1－0.45－0.23=0.32.10.某班有36名学生,从中任选2名,若选得同性别的概率为,求男、女生相差几名?解：设有男生m人,女生n人.由树状图易知共有3635种不同结果,且m +n=36. ①∵同性别的概率为,解由①②联立的方程组得|m-n|=6,即男、女生相差6名. 互斥事件与对立事件的区别与联系.互斥事件有一个发生的概率公式.给球编号画树状图.列出所有可能情形.依照对立事件概率间的关系P（A）+P（）=1.依照互斥事件概率间的关系.“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
互斥事件与独立事件课时精练
互斥事件与独立事件课时精练1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59答案B解析各项均合格的概率为13×16×15＝190.2．(2022·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是()A ．0.8192B ．0.9728C ．0.9744D ．0.9984答案B解析4个都不亮的概率为(1－0.8)4＝0.0016，只有1个亮的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.0256，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.0016－0.0256＝0.9728.3．(多选)若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系错误的是()A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又独立答案ABD解析由题意可得P (A )＝1－P (A )＝13，因为P (AB )＝19，P (B )＝13，所以P (AB )＝P (A )·P (B )，故事件A 与B 相互独立．4．(2022·绍兴模拟)北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为()A.1021B.1121C.1142D.521答案B解析因为玉衡和天权都没有被选中的概率为P ＝C 25C 27＝1021，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为1－1021＝1121.5．(多选)下列说法正确的是()A ．若事件A 与B 互斥，则A ∪B 是必然事件B ．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E ＝“甲取到《红楼梦》”，事件F ＝“乙取到《红楼梦》”，则E 与F 是互斥但不对立事件C ．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A ＝“向上的点数不大于5”，事件B ＝“向上的点数为质数”，则B ⊆AD ．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点答案BCD解析对于A ，事件A 与B 互斥时，A ∪B 不一定是必然事件，故A 不正确；对于B ，事件E 与F 不会同时发生，所以E 与F 是互斥事件，但除了事件E 与F 之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E 与F 不是对立事件，故E 与F 是互斥不对立事件，B 正确；对于C ，事件A ＝{1,2,3,4,5}，事件B ＝{2,3,5}，所以B 包含于A ，C 正确；对于D ，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D 正确．6．(多选)抛掷三枚硬币，设事件A i ＝“第i 枚硬币正面朝上”，i ＝1,2,3.则()A ．A 1与A 2互斥B ．A 1∪A 2与A 3相互独立C ．P (A 2A 3)＝14D ．P (A 1＋A 2)＝34答案BCD解析事件A i ＝“第i 枚硬币正面朝上”，i ＝1,2,3.因为A 1与A 2可以同时发生，所以A 1与A 2不互斥，故选项A 错误；因为A 1，A 2与A 3相互独立，所以A 1∪A 2与A 3相互独立，故选项B 正确；因为P (A 2A 3)＝P (A 2)P (A 3)＝12×12＝14，故选项C 正确；因为P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)－P (A 1)P (A 2)＝34，故选项D 正确．7．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动会更方便．研究人员得到石墨烯后，在制作石墨烯发热膜时有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为23，且各生产环节相互独立．则成功生产出质量合格的发热膜的概率为________．答案827解析由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜的三个环节都必须合格，∴成功生产出质量合格的发热膜的概率为P ＝23×23×23＝827.8．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是甲级品的概率为________．答案0.92解析记抽捡的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，且事件A 和事件B ∪C 是对立事件，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝0.92.9．“西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为0分，2分的概率；(2)求甲队得2分乙队得1分的概率．解(1)记“甲队总得分为0分”为事件A ，“甲队总得分为2分”为事件B ，甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率P (A )＝127；甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率P (B )＝3＝49.(2)记“乙队得1分”为事件C ，“甲队得2分乙队得1分”为事件D ，事件C 即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，则P (C )×23×＋23×12＝518，甲队得2分乙队得1分即事件B ，C 同时发生，则P (D )＝P (B )P (C )＝49×518＝1081.10．某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．解(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法公式，得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.11．(多选)下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有()A ．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝“出现的点数为偶数”B ．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M ＝“第1次摸到红球”，事件B ＝“第2次摸到红球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第1枚为正面”，事件N ＝“两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次为反面”答案CD解析在A 中，P (MN )＝0，所以M ，N 不相互独立；在B 中，M ，N 不是相互独立事件；在C 中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )·P (N )，因此M ，N 是相互独立事件；在D 中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M ，N 是相互独立事件．12．(2022·张家口模拟)某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a ，b ，12，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为()A.12B.35C.34D.310答案D解析由题意知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为15，则ab ＋12a (1－b )＋12b (1－a )＝15，所以12(a ＋b )－12ab ＝15，所以a ＋b －ab ＝25，所以该同学一个社团都不进入的概率P ＝(1－a )(1－b ＝12[1－(a ＋b )＋ab ]＝12{1－[(a ＋b )－ab ]}＝12×＝310.13．设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率可能为()A.89B.23C.59D.29答案D解析因为A ，B 是相互独立事件，设A 不发生的概率为x ，B 不发生的概率为y ，则xy ＝19，0<x ，y ≤1，所以x ＋y ＝x ＋19x ≥2x ·19x ＝23，当且仅当x ＝19x ，即x ＝y ＝13时，等号成立，所以P ＝(1－x )(1－y )＝1－(x ＋y )＋xy ≤4914．校庆杯篮球赛期间，安排了投篮比赛游戏，现有20名同学参加投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.6，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响，现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则一名同学投篮得2分的概率为________．答案0.48解析由题设，同学投篮得2分的概率为P ＝1－0.6×0.6－(1－0.6)(1－0.6)＝1－0.36－0.16＝0.48.15．一项过关游戏规则规定：在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关．甲同学参加了该游戏，他连过前两关的概率是________．答案59解析由于骰子是均匀正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的．设事件A n 为“第n 次过关失败”，则对立事件B n 为“第n 次过关成功”，第n 次游戏中，基本事件总数为6n .第1关：事件A 1所含基本事件数为2(即出现点数1和2两种情况)，所以过此关的概率为1B P ＝1－PA 1＝1－26＝23.第2关：事件A 2所含基本事件数为方程x ＋y ＝a ，x 表示第1次掷出的点数，y 表示第2次掷出的点数，当a 分别取2,3,4时的正整数解组数之和共有6个基本事件，所以过此关的概率为2B P ＝1－PA 2＝1－662＝56.故连过两关的概率为1B P ×2B P ＝59.16．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知每次甲回答正确的概率为34，乙回答正确的概率为23，丙回答正确的概率为12，三个人回答每个问题相互独立．(1)求一轮中三人全部回答正确的概率；(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；(3)记P n 为甲在第n 轮胜出的概率，Q n 为乙在第n 轮胜出的概率，求P n 与Q n ，并比较P n 与Q n 的大小．解(1)设“一轮中三人全部回答正确”为事件M ，则P (M )＝34×23×12＝14.(2)甲在第一轮胜出的概率为34×13＝14.甲在第二轮胜出，说明第一轮、第二轮中三人都回答正确，第三轮中丙回答错误，故甲在第二轮胜出的概率为14××12××12＝×12＝132.同理，甲在第三轮胜出的概率为14×14×12×34×13＝×12＝1128.(3)由(2)知P 1＝14，P 2×12＝132，P 3×12＝1128.由题意得P 4×P 1×14＝，P 5×P 2×12，P 6×P 3×12，P 7×P 1，….所以当n ＝3k (k ∈N *)时，P n ×12；当n ＝3k ＋1(k ∈N *)时，P n ；当n ＝3k ＋2(k ∈N *)时，P n ×12.同理可得当n ＝3k (k ∈N *)时，Q n ×14；当n ＝3k ＋1(k ∈N *)时，Q n ；当n ＝3k ＋2(k ∈N *)时，Q n －1×13.所以当n ＝3k (k ∈N *)时，P n >Q n ；当n ＝3k ＋1(k ∈N *)时，P n ＝Q n ；当n ＝3k ＋2(k ∈N *)时，P n <Q n .。
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互斥事件相对立事件的概率与几何概型
1．从装有黑球和白球各2个的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )
A ．至少有1个黑球，至少有1个白球
B ．恰有一个黑球，恰有2个白球
C ．至少有一个黑球，都是黑球
D ．至少有1个黑球，都是白球
2．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，
生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是 （ ）．A ．0.873 Ｂ．0.13 Ｃ．0.127 Ｄ．0.03
3．一批零件共100个，其中有95件合格品，5件次品，每次任取1个零件装配机器，若第2次取
到合格品的概率是2p ，第1次取到合格品的概率是1p ，则（ ）
A ． 2p >1p
B ． 2p =1p
C ． 2p <1p
D ．不能确定
4．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）
5．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于
25 cm 2与49 cm 2之间的概率为（ ）
6．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂
色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的事件的对立事件的概率为（ ）
7．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的 概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率
为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为
，若向圆内投镖，如果某人每 次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4.参抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组.如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为 （ ）
11．若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为（ ）
12．．
13．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）
14．一个口袋中共有10个红、绿两种颜色小球，不放回地每次从口袋中摸出一球，若第三次摸到
红球的概率为5
4，则袋中红球有 个. 15．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点P,则点P 与A 的距离不小于1的概率是_______________．
16．4个人中，至少有2人的生日是同一个月的概率是．
17．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．18．袋中有红、白两种颜色的球，作无放回的抽样试验，连抽3次，每次抽一球。
设
i
A=“第i次抽到红球”，（i=1, 2, 3）。
试用i A及i A表示下列事件：
（1）前2次都抽到红球；（2）至少有一次抽到红球；（3）到第2次才抽到白球；
（4）恰有两次抽到红球；（5）后两次中至少有一次抽到红球。
19．有九件电子产品，其中有5件是正品，4件是次品．
（1）一次取出3件测试，求至少抽到两件正品的概率；
（2）不放回一个一个测试，求五次测试恰好全部抽到正品的概率；
（3）不放回一个一个测试，求经过五次测试恰好将4个次品全部找出的概率．
20．甲、乙两人进行五次比赛，如果甲或乙无论谁胜了三次，比赛宣告结束．假定甲获胜的概率是
2 3，乙获胜的概率是1
3
，试求下列概率．
（1）比赛以甲3胜1败而结束的概率；（2）比赛以乙3胜2败而结束的概率；
（3）设甲先胜3次的概率为a，乙先胜3次的概率为b，求a
b
的值．
21．飞镖随机地掷在下面的靶子上．
（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？
（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶
子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？
22．一只海豚在水池中游戏，水池为长，宽的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过的概率．。