高三数学第一轮复习导数(1)教案文

导数（1）

一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页）

1、 导数及有关概念：

函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成

000000

()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．

的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='，

要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切

线方程为 000()()()y f x f x x x -='-

3.导函数(导数):

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．

，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导

函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.

函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间

),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='

＝0()f x '.所以函数

)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x ' 4.可导与连续的关系：

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.

5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：

()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=

∆ ()2求平均变化率x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(；

()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 6.几种常见函数的导数：

0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=； 1(ln )x x '=； 1

(log )log a a x e x '=，

()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=

7.求导法则：

法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．

法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+',

[()]'()Cu x Cu x '= 法则3： '

2''

(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

二、 题型探究：

【探究一】． 导数的几何意义

例1:已知曲线 .

(1)、求曲线在点P （2，4）处的切线方程； (y=4x-4)

(2)、求过点P （2，4）的曲线的切线方程； (y=x+2,y=4x-4)

（3）、求过点P （0，0）的曲线的切线方程； (y=x)

（4）、求斜率为1的曲线的切线方程。