用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

|cos CD, AB |
例1.如图所示的正方体中，已知F1与 E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的
夹角余弦值z？
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 传统法：平移
D
C
y
② 向量法
A
B
x
练习：RtVABC中，BCA 900,现将VABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，
Ar
2
n
思考：如何用空间向量的夹角
表示线面角呢？
B
O

结论：sin
r uuur | cos n, AB |
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，
求A1B与平面A1B1CD所成的角
①向量法
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
uuur B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：如图所示，建立空间直角坐标
z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：uAuFur1
一、线线角：异面直线所成的锐角或直角
范围：
C



0,

2

D 思考：空间向量的夹角与
A D1 异面直线的夹角有什么关系？

B
r
r
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
r
a

rr
r
a，b
r
ara，br
r
b
b
结论： cos
|
uuur uuur |
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角 时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角 等于这个夹角减去90°.
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
n2
ur n1


所MA以nr(2Mu，u0uA，r10)，，MnBr 1
(2，2，1) uuuur MB1 0
A1 M
即 22xx
Fra Baidu bibliotek

0 2
z y
z
0
0
取z=2得x=1，y= - 2
A
D
O
B1
y
C B
所nr 以(1平，面2，B21)MA的一个法向量为
x
cos
uuur r B1O，n
法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ a∥⇔ b
a.＝ tb
⑵ l1⊥l2⇔ a⊥b ⇔ a·b ＝ 0 .
⑶ α∥β或α与β重合⇔ n1∥n2 ⇔ n1＝tn.2
⑷α ⊥ β⇔ n1⊥n2⇔ n1 ·n.2＝ 0 ⑸l∥α或l⊂α⇔ n1⊥ a ⇔ n1 ·a ＝ 0.
⑹ l ⊥ α⇔

(
1 2
,
0,1),
uuuur BD1

(
1 2
,

1 2
,1)
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1

uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
1 2 4 6 9
6 6
由图可知二面角为锐角
所以二面角B1 MA C的余弦值为
6。 6
[悟一法] 利用法向量求二面角的步骤 (1)确定二个平面的法向量； (2)求两个法向量夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形观察， 法向量一般不能体现．
练 习：
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
uuur uuur
uuur uuuur
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
uuur uuur uuur uuuur
所以B1O MA ， B1O MC
即B1O MA ， B1O MC。又MA I MC C
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
z
得n (1,1, 4) 又
uuur AD (0,8, 0),
3
AA11 BB11 M
NN C11
D11
A
| 0 1•8 0 | 3 34 , 8 • 12 12 ( 4)2 34
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
所以B1O 平面MAC
C1 B1
y
C B
uuur
② 由①知
uuur
B1O 平面MAC
且B1O (1，1， 2)
所以B1O是平面MAC的z 一个法向量
设平面B1MA的一个法向量为nr (x，y，z) D1
C1
由A(2，0，0)，M uuur
(u0u， u0ur，1)，B1
(2，2，2)得
则有 cos n1, n2 n1 n2 n1 n2

1 6
A
由于所求二面角的大小等于 n1, n2
x
∴二面角B－AS－O的余弦值为
6
6
⑶.cos SA,OB SAOB 2 10 SA OB 5 2 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
10
5
z
S
O
Cy
z 如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，
SO⊥面OABC，且
S
OS=OC=BC=1，OA=2。求：
⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值，
⑵ OS与面SAB所成角α的正弦值 ，
O
⑶二面角B－AS－O的余弦值。
A
解：如图建立直角坐标系， x
则A（2，0，0）； B（1，1，0）；
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程
• 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
z
AA11
BB11 M
由A1N 5,可得 N (0,4,3)


A
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
n1∥ a
⇔ n1＝t a .
引例：
如图所示，四边形ABCD是边 长为6的正方形，SA 平面 ABCD，SA=8,M是SA的中点， 过M和BC的平面交SD于N.
(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值； (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值； (3)求CN与BD所成角的余弦值； (4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值

z

0
A
令x=1，则y=1，z=2；从而 n (1,1,2) x
z
S
O
Cy
B
sin cos OS, n OS n 2 6
OS n 1 6 3
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =（1，1，2）
又∵OC⊥面AOS，∴OC 是面AOS的法向量，
令 n2 OC (0,1,0)
C（0，1，0）； O（0，0，0）；
S（0，0，1）， 于是我们有
SA =（2，0，-1）；AB =（-1，1，0）；
OB =（1，1，0）；OS =（0，0，1）；
Cy
B
（2）设面SAB的法向量 n (x, y, z)
显然有 n AB, n SA
x y 0

2x
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为： (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时， 即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向 量夹角的补角．
二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角，
直线与平面所叫成做角这的条范直围线和：这个[0平, 面]所成的角.

二面角的平面角必须满足：
A O
l
B
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
10
三、面面角：
uur uur
向量法
uur n1，n2

n2
uur uur
n1，n2
uur
n2
uur
n1


uur
n1
l
ur uur
cos cos n1, n2


l
ur uur
cos cos n1, n2
关键：观察二面角的范围
例3.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2，
O为AC和BD的交点，M为 DD1的中点
z
（1）求证： 直线B1O 面MAC;
（2）求二面角
uuur
Bu1uur
B
课堂小结：
1.异面直线所成角：
uuur uuur
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所r成u角uur：
sin | cos n, AB |
3.二面角：
ur uur 求出cos n1, n2
关键：观察二面角的范围
C
D
A D1

B
Ar
n
B O
uur
设AA平NM面••nn的0法0 向即量n64xy(x23, zyy,z60),z由 0
x
B
D11 N C11
Dy
C
练习：在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上，