用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

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空间向量基本定理--课件(共25张PPT)

空间向量基本定理--课件(共25张PPT)
都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,
且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用 ,,
表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解
为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底,在三棱柱中,
,,1 不共面,可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向
量.(
)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=

高中数学选修2-1精品课件:§3.2 第3课时 用空间向量解决空间角

高中数学选修2-1精品课件:§3.2  第3课时 用空间向量解决空间角

所成的角

|a·b| |a||b|
范围 0,π2
直线与平面 所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a, 平面α的法向量为n,则sin θ=_|_co_s_〈__a_,__n_〉__|_

|a·n| |a||n|
0,π2
二ห้องสมุดไป่ตู้角
设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别 为n1,n2,则|cos θ|= |cos〈n1,n2〉| = |n1·n2|
|n1||n2|
[0,π]
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.( × ) 2.直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角.( × ) 3.二面角的大小就是该二面角两个面的法向量的夹角.( × ) 4.若二面角两个面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或 120°.( √ )
(3)求平面的法向量n; →
(4)设线面角为 θ,则 sin θ=|P→A·n|. |PA||n|
跟 踪 训 练 2 如 图 所 示 , 三 棱 柱 ABC - A1B1C1 中 , CA = CB , AB = AA1 , ∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C;
证明 取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B. 因为CA=CB,所以OC⊥AB. 由于AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C. 又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正 弦值.

空间向量求角

空间向量求角
3.2.3立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有:线线角、线面角、面面角
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何 问题转化为向量问题;(化为向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;
再次演示课件
法向量法
n1,n2
n2
n1,n2 n2
n1
n1
l
l
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
结论:cos cos n1, n2
注意法向量的方向:同进 同出,二面角等于法向量
夹角的补角;
关键:观察二面角的范围
一进一出,二面角等于法 向量夹角
四3 、实教践学操过作程的设计与实施
问题1:
二面角的平面角AOB 能否转化成向量的夹角?
B
O l
A
AOB OA,OB
二面角 OA,OB
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
二面角 n1, n2
要点梳理
②方向向量法:
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在 二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角.
设二面角α-l-β的大小为θ,其中
z
S
O
Cy
B
sin cos OS, n OS n 2 6
OS n 1 6 3
C(0,1,0); O(0,0,0);
S(0,0,1), 于是我们有
SA =(2,0,-1);AB =(-1,1,0);
OB =(1,1,0);OS =(0,0,1);

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则,即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积,满足分 配律,即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$,其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律,即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量,记作a×b,其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣,其中a、 b和c分别是三个平面的法向量,θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一:利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣, 其中a和b是两条直线的方向向量,

空间角的计算课件

空间角的计算课件

H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1,求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
综合法:作——证——求。
G
解析:延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中,由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH

17 17 4 15

2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解:以
{DA,DC,DD}
正交基底,建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz,则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =

立体几何中的向量方法求空间角 ppt课件

立体几何中的向量方法求空间角 ppt课件

a, b
rr
结论:cos |cosa,b|

(2011·陕西卷)如图,在△ABC中,∠ABC
=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD 把△ABD折起,使∠BDC=90°.
• 设E为BC的中点,求AE与DB夹角的余弦值.
z
y
x
易得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),
r uuur n, BA
2
r uuur n, BA
B
2
B
r
ruuu r n
结论:sin |cosn,AB|
• 1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹 角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(
)

A.120°
B.60°

C.30°
D.60°或30°
• 解析: 由题意得直线l与平面α的法向量所在 直线的夹角为60°,∴直线l与平面α所成的角
b Br
An
sin | cosn,AB|
3.二面角:
B
O
①方向向量法:
r n
B
A
C
l
D
②法向量法:
【注意】法向量的方向:一
coscosu A uB ur,C uuD ur uu A uuu B rurC uuuu D uu rr
进一出,二面角等于法向量 夹角;同进同出,二面角等
ABCD 于法向量夹角的补角。
• (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直 且以垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹 角的大小就是二面角的大小.
• 以上两种方法各有利弊,要善于结合题目的特 点选择适当的方法解题.
rC
rD
1.异面直线所成r r角: a

第七章 §7.7 向量法求空间角-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件

第七章 §7.7 向量法求空间角-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
7-4sin θ=7±2 3.
思维升华
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)用坐标表示异面直线的方向向量. (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值. (4)注意异面直线所成角的范围是 0,π2 ,即异面直线所成角的余弦值 等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
跟踪训练1 (1)(2023·台州统考)如图,已知菱形ABCD的边长为3,对角 线BD长为5,将△ABD沿着对角线BD翻折至△A′BD,使得线段A′C长 为3,则异面直线A′B与CD所成角的余弦值为
(2)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 CC1 的
中点,A→F=λA→D(0<λ<1),若异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值为3102, 1
则 λ 的值为___3___.
以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略), 正方体的棱长为2, 则A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(0,2,1),A(2,0,0), ∴—D1→E =(0,2,-1),A1A=(0,0,-2), A→D=(-2,0,0),
所以—A′—→B ·C→D=(—A′—→C +C→B)·C→D=—A′—→C ·C→D+C→B·C→D=-92-72= -8. 若异面直线A′B与CD所成的角为θ,
则 cos θ=|cos〈—A′—→B ,C→D〉|=||——AA′—′—→→BB |·|CC→→DD||=3|-×83|=89. 所以异面直线 A′B 与 CD 所成角的余弦值为89.
则(x0,y0+ 3,z0-3)=232-x0, 23-y0,-z0,
x0=232-x0,
即y0+
3=2

第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)

第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)

第43讲 利用空间向量求空间角和距离思维导图知识梳理1.异面直线所成角设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b ||a ||b |, 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向向量.2.直线与平面所成角如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n ||a ||n |3.二面角(1)若AB ,CD 分别是二面角α­l ­β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→的夹角,如图(1).(2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α ­l ­β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|=|n 1·n 2||n 1||n 2|,如图(2)(3). 4.利用空间向量求距离 (1)两点间的距离设点A (x 1,y 1,z 1),点B (x 2,y 2,z 2),则|AB |=|AB ―→|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+(z 1-z 2)2. (2)点到平面的距离如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离为|BO ―→|=|AB ―→·n ||n |.题型归纳题型1 异面直线所成的角【例1-1】(2020•济南模拟)已知直角梯形ABCD 中,//AD BC ,AB BC ⊥,12AB AD BC ==,将直角梯形ABCD (及其内部)以AB 所在直线为轴顺时针旋转90︒,形成如图所示的几何体,其中M 为CE 的中点. (1)求证:BM DF ⊥;(2)求异面直线BM 与EF 所成角的大小.【分析】(1)建立空间坐标系,得出BM ,DF 的坐标,根据向量的数量积为0得出直线垂直; (2)计算BM 和EF 的夹角,从而得出异面直线所成角的大小. 【解答】(1)证明:AB BC ⊥,AB BE ⊥,BCBE B =,AB ∴⊥平面BCE ,以B 为原点,以BE ,BC ,BA 为坐标轴建立空间坐标系B xyz -,如图所示:设1AB AD ==,则(0D ,1,1),(1F ,0,1),(0B ,0,0),M 0),∴(2BM =,0),(1DF =,1-,0),∴200BM DF =-=,BM DF ∴⊥.(2)解:(2E ,0,0),故(1EF =-,0,1),cos BM ∴<,12||||2BM EF EF BM EF >===-⨯,∴设异面直线BM 与EF 所成角为θ,则cos |cos BM θ=<,1|2EF >=, 故3πθ=.【例1-2】(2020•北京模拟)在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,AD AB ⊥,2PA AD ==,1AB BC ==,Q 为PD 中点.(Ⅰ)求证:PD BQ ⊥;(Ⅰ)求异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值.【分析】()I 建立空间直角坐标系,只要证明0PD BQ =,即可证明结论. (Ⅰ)(1CP =-,1-,2),利用向量夹角公式即可得出.【解答】()I 证明:如图所示,(0A ,0,0),(1B ,0,0),(0P ,0,2),(0D ,2,0),(0Q ,1,1),(1C ,1,0),(0PD =,2,2)-,(1BQ =-,1,1),由220PD BQ =-=,∴PD BQ ⊥,PD BQ ∴⊥;(Ⅰ)解:(1CP =-,1-,2),cos CP <,BQ =.∴异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值为3.【跟踪训练1-1】(2020•运城三模)如图,四边形ABCD 为平行四边形,且2AB AD BD ===,点E ,F 为平面ABCD 外两点,//EF AC 且2EF AE ==EAD EAB ∠=∠. (1)证明:BD CF ⊥;(2)若60EAC ∠=︒,求异面直线AE 与DF 所成角的余弦值.【分析】(1)设BD 与AC 相交于点G ,连接EG ,从而BD AC ⊥,推导出EAD EAB ∆≅∆,从而BD ⊥平面ACFE ,由此能证明BD CF ⊥.(2)过G 作AC 的垂线,交EF 于M 点,分别以GA ,GB ,GM 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系G xyz -,利用向量法能求出异面直线AE 与DF 所成角的余弦值. 【解答】解:(1)证明:设BD 与AC 相交于点G ,连接EG , 由题意可得四边形ABCD 为菱形, 所以BD AC ⊥,DG GB =,在EAD ∆和EAB ∆中,AD AB =,AE AE =,EAD EAB ∠=∠, 所以EAD EAB ∆≅∆,所以ED EB =,所以BD EG ⊥, 因为ACEG G =,所以BD ⊥平面ACFE ,因为CF ⊂平面ACFE ,所以BD CF ⊥.(2)解:如图,在平面AEFC 内,过G 作AC 的垂线,交EF 于M 点, 由(1)可知,平面ACFE ⊥平面ABCD ,所以MG ⊥平面ABCD ,故直线GM ,GA ,GB 两两互相垂直, 分别以GA ,GB ,GM 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系G xyz -, 因为60EAC ∠=︒,则A ,(0D ,1-,0),3)2E,3()2F ,所以3()2AE =-,3()2DF =, 异面直线AE 与DF 所成角的余弦值为:99|0|||44|cos ,|||||310AE DF AE DF AE DF ++<>===【名师指导】用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量; (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值.题型2 直线与平面所成的角【例2-1】(2020•海南)如图,四棱锥P ABCD -的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明:l ⊥平面PDC ;(2)已知1PD AD ==,Q 为l 上的点,QB =,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值.【分析】(1)过P 在平面PAD 内作直线//l AD ,推得l 为平面PAD 和平面PBC 的交线,由线面垂直的判定和性质,即可得证;(2)以D 为坐标原点,直线DA ,DC ,DP 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -,求出(0Q ,1,1),运用向量法,求得平面QCD 的法向量,结合向量的夹角公式求解即可. 【解答】(1)证明:过P 在平面PAD 内作直线//l AD ,由//AD BC ,可得//l BC ,即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线,PD ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,PD BC ∴⊥,又BC CD ⊥,CDPD D =,BC ∴⊥平面PCD ,//l BC ,l ∴⊥平面PCD ;(2)解:如图,以D 为坐标原点,直线DA ,DC ,DP 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -,1PD AD ==,Q 为l 上的点,QB ,PB ∴1QP =,则(0D ,0,0),(1A ,0,0),(0C ,1,0),(0P ,0,1),(1B ,1,0),作//PQ AD ,则PQ 为平面PAD 与平面PBC 的交线为l ,取(1Q ,0,1),则(1DQ =,0,1),(1PB =,1,1)-,(0DC =,1,0), 设平面QCD 的法向量为(n a =,b ,)c ,则00n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴00b a c =⎧⎨+=⎩,取1c =,可得(1n =-,0,1),cos n ∴<,6||||32n PB PB n PB >===,PB ∴与平面QCD . 【例2-2】(2020•北京)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为1BB 的中点. (Ⅰ)求证:1//BC 平面1AD E ;(Ⅰ)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值.【分析】(Ⅰ)根据正方体的性质可证得11//BC AD ,再利用线面平行的判定定理即可得证;(Ⅰ)解法一:以A 为原点,AD 、AB 、1AA 分别为x 、y 和z 轴建立空间直角坐标系,设直线1AA 与平面1AD E 所成角为θ,先求出平面1AD E 的法向量m ,再利用sin |cos m θ=<,111|||||||m AA AA m AA >=以及空间向量数量积的坐标运算即可得解. 解法二:设正方体的棱长为2a ,易知122AA DS a =,结合勾股定理和余弦定理可求得1cos EAD ∠=,再求得1111sin 2EAD SAD AE EAD =∠;设点1A 到平面1EAD 的距离为h ,根据等体积法111A EAD E AA D V V --=,可求出h 的值,设直线1AA 与平面1AD E 所成角为θ,则1sin hAA θ=,从而得解. 【解答】解:(Ⅰ)由正方体的性质可知,11//AB C D 中,且11AB C D =,∴四边形11ABC D 是平行四边形,11//BC AD ∴,又1BC ⊂/平面1AD E ,1AD ⊂平面1AD E ,1//BC ∴平面1AD E .(Ⅰ)解法一:以A 为原点,AD 、AB 、1AA 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则(0A ,0,0),1(0A ,0,)a ,1(D a ,0,)a ,(0E ,a ,1)2a ,∴1(0,0,)AA a =,1(,0,)AD a a =,1(0,,)2AE a a =,设平面1AD E 的法向量为(,,)m x y z =,则100m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即()01()02a x z a y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩, 令2z =,则2x =-,1y =-,∴(2m =-,1-,2),设直线1AA 与平面1AD E 所成角为θ,则sin |cos m θ=<,11122|||33||||m AA a AA a m AA >===,故直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23. 解法二:设正方体的棱长为2a ,则1AD =,AE =,13ED a =,1212222AA DSa a a ==,由余弦定理知,222222111110 cos22225AD AE EDEADAD AE a a+-∠===1sin EAD∴∠=∴12111sin32EADS AD AE EAD a=∠=,设点1A到平面1EAD的距离为h,111A EAD E AA DV V--=,∴221132233h a a a=,43h a∴=,设直线1AA与平面1AD E所成角为θ,则1423sin23ahAA aθ===.故直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值为23.【跟踪训练2-1】(2020•山东)如图,四棱锥P ABCD-的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知1PD AD==,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【分析】(1)过P在平面PAD内作直线//l AD,推得l为平面PAD和平面PBC的交线,由线面垂直的判定和性质,即可得证;(2)以D为坐标原点,直线DA,DC,DP所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D xyz-,设(0Q,m,1),运用向量法,求得平面QCD的法向量,结合向量的夹角公式,以及基本不等式可得所求最大值.【解答】解:(1)证明:过P在平面PAD内作直线//l AD,由//AD BC ,可得//l BC ,即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线,PD ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,PD BC ∴⊥,又BC CD ⊥,CDPD D =,BC ∴⊥平面PCD ,//l BC ,l ∴⊥平面PCD ;(2)如图,以D 为坐标原点,直线DA ,DC ,DP 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -,则(0D ,0,0),(1A ,0,0),(0C ,1,0),(0P ,0,1),(1B ,1,0), 设(Q m ,0,1)(0)m >,(DQ m =,0,1),(1PB =,1,1)-,(0DC =,1,0), 设平面QCD 的法向量为(n a =,b ,)c ,则00n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴00b am c =⎧⎨+=⎩,取1c =,可得1(n m =-,0,1),cos n ∴<,211||||131n PBPB n PB m -->==+,PB ∴与平面QCD211111131m m m +++=++232611132m =++=+,当且仅当1m =取等号, PB ∴与平面QCD . 【名师指导】利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角). (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线与平面所成的角.题型3 二面角【例3-1】(2020•江苏)在三棱锥A BCD -中,已知CB CD =,2BD =,O 为BD 的中点,AO ⊥平面BCD ,2AO =,E 为AC 中点.(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值; (2)若点F 在BC 上,满足14BF BC =,设二面角F DE C --的大小为θ,求sin θ的值.【分析】(1)由题意画出图形,连接OC ,由已知可得CO BD ⊥,以O 为坐标原点,分别以OB ,OC ,OA 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,求出所用点的坐标,得到(1,0,2)AB =-,(1,1,1)DE =,设直线AB 与DE 所成角为α,由两向量所成角的余弦值,可得直线AB 与DE 所成角的余弦值; (2)由14BF BC =,得14BF BC =,设(F x ,y ,)z ,由向量等式求得3(4F ,12,0),进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值求得cos θ,再由同角三角函数基本关系式求解sin θ.【解答】解:(1)如图,连接OC ,CB CD =,O 为BD 的中点,CO BD ∴⊥.以O 为坐标原点,分别以OB ,OC ,OA 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.2BD =,1OB OD ∴==,则2OC =.(1B ∴,0,0),(0A ,0,2),(0C ,2,0),(1D -,0,0),E 是AC 的中点,(0E ∴,1,1),∴(1,0,2)AB =-,(1,1,1)DE =.设直线AB 与DE 所成角为α,则||cos ||||14111AB DE AB DE α===++,即直线AB 与DE ; (2)14BF BC =,∴14BF BC =, 设(F x ,y ,)z ,则(1x -,y ,1)(4z =-,12,0),3(4F ∴,12,0).∴(1,1,1)DE =,71(,,0)42DF =,(1,2,0)DC =.设平面DEF 的一个法向量为111(,,)m x y z =,由11111071042m DE x y z m DF x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩,取12x =-,得(2,7,5)m =--; 设平面DEC 的一个法向量为222(,,)n x y z =,由22222020n DE x y z n DC x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩,取22x =-,得(2,1,1)n =-. |||cos |||||44925411mn m n θ∴===+++.sinθ∴=. 【例3-2】(2020•新课标Ⅰ)如图,D 为圆锥的顶点,O 是圆锥底面的圆心,AE 为底面直径,AE AD =.ABC ∆是底面的内接正三角形,P 为DO 上一点,PO =. (1)证明:PA ⊥平面PBC ; (2)求二面角B PC E --的余弦值.【分析】(1)设圆O 的半径为1,求出各线段的长度,利用勾股定理即可得到PA PC ⊥,PA PB ⊥,进而得证;(2)建立空间直角坐标系,求出平面PBC 及平面PCE 的法向量,利用向量的夹角公式即可得解. 【解答】解:(1)不妨设圆O 的半径为1,1OA OB OC ===,2AE AD ==,AB BC AC ===,DO PO ==PA PB PC ===, 在PAC ∆中,222PA PC AC +=,故PA PC ⊥, 同理可得PA PB ⊥,又PBPC P =,故PA ⊥平面PBC ;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则有11,0),(,0),222B C P ,(0E ,1,0),故3131(3,0,0),(,,0),(,22BC CE CP =-==-, 设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =,则3031022m BC m CP x y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩,可取(0,2,1)m =, 同理可求得平面PCE 的法向量为(2,n =--,故||25cos||||5m n m n θ==,即二面角B PC E --.【跟踪训练3-1】(2020•新课标Ⅰ)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点E ,F 分别在棱1DD ,1BB 上,且12DE ED =,12BF FB =. (1)证明:点1C 在平面AEF 内;(2)若2AB =,1AD =,13AA =,求二面角1A EF A --的正弦值.【分析】(1)在1AA 上取点M ,使得12A M AM =,连接EM ,1B M ,1EC ,1FC ,由已知证明四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形,可得1//AF MB ,且1AF MB =,//AD ME ,且AD ME =,进一步证明四边形11B C EM 为平行四边形,得到11//EC MB ,且11EC MB =,结合1//AF MB ,且1AF MB =,可得1//AF EC ,且1AF EC =,则四边形1AFC E 为平行四边形,从而得到点1C 在平面AEF 内;(2)在长方体1111ABCD A B C D -中,以1C 为坐标原点,分别以11C D ,11C B ,1C C 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.分别求出平面AEF 的一个法向量与平面1A EF 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角1A EF A --的余弦值,再由同角三角函数基本关系式求得二面角1A EF A --的正弦值. 【解答】(1)证明:在1AA 上取点M ,使得12A M AM =,连接EM ,1B M ,1EC ,1FC , 在长方体1111ABCD A B C D -中,有111////DD AA BB ,且111DD AA BB ==. 又12DE ED =,12A M AM =,12BF FB =,1DE AM FB ∴==.∴四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形.1//AF MB ∴,且1AF MB =,//AD ME ,且AD ME =.又在长方体1111ABCD A B C D -中,有11//AD B C ,且11AD B C =, 11//B C ME ∴且11B C ME =,则四边形11B C EM 为平行四边形, 11//EC MB ∴,且11EC MB =,又1//AF MB ,且1AF MB =,1//AF EC ∴,且1AF EC =,则四边形1AFC E 为平行四边形,∴点1C 在平面AEF 内;(2)解:在长方体1111ABCD A B C D -中,以1C 为坐标原点,分别以11C D ,11C B ,1C C 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.2AB =,1AD =,13AA =,12DE ED =,12BF FB =,(2A ∴,1,3),(2E ,0,2),(0F ,1,1),1(2A ,1,0),则(2,1,1)EF =--,(0,1,1)AE =--,1(0,1,2)A E =-. 设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z =.则1111111200n EF x y z n AE y z ⎧=-+-=⎪⎨=--=⎪⎩,取11x =,得1(1,1,1)n =-; 设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z =.则222221222020n EF x y z n A E y z ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,取21x =,得2(1,4,2)n =. 1212127cos ,||||321n n nn n n ∴<>===. 设二面角1A EF A --为θ,则sin θ==. ∴二面角1A EF A --.【跟踪训练3-2】(2019•天津)如图,AE ⊥平面ABCD ,//CF AE ,//AD BC ,AD AB ⊥,1AB AD ==,2AE BC ==.(Ⅰ)求证://BF 平面ADE ;(Ⅰ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值;(Ⅰ)若二面角E BD F --的余弦值为13,求线段CF 的长.【分析】(Ⅰ)以A 为坐标原点,分别以AB ,AD ,AE 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,求得A ,B ,C ,D ,E 的坐标,设(0)CF h h =>,得(1F ,2,)h .可得(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量,再求出(0,2,)BF h =,由0BF AB =,且直线BF ⊂/平面ADE ,得//BF 平面ADE ;(Ⅰ)求出(1,2,2)CE =--,再求出平面BDE 的法向量,利用数量积求夹角公式得直线CE 与平面BDE 所成角的余弦值,进一步得到直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值;(Ⅰ)求出平面BDF 的法向量,由两平面法向量所成角的余弦值为13列式求线段CF 的长.【解答】(Ⅰ)证明:以A 为坐标原点,分别以AB ,AD ,AE 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,可得(0A ,0,0),(1B ,0,0),(1C ,2,0),(0D ,1,0),(0E ,0,2). 设(0)CF h h =>,则(1F ,2,)h .则(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量,又(0,2,)BF h =,可得0BF AB =. 又直线BF ⊂/平面ADE ,//BF ∴平面ADE ;(Ⅰ)解:依题意,(1,1,0)BD =-,(1,0,2)BE =-,(1,2,2)CE =--. 设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量,则020n BD x y n BE x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩,令1z =,得(2,2,1)n =. 4cos ,9||||CE n CE n CE n ∴<>==-.∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49; (Ⅰ)解:设(,,)m x y z =为平面BDF 的法向量, 则020m BD x y m BF y hz ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩,取1y =,可得2(1,1,)m h =-,由题意,2|4|||1|cos ,|||||332m n m n m n -<>===⨯,解得87h =. 经检验,符合题意.∴线段CF 的长为87.【跟踪训练3-3】(2019•新课标Ⅰ)如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14AA =,2AB =,60BAD ∠=︒,E,M ,N 分别是BC ,1BB ,1A D 的中点.(1)证明://MN 平面1C DE ; (2)求二面角1A MA N --的正弦值.【分析】(1)过N 作NH AD ⊥,证明//NM BH ,再证明//BH DE ,可得//NM DE ,再由线面平行的判定可得//MN 平面1C DE ;(2)以D 为坐标原点,以垂直于DC 得直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,分别求出平面1A MN 与平面1MAA 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角1A MA N --的正弦值.【解答】(1)证明:如图,过N 作NH AD ⊥,则1//NH AA ,且112NH AA =, 又1//MB AA ,112MB AA =,∴四边形NMBH 为平行四边形,则//NM BH , 由1//NH AA ,N 为1A D 中点,得H 为AD 中点,而E 为BC 中点, //BE DH ∴,BE DH =,则四边形BEDH 为平行四边形,则//BH DE , //NM DE ∴,NM ⊂/平面1C DE ,DE ⊂平面1C DE ,//MN ∴平面1C DE ;(2)解:以D 为坐标原点,以垂直于DC 得直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,则N 12-,2),M ,1,2),1A ,1-,4), 33(,0)2NM =,131(,2)2NA =-, 设平面1A MN 的一个法向量为(,,)m x y z =,由133022312022m NM y m NA y z ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩,取x (3,1,1)m =--, 又平面1MAA 的一个法向量为(1,0,0)n =,3cos ,||||5m n m n m n ∴<>===.∴二面角1A MA N --.【名师指导】利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.题型4 求空间距离【例4-1】(2019•新课标Ⅰ)如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14AA =,2AB =,60BAD ∠=︒,E ,M ,N 分别是BC ,1BB ,1A D 的中点.(1)证明://MN 平面1C DE ; (2)求点C 到平面1C DE 的距离.【分析】法一:(1)连结1B C ,ME ,推导出四边形MNDE 是平行四边形,从而//MN ED ,由此能证明//MN 平面1C DE . (2)过C 作1C E 的垂线,垂足为H ,推导出DE BC ⊥,1DE C C ⊥,从而DE ⊥平面1C CE ,DE CH ⊥,进而CH ⊥平面1C DE ,故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离,由此能求出点C 到平面1C DE 的距离. 法二:(1)以D 为原点,DA 为x 轴,DE 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明//MN 平面1C DE .(2)求出(1DC =-0),平面1C DE 的法向量(4n =,0,1),利用向量法能求出点C 到平面1C DE 的距离.【解答】解法一:证明:(1)连结1B C ,ME ,M ,E 分别是1BB ,BC 的中点,1//ME B C ∴,又N 为1A D 的中点,112ND A D ∴=, 由题设知11//A B DC =,11//B C A D =∴,//ME ND =∴,∴四边形MNDE 是平行四边形,//MN ED ,又MN ⊂/平面1C DE ,//MN ∴平面1C DE .解:(2)过C 作1C E 的垂线,垂足为H , 由已知可得DE BC ⊥,1DE C C ⊥,DE ∴⊥平面1C CE ,故DE CH ⊥,CH ∴⊥平面1C DE ,故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离,由已知可得1CE =,14CC =,1C E ∴=,故CH =,∴点C 到平面1C DE 解法二:证明:(1)直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14AA =,2AB =,60BAD ∠=︒,E ,M ,N 分别是BC ,1BB ,1A D 的中点. 1DD ∴⊥平面ABCD ,DE AD ⊥,以D 为原点,DA 为x 轴,DE 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系,(1M 2),(1N ,0,2),(0D ,0,0),(0E 0),1(1C -4),(0MN =,0),1(DC =-,(0,DE =,设平面1C DE 的法向量(n x =,y ,)z ,则14030n DC x z n DE y ⎧=-++=⎪⎨==⎪⎩,取1z =,得(4n =,0,1),0MN n =,MN ⊂/平面1C DE ,//MN ∴平面1C DE .解:(2)(1C -0),(1DC =-0),平面1C DE 的法向量(4n =,0,1),∴点C 到平面1C DE 的距离:||||17DC n d n ==.【跟踪训练4-1】(2020•梅州二模)如图,PAD ∆中,90PDA ∠=︒,2DP DA ==,B ,C 分别是PA ,PD 的中点,将PBC ∆沿BC 折起,连结PA ,PD ,得到多面体PABCD .(1)证明:在多面体PABCD 中,BC PD ⊥;(2)在多面体PABCD 中,当PA B 到平面PAD 的距离.【分析】(1)推导出BC CD ⊥,BC PC ⊥,得到BC ⊥平面PCD ,由此能证明BC PD ⊥.(2)推导出PC ⊥平面ABCD ,以C 为原点,CB 为x 轴,CD 为y 轴,CP 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点B 到平面PAD 的距离.【解答】解:(1)证明:PAD ∆中,90PDA ∠=︒,2DP DA ==,B ,C 分别是PA ,PD 的中点, 将PBC ∆沿BC 折起,连结PA ,PD ,得到多面体PABCD .BC CD ∴⊥,BC PC ⊥,CD PC C =,BC ∴⊥平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,∴在多面体PABCD 中,BC PD ⊥.(2)由(1)得BC ⊥平面PCD ,又PC ⊂平面PCD ,BC PC ∴⊥,PAD ∆中,90PDA ∠=︒,2DP DA ==,B ,C 分别是PA ,PD 的中点,PA =AC ∴=222PC AC PA ∴+=,PC AC ∴⊥, AC BC C =,PC ∴⊥平面ABCD ,以C 为原点,CB 为x 轴,CD 为y 轴,CP 为z 轴,建立空间直角坐标系, (1B ,0,0),(0P ,0,1),(2A ,1,0),(0D ,1,0),(1PB =,0,1)-,(2PA =,1,1)-,(0PD =,1,1)-,设平面PAD 的法向量(n x =,y ,)z ,则200n PA x y z n PD y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩,取1y =,得(0n =,1,1),∴点B 到平面PAD 的距离为:||1||22PB n d n ===⨯.【名师指导】求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.。

高中数学优质课件【立体几何中的向量方法——求空间角与距离】

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面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为________.
1 4
解析:设等边三角形的边长为 2.取 BC 的
中点 O,连接 OA,OD.因为等边三角形 ABC 和
BCD 所在平面互相垂直,所以 OA,OC,OD 两
两垂直,以 O 为坐标原点,OD,OC,OA 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系.
则 A(0,0, 3),B(0,-1,0),C(0,1,0),D( 3,0,0), 所以A→B=(0,-1,- 3),C→D=( 3,-1,0), 所以 cos〈A→B,C→D〉=|AA→→BB|·|CC→→DD|=2×1 2=14, 所以异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为14.
1 2 3 45
4.在空间直角坐标系 Oxyz 中,平面 OAB 的一个法向量为 n=(2,
-2,1),已知点 P(-1,3,2),则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( )
A.4
B.2
C.3
D.1
B 解析:P 点到平面 OAB 的距离为 d=|O→|Pn·|n|=|-2-96+2|=2.
12345
B1(1,1, 3),所以A→D1=(-1,0, 3),D→B1=(1,1, 3).设异面直线
AD1 与 DB1 所成的角为 θ,
所以 cos θ=|AA→→DD11|·|DD→→BB11|=2×2
5=5 5.Fra bibliotek所以异面直线
AD1

DB1
所成角的余弦值为
5 5.
2.有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直,则异
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围

高中数学利用空间向量求空间角

高中数学利用空间向量求空间角

答案:13
突破点一
突破点二
课时达标检测
利用空间向量求空间角 结 束
3.[考点三]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平 面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________. 解析:以A为原点建立如图所示的空间直角
坐标系,设棱长为1,
则A1(0,0,1),E 1,0,12 ,D(0,1,0),所以
OD,OB1,OC 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,

A0


2
3
3

0

B

2 3
6

0,0

C
0,0,2
3
3
,D
36,0,0 ,
AB =-236,233,0,
AC

0,233,233,CD= 36,0,-233,
设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),
课时达标检测
利用空间向量求空间角 结 束
3.求二面角的大小 (1)如图①,AB,CD是二面角α -l-β的两个面内与棱l垂直的直 线,则二面角的大小θ=〈__A_B_,__C__D_〉_.
(2)如图②和图③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α, β的法向量,则二面角的大小θ=〈__n_1_,__n_2〉__或__π_-__〈__n__1,__n_2_〉_.
突破点一
突破点二
课时达标检测
利用空间向量求空间角 结 束
A1C1 ·n=0, BC1 ·n=0,

-x+2y=0, -x+z=0,
令x=2,则y=1,z

立体几何中的向量方法空间角ppt

立体几何中的向量方法空间角ppt

,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
所以 BD与1 A所F1成角得余弦值为
42 30
10
2、直线与平面得夹角:
设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 的 法向量分别为 u ,
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin a u ;
立体几何中的向量方法空间角
1、两条直线得夹角:
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ,
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),cos a b ;
2
ab
l
a
m
l
a
b m
例: 在直三棱柱ABC A1B1C1中,BC AC,
BC CA CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F1,
CD为a,b得公垂线,
n是直线CD的方向向量,
A,B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知:直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解:如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
E C
y B
x
G
D
A
(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DAz=1、连AC、BD交于G点
以DA,DC,DP为正交基底建立空间 P
直角坐标系。如图所示。则
E
y

向量法求空间角(含解析)

向量法求空间角(含解析)

高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇考点1:异面直线所成的角若异面直线l 1,l 2所成的角为θ,其方向向量分别是u ,v ,则cos θ=|cos 〈u ,v 〉|=|u·v||u||v|.考点2:直线与平面所成的角如图,直线AB 与平面α相交于点B ,设直线AB 与平面α所成的角为θ,直线AB 的方向向高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇量为u ,平面α的法向量为n ,则sin θ=|cos 〈u ,n 〉|= u ·n |u ||n |=|u·n||u||n|.考点3:平面与平面的夹角如图,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α,β的法向量分别是n 1和n 2,则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=|n 1·n 2||n 1||n 2|.【常用结论总结】1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值,即sin θ=|cos 〈a ,n 〉|,不要误记为cos θ=|cos 〈a ,n 〉|. 2.二面角的范围是[0,π],两个平面夹角的范围是0,2.【例1】 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1如图所示,AB =4,BC=3,AC =5,D 为棱AB 的中点,三棱柱的各顶点在同一球面上,且球的表面积为61π,则异面直线A 1D 和B 1C 所成的角的余弦值为( )高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇A .5B .25C .5D .25【例2】 如图,四棱锥P −ABCD 中,底面ABCD 为正方形,△PAD 是正三角形,AB =2,平面PAD ⊥平面ABCD ,则PC 与BD 所成角的余弦值为( )A .14B .4C .13D 【例3】 如图四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为正方形,各棱长均相等,E 是PB 的中点,则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为()A 6B C .13D .12学霸笔记用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系;(2)用坐标表示两异面直线的方向向量; (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,],即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【对点训练1】 如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面边长和侧棱长均相等,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为()AB .13C .4D 【对点训练2】 “曲池”是《九章算术》记载的一种几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,AA ⊥面ABCD ,AA 1=4,底面扇环所对的圆心角为π2,AD 的长度是BC 长度的2倍,CD =1,则异面直线A 1D 1与BC 1所成角的正弦值为()A .3B .13C .3D .4【对点训练3】 如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1=AC=AB=2,BC =2√2,Q 为A 1B 1的中点,E 为AQ 的中点,F 为BC 1的中点,则异面直线BE 与AF所成角的余弦值为( )A. BC .D高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【例4】 在正方体ABCD −A B C D 中,如图E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (1)求证:平面AD F ⊥平面ADE ; (2)求直线EF 与AD F 所成角的正弦值.【例5】 如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,P A ⊥平面ABCD ,P A=AD=2AB=8,点M 在棱PD 上,且PA =PM ⋅PD ,AM ⊥MC.(1)求证:CD ⊥平面P AD ;(2)求BM 与平面ACM 所成角的余弦值.高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 学霸笔记利用空间向量求线面角的解题步骤【对点训练4】 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点. (1)求证:D 1 F ∥平面A 1EC1;(2)求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值.高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 【对点训练5】 如图所示,在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,∠ABC =60°,AB =2,AA 1=2√3,E 为线段DD 1上一点.(1)求证:AC ⊥B 1D ;(2)若平面AB 1E 与平面ABCD 的夹角的余弦值为25,求直线BE与平面AB 1E 所成角的正弦值.高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【例6】 在如图所示的空间几何体中,△ACD 与△ACB 均是等边三角形,直线ED ⊥平面ACD ,直线EB ⊥平面ABC ,DE ⊥BE . (1)求证:平面ABC ⊥平面ADC ;(2)求平面ACE 与平面BCE 夹角的余弦值.【例7】 如图,三棱锥A −BCD 中,DA =DB =DC ,BD ⊥CD ,∠ADB =∠ADC =60∘,E 为BC 的中点. (1)证明:BC ⊥DA ;(2)点F满足EF⃗=DA ⃗,求二面角D −AB −F 的正弦值.高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇学霸笔记利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤【对点训练6】 直三棱柱ABC −A B C 中,AA =AB =AC =2,AA ⊥AB,AC ⊥AB ,D 为A B 的中点,E 为AA 的中点,F 为CD 的中点. (1)求证:EF ∥平面ABC ;(2)求直线BE 与平面CCD所成角的正弦值; (3)求平面A CD 与平面CC D 夹角的余弦值.高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 【对点训练7】 如图,在棱长为2的正方体ABCD −A B C D 中,E 为棱BC 的中点,F 为棱CD 的中点.(1)求证:D 1F ∥平面A EC ;(2)求直线AC 与平面A EC 所成角的正弦值. (3)求二面角A −A C −E 的正弦值.【对点训练8】 如图,PO 是三棱锥P −ABC 的高,PA =PB ,AB ⊥AC ,E 是PB 的中点. (1)证明:OE ∥平面PAC ;(2)若∠ABO=∠CBO =30°,PO =3,PA =5,求二面角C −AE −B 的正弦值.。

空间向量的应用 求空间角与距离 公开课一等奖课件

空间向量的应用 求空间角与距离  公开课一等奖课件

[点评与警示]
1.在难以建空间直角坐标系的情况下,
可用平移的方法求异面直线所成的角. 2.利用空间向量求两异面直线所成角,是通过两条直 线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角范围为 θ π =[0,2],两向量夹角 α 的范围是[0,π],要注意两者的区 别.cosθ=|cosα|.
如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1、AD 的中点,那 么异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值等于( 10 A. 5 4 C.5 15 B. 5 2 D.3 )
[解析] 所成的角,
连接 A1C1,则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1
AB=BC=2⇒A1C1=AC=2 2,又 AA1=1 ∴AC1=3⇒sin∠AC1A1 AA1 1 =AC =3,故选 D. 1
[答案] D
2 .(2009· 江西,9) 如图,正四面体 ABCD 的顶点 A, B , C
[解析]
如图所示,建立空间直角坐标系,则 D1(0,0,2),
F(1,0,0),O(1,1,0),E(0,2,1),设 OE 和 FD1 所成的角为 θ, 则 cosθ=|cos〈OE,FD1〉| OE· FD1 15 = → = . → 5 |FD1| |OE|·
→ → → →
→ →
(2)设n1、n2是二面角α-l-β的两个角α、β的法向量,则向 量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图 (b)(c)所示).
4.利用空间向量求空间距离 (1)点面距离的求法 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 a 的法向量, |AB· n| 则 B 到平面 α 的距离为|BO|= |AB|· |cos〈AB,n〉|= |n| .

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1,y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1, 2, 2) 1 2 4 6 cos B1O, n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角;当向量夹角为钝角时,两直线的夹角为向
量夹角的补角.
直线和直线在平面内的射影所成的角, 二、线面角: 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围:
A

2
n
思考:如何用空间向量的夹角 表示线面角呢?
B

O

结论: sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有:线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量:三点两线一方程 • 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 则(1)a·b= a1b1+a2b2+a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b,平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结:
1.异面直线所成角:
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |

A

B
D1
A
O
2.直线与平面所成角: 3.二面角:
n


B
n2

7.6.1向量法求空间角课件高三数学一轮复习

7.6.1向量法求空间角课件高三数学一轮复习

考点二 直线与平面所成的角 【例 2】 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,∠ABC=120°, AB=1,BC=4,PA= 15,M,N 分别为 BC,PC 的中点,PD⊥DC,PM⊥MD.
(1)证明:AB⊥PM; (2)求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值.
【解】 (1)证明:因为 AB=AD,O 为 BD 的中点,所以 OA⊥BD. 因为平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,OA⊂平面 ABD,所以 OA ⊥平面 BCD. 因为 CD⊂平面 BCD,所以 OA⊥CD. (2)以 O 为坐标原点,OD,OA 所在的直线分别为 y 轴,z 轴,过点 O 且垂直于 BD 的 直线为 x 轴,建立如图所示空间直角坐标系.
(2)由(1)知,A( 2,0,0),B( 2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),M 22,1,0, 则A→M=- 22,1,0,P→M= 22,1,-1, B→C=(- 2,0,0),P→B=( 2,1,-1). 设 n1=(x1,y1,z1)为平面 PAM 的法向量,
则nn11··PA→ →MM= =00, ,
以 D 为坐标原点,DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系.
设 BC=2x,则 D(0,0,0),A(2x,0,0),P(0,0,1),B(2x,1,0),M(x,1,0).所以A→M=(-x,1,0), P→B=(2x,1,-1),
所以(-x,1,0)·(2x,1,-1)=0,解得 x= 22(负值舍去).所以 BC= 2.
(2)以 A 为原点,AD 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,AA1 所在直线为 z 轴建立 空间直角坐标系.设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,则 A(0,0,0),A1(0,0,2),D1(2,0,2), E(0,2,1),∴A→A1=(0,0,2),A→D1=(2,0,2),A→E=(0,2,1).

高三数学总复习《利用空间向量求角和距离》课件

高三数学总复习《利用空间向量求角和距离》课件

解法二:以D为坐标原点建立坐标系,如图所示.
3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AA1的中点, 则A1到平面MBD的距离是( )
6 3 3 6 A. a B. a C. a D. a 3 6 4 6
答案:D
4.(2009·浙江)在三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长相等,侧棱
与平面BC1D所成的角为30°、
解:(1)证明:∵ABCD是平行四边形,故知
∠BDC1=∠ABD=90°. 即AB⊥BD,C1D⊥BD.
AD BC1 3. 由C1D 1, AC1 2可得,
2 AC1 C1D2 AD2 .
C1D AD. C1D 平面ABD. C1D 平面AC1D, 平面AC1D 平面ABD.
点评 : ①求直线l与平面的夹角的步骤 : ⅰ求出 () l的方 向向量s, (ⅱ)求平面的法向量n, (ⅲ)求n与s的夹角, (ⅳ)

2
n,s .
②求两个平面α与β的夹角,只须求两个平面的法向量的夹角.
变式1:(2009·海南,宁夏)如图所示,已知点P在正方体
ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.
第四十五讲 利用空间向量求角和距

走进高考第一关 考点关
回归教材
1.直线间的夹角
(1)当两条直线l1与l 2共面时, 我们把两条直线交角中, 范围在 0, 内的角叫做两直线的夹角. 2 (2)当直线l1与l 2是异面直线时, 在直线l1上任取一点
A作AB / / l 2 , 我们把直线l1和直线AB的夹角叫做异 面直线l1与l 2的夹角.
与此平面的夹角.如果一条直线与一个平面平行或在平面内, 我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平

高三数学复习课件:7.6空间角(共20张PPT)

高三数学复习课件:7.6空间角(共20张PPT)

VS
题组一 判断正误⇔概念辨析
1.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ) (4)两异面直线夹角的范围是0,π2,直线与平面所成角的范围是0,π2,二面角 的范围是[0,π].( )
考点三 利用向量求二面角
师生 共研
(2017·山东卷)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形 ABCD(及其内 部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的,G 是D︵F 的中点.
(1)设 P 是C︵E 上的一点,且 AP⊥BE,求∠CBP 的大小; (2)当 AB=3,AD=2 时,求二面角 E-AG-C 的大小.
(1)证明:平面 PEF⊥平面 ABFD; (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角). (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
[训练] (2017·全国卷Ⅰ,节选)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,且∠BAP =∠CDP=90°.
若 PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
核心素养系列 (四十)逻辑推理——利用向量求解空间角中的核心素养 利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间角问题,特别是解决存在型 问题,更凸显了向量法的独特魅力. 这类问题的解决一般是先假设存在,通过 建立空间直角坐标系,将问题转化为向量问题来解决.

空间向量求角经典课件——上课用

空间向量求角经典课件——上课用
| 0 1 8 0 | 3 34 , 34 4 2 2 2 8 1 1 ( ) 3
x
B
C
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
三、面面角:
以二面角的棱上任意一点为端点,在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的平面角必须满足:
y
n (1,1,2)
x
设直线OS与平面SAB所成角为
sin cos OS , n OS n OS n 2 6 3 1 6
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =(1,1,2) 又∵OC⊥面AOS,∴OC 是面AOS的法向量, 令 n2 OC (0,1,0)
关键:观察二面角的范围


B
n2


n1


A
B
D1
a, b
a, b
a
b
结论: cos

|
| | cos CD, AB |
例1:Rt ABC中,BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置,已知 BC CA CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F1,求BD1与AF1所成的角的余弦值. z
C
A
D
B
∴AC1和CB1的夹角为: 3
x
直线和直线在平面内的射影所成的角, 二、线面角: 叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角的范围: [0, ]
A

n
2
思考:如何用空间向量的夹角 表示线面角呢?
B
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n1∥ a
⇔ n1=t a .
引例:
如图所示,四边形ABCD是边 长为6的正方形,SA 平面 ABCD,SA=8,M是SA的中点, 过M和BC的平面交SD于N.
(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值; (2)求CN与平面ABCD所成角的正切值; (3)求CN与BD所成角的余弦值; (4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值
[悟一法] 利用向量求异面直线所成的角的步骤为: (1)确定空间两条直线的方向向量; (2)求两个向量夹角的余弦值; (3)确定线线角与向量夹角的关系;当向量夹角为锐角时, 即为两直线的夹角;当向量夹角为钝角时,两直线的夹角为向 量夹角的补角.
二、线面角:直线和直线在平面内的射影所成的角,
直线与平面所叫成做角这的条范直围线和:这个[0平, 面]所成的角.
所以B1O 平面MAC
C1 B1
y
C B
uuur
② 由①知
uuur
B1O 平面MAC
且B1O (1,1, 2)
所以B1O是平面MAC的z 一个法向量
设平面B1MA的一个法向量为nr (x,y,z) D1
C1
由A(2,0,0),M uuur
(u0u, u0ur,1),B1
(2,2,2)得

z

0
A
令x=1,则y=1,z=2;从而 n (1,1,2) x
z
S
O
Cy
B
sin cos OS, n OS n 2 6
OS n 1 6 3
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =(1,1,2)
又∵OC⊥面AOS,∴OC 是面AOS的法向量,
令 n2 OC (0,1,0)
设AA平NM面••nn的0法0 向即量n64xy(x23, zyy,z60),z由 0
x
B
D11 N C11
Dy
C
练习:在长方体 ABCD A1B1C1D1中, AB 6, AD 8,
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上,
B1(2,2,2),O(1,1,0)。
x
uuur uuur
uuur uuuur
B1O MA 2 0 2 0,B1O MC 0 2 2 0
uuur uuur uuur uuuur
所以B1O MA , B1O MC
即B1O MA , B1O MC。又MA I MC C
n2
ur n1


cos cos n1, n2


l
ur uur
cos cos n1, n2
关键:观察二面角的范围
例3.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2,
O为AC和BD的交点,M为 DD1的中点
z
(1)求证: 直线B1O 面MAC;
(2)求二面角
uuur
Bu1uurቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
法向量分别为n1、n2.
则⑴l1∥l2或l1与l2重合⇔ a∥⇔ b
a.= tb
⑵ l1⊥l2⇔ a⊥b ⇔ a·b = 0 .
⑶ α∥β或α与β重合⇔ n1∥n2 ⇔ n1=tn.2
⑷α ⊥ β⇔ n1⊥n2⇔ n1 ·n.2= 0 ⑸l∥α或l⊂α⇔ n1⊥ a ⇔ n1 ·a = 0.
⑹ l ⊥ α⇔
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
z
得n (1,1, 4) 又
uuur AD (0,8, 0),
3
AA11 BB11 M
NN C11
D11
A
| 0 1•8 0 | 3 34 , 8 • 12 12 ( 4)2 34
xB
3
AD与平面ANM所成角的正弦值是3 34 34
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有:线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量:三点两线一方程
• 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 则(1)a·b= a1b1+a2b2+a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b,平面α、β的
z 如图,已知:直角梯形OABC中,OA∥BC,∠AOC=90°,
SO⊥面OABC,且
S
OS=OC=BC=1,OA=2。求:
⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值,
⑵ OS与面SAB所成角α的正弦值 ,
O
⑶二面角B-AS-O的余弦值。
A
解:如图建立直角坐标系, x
则A(2,0,0); B(1,1,0);
Ar
2
n
思考:如何用空间向量的夹角
表示线面角呢?
B
O

结论:sin
r uuur | cos n, AB |
例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,
求A1B与平面A1B1CD所成的角
①向量法
D1
C1 ② 传统法
A1
B1
O
D A
C B
练习:在长方体 ABCD A1B1C1D1中, AB 6, AD 8,
所MA以nr(2Mu,u0uA,r10),,MnBr 1
(2,2,1) uuuur MB1 0
A1 M
即 22xx

0 2
z y
z
0
0
取z=2得x=1,y= - 2
A
D
O
B1
y
C B
所nr 以(1平,面2,B21)MA的一个法向量为
x
cos
uuur r B1O,n

(
1 2
,
0,1),
uuuur BD1

(
1 2
,

1 2
,1)
A
By
uuur uuuur cos AF1, BD1

uuur uuuur x uAuFur1 • uBuDuur1
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
B
课堂小结:
1.异面直线所成角:
uuur uuur
cos |cos CD, AB |
2.直线与平面所r成u角uur:
sin | cos n, AB |
3.二面角:
ur uur 求出cos n1, n2
关键:观察二面角的范围
C
D
A D1

B
Ar
n
B O
uur
Dy
C
[悟一法] 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为: (1)确定直线的方向向量和平面的法向量; (2)求两个向量夹角的余弦值; (3)确定线面角与向量夹角的关系:向量夹角为锐角 时,线面角与这个夹角互余;向量夹角为钝角时,线面角 等于这个夹角减去90°.
三、面面角:
以二面角的棱上任意一点为端点,在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
C(0,1,0); O(0,0,0);
S(0,0,1), 于是我们有
SA =(2,0,-1);AB =(-1,1,0);
OB =(1,1,0);OS =(0,0,1);
Cy
B
(2)设面SAB的法向量 n (x, y, z)
显然有 n AB, n SA
x y 0

2x
MA
uuuur
C
的余弦值.
D1
①证明:以 DA、DC、DD1为正交基底, A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuur
uuuur
所以MA (2,0,1),MC (0,2,1),
uuur B1O (1,1, 2)
D O
A(2,0,0),C(0,2,0),M (0,0,1), A
1 2 4 6 9
6 6
由图可知二面角为锐角
所以二面角B1 MA C的余弦值为
6。 6
[悟一法] 利用法向量求二面角的步骤 (1)确定二个平面的法向量; (2)求两个法向量夹角的余弦值; (3)确定二面角的范围;二面角的范围要通过图形观察, 法向量一般不能体现.
练 习:
则有 cos n1, n2 n1 n2 n1 n2

1 6
A
由于所求二面角的大小等于 n1, n2
x
∴二面角B-AS-O的余弦值为
6
6
⑶.cos SA,OB SAOB 2 10 SA OB 5 2 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
10
5
z
S
O
Cy
AA1 6, M为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N在线段A1D上,
A1N 5, 求AD与平面ANM所成的角的正弦值.
解:如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
z
AA11
BB11 M
由A1N 5,可得 N (0,4,3)


A
AM (6,2,6), AN (0,4,3).
一、线线角:异面直线所成的锐角或直角
范围:
C



0,

2

D 思考:空间向量的夹角与
A D1 异面直线的夹角有什么关系?

B
r
r
设直线CD的方向向量为a,AB的方向向量为b
r
a
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