《复变函数》(西安交大 第四版)第六讲PPT课件
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复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数西安交大 第四版第六讲PPT课件
---级数的部分和
▪ 若z0 D ln i m sn (z0 ) s(z0 ),称 级 数(1)在z0收 敛, 其 和 为s(z0 ), ln i m sn (z0 )不 存 在 ， 称 级 数(1)在z0发 散 。
且
u u ( ) ( )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
u x
dy
v
d v(
x,
y)
( x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
第7页/共47页
v u v u 满 足C R方 程. x y y x
u iv在D内 解 析.
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(1)n
收
敛
，
n
n1
1 2n
收
敛
，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收 敛.
又 (1)n 条 件收 敛，原 级数 非 绝对 收 敛. n1 n
第24页/共47页
例3
讨论
z
n
的
敛散性。
n0 n!
解
令 z r,
zn
rn er
n0 n! n0 n!
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
第17页/共47页
1. 复数列的极限
定义 设复数列{：n}(n 1,2,),其中n＝an ibn,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒 有n ，
那 么称 为 复 数 列{n }当n 时 的 极 限 ，
记
▪ 若z0 D ln i m sn (z0 ) s(z0 ),称 级 数(1)在z0收 敛, 其 和 为s(z0 ), ln i m sn (z0 )不 存 在 ， 称 级 数(1)在z0发 散 。
且
u u ( ) ( )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
u x
dy
v
d v(
x,
y)
( x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
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v u v u 满 足C R方 程. x y y x
u iv在D内 解 析.
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(1)n
收
敛
，
n
n1
1 2n
收
敛
，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收 敛.
又 (1)n 条 件收 敛，原 级数 非 绝对 收 敛. n1 n
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例3
讨论
z
n
的
敛散性。
n0 n!
解
令 z r,
zn
rn er
n0 n! n0 n!
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
第17页/共47页
1. 复数列的极限
定义 设复数列{：n}(n 1,2,),其中n＝an ibn,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒 有n ，
那 么称 为 复 数 列{n }当n 时 的 极 限 ，
记
复变函数和积分变换第6章共形映射.ppt
出版社 理工分社
定义6.5两曲线在无穷远点处的夹角，就是指它们在反演变换下的像曲线在
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定理6.5（保域性）设w=f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，则D的像 G=f(D)也是一个区域. 定义6.2具有伸缩率不变性与保角性的共形映射称为第一类共形映射；如果 映射w=f(z)具有伸缩率不变性，但只保持夹角的大小不变而方向相反，则称 映射为第二类共形映射. 例6.2函数f(z)=z2+2z在z平面处处解析，f′(z)=2z+2，显然当z≠－1时， f′(z)≠0，因此，映射f(z)=z2+2z在z平面上除z=－1外处处是共形的.
图6.2
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
其次，我们讨论导数的模|f′(z0)|的几何意义.由于|Δz|和|Δw|分别是向
量Δz和Δw的长度，故
这说明像点间的无穷小距离与原
像点间的无穷小距离之比的极限是|f′(z0)|，这可以看成是曲线C经w=f(z)
映射后在z0点的伸缩系数或伸缩率.它仅与z0有关，而与曲线C的形状和方向
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定理6.6（黎曼存在与唯一性定理）如果扩充复平面上的单连通区域D，其边 界点不止一点，则存在一个在D内的单叶解析函数w=f(z)，它将D共形映射成 单位圆|w|<1，且当合条件f(a)=0,f′(a)>0，(a∈D)时，f(z)是唯一的. 定理6.7（边界对应定理）设w=f(z)在单连通区域D内解析，在D上连续，且 把区域D的边界C保持相同绕行方向、一一对应地映射为单连通区域G的边界 Γ，则w=f(z)将D共形映射为G.
即在区域
复变函数第六章.ppt
6.2.1 函数的卷积
定义6.1 设函数 f1(t) 和 f2(t ) 都是(,)上的 绝对可积函数, 积分
f1( x) f2(t x)dx
称为函数 f1(t)和 f2(t ) 在区间(, )上的卷积. 记 为 ( f1 f2 )(t ) 或 f1(t ) f2(t )f1 f2 )(t) f1( x) f2(t x)dx.
设 de ( x)是当 x
0 时,
lim
e 0
d
e
(
x)
0,
在(, )
上可积的函数，并且对任何无穷可微的函数f (x), 有
lim
e 0
de ( x) f ( x)dx
f (0).
特别地，当 f ( x) 1 时，
lim
e 0
de ( x)dx 1.
满足这些条件的函数 de ( x)称为d 逼近函数. d 函
这是 [0,)上的卷积公式.
例6.1 求 f1(t) t 和 f2(t ) sin t 在 [0,)上的 卷积.
解 由 [0,)上的卷积公式
f1(t ) f2(t ) t sin t
t
0 x sin(t x)dx
x cos(t x) t
t
cos(t x)dx
0
0
t sin t.
卷积具有下面一些性质(这里假定所有的广义 积分均收敛, 并且允许积分交换次序):
(1) 交换律 f1(t ) f2(t ) f2(t ) f1(t ).
证明 由卷积的定义
f1(t ) f2(t ) f1( x) f2(t x)dx.
令 t x u, 则 dx du, 并且
f1(t ) f2(t ) f2(u) f1(t u)du
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
西安交大复变函数课件6-6施瓦茨-克里斯托费尔映射(Schwarz-christoffel
w Kt c
1 2 n 1 1 1 π (z x2 ) π (z xn ) π dz ( z x1 )
t
即
dt dz
1
( z x1 )
π
1
2
(z x2 )
π
1
n
(z xn )
π
1
.
9
上式表示把 z 平面上的上半平面映射成 t 平
v
y 3 4 y
2 4
y
等位线 电力线
x 1
O
x 0 x 1 2
u
说明：此问题也可看成由两条半直线构成的开口 槽中流体的流线与等位线的分布情形, 此时图中 的等位线变为流线, 而电力线变为等位线.
24
四、小结与思考
施瓦兹-克里斯托费尔公式是反映上半平面
到多角形区域的映射公式. 它的实际应用比较困
K arg x 4 .
14
因 K 不能为 0 ,
所以 x 4 1 ,
且 x 4 1 时与前式矛盾 所以 x 4 1 , K 1 , 于是所求映射为
, 舍去 .
w ln z .
15
例2 求把左图区域映射成右 点如图示.
C
B
图区域的映射
, 对应
解
1
(w )
2 0
.
Ak 1
Ak ( )
.
Ak 1
规定:
在无穷远点 A k 处两条射线的
Ak ( )
交角等于它们的反
1.
11
向延长线在有限远交点
A 处的交角乘以
三、应用举例
例1 求把上半平面 Im( z ) 0 映射成带形域
1 2 n 1 1 1 π (z x2 ) π (z xn ) π dz ( z x1 )
t
即
dt dz
1
( z x1 )
π
1
2
(z x2 )
π
1
n
(z xn )
π
1
.
9
上式表示把 z 平面上的上半平面映射成 t 平
v
y 3 4 y
2 4
y
等位线 电力线
x 1
O
x 0 x 1 2
u
说明：此问题也可看成由两条半直线构成的开口 槽中流体的流线与等位线的分布情形, 此时图中 的等位线变为流线, 而电力线变为等位线.
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四、小结与思考
施瓦兹-克里斯托费尔公式是反映上半平面
到多角形区域的映射公式. 它的实际应用比较困
K arg x 4 .
14
因 K 不能为 0 ,
所以 x 4 1 ,
且 x 4 1 时与前式矛盾 所以 x 4 1 , K 1 , 于是所求映射为
, 舍去 .
w ln z .
15
例2 求把左图区域映射成右 点如图示.
C
B
图区域的映射
, 对应
解
1
(w )
2 0
.
Ak 1
Ak ( )
.
Ak 1
规定:
在无穷远点 A k 处两条射线的
Ak ( )
交角等于它们的反
1.
11
向延长线在有限远交点
A 处的交角乘以
三、应用举例
例1 求把上半平面 Im( z ) 0 映射成带形域
工程数学《复变函数》(第四版)课件 2-1,2 西安交大
例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：
1 z; 2 f z e x cos y i sin y ; 3 z Rez .
解 1 x iy
u v 1, 1 x y
u v x y
所以函数在复平面内处处不可导，处处不解析。 13
z x iy, ( z x iy )
2 定义是指在点可导的概念，如果f z 在区域 D内处处 可导，则称 f ( z ) 在D内可导。 例1 求f z z 2的导数 . 解
2 f z z f z z z z 2 lim lim 2 z z lim z 0 z 0 z 0 z z
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
第二章 解析函数
§1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数
f z 在x iy可导可微
？
u x, y ，v x, y 在 x, y 可微.
f z u x, y iv x, y
2
§1 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1 导数
, 定义 设函数 w f z 定义于区域 D, z0为D中的一点
z0 z点不出 D的范围 , 如极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 存 在, z 0 z
则称 f ( z )在 z0可导, 这个极限值称为 f ( z )在 z0的导数。
9
由于k的任意性 , 得
hz0 z hz0 当z 0时,比 值 的极限不存在 . z
hz z 仅在z 0处可导 , 而在其他点都不可导 .
2
所以
hz z 在复平面内处处不解析
1 z; 2 f z e x cos y i sin y ; 3 z Rez .
解 1 x iy
u v 1, 1 x y
u v x y
所以函数在复平面内处处不可导，处处不解析。 13
z x iy, ( z x iy )
2 定义是指在点可导的概念，如果f z 在区域 D内处处 可导，则称 f ( z ) 在D内可导。 例1 求f z z 2的导数 . 解
2 f z z f z z z z 2 lim lim 2 z z lim z 0 z 0 z 0 z z
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
第二章 解析函数
§1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数
f z 在x iy可导可微
？
u x, y ，v x, y 在 x, y 可微.
f z u x, y iv x, y
2
§1 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1 导数
, 定义 设函数 w f z 定义于区域 D, z0为D中的一点
z0 z点不出 D的范围 , 如极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 存 在, z 0 z
则称 f ( z )在 z0可导, 这个极限值称为 f ( z )在 z0的导数。
9
由于k的任意性 , 得
hz0 z hz0 当z 0时,比 值 的极限不存在 . z
hz z 仅在z 0处可导 , 而在其他点都不可导 .
2
所以
hz z 在复平面内处处不解析
工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-6 西安交大
z → z0
如果 f ( z )在区域D内处处连续，那么就说 f ( z )在D内连续。
2 两个定理： 定理三
f z u x, y iv x, y 在z0 x0 iy0处连续
u x, y , v x, y 在 x0 , y0 处连续
定理四
f z gz0 0在z0处 连 续. f z gz , f z gz , g z 2 h gz 在z0处连续 , w f h在h gz0 处连续
[证法2] 令z r cos i sin , 则f z
r cos cos . r 让z沿不同射线 arg z 趋于零时， f ( z )趋于不同的值 .
z 0
lim f z 不存在.
4
二、函数的连续性
1 定义：如果 lim f ( z ) = f ( z0 )，那么就说 f ( z ) 在 z 0 处连续。
1 f z , gz 在z0处连续
w f gz 在z0处连续 .
5
3 结论：
① 有理整函数(多项式) w Pz a0 a1 z a2 z 2 an z n 对复平面内所有的z都是连续的. ② 有理分式函数 w
P z [P(z),Q(z)为多项式] Q z
6
作业：教材P34 31
7
z z0
2 lim f z g z AB;
f z A 3 lim B 0 z z 0 g z B
z z0
3
Rez 例 证明函数 f z 当z 0时的极限不存在 . z x [证法1] 令z x iy, 则f z 2 2 x y x u x , y , v x, y 0. 2 2
如果 f ( z )在区域D内处处连续，那么就说 f ( z )在D内连续。
2 两个定理： 定理三
f z u x, y iv x, y 在z0 x0 iy0处连续
u x, y , v x, y 在 x0 , y0 处连续
定理四
f z gz0 0在z0处 连 续. f z gz , f z gz , g z 2 h gz 在z0处连续 , w f h在h gz0 处连续
[证法2] 令z r cos i sin , 则f z
r cos cos . r 让z沿不同射线 arg z 趋于零时， f ( z )趋于不同的值 .
z 0
lim f z 不存在.
4
二、函数的连续性
1 定义：如果 lim f ( z ) = f ( z0 )，那么就说 f ( z ) 在 z 0 处连续。
1 f z , gz 在z0处连续
w f gz 在z0处连续 .
5
3 结论：
① 有理整函数(多项式) w Pz a0 a1 z a2 z 2 an z n 对复平面内所有的z都是连续的. ② 有理分式函数 w
P z [P(z),Q(z)为多项式] Q z
6
作业：教材P34 31
7
z z0
2 lim f z g z AB;
f z A 3 lim B 0 z z 0 g z B
z z0
3
Rez 例 证明函数 f z 当z 0时的极限不存在 . z x [证法1] 令z x iy, 则f z 2 2 x y x u x , y , v x, y 0. 2 2
复变函数 复习课件 西安交大第四版
本文详细讲解了复变函数中的几个重要知识点，包括复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式。复合闭路定理涉及多连通域内的简单闭曲线，通过该定理可以计算某些复变函数沿闭路的积分。柯西积分公式则提供了计算解析函数沿闭路积分的方法，并给出了解析函数的一个积分表达式，是研究解析函数的有力工具。高阶导数公式描述了解析函数的导数的计算方法。此外，还探讨了与C-R方程相关的知识点，包括充要条件和充分条件。充要条件指出，若复函数在某区域内可导，则其必须满足C-R方程。而充分条件则提供了判断复函数是否可导的一种依据。这些知识的性质和应用。
西安交通大学复数与复变函数教学PPT
共轭复数运算的性质
3). z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
4). z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
西安交通大学
记
C={z | z=x+iy, x, y R }
y y
复数域
z x iy
P ( x, y)
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
例5. 用复数方程表示曲线：
1). ( x 1) 2 ( y 2) 2 4 2). y 5
解： ( x 1)2 ( y 2)2 | x 1 i ( y 2) |2 | z (1 2i ) |2 1） 所以，1）的方程为 或 z (1 2i ) 2e i , ( ) | z (1 2i ) | 2 2）
西安交通大学
4. 体现数学之美
简明 深刻
和谐
第一章 复数与复变函数
§1.复数及其运算
西安交通大学
1.复数
( x 2 1 0) 虚数单位： i 1 x, y 为实数 复数：z = x+iy, x =Re(z), z 的实部 y =Im(z), z 的虚部
z的共轭复数： z x iy
x(10 x ) 40
得到 x 5 15, 5 15 很长一段时间内不被人们所理睬。 令人困惑，250年几乎没有进展。
复变函数(西交大)第六讲共49页
ENDቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
复变函数(西交大)第六讲
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
工程数学《复变函数》(第四版)课件 3-6,7 西安交大
2
f z 0 z f z 0 z
1 f z 1 f z dz dz 2i C z z0 z 2i C z z0 z
1 f z f z dz 2iz C z z0 z z z0
13
例2 已知调和函数 v e x y cos y x sin y x y， 求一个解析函数 f z u iv，使 f 0 0.
v v u u 解一 du dx dy dx dy x y y x
e x cos y y sin y x cos y 1 dx
证毕
注 公式 f
n
n! z0 2i
C
f z dz 常用作求积分： n1 z z0
n
C
f z 2i dz f n1 n! z z0
z0
5
C为正向圆周： z r 1. 例1 求下列积分的值，其中
cos z 1 dz; 5 C z 1
11
v 6 yx y , 两边对y求导数，有 y
代入⑵，得 6 xy 6 yx y y 0 y c
v 3 y 2 x x 3 c
f ( z) y3 3 x 2 y i 3 y2 x x 3 c
2 u 2 u u u v v 2 0 2 x y x x y y x y y x 9
定义 若调和函数 u、v， 满足
iz 3 c
法3（不定积分法）
f z
f z 0 z f z 0 z
1 f z 1 f z dz dz 2i C z z0 z 2i C z z0 z
1 f z f z dz 2iz C z z0 z z z0
13
例2 已知调和函数 v e x y cos y x sin y x y， 求一个解析函数 f z u iv，使 f 0 0.
v v u u 解一 du dx dy dx dy x y y x
e x cos y y sin y x cos y 1 dx
证毕
注 公式 f
n
n! z0 2i
C
f z dz 常用作求积分： n1 z z0
n
C
f z 2i dz f n1 n! z z0
z0
5
C为正向圆周： z r 1. 例1 求下列积分的值，其中
cos z 1 dz; 5 C z 1
11
v 6 yx y , 两边对y求导数，有 y
代入⑵，得 6 xy 6 yx y y 0 y c
v 3 y 2 x x 3 c
f ( z) y3 3 x 2 y i 3 y2 x x 3 c
2 u 2 u u u v v 2 0 2 x y x x y y x y y x 9
定义 若调和函数 u、v， 满足
iz 3 c
法3（不定积分法）
f z
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2 2
x2 y2 0
即（ 0)
则称(x, y)为D内的调和函. 数
定理 若f(z)u(x,y)iv(x,y)在区D域 内解析 uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函数
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 由 CR 方 程 uv uv
x y y x 从而 x 2u 2有 y2 vx y 2u 2 x2 vy
x2 y2
分
2dxyd( )
22
法
v(x,y)x22x yy2c
2
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
其中c 为任意实的常数
又解 v2xy v2x yy2(x)
y
2
vu
v2y'(x)
x y
2yx
偏
x
积
'(x)x
(x)
x2 2
c
分
法
v(x,y)2x yy2x2c
定义 设u(x,y)为D内的调和 ,称函 使u数 得 iv 在D内构成解析函 函数 数 v(x,的 y)为 调 u(x,和 y) 的共轭调. 和函数
上面定理说明：
D内解析函数的虚 部部 的是 共实 轭调.和
即, f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内解 析 在D内v(x, y)必 为 uu(x, y)的 共 轭 调.和 函 由解析的概念得：
(x ,y )
v (x ,y ) (2 y x )d x (2 x y )d y c
y
(0 ,0 )
(x,y) 0x x
0 x xd 0 y ( x 2 xy)d y c
x2
y2
2xy c
2
2
曲线积分法
其中c 为任意实的常数
故 f(z)(x2y2x)yi(1x22xy1y2c)
2
2
(xiy)2i(xiy)2ic(11i)z2ic
在 D内满 C足 R方程 :uxvy,uy vx的两个 调和u 函 ,v,v数 必u 为 的共轭调 . 和函 现在研究反过来的问题：若u,v是任意选取的 区域 D内的两个调,和 则u函 i数 v在D内就不 一定解. 析
如 尽管 uxy与vxy都是调和函数 但vxy不是 uxy的共轭调和 . 函
（ f(z)uiv(xy)i(xy)在 z平 面 上 处 处 不 ux解 1vy析 uy1vx)
uiv在 D内解 . 析
定理 设u(x, y)在单连D通 内调和函 , 数 则()式所确定 v(x的 , y),使得 f(z)uiv在D内解.析
(x ,y)
v(x ,y )
( u d x u d) yc
( )
y (x 0,y 0) x
公式不用强记！可如下推出：
已知u： (x, y),求其共轭调和 v(x,函 y) 数 由 d v x vd x v ydC y R 方 程 u yd xu xdy
第六讲 解析函数与调和函数的关系
§3.7 解析函数与调和函数的关系
内容简介
在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。
定义 若二元实变函(数 x, y)在D内具有二阶连
续偏导数且满LBiblioteka 足plac方e 程:22
其中c 为任意实的常数
一般,若已知实部u,则
f( z ) u x iy u U ( z ) f ( z ) U ( z ) d iz c
其中c 为任意实的常数
若已知虚部v,则
函数 ,则x2u2 y2u2 0
即, u、u在D内有连续一阶偏导数 y x
且 (u)(u) y y x x
v x
dx
v y
dy
udx y
u v x d y
dv(
x,
y)
(x ,y)
v(x ,y )
( u d x u d) yc
( )
y (x 0,y 0) x
vu vu满足 CR方程 . x y y x
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
设D一单连通,u(区 x,y域 )是区D域 内的调和
22
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
其中c 为任意实的常数
又解 f'(z)u xix vu xiu y
(2 xy) i(x 2 y)
不
2 (xi)yi(xi)y
定
(2i)x (iy)
积
2iz
分
f(z)2i z2ic
法
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
然 后 两 端 v积 ((xx0,,yy)0分 )(uy得 dx u， xd)yc
如已知v(： x, y),也可以求其调u和 (x, y函 ) 数
由 d u ud x udC y R 方 程 vd x vdy
x y
y x
类似地， 然后两端积分得，
(x ,y)
u (x ,y)(x 0,y0)(vyd x vxd)y c ()
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。
例1 由下列条件求解f析 (z)函 u数 iv
u x2 xy y2
f (i) 1i
解 v u2xy v u2yx
y x
x y
d v vd x vd y (2yx )d x (2 xy)dy x y
由 解 析 函 数 高理阶 u导 (x, y数 ),v(定 x, y) 具有任意阶的. 连 续 2v 导 2v数
xy yx
故D 在 内有 x2u 2y2u 2 0, 同 理 有 x2v2 y2v2 0
即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:
u0,
v0
其
中
2 x2
2 y2
uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函
2
2
f(i)1i 代入上式(1得 i， )i2ic1i 2
c1,即 f(z)(1i)z2i
2
22
x1(zz), y1(zz)
2
2i
或x令 0,y1代f(入 z)1i(1c)1i
也可得c 1
2
2
又解 dvvdxvdy
x y
由 C R 方 程
凑
(2yx)d x(2xy)dy 全
2yd 2 x xd xyd yxdy 微