如何理解线性赋范空间、希尔伯特空间, 巴拿赫空间,拓扑空间

注意：可以简单的看成到零点距离多了（2）；所以范数就是一个更加具体的距离！！！ 我们接下来，有两个方向可以走，一个是在距离上面加东西，让距离更加具体化，另一种 是在距离上减东西，让距离更加抽象画，像范数就是让距离更加具体化了 所以 范数有如下情况：
注意：
由范数可以定义距离：
d(x, y) = | | x − y | |
√ d1(x, y) = (x1 − y1)2 + . . . + (xn − yn)2 情形2： 情形 ： d2(x, y) = max{ | x1 − y1 | , . . . , | xn − yn | }
3 d3(x, y) = | x1 − y1 | + | xn − yn |
其中d1是最常见的也就是中学所学的距离，而d3 则是天安门图中从A到B的距离 ###（曲线的距离）
赋予范数或者距离的集合分别称为：赋范空间和度量空间 若在其上再加上线性结构称为：线性赋范空间和线性度量空间
那么，我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么？ 答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念，从前面的定义中我们无法退出角度。所 以，我们才有了接下来的内容。
内积空间
赋范空间有向量的模长，即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角，为 了克服这一缺陷，我们引入：内积 定义：
赋线空范性间空度，间量拓，空扑度间空量，间空希如间尔何，伯不线特被性空他赋间们范，吓空到巴间？拿，赫 函数空间
一、问题的提出
在微积分中可以定义极限和连续，依赖于距离 那么，什么是距离呢？ 通俗的看法，大家都认为距离就是所谓的直线
但是，在这张图中，我们如何衡量两点之间的距离？ 因为地球仪上不能画直线，所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲 线作为距离 再来看一张图
设 (x, y) ∈ R ， 且 满 足 ：
（1） 对 称 性 ；
（2） 对 第 一 变 元 的 线 性 性 ；
（3） 正 定 性 ；
则称(x, y) 为内积 所以内积又是比范数更加具体的东西，因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是 内积是线性性的充分条件【A­>B，B不能­>A就称为A是B的充分条件；类似的，B­>A,A不 能­>B，则称A是B的必要条件】 举个栗子： 我们可以把内积定义为：(x, y) = ∑Ni=1xiyi 也可以定义为：(f, g) = ∫∞0 f(x)g(y)dx 所以：内积可导出范数 | | x | | 2 = (x, x); 在线性空间上定义内积；其空间称为内积空间； 内积可在空间中建立 欧几里得空间学，例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几 里得空间。 所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间 接下来，我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西
定义范数
定义：设
| |x| | 是 Rn 的 范 数
Байду номын сангаас
若满足：
(1) | | x | | ≥ 0, ∀x ∈ Rn; | | x | | = 0 ↔ x = 0; (2) | | αx | | = | α | | | x | | , ∀α ∈ R, x ∈ Rn; (3) | | x + y | | ≤ | | x | | + | | y | | , ∀x, y ∈ Rn
从A到B的距离又是多少呢？ 显然不能计算直线距离，比较合理的距离，应该是走一个L字型 （这里就不画出来了...） 两个向量之间的距离又该如何定义呢？ 两条曲线之间的距离呢？
二、距离、范数
（向量的距离）
到 的距离 x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) 情形1：
但由距离不一定可以定义范数，例如： 但 | | x | | = d(0, x), | | αx | | = d(0, αx) ≠ | α | | | x | | ,
所以，一旦定义了抽象的距离，我们就必须习惯用定义去证明对错，而不能用中学的距 离，来进行判断。
赋范空间、度量空间、线性赋范空间、线性度量空间
注意这里只能取最大值，不能取最小值。一旦取了最小值，则任意两个有交点的曲线的距 离都为0，显然，这样是有问题，所以只能去最大值
定义距离
看了那么多距离，我们如何定义呢？
则称d(x, y)是这两点之间的距离。
线性空间
有向量的加法和数乘 满足： 1. 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w； 2. 向量加法交换律：v + w = w + v； 3. 向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 ，0 ∀ v ∈ V , v + 0 = v； 4. 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0； 5. 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w； 6. 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v； 7. 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = ； (ab)v 8. 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。
内 积 空 间 + 完 备 性 → Hilbert 空 间
线 性 赋 范 空 间 + 完 备 性 → 空 Banach 间
那么什么是完备性呢？
简单的说就是空间在极限运算中，取极限不能跑出去。所以，显然有理数集，无理数集不 具有完备性。实数集具有完备性 ##拓扑空间 我们向更加抽象的地方走。 欧几里得几何学需要内积，但连续的概念不需要内积，甚至不需要距离。 例如：社交圈的描述；学号的指定是“连续”的； 所以所谓的拓扑空间实际上就是个圈子。 总结：任何空间，你永远问两件事：1.元素是什么 2.规则是什么；知道这两个就知道怎么 描述一个空间。 所以最后的总结： 范数可以定义为“强化”了的距离； 内积是较距离和范数有更多内涵； 拓扑是“弱化”了的距离；