如何理解线性赋范空间、希尔伯特空间, 巴拿赫空间,拓扑空间
集合的Banach空间与Hilbert空间
集合的Banach空间与Hilbert空间1. 集合的Banach空间定义：Banach空间是一个完备的赋范线性空间，即一个具有范数的线性空间，并且该范数满足完备性。
换句话说，Banach空间是一个具有范数的线性空间，其中任何柯西序列都收敛到空间中的一个元素。
例子：•实数空间ℝ是一个Banach空间，其中范数就是绝对值。
•复数空间ℂ是一个Banach空间，其中范数就是模。
•函数空间C[a,b]是一个Banach空间，其中范数就是函数在区间[a,b]上的最大值。
•平方可积函数空间L2[a,b]是一个Banach空间，其中范数就是函数在区间[a,b]上的平方可积。
2. 集合的Hilbert空间定义：Hilbert空间是一个完备的内积空间，即一个具有内积的线性空间，并且该内积满足完备性。
换句话说，Hilbert空间是一个具有内积的线性空间，其中任何柯西序列都收敛到空间中的一个元素。
例子：•实数空间ℝ是一个Hilbert空间，其中内积就是点积。
•复数空间ℂ是一个Hilbert空间，其中内积就是共轭复数的点积。
•函数空间L2[a,b]是一个Hilbert空间，其中内积就是函数在区间[a,b]上的平方可积。
3. Banach空间与Hilbert空间的区别Banach空间和Hilbert空间都是完备的赋范线性空间，但它们之间存在一些区别。
•内积： Hilbert空间具有内积，而Banach空间不具有。
内积使Hilbert空间具有几何性质，例如正交性、投影等。
•正交性：在Hilbert空间中，两个向量正交当且仅当它们的内积为零。
正交性在Hilbert空间中非常重要，它可以用来定义正交子空间、投影等概念。
•投影：在Hilbert空间中，可以将一个向量投影到另一个向量上。
投影可以用来分解向量、求解方程等。
4. Banach空间与Hilbert空间的应用Banach空间和Hilbert空间在数学和物理学中都有广泛的应用。
3.1 赋范线性空间和Banach空间
第3章 赋范线性空间3.1 赋范线性空间和Banach 空间3.1.1 赋范线性空间定义3.1.1 (范数，赋范线性空间) 设X 为是实（或：复）数域F 的线性空间，若对x X ∀∈，存在一个实数x 于之对应，且满足下列条件：(1) 0≥x ; 且0=x ⇔=0x ； （非负性 (non-negativity)）(2) αα=x x ，α∈F ； （正齐（次）性 (positive homogeneity)） (3) +≤+x y x y ，,X ∈x y ； （三角不等式(triangle inequality)） 则称x 为x 的范数(norm)，称(,)X ∙（或：X ）为赋范线性空间(normed linear space)，简称赋范空间(normed space).例3.1.1 空间[,]C a b 是闭区间[,]a b 上的连续函数全体所成的线性空间。
对[,]f C a b ∀∈，规定[,]max ()t a b f f t ∈=, (3.1.1)易证f 是f 的范数，则[,]C a b 按上述范数成为赋范线性空间。
例 3.1.2 设[,]a b L 是闭区间[,]a b 上的Lebesgue 可积函数全体所成的线性空间。
对[,]f a b ∀∈L ，规定()d baf f t t =⎰, (3.1.2)若将在[,]a b 上满足()()f t g t ∙=的两个函数,f g 视为同一个函数，即将在[,]a b 上满足()0f t ∙=的函数f 视为恒等于零的函数，即0f =，则在[,]a b L 上，f 是f 的范数，从而[,]a b L 按上述范数成为赋范线性空间。
例 3.1.3 在n 维实向量空间n R 或n 维复向量空间（称为酉空间）n C 中，对12(,,,)n n x x x x ∀=∈R （或n C ），令1221ni i x x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑， (3.1.3)或11ni i x x ==∑ 或 21m a x i i nx x ≤≤=,它们都是x 的范数，称(3.1.3)中的范数为Euclidean 范数，n R 按范数(3.1.3)所得到的赋范线性空间称为Euclidean 空间。
数值分析(02)线性空间与赋范线性空间
Ｒｍ×ｎ（Ｃｍ×ｎ）：实数域（复数域）上所有ｍ×ｎ矩
阵的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘， 构成线性空间；
P[x]n：实数域上所有次数≤ｎ的多项式。按多项式加法和 数乘多项式定义加法和数乘，构成线性空间。但次数＝ｎ 的多项式全体不能构成线性空间； P[x]：实数域上多项式全体.按多项式加法和数乘多项式法 则构成线性空间；
代数运算的八条规则 设 , , V ; , F (1) ; ( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有 0 ; (4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 0; (5) 1 ; (6) ;
验证：R
mn
中任意两个矩阵定义矩阵的“加法”
和“数乘”运算，且封闭
即：A (aij )mn R mn , B (bij )mn R mn 加法 A B (aij bij )mn R mn 数乘 A ( aij )mn R mn , R mn 所以R 是线性空间。
Ｃ［a，ｂ］：区间［a，ｂ］上一元连续函数的全体。是 Ｒ上的线性空间,因为两个连 续函数之和以及实数ｋ与连续函数乘积仍是连续函数； Ｃｎ［a，ｂ］：类似于Ｃ［a，ｂ］，在区间［a，ｂ］上 ｎ阶连续可微的一元函数全体.构成Ｒ上的线性空间。
线性空间的判定方法
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 m n矩阵，对矩阵的加法 n 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 R m．
x 为行向量 , 向量的“维”是指向量 所含 分量的个数 .
T
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类 事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间， 进而通过研究线性空间来解决实际问题．
希尔伯特空间入门
希尔伯特空间入门希尔伯特空间是数学中的一个重要概念，它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的。
希尔伯特空间是一种具有内积的完备线性空间，它在数学分析、量子力学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍希尔伯特空间的基本概念、性质以及一些常见的例子。
一、希尔伯特空间的定义希尔伯特空间是一个向量空间，它具有内积的结构。
设H是一个实数域或复数域上的向量空间，如果在H上定义了一个满足以下条件的二元运算（内积）<x, y>，则称H为希尔伯特空间：1. 对于任意的x, y∈H，有<x, y>=<y, x>（对称性）；2. 对于任意的x, y, z∈H和任意的实数a，有<a*x+y, z>=a<x,z>+<y, z>（线性性）；3. 对于任意的x∈H，有<x, x>≥0，并且当且仅当x=0时，<x, x>=0（正定性）。
二、希尔伯特空间的性质1. 希尔伯特空间是一个完备的度量空间。
这意味着在希尔伯特空间中，任意一个柯西序列都收敛于该空间中的一个元素。
2. 希尔伯特空间中的范数可以由内积来定义。
对于任意的x∈H，定义||x||=√<x, x>，则||x||是H上的一个范数。
3. 希尔伯特空间中的向量可以进行正交分解。
设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果<x, y>=0，则称x和y是正交的。
4. 希尔伯特空间中的向量可以进行投影分解。
设H是一个希尔伯特空间，x, y∈H，如果y是x的一个投影，则y是x在H上的正交投影。
三、希尔伯特空间的例子1. 有限维希尔伯特空间：设V是一个n维向量空间，定义内积为<x, y>=x1y1+x2y2+...+xnyn，则V是一个希尔伯特空间。
2. L2空间：L2空间是所有平方可积函数的集合，定义内积为<f,g>=∫f(x)g(x)dx，则L2空间是一个希尔伯特空间。
函数分析中的巴拿赫空间与算子理论
巴拿赫空间是函数分析中的重要概念，与算子理论密切相关。
本文将从巴拿赫空间的定义和性质入手，介绍巴拿赫空间在算子理论中的应用。
首先，我们来了解一下巴拿赫空间的概念。
巴拿赫空间是一种完备的赋范空间，它的一个重要特点是任何一个柯西序列都在该空间中收敛。
一个赋范空间被称为巴拿赫空间，是指其上的每一个柯西序列都能收敛于该空间中的某个元素。
巴拿赫空间的概念最早由斯蒂凡·巴拿赫在20世纪初引入，并由此奠定了函数分析的基础。
巴拿赫空间的特性使得它在算子理论中具有广泛的应用。
其中一项重要的应用是对于线性算子的定义域的描述。
对于给定的线性算子，它的定义域可以是一个巴拿赫空间。
定义域是指使得算子在该空间中有意义的所有元素的集合。
通过巴拿赫空间的完备性质，我们可以更好地描述和研究线性算子的性质和行为。
另外，巴拿赫空间还在算子理论中的算子收敛性和算子拓扑等方面发挥着重要作用。
在巴拿赫空间上，我们可以定义不同类型的算子拓扑，如弱拓扑和强拓扑。
这些拓扑给予了巴拿赫空间上的算子收敛的不同定义，从而更好地描述了算子在巴拿赫空间中的收敛性质。
通过对拓扑的分析，我们可以得到算子序列的极限行为和收敛性质，对于算子的研究和应用具有重要意义。
最后，巴拿赫空间在算子理论中的应用还体现在函数逼近和泛函分析方面。
巴拿赫空间上的函数逼近是指通过一系列基本元素（也称为基底）来逼近一个未知函数。
通过基底的选择和逼近方法的设计，我们可以得到对于需要逼近的函数足够接近的近似函数。
这对于实际问题的求解和函数的近似具有重要意义。
泛函分析是研究巴拿赫空间上的泛函的理论和方法。
泛函是一类对于函数或者函数序列的函数，通过泛函分析，我们可以研究泛函的性质和应用，为函数的分析和求解提供更多的工具和理论支持。
综上所述，巴拿赫空间在函数分析中具有重要的地位和作用。
它的完备性质使得其在算子理论中有广泛的应用，可以描述线性算子的定义域和收敛性质。
巴拿赫空间上的算子拓扑和收敛性研究对于算子的行为和性质具有重要意义。
函数分析中的Hilbert空间和Banach空间
函数分析是现代数学的一个重要分支，它研究的是函数空间及其中函数的性质。
在函数分析中，Hilbert空间和Banach空间是两个非常重要的概念。
本文将介绍Hilbert空间和Banach空间的定义及其在函数分析中的应用。
首先，让我们来了解一下Hilbert空间。
Hilbert空间是由一个内积所赋予的完备性质的向量空间。
对于一个Hilbert空间，我们可以定义内积运算，并且该向量空间在内积的度量下是完备的，也就是说，任一柯西序列都有极限。
Hilbert空间的内积具有线性性、对称性和正定性等性质，同时满足柯西-施瓦茨不等式和三角不等式。
经典的例子包括欧几里得空间，即n维实数向量空间R^n。
Hilbert空间在函数分析中有着广泛的应用。
例如，存在一个重要的表示定理，称为Reisz表示定理，它指出每一个有界线性泛函都可以用内积表示。
这个定理在函数分析的研究中起到了关键的作用，为研究函数空间中的函数提供了重要的工具。
接下来，让我们来了解一下Banach空间。
Banach空间是一个完备的赋范向量空间，也就是说该向量空间中的每一个柯西序列都有极限。
与Hilbert空间不同的是，Banach空间中没有内积结构，而是通过范数来定义空间中向量的大小。
范数具有非负性、齐次性和三角不等式等性质。
经典的例子包括连续函数空间C[0,1]和Lp空间。
Banach空间在函数分析中也有着重要的应用。
特别是在函数空间的研究中，Banach空间提供了非常有力的解析工具。
例如，通过引入范数的概念，我们可以定义连续函数的收敛性和一致连续性，并研究它们的性质。
此外，Banach空间上的算子理论也是函数分析中的重要研究内容，它包括线性算子、有界算子、紧算子等的定义和性质。
总结起来，Hilbert空间和Banach空间是函数分析中两个非常重要的概念。
Hilbert空间通过内积结构提供了一种自然的度量方式，并且有着重要的表示定理。
而Banach空间则通过范数结构定义了向量的大小，并且在函数空间的研究中起到了关键作用。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函中三大定理的认识
泛函中三大定理的认识泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。
其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。
另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。
1、Hahn-Banach 延拓定理定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足：(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) XGF f=；其中XF表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；Gf 表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ?，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ?→满足(1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子，则称T 为正则算子(normal operator)．注：①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质1 若T ：()G X Y ?→是线性算子，则1T -是线性算子．证明：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--1212()y y y y αβαβ=+--0=由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．例1 设线性赋范空间X 上有两个范数1?和2?，如果1(,)X ?和2(,)X ?均是Banach 空间，而且2?比1?强，那么范数1?和2?等价．(等价范数定理)证明：设I 是从由2(,)X ?到1(,)X ?上的恒等映射，由于范数2?比1?强，所以存在0M >，使得x X ?∈有112Ix x M x=≤于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ?∈有1212I xx M'x -=≤．故范数1?和2?等价。
泛函分析
试述Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间的概念及空间之间的关系摘要:本文介绍了Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间的概念，通过一些典型例题论述它们空间之间的关系。
关键词:Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间每一个内积空间是赋范空间.我们称完备的内积空间为Hilibert 空间..一个内积空间必是一个赋范空间.反之,,每一个赋范空间都可以引进一个内积,使得由这个内积产生的范数是原来的范数,其中范数要满足平行四边形则.Hilbert space 是完备的线性赋范空间（Banach space ）的一个特例.一、Hilbert 空间有穷维线性空间可以引进各种种范数使它成为bananch 空间，但是通常欧式空间的一个重要特性是它上面定义了内积，借助于内积就可以定义向量的长和两个向量的正交性。
我们把这种方法推广到无穷维空间的情形，在下面里，我们引进内积空间Hilbert 空间的概念。
设H 是域K 上的线性空间，任意H y x ∈,,有一个K 中数(x,y)与之对应，使得对任意K a H z y x ∈∈,,,满足：⑴正定性：()(),0,;0,=≥x x y x 当且仅当;0=x⑵共轭对称性：()();,,x y y x =⑶对第一变元的线性性：()();,,y x a y ax =()()().,,,z y z x z y x +=+称（ ， ）是Ｈ上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
从定义可以看出，内积()y x ,对于每一H y ∈，是H 上的一个线性泛函；当C K =时，对于每一H x ∈，()y x ,是H 上的一个共轭线性泛函，即它是可加的并且是共轭齐次的：()().,,y x a ay x =定理 1.1.1（Schwarz 不等式） 设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有()()().,,,2y y x x y x ≤称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的.我们称完备的内积空间为Hilbert 空间.例1.1.1 n R 是（实）Hilbert 空间.在定义n R 中定义()k nk k y x ηξ∑==1, {}{}().,n k k R y x ∈==ηξ不难验证，（ ， ）是一个内积，且由这个内积产生的范数为2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n k x ξ {}().n k R x ∈=ξ因此n R 是Hilbert 空间.例1.1.2 ]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间与2l 类似，由Holder 不等式，对任意]2,,x y L a b ⎡∈⎣，()()112222,(())(())b b b aa a x t y t dt x t dt y t dt ≤⎰⎰⎰ 在]2,L ab ⎡⎣上定义内积()()(),ba x y x t y t dt =⎰ 有这个内积产生的范数为122(())b ax x t dt =⎰ 由此可知]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间定理1.1.2 设H 是内积空间，则内积()y x ,是x,y 的连续函数，即当()().,,,,y x y x y y x x n n n n →→→时，定理1.1.3 设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，1）平行四边形法则： ()22222y x y x y x +=-++；2）极化恒等式：()()222241,iy x iy x i y x y x y x --++--+=.注：若赋范线性空间X 的范数不满足平行四边形公式，则X 不能成为内积空间。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析简介
泛函分析曾远荣，我国泛函分析第一代数学家泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。
是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
目录什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息展开编辑本段什么是泛函分析泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
编辑本段赋范线性空间概况 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
这类空间是量子力学数学描述的基础。
更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
泛函中四大空间
泛函中四大空间的认识第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。
在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。
范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。
在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。
赋范线性空间和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。
赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。
完备的赋范线性空间是Banach 空间。
赋范线性空间的性质类似于熟悉的n R ，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于n R 。
赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。
在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。
特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。
任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性空间未必是内积空间。
距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于n R 的空间结构。
事实上，n R 上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。
但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。
内积空间实际上是定义了内积的线性空间。
在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。
Hilbert 空间是完备的内积空间。
与一般的Banach 空间相比较，Hilbert 空间上的理论更加丰富、更加细致。
1 线性空间（1）定义：设X 是非空集合，K 是数域，X 称为数域上K 上的线性空间，若,x y X ∀∈，都有唯一的一个元素z X ∈与之对应，称为x y 与的和，记作z x y =+,x X K α∀∈∈，都会有唯一的一个元素u X ∈与之对应，称为x α与的积，记作u x α=且,,x y z X ∀∈，,K αβ∈，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律：10 x y y x +=+20 ()()x y z x y z ++=++30 在X 中存在零元素θ，使得x X ∀∈，有x x θ+=40 x X ∀∈，存在负元素x X ∀-∈，使得()x x θ+-=50 1x x ⋅=60 ()()x x αβαβ=70 ()+x x x αβαβ+=80 ()x y x y ααα+=+当K R =时，称X 为实线性空间；当K C =时，称X 为复线性空间（2）维数：10 设X 为线性空间，12,,,n x x x X ∈ 若不存在全为0的数12,,,n K ααα∈ ，使得11220n n x x x ααα+++=则称向量组12,,,n x x x 是线性相关的，否则称为线性无关。
现代分析报告基础结课作业——Hilbert空间性质介绍
Hilbert空间性质介绍摘要在这篇文章中，主要是为了介绍Hilbert空间的一些性质，并且把线性分析中各个空间的性质进行了描述，这也是为了更好的描述Hilbert空间及其性质做好基础，并且把各个空间的性质关系进行了讲述，总结了在线性分析基础这门课程中的收获与感悟。
引言学习了线性分析基础的课程之后，我对于空间的理解有个更加深刻的认识，同时也对各种空间的应用与关系有着许多的困惑与不解，老师的课程十分精彩，介绍了许多原来没有接触过的知识，同时我感觉到了线性分析基础这门课程的重要性。
在接下来的文章中，我们主要想对Hilbert空间及其性质进行介绍，在介绍Hilbert空间之前，必须把Hilbert建立的基础进行描述，甚至文章的一大部分都在描述可测空间、测度空间、赋线性空间和Banach空间等，但是这些空间的性质也在Hilbert空间中得以体现，可以认为Hilbert空间是这些空间基础上比较特殊的一类空间，它在满足这些空间所具有的性质的同时也有着自己特殊的性质以及应用。
Hilbert空间是在一个复向量空间H上的给定的积并导出一种数，如果其对于这个数来说是完备的，那么这个复向量空间就是希尔伯特空间。
这里已经说明了希尔伯特空间是一个积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念），可以根据它的特点和性质来进行扩展，得到我们想要得到的可以加以利用的空间。
另外，希尔伯特空间还是一个完备的空间。
在下面的文章中，我们将详细的对所学的知识进行整理和阐释。
关键词可测测度空间数完备性Banach空间积空间Hilbert空间1.可测空间及其性质首先我们要对拓扑空间进行一定的了解。
假设X是一个集合，如果有一个子集族，我们定义为τ，满足以下的几点性质：（1）.空集ø和集合X是在子族集当中。
（2）在这个子集族τ的元素满足交运算封闭。
(3) τ中元素族集的并运算封闭。
那么我们称τ为X上的一个拓扑，称X为拓扑空间，而τ中的元素成为拓扑的开集，在X中，如果一个集合是这个开集的余集，那么称为闭集。
巴拿赫空间，希尔伯特空间的联系和区别
巴拿赫空间，希尔伯特空间的联系和区别
柯西序列
在数学中，⼀个柯西列是指⼀个这样⼀个序列，它的元素随着序数的增加⽽愈发靠近。
更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最⼤值不超过任意给定的正的常数。
柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间(metric space)中柯西列才有意义。
在更⼀般的⼀致空间(uniform space)中，可以定义更为抽象的柯西滤⼦(Cauchy filter)和柯西⽹(Cauchy net)。
⼀个重要性质是，在完备空间（complete space）中，所有的柯西列都有极限，这就让⼈们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利⽤柯西列的判别法则证明该极限是存在的。
柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。
浅谈泛函分析中几类空间的特性及关系
理论探讨233作者简介：赵雪蕾（1991— ），女，汉族，河南商丘人。
主要研究方向：应用偏微分方程。
泛函分析(Functional Analysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间，以下重在探讨泛函分析中几类空间的特性及关系。
一、度量空间度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用，下面介绍度量空间的基本概念，以及度量空间的一些例子，研究度量空间的一些性质是必要的。
为了证明这些性质，首先介绍一下定义：定义：设X 是一个集合，若对于X 中的任意两个元素x ,y ，都有唯一确定的实数d (x ,y )与之对应，且满足下列条件：（1） 正定性：d (x ,y )≥0，d (x ,y )=0的充要条件为x =y ；（2） 三角不等式性：d (x ,y )≤d (x ,z )+d (y ,z )，则称d (x ,y )是x ,y 之间的距离，称(X ,d )为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点。
注1：三角不等式可以看作是实数集中绝对不等式x z x y y z −≤−+−的推广，同时根据度量空间的定义和对称性得出不等式：1111(,)(,)(,)(,)d x y d x y d x x d y y −≤+。
注2：对度量空间(X ,d )的任意一个子集S ，如果把d 限制在S S ×上，则S 可认为是一个度量空间，称S 为(X ,d )的子空间。
稠密性：设X 是度量空间，M 及E 是X 中的点集。
如果E 中的任意一点x 的任何邻域中都含有集M 中的点，就称M 在E 中稠密。
完备性：度量空间(X ,d )的序列{}n x 称为柯西序列，如果对于0,N N ε+∀>∃∈当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<。
称度量空间(X ,d )称为完备度量空间，如果它的每一个柯西序列在X 中收敛.紧致性：设X 是度量空间.X 称为预紧的，如果它的每一个序列都含有基本子序列；X 称为紧致的，如果X 预紧并且完备；X 的子集A 称为预紧（紧致）集，如果A 作为X 的子空间是预紧（紧致）的。
对希尔伯特空间的理解
对希尔伯特空间的理解希尔伯特空间是一种数学概念,描述了一组公理和定义,使得可以通过定义线性变换和模运算来描述空间中元素之间的关系。
希尔伯特空间的概念可以追溯到19世纪,当时数学家们开始研究空间的性质,特别是在微积分和线性代数中。
希尔伯特空间是这些领域的一个重要分支,因为它提供了一种有效的方法来定义和描述各种数学对象之间的关系。
在希尔伯特空间中,一个元素称为点,一个线性变换称为矩阵,模运算称为标量乘法。
这些概念在物理学、工程学、计算机科学和数学其他领域都有广泛的应用。
以下是一些关于希尔伯特空间的基本概念和定理:1. 希尔伯特空间的基:一个希尔伯特空间的基是指满足以下条件的元素:a. 它们都是希尔伯特空间的点;b. 对于任意的点x和y,它们的线性变换对应的矩阵的行列式都不为0;c. 对于任意的向量v和w,它们的标量乘法结果为0,即v·w=0。
一个希尔伯特空间的基是称为线性无关的,因为对于任意的向量x和y,它们都可以唯一地表示为基向量v和w的线性组合。
2. 希尔伯特空间的标量乘法:标量乘法是指将两个向量相加得到它们的和。
对于希尔伯特空间中的向量,标量乘法的定义如下:a. 两个向量v和w的标量乘法是指它们对应矩阵的行列式的乘积;b. 对于任意的向量x,它的标量乘法结果为v·x,即x·v=v·x。
希尔伯特空间的标量乘法是基本的数学运算之一,可以用于求解线性方程组和进行向量空间的推广。
3. 希尔伯特空间的线性变换:线性变换是指将一个希尔伯特空间映射为另一个希尔伯特空间的空间的变换。
线性变换的定义为:a. 一个线性变换是一个矩阵,它满足矩阵的行列式不为0;b. 对于任意的基向量,线性变换可以唯一地表示为一个由这些向量构成的矩阵的乘积;c. 对于任意的点x和y,线性变换可以将希尔伯特空间中的向量v映射为y-x,即v(y-x)。
希尔伯特空间的线性变换是空间变换的基础,它在物理、工程学、计算机科学和数学其他领域都有广泛的应用。
赋范线性空间和巴拿赫空间.ppt
(3). x y x y , x, y X, 则称 x 为向量 x 的范数, 称 x按范数 x
成为赋范线性空间.
设{ xn } 是x中的点列,如果存在 x X 使 xn x 0(n ), 则称
x {xn} 依范数收敛于
记为
xn
x(n
),或 lim n
xn
x
如果令 d(x, y) x y (x, y X ) 容易验证 d (x, y) 是x上的距离,且
性映射 和正数 c1, c2 ,使得对一切 x ,成R立
c1 x 2 x 1 c2 x 2
(R1,
x
1),(R2 ,
x
)
2
p 1 时,对任何 f , g Lp[a,b] 有
f g p
f
p
g
p
,所以 Lp[a,b] 按
f
p
成赋范线性空间.
证毕.
定理2:Lp[a,b] p 1 是Banach空间.
证明: 设{fn}是 Lp[a,b] 中柯西点列,由柯西点列的定义,存在正整数mk ,使当
n, m mk 时,成立
fn fm
0. ,必有
n
k ek
n
0.,但 k
2
1,从而1,2 ,...n 不全为0,
k 1
k 1
k 1
再由{ ek }是线性无关的,得到矛盾.这就是说 f (1,2 ,...n ) x 在S上处处不为0,
因S是 R n 中有界闭集,f在S 上取得非零的最小值 m, m 0 ,于是,对任意的x X
M ,使得 M x x M x
1
n
1
n
证明:我们记
x ( 0
k 2 ) 2 ,其中 x
数字信号处理复习笔记
数字信号处理复习笔记1、白噪声频谱为一直线，自相关函数为δ函数，各点之间互不相关2、空间的概念线性空间：即向量空间；赋范线性空间：定义了范数的线性空间；度量空间（Metric Space): 定义了距离的空间，赋范线性空间也是度量空间；内积空间：定义并满足内积性质的空间；Hilbert 空间：完备的内积空间称为Hilbert 空间3、连续系统与离散系统的描述：连续系统：微分方程，卷积，转移函数（Laplace 变换），频率响应（Fourier 变换）；离散系统：差分方程，卷积，转移函数（Z 变换），频率响应（DTFT ，DFT ）4、相关与卷积相关：两个序列的关系，求解时任一序列都不需要翻转。
卷积：描述LSI 系统的输入输出关系，求解时其中一个序列要翻转。
r xy (m)=x(-m)*y(m)5、系统的误差及实现方式对误差的敏感程度模拟信号抽样时的量化误差，系统系数量化误差，加减乘除运算过程中的舍去误差。
由于并联结构的每一个子系统都是独立的，不受其他子系统系数量化误差及乘法舍入误差的影响，因此是三种结构中对误差最不敏感的结构形式。
6、Z 平面和S 平面的主要映射关系如下：S 平面上的复变量s 是直角坐标，而Z 平面的复变量z 一般取极坐标形式S 平面的j Ω轴即虚轴映射到Z 平面的单位圆上，S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外。
当在轴上从变到的过程中，每隔，对应的从0变到，即在单位圆上饶了一周，所以有S 平面到Z 平面的映射不是单一的，这是离散信号傅里叶变换周期性的根本原因（2）基本关系是时域抽样，频域周期延拓，因此H(ejw)是H(j Ω)按照周期Ω=2п/T S 进行延拓而得到的，在延拓的过程中可能存在混叠现象。
7、DFT 与DTFT 及Z 变换的关系P1258、为什么要由DFS 过渡到DFT ？从原理上，)(~s nT x 和)(~0 k X 的各自一个周期即可表示完整的序列；从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；FT 、FS 、DTFT 、 DFS 都不符合要求，但利用DFS 的时域、频域的周期性，各取一个周期，就形成新的变换对；9、为什么数据后要补零？补零不能提高分辨率，没有增加数据有效长度！数据过短，补零后可起到一定的插值作用；使数据长度为 2 的整次幂，有利于FFT 。
专题九 线性赋范空间与巴拿赫空间(讲稿)
例8 数列空间 S x (1 , 2 ,, n ,) | i R(orC )
x (1 , 2 ,, n ,),
1）定义
1 (x,y)满足距离公理，是S上的距离函数 故 S是距离空间 2）S按照通常数列的加法和数乘运算是线性空间 3）但距离函数1(x,y)不是由范数诱导的距离：
X与Rn之间存在着一一对应关系T：
e
i 1 n
n
i i
(1,2,…,n)Rn, xX ，也使得 x
e
i 1
i i
T : X R
n i 1
n
x i ei Tx ~ x (1 ,, n )
1）T是线性同构映射：
不完备，其完备化空间是L2[a,b].
二、有限维线性赋范空间的特殊性质
•有限维线性赋范空间是研究无限维空间的有力 工具。 •有限维线性赋范空间具有特殊性质(来自它与欧氏空间 的相似性)
1 n维线性赋范空间的模型（反映了与欧氏空间Rn的关系）
定理1 n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn（在某种 范数下）是线性等距同构的。 证 设{e1,e2,…,en}是X的一个基底， xX ，(1,2,…,n)Rn, 使得 x
X
i 1
X
X
0 x0
f (~ x ) x X x n ~ ~ (3) x, y R f (~ x~ y) x y
X
f (~ x)
~ ~ y f ( x ) f ( y) X X Rn Rn f (~ x) f ( x ) x , x x n ~ ~ ~ 故 是R 中的范数，记作 ： 则 x
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（1） 对 称 性 ；
（2） 对 第 一 变 元 的 线 性 性 ；
（3） 正 定 性 ；
则称(x, y) 为内积 所以内积又是比范数更加具体的东西，因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是 内积是线性性的充分条件【A>B，B不能>A就称为A是B的充分条件；类似的，B>A,A不 能>B，则称A是B的必要条件】 举个栗子： 我们可以把内积定义为：(x, y) = ∑Ni=1xiyi 也可以定义为：(f, g) = ∫∞0 f(x)g(y)dx 所以：内积可导出范数 | | x | | 2 = (x, x); 在线性空间上定义内积；其空间称为内积空间； 内积可在空间中建立 欧几里得空间学，例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几 里得空间。 所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间 接下来，我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西
赋予范数或者距离的集合分别称为：赋范空间和度量空间 若在其上再加上线性结构称为：线性赋范空间和线性度量空间
那么，我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么？ 答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念，从前面的定义中我们无法退出角度。所 以，我们才有了接下来的内容。
内积空间
赋范空间有向量的模长，即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角，为 了克服这一缺陷，我们引入：内积 定义：
赋线空范性间空度，间量拓，空扑度间空量，间空希如间尔何，伯不线特被性空他赋间们范，吓空到巴间？拿，赫 函数空间
一、问题的提出
在微积分中可以定义极限和连续，依赖于距离 那么，什么是距离呢？ 通俗的看法，大家都认为距离就是所谓的直线
但是，在这张图中，我们如何衡量两点之间的距离？ 因为地球仪上不能画直线，所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲 线作为距离 再来看一张图
定义范数
定义：设
| |x| | 是 Rn 的 范 数
若满足：
(1) | | x | | ≥ 0, ∀x ∈ Rn; | | x | | = 0 ↔ x = 0; (2) | | αx | | = | α | | | x | | , ∀α ∈ R, x ∈ Rn; (3) | | x + y | | ≤ | | x | | + | | y | | , ∀x, y ∈ Rn
√ d1(x, y) = (x1 − y1)2 + . . . + (xn − yn)2 情形2： 情形 ： d2(x, y) = max{ | x1 − y1 | , . . . , | xn − yn | }
3 d3(x, y) = | x1 − y1 | + | xn − yn |
其中d1是最常见的也就是中学所学的距离，而d3 则是天安门图中从A到B的距离 ###（曲线的距离）
注意：可以简单的看成到零点距离多了（2）；所以范数就是一个更加具体的距离！！！ 我们接下来，有两个方向可以走，一个是在距离上面加东西，让距离更加具体化，另一种 是在距离上减东西，让距离更加抽象画，像范数就是让距离更加具体化了 所以 范数有如下情况：
注意：
由范数可以定义距离：
d(x, y) = | | x − y | |
注意这里只能取最大值，不能取最小值。一旦取了最小值，则任意两个有交点的曲线的距 离都为0，显然，这样是有问题，所以只能去最大值
定义距离
看了那么多距离，我们如何定义呢？
则称d(x, y)是这两点之间的距离。
线性空间
有向量的加法和数乘 满足： 1. 向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w； 2. 向量加法交换律：v + w = w + v； 3. 向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 ，0 ∀ v ∈ V , v + 0 = v； 4. 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0； 5. 标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w； 6. 标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v； 7. 标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = ； (ab)v 8. 标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。
内 积 空 间 + 完 备 性 → Hilbert 空 间
线 性 赋 范 空 间 + 完 备 性 → 空 Banach 间
那么什么是完备性呢？
简单的说就是空间在极限运算中，取极限不能跑出去。所以，显然有理数集，无理数集不 具有完备性。实数集具有完备性 ##拓扑空间 我们向更加抽象的地方走。 欧几里得几何学需要内积，但连续的概念不需要内积，甚至不需要距离。 例如：社交圈的描述；学号的指定是“连续”的； 所以所谓的拓扑空间实际上就是个圈子。 总结：任何空间，你永远问两件事：1.元素是什么 2.规则是什么；知道这两个就知道怎么 描述一个空间。 所以最后的总结： 范数可以定义为“强化”了的距离； 内积是较距离和范数有更多内涵； 拓扑是“弱化”了的距离；
但由距离不一定可以定义范数，例如： 但 | | x | | = d(0, x), | | αx | | = d(0, αx) ≠ | α | | | x | | ,
所以，一旦定义了抽象的距离，我们就必须习惯用定义去证明对错，而不能用中学的距 离，来进行判断。
赋范空间、度量空间、线性赋范空间、线性度量空间
从A到B的距离又是多少呢？ 显然不能计算直线距离，比较合理的距离，应该是走一个L字型 （这里就不画出来了...） 两个向量之间的距离又该如何定义呢？ 两条曲线之间的距离呢？
二、距离、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
（向量的距离）
到 的距离 x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) 情形1：