主成分分析PCA(含有详细推导过程以及案例分析matlab版)

合集下载

主成分分析方法及matlab运用解释

主成分剖析方法及 matlab 运用解说主成分剖析方法在很多实质问题中 ,多个变量之间就是拥有必定的有关关系的。

所以 ,我们就会很自然地想到 ,可否在各个变量之间有关关系研究的基础上 ,用较少的新变量取代本来许多的变量 ,并且使这些较少的新变量尽可能多地保存本来许多的变量所反应的信息？事实上 ,这类想法就是能够实现的 ,这里介绍的主成分剖析方法就就是综合办理这类问题的一种强有力的方法。

一、主成分剖析的基来源理主成分剖析就是把本来多个变量化为少量几个综合指标的一种统计剖析方法,从数学角度来瞧 ,这就是一种降维办理技术。

假设有 n 个地理样本 ,每个样本共有 p 个变量描绘 ,这样就组成了一个 n ×p 阶的地理数据矩阵 :x 11 x 12 Lx 1 p x 21 x 22 L x 2 pXL L LL x n1 x n2 Lx np(1)怎样从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢？要解决这一问题 ,自然要在 p 维空间中加以观察 ,这就是比较麻烦的。

为了战胜这一困难 ,就需要进行降维办理 ,即用较少的几个综合指标来取代本来许多的变量指标 ,并且使这些较少的综合指标既能尽量多地反应本来许多指标所反应的信息 ,同时它们之间又就是相互独立的。

那么 ,这些综合指标 (即新变量 )应怎样选用呢？明显 ,其最简单的形式就就是取本来变量指标的线性组合 ,适合调整组合系数 ,使新的变量指标之间互相独立且代表性最好。

假如记本来的变量指标为 x 1,x 2, ,x p , 它们的综合指标 —— 新变量指标为 z 1,z 2, ,zm(m ≤ p)。

则z 1l 11x 1 l 12 x 2 L , l 1 p x pz 2 l 21x1 l 22 x 2 L , l 2 p x p .........................................z m l m1x 1 l m2 x 2 L , l mp xp (2)在 (2)式中 ,系数 l ij 由以下原则来决定 : (1)z i 与 z j (i ≠j ;i,j=1,2, ,m)互相没关 ;(2)z 1 就是 x 1,x 2, ,x p 的全部线性组合中方差最大者;z 2就是与 z 1 不有关的x ,x, ,x的所有线性组合中方差最大者 ;;zm 就是与 z ,z , z都不有关1 2 pp 的所有线性组合中方差最大者。

matlab主成分分析PCA

matlab主成分分析PCA %基于主成分分析的特征提取代码%读取原始数据，调⽤三个⼦函数，输出主成分分析结果%command%[fid,vector,v1,result]=cwprint('data.txt',145,55)function [fid,vector,v1,result]=cwprint(filename,a,b)fid=fopen(filename,'r')vector=fscanf(fid,'%g',[a,b]);fprintf('标准化结果如下：\n')v1=cwstd(vector)result=cwfac(v1);%result为因⼦载荷矩阵；最终主成分变量解释通过载荷矩阵分析得出；%对原始数据进⾏标准化function std=cwstd(vector) %矩阵标准化：消除量纲影响cwsum=sum(vector,1);[a,b]=size(vector);for i=1:afor j=1:bstd(i,j)=vector(i,j)/cwsum(j);endend%主成分分析%cwfac()函数作⽤：%计算相关系数矩阵%计算特征值和特征向量%对主成分进⾏排序%计算个特征值贡献率及累计贡献率（由于限定主成分个数<10，所以设置为累计贡献率>80%）%挑选主成分，输出主成分个数；%计算主成分载荷（主成分和原特征之间的关系：后续分析主成分含义的依据）function result=cwfac(vector)fprintf('相关系数矩阵：\n')std=corrcoef(vector); %求解相关系数矩阵（各个特证间的相关程度）fprintf('特征向量（vec）及特征值（val）:\n')[vec,val]=eig(std); %求解特征向量和特征值newval=diag(val); %特征值组成对⾓矩阵[y,i]=sort(newval); %特征值从⼤到⼩排序fprintf('特征根排序：\n')for z=1:length(y)newy(z)=y(length(y)+1-z);endfprintf('%g\n',newy)rate=y/sum(y);fprintf('\n 贡献率：\n')newrate=newy/sum(newy)sumrate=0;newi=[];for k=length(y):-1:1sumrate=sumrate+rate(k);newi(length(y)+1-k)=i(k);if sumrate>0.8 %设定贡献率；>0.85为11个主成分break;endendfprintf('主成分数：%g\n\n',length(newi));fprintf('主成分在和：\n')for p=1:length(newi)for q=1:length(y)result(q,p)=sqrt(newval(newi(p)))*vec(q,newi(p));endenddisp(result)%坐标变换,得到回归⽤的输⼊数据：即：%将原始数据⽤主成分（线性⽆关）表⽰，作为回归的输⼊。

主成分分析（PCA）算法介绍及matlab实现案例

主成分分析（PCA）算法介绍及matlab实现案例主成分分析经常被⽤做模型分类时特征的降维，本篇⾸先介绍PCA的步骤，并根据步骤撰写对应的MATLAB代码，最后指明使⽤PCA的步骤。

我们在做分类时，希望提取的特征能够最⼤化将数据分开，如果数据很紧密，模型就⽐较难将其分开，如果数据⽐较离散，那么就⽐较容易分开，换句话说，数据越离散，越容易分开。

那怎么让数据离散呢？离散⼜⽤什么指标衡量呢？统计学的知识告诉我们，数据越离散，⽅差越⼤。

因此，PCA的问题就变为：寻找⼀个坐标轴，使得数据在该坐标轴上⾯离散度最⾼。

也就是寻找⼀个基使得所有数据在这个基上⾯的投影值的⽅差最⼤。

那具体怎么做呢？科学家们已经帮我们做好了，如下步骤：设有m个样本，每个样本有n个特征，组成m⾏n列的矩阵1）将每⼀列特征进⾏均值化处理，特征归⼀化，也称为数据中⼼平移到坐标原点2）求取协⽅差矩阵3）求取协⽅差矩阵的特征值和特征向量4）将特征向量按对应特征值⼤⼩从上到下按⾏排列成矩阵，取前K列组成系数矩阵matlab代码function [coffMatrix,lowData,eigValSort,explained,meanValue] = myPCA(data)%data为row⾏col列矩阵，row为样本数量，col为特征列，每⼀列代表⼀个特征[row , col] = size(data);% 求出每⼀列的均值meanValue = mean(data);% 将每⼀列进⾏均值化处理，特征归⼀化,数据中⼼平移到坐标原点normData = data - repmat(meanValue,[row,1]);%求取协⽅差矩阵covMat = cov(normData);%求取特征值和特征向量[eigVect,eigVal] = eig(covMat);% 将特征向量按对应特征值⼤⼩从上到下按⾏排列成矩阵[sortMat, sortIX] = sort(eigVal,'descend');[B,IX] = sort(sortMat(1,:),'descend');coffMatrix = eigVect(:,IX);% 排序后的特征向量就是新的坐标系lowData = normData * coffMatrix;% 分量得分explained = 100*B/sum(B);%特征值eigValSort = B;%%% [U,S,V] = svd(data);end我们在实际应⽤PCA的时候需要注意保留以下⼏个值。

PCA基本原理与MATLAB操作步骤

PCA基本原理与MATLAB操作步骤PCA的基本原理：1.数据中心化：对原始数据的每一个特征进行减去其均值，使得数据的均值为0。

2.计算协方差矩阵：对中心化后的数据计算协方差矩阵，协方差矩阵反映了不同特征之间的相关性。

3.选择主成分：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

特征值表示主成分的重要性，特征向量表示主成分的方向。

4.选择主成分数量：根据特征值的大小选择主成分的数量。

一般来说，我们可以根据特征值的累计贡献率来选择主成分数量，累计贡献率越大表示保留的信息越多。

5.生成降维后的数据：将选取的主成分组合起来，即将原始数据投影到主成分上，得到降维后的数据。

MATLAB操作步骤：1. 导入数据：使用MATLAB的csvread、xlsread等函数导入需要进行PCA的数据。

```matlabdata = csvread('data.csv');```2. 数据中心化：使用MATLAB的mean函数计算每一列数据的均值，并使用repmat函数生成与原始数据维度相同的均值矩阵，然后将原始数据减去均值矩阵。

```matlabmean_data = mean(data);centered_data = data - repmat(mean_data, size(data, 1), 1);```3. 计算协方差矩阵：使用MATLAB的cov函数计算中心化后的数据的协方差矩阵。

```matlabcov_matrix = cov(centered_data);```4. 选择主成分：使用MATLAB的eig函数对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

```matlab[eigen_vectors, eigen_values] = eig(cov_matrix);```5.选择主成分数量：根据特征值的大小选择主成分的数量。

一般来说，我们可以计算特征值的累计贡献率，选择累计贡献率达到一定阈值的特征值数量。

matlab pca函数详解 -回复

matlab pca函数详解-回复PCA (Principal Component Analysis)是一种常用的降维技术，它通过线性变换将原始数据转换为一组新的无关变量，称为主成分。

本文将详细介绍Matlab中的PCA函数，并逐步解释其使用方法和原理。

一、PCA函数介绍在Matlab中，pca函数用于执行PCA操作。

其语法如下：[coeff,score,latent,tsquared,explained,mu] = pca(X)其中，X表示输入的数据矩阵。

接下来，让我们逐个解释每个输出变量的含义和用法。

1. coeff：主成分系数矩阵coeff是一个大小为[p,p]的矩阵，其中p是原始数据矩阵X的列数。

每一列是一个主成分向量，按照特征值降序排列。

通过将数据投影到主成分系数矩阵的列向量上，可以得到降维后的数据。

2. score：主成分得分矩阵score是一个大小为[n,p]的矩阵，其中n是原始数据矩阵X的行数。

它表示每个样本在每个主成分上的得分。

得分可以用于可视化和分类等任务。

3. latent：主成分的特征值向量latent是一个长度为p的向量，其中存储了每个主成分的特征值。

特征值可以用来评估每个主成分的重要性。

4. tsquared：每个样本的Hotelling T平方统计量tsquared是一个大小为[n,1]的矩阵，其中存储了每个样本在投影空间中的Hotelling T平方统计量。

该统计量可以用于检测异常值。

5. explained：方差解释百分比向量explained是一个长度为p的向量，其中存储了每个主成分解释的方差百分比。

它可以帮助我们选择保留多少主成分。

通常，我们选择解释方差百分比大于某个阈值的主成分。

6. mu：每个特征的均值向量mu是一个长度为p的向量，其中存储了每个特征的均值。

在PCA执行之前，数据会被减去均值，以确保每个特征的均值为零。

二、使用PCA函数进行降维现在，我们将在一个实例数据集上使用PCA函数进行降维，并逐步解释每个步骤的细节。

学点统计：主成分分析（PCA）是怎么降维分析的？内含代码+教程

学点统计：主成分分析（PCA）是怎么降维分析的？内含代码+教程要什么资料直接添加科研小助理现在后台发消息我这边不太好接收啦背景介绍多元统计分析multivariate statistical analysis研究客观事物中多个变量（或多个因素）之间相互依赖的统计规律性。

它的重要基础之一是多元正态分析，又称多元分析。

20世纪30年代，R.A.费希尔，H.霍特林，许宝碌以及S.N.罗伊等人作出了一系列奠基性的工作，使多元统计分析在理论上得到迅速发展。

50年代中期，随着电子计算机的发展和普及，多元统计分析在地质、气象、生物、医学、图像处理、经济分析等许多领域得到了广泛的应用，同时也促进了理论的发展。

各种统计软件包如SAS，SPSS等，使实际工作者利用多元统计分析方法解决实际问题更简单方便。

重要的多元统计分析方法有：多重回归分析（简称回归分析）、判别分析、聚类分析、主成分分析、对应分析、因子分析、典型相关分析、多元方差分析等。

主成分分析（PCA）又称主分量分析，是将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种方法。

主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。

通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中变量的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。

由此可见，主成分分析实际上是一种降维方法。

分析步骤1.将原始数据按行排列组成矩阵X2.对X进行数据标准化，使其均值变为零3.求X的协方差矩阵C4.将特征向量按特征值由大到小排列，取前k个按行组成矩阵P5.通过计算Y = PX，得到降维后数据Y6.用下式计算每个特征根的贡献率Vi;Vi=xi/(x1+x2+........)根据特征根及其特征向量解释主成分物理意义。

PCA运行•主成分计算•主成分选择，方差累计贡献度75%以上•因子负载荷图•带有标签的PCA图3D-PCA•3D图•图例•导入到PPT中进一步修改图片。

PCA(主成分分析)降维算法详解和代码

PCA（主成分分析）降维算法详解和代码PCA的原理：1.中心化数据：对原始数据进行中心化处理，即将每个特征减去其均值，使得数据以原点为中心。

2.计算协方差矩阵：计算中心化后的数据的协方差矩阵。

协方差矩阵描述了不同特征之间的关系和相关性。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

特征值代表每个特征的重要性，特征向量表示特征的方向。

4.选择主成分：根据特征值的大小，选择最大的k个特征值对应的特征向量作为主成分。

5.降维：将原始数据投影到所选主成分上，得到降维后的数据。

投影后的数据保留了最重要的特征，且维度减少。

PCA的代码实现：下面是一个基于Numpy库实现PCA算法的示例代码：```pythonimport numpy as npdef pca(X, k):#中心化数据X = X - np.mean(X, axis=0)#计算协方差矩阵cov = np.cov(X.T)#特征值分解eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(cov)#选择主成分idx = np.argsort(eigvals)[::-1][:k]eigvecs = eigvecs[:, idx]#降维X_pca = np.dot(X, eigvecs)return X_pca#测试X = np.random.rand(100, 5) # 生成100个样本，每个样本有5个特征k=2#目标降维维度X_pca = pca(X, k)print(X_pca.shape) # 输出降维后的数据维度```在上述代码中，使用`numpy`库进行了主成分分析的各个步骤。

首先，通过计算均值，对原始数据进行中心化。

然后，使用`cov`函数计算协方差矩阵，并通过`numpy.linalg.eig`函数进行特征值分解。

接下来，通过`argsort`函数对特征值进行排序，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

PCA的原理及详细步骤

一、基本原理主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。

其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标X1，X2，…，XP （比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标Fm 来代替原来指标。

那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量Xp 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。

设F1表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即11112121...p pF a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。

常常希望第一主成分F1所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的F1应该是X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F1为第一主成分。

如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标F2，为有效地反映原信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，即F2与F1要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差Cov(F1, F2)=0，所以F2是与F1不相关的X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大的，故称F2为第二主成分，依此类推构造出的F1、F2、……、Fm 为原变量指标X1、X2……XP 第一、第二、……、第m 个主成分。

11111221221122221122...............p p p pm m m mp p F a X a X a X F a X a X a X F a X a X a X =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 根据以上分析得知：(1) Fi 与Fj 互不相关，即Cov(Fi ，Fj) = 0,并有Var(Fi)=ai ’Σai ，其中Σ为X 的协方差阵(2)F1是X1，X2，…，Xp 的一切线性组合（系数满足上述要求）中方差最大的,……,即Fm 是与F1，F2，……，Fm －1都不相关的X1，X2，…，XP 的所有线性组合中方差最大者。

主成分分析报告matlab程序

主成分分析报告matlab程序主成分分析报告 Matlab 程序在数据分析和处理的领域中，主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用且强大的工具。

它能够将多个相关变量转换为一组较少的不相关变量，即主成分，同时尽可能多地保留原始数据的信息。

在 Matlab 中，我们可以通过编写程序来实现主成分分析，这为我们的数据处理和理解提供了极大的便利。

主成分分析的基本思想是找到数据中的主要方向或模式。

这些主要方向是通过对数据的协方差矩阵进行特征值分解得到的。

最大的特征值对应的特征向量就是第一主成分的方向，第二大的特征值对应的特征向量就是第二主成分的方向，以此类推。

在 Matlab 中，我们首先需要导入数据。

假设我们的数据存储在一个名为｀data` 的矩阵中，每一行代表一个观测值，每一列代表一个变量。

｀｀｀matlabdata ＝ load(＇your_data_filetxt'）；％替换为您的数据文件路径｀｀｀接下来，我们需要对数据进行中心化处理，即每个变量减去其均值。

｀｀｀matlabcentered_data ＝ data repmat(mean(data)， size(data, 1)， 1)；｀｀｀然后，计算协方差矩阵。

｀｀｀matlabcov_matrix ＝ cov(centered_data)；｀｀｀接下来进行特征值分解。

｀｀｀matlabV, D ＝ eig(cov_matrix)；｀｀｀｀V` 是特征向量矩阵，｀D` 是对角矩阵，其对角元素是特征值。

我们对特征值进行从大到小的排序，并相应地对特征向量进行重新排列。

｀｀｀matlablambda, index ＝ sort(diag(D)，＇descend'）；sorted_V ＝ V(：， index)；｀｀｀此时，｀sorted_V` 的每一列就是一个主成分的方向。

为了计算每个观测值在主成分上的得分，我们可以使用以下代码：｀｀｀matlabprincipal_components ＝ centered_data sorted_V;｀｀｀我们还可以计算每个主成分解释的方差比例。

Matlab主成分分析：详解+实例

主成分分析(PCA)中我们的目标是找到一个能使个体差异达到最大的变量线性组合。
主成分分析
总结:
主原始变量目标
成
X1, , Xm
主成分
Z1, ,Zp
分
线性组合
分
Z1, , Zp 互不相关
析的
信息不重合按‘重要性’排序
求解主成分
思
Z1, , Zp
想 Var(Z1) Var(Z2 ) Var(Zp )
r
i r 2(z j , xi )，
j1
这里r(z j , xi )表示zj 与 xi 的相关系数。
主成分分析
1 2 0
例1 设 x [ x1, x2 , x3 ]T 且 R 2 5 0
0 0 0
则可算得1 5.8284，2 0.1716，如果我们仅取第
一个主成分，由于其累积贡献率已经达到97.14%，似乎很理想了，但如果进一步计算主成分对原变量的
c1 x1+ c2 x2+… +cp xp
我们希望选择适当的权重能更好地区分学生的成绩. 每个学生都对应一个这样的综合成绩, 记为s1, s2,…, sn , n为学生人数. 如果这些值很分散, 表明区分好, 即是说, 需要寻找这样的加权, 能使 s1, s2,…, sn 尽可能的分散, 下面来看的统计定义.
x5:交通和通讯,
x6:娱乐教育文化服务,
x7:居住,
x8:杂项商品和服务.
对居民消费数据做主成分分析.
聚类分析
聚类分析
聚类分析
计算的Matlab程序如下:
clc,clear load czjm1999.txt
%把原始数据保存在纯文本文件czjm1999.txt中

主成分分析(PCA)详解(附带详细公式推导)

主成分分析（PCA）详解（附带详细公式推导）1.假设有一个m维的数据集X，其中每个数据点有n个样本。

需要将其降维到k维，且k<m。

2. 首先需进行数据的中心化，即对每个维度的数据减去该维度的均值，即X' = X - mean(X)。

3.然后计算协方差矩阵C=(1/n)*X'*X'^T，其中X'^T表示X'的转置。

4.对协方差矩阵C进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

5.接下来，将特征值按从大到小的顺序排列，选取前k个最大的特征值及其对应的特征向量。

6. 最后，将选取的k个特征向量组成一个投影矩阵W =[e1,e2,...,ek]，其中ei表示第i个特征向量。

7.对中心化的数据集进行降维，Y=W*X'，其中Y即为降维后的数据。

上述推导过程中，协方差矩阵C的特征值代表了数据的方差，特征向量则代表了数据的主成分。

选取最大的k个特征值和对应的特征向量，即实现了数据的降维。

PCA的应用包括但不限于以下几个方面：1.数据可视化：PCA能够将高维度的数据映射到二维或三维空间，从而方便数据的可视化展示。

2.数据预处理：PCA能够降低数据的维度，从而减少噪声和冗余信息，提升后续模型的精度和效率。

3.特征提取：PCA能够提取数据中最重要的特征，从而辅助后续建模和特征工程。

4.噪声过滤：PCA能够降低数据的维度，从而过滤掉一些无关的噪声信息。

需要注意的是，PCA只能应用于线性数据，并且假设数据的方差和协方差是固定的。

同时，PCA对于数据中非线性关系的捕捉能力较弱，因此在处理非线性数据时，需考虑使用其他非线性降维方法，如核主成分分析（Kernel PCA）等。

综上所述，PCA是一种常用的多变量数据降维技术，在数据分析和机器学习领域有着广泛的应用。

通过线性变换，PCA将高维度的数据投影到低维空间中，从而减少数据的维度，并保留了数据中的主要信息。

机器学习(MATLAB版)ch09-主成分分析法教学课件

PCA算法的MATLAB实现
输出参数说明: (1)coe 为主成分系数，就是散布矩阵(协方差矩阵)的特征量矩阵(也就是投影矩阵)。完整输出的情况下是一个 m x m 阵。每都是一个特征量，按对应的特征值的大小从大到小进行排列。 (2) score 为nx m 阵，满足 score =X*coe。注意，如果使用 pca 时默认中心化(即不对Centered’设置 oF)，拿 X*coe 和 score 对比时，必须将X中心化后再乘以 coeft，然后再和 score 对比。同样，如果 pca 使用的是默认值，恢复的X = score *coeff’ (注意转置)是中心化后的数据。 (3)latent 为主成分方差，也就是各特征向量对应的特征值，从大到小进行排列。 (4) tsquared 为t2统计量。 (5)explained 为每一个主成分所贡献的比例，可以更直观地选择所需要降维的维数。 (6)mu为X 按列的均值，仅当Centered’置于on’(默认值)时才会返回此变量。
PCA算法的MATLAB实现
②Centered’(是否中心化)，该参数有两种取值:(a)on’(默认中心化)(b)ofF该参数的作用是选择是否对数据进行中心化，即数据的特征是否进行零均值化(即按列减去均值，如果选择了on’，则可用 score*coef”恢复中心化后的;若选择了of，则可用 score*coef’恢复原始的 X。 ③‘Economy’(经济模式)，该参数有两种取值:(a)on’(默认)b)of。有时候输出的 coeff (mx m 矩阵)过大，而且是没有必要的(因为要降维)，所以可以只输出 coeff(以及 score,latent)的前l列，l是低维空间的维数，这个参数值默认是on’。如果要看见完整的 PCA 结果，则可以设置为“off”。 ④NumComponents’(指定的成分数)这个参数有两种取值:(a)number of variables(默认)，(b)scalar integer。输出指定的成分数是更为灵活的 Economy，但是经过试验发现指定成分数仅在小于时有效，大于时无效。默认是 number of variables (即m，特征个数)。

主成分分析PCA（含有详细推导过程以及案例分析matlab版）

主成分分析PCA（含有详细推导过程以及案例分析matlab版）主成分分析法(PCA)在实际问题中，我们经常会遇到研究多个变量的问题，而且在多数情况下，多个变量之间常常存在一定的相关性。

由于变量个数较多再加上变量之间的相关性，势必增加了分析问题的复杂性。

如何从多个变量中综合为少数几个代表性变量，既能够代表原始变量的绝大多数信息，又互不相关，并且在新的综合变量基础上，可以进一步的统计分析，这时就需要进行主成分分析。

I. 主成分分析法(PCA)模型（一）主成分分析的基本思想主成分分析是采取一种数学降维的方法，找出几个综合变量来代替原来众多的变量，使这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量，而且彼此之间互不相关。

这种将把多个变量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。

主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量，重新组合为一组新的相互无关的综合变量来代替原来变量。

通常，数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组合，作为新的综合变量，但是这种组合如果不加以限制，则可以有很多，应该如何选择呢？如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为1F ，自然希望它尽可能多地反映原来变量的信息，这里“信息”用方差来测量，即希望)(1F Var 越大，表示1F 包含的信息越多。

因此在所有的线性组合中所选取的1F 应该是方差最大的，故称1F 为第一主成分。

如果第一主成分不足以代表原来p 个变量的信息，再考虑选取2F 即第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中，用数学语言表达就是要求0),(21=F F Cov ，称2F 为第二主成分，依此类推可以构造出第三、四……第p 个主成分。

（二）主成分分析的数学模型对于一个样本资料，观测p 个变量p x x x ,,21，n 个样品的数据资料阵为：=np n n p p x x x x x x x x x X212222111211()p x x x ,,21=其中：p j x x x x nj j j j ,2,1,21== 主成分分析就是将p 个观测变量综合成为p 个新的变量（综合变量），即+++=+++=+++=ppp p p p p p p p x a x a x a F x a x a x a F x a x a x a F 22112222121212121111 简写为：p jp j j j x x x F ααα+++= 2211p j ,,2,1 =要求模型满足以下条件：①j i F F ,互不相关（j i ≠，p j i ,,2,1, =）②1F 的方差大于2F 的方差大于3F 的方差，依次类推③.,2,1122221p k a a a kp k k ==+++于是，称1F 为第一主成分，2F 为第二主成分，依此类推，有第p 个主成分。

主成分分析法MATLAB的实现

主成分分析法MATLAB的实现在MATLAB中，主成分分析是通过`pca`函数实现的。

`pca`函数的语法如下：```[coeff,score,latent,tsquared,explained,mu] = pca(X)```- `latent`是一个长度为$p$的向量，表示每个主成分的方差。

- `tsquared`是一个长度为$n$的向量，表示每个样本在主成分上的投影平方和。

- `explained`是一个长度为$p$的向量，表示每个主成分的方差贡献率。

- `mu`是一个长度为$p$的向量，表示每个特征的平均值。

下面我们将用一个简单的例子演示如何使用MATLAB进行主成分分析。

假设我们有一个包含4个样本和3个特征的数据集：```matlabX=[1,2,3;2,4,6;3,6,9;4,8,12];```首先，我们需要对数据进行归一化处理，以保证不同特征之间的量纲一致。

```matlabX_norm = zscore(X);```然后，我们可以使用`pca`函数进行主成分分析：```matlab[coeff, score, latent, ~, explained, ~] = pca(X_norm);```在这个示例中，我们只关心`coeff`、`score`、`latent`和`explained`这四个输出。

`coeff`给出了主成分的系数，可以用于计算每个样本在每个主成分上的投影：```matlabproj = score * coeff';````latent`表示每个主成分的方差，我们可以通过对`latent`中的元素求和来得到总方差的百分比贡献：```matlabvar_contrib = cumsum(latent) / sum(latent);````explained`向量可以直接给出每个主成分的方差贡献率。

最后，我们可以绘制一个累积方差贡献率的曲线：```matlabplot(1:length(var_contrib), var_contrib, 'ro-');ylabel('Cumulative Variance Contribution');```这样，我们就完成了主成分分析的实现。

主成分分析法matlab实现,实例演示

利用Matlab 编程实现主成分分析1.概述Matlab 语言是当今国际上科学界 (尤其是自动控制领域) 最具影响力、也是最有活力的软件。

它起源于矩阵运算，并已经发展成一种高度集成的计算机语言。

它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、与其他程序和语言的便捷接口的功能。

Matlab 语言在各国高校与研究单位起着重大的作用。

主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

1.1主成分分析计算步骤① 计算相关系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=pp p p p p r r r r r r r r r R 212222111211（1）在（3.5.3）式中，r ij （i ，j=1，2，…，p ）为原变量的xi 与xj 之间的相关系数，其计算公式为∑∑∑===----=nk nk j kji kink j kj i kiij x xx xx x x xr 11221)()())(( （2）因为R 是实对称矩阵（即r ij =r ji ），所以只需计算上三角元素或下三角元素即可。

② 计算特征值与特征向量首先解特征方程0=-R I λ，通常用雅可比法（Jacobi ）求出特征值),,2,1(p i i =λ，并使其按大小顺序排列，即0,21≥≥≥≥pλλλ ；然后分别求出对应于特征值i λ的特征向量),,2,1(p i e i =。

这里要求i e =1，即112=∑=pj ij e ，其中ij e 表示向量i e 的第j 个分量。

③ 计算主成分贡献率及累计贡献率主成分i z 的贡献率为),,2,1(1p i pk ki=∑=λλ累计贡献率为),,2,1(11p i pk kik k=∑∑==λλ一般取累计贡献率达85—95%的特征值m λλλ,,,21 所对应的第一、第二，…，第m （m ≤p ）个主成分。

④ 计算主成分载荷其计算公式为),,2,1,(),(p j i e x z p l ij i j i ij ===λ （3）得到各主成分的载荷以后，还可以按照（3.5.2）式进一步计算，得到各主成分的得分⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m z z z z z z z z z Z 212222111211 （4）2.程序结构及函数作用在软件Matlab 中实现主成分分析可以采取两种方式实现：一是通过编程来实现；二是直接调用Matlab 种自带程序实现。

利用Matlab进行主成分分析与因子分析

利用Matlab进行主成分分析与因子分析主成分分析和因子分析是统计学中常用的多元数据分析方法，在数据降维和变量关系探索中有着广泛的应用。

本文将介绍如何使用Matlab进行主成分分析和因子分析，并通过实例演示其具体操作与应用。

一、主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种降维技术，通过线性变换将原始的高维数据转换为低维空间，使得新的特征变量（主成分）能够尽量保持原始数据的信息。

主成分分析的目标是找到一个能够最大程度解释观测数据方差的新投影，使得新的特征变量之间相互独立。

在Matlab中，可以使用pca函数实现主成分分析。

以一个实例来说明：假设有一组包含5个变量和100个观测样本的数据集，我们希望进行主成分分析。

```matlabdata = rand(100, 5); % 生成100行5列的随机数据[coeff, score, latent, ~, explained] = pca(data);```在上述代码中，首先生成一个100行5列的随机数据集，然后通过pca函数进行主成分分析。

函数返回的coeff代表主成分系数矩阵，score代表样本在主成分上的投影值，latent是每个主成分的方差大小，explained表示每个主成分解释的方差百分比。

主成分分析的结果可以通过绘制累计方差解释图来进行解释。

代码如下所示：```matlabbar(explained);ylabel('方差百分比(%)');title('累计方差解释');```该代码将绘制一个柱状图，横轴代表主成分，纵轴代表方差百分比，可以直观地观察到每个主成分解释的方差比例。

二、因子分析因子分析（Factor Analysis）是一种变量关系探索方法，它可以通过线性组合的方式提取潜在变量（因子），用以解释观测变量之间的相关性。

因子分析的目标是通过最小化观测变量与因子的误差，找到最简单、最能解释变量之间关系的因子。

Matlab中的主成分分析方法与实例分析

Matlab中的主成分分析方法与实例分析引言主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的多变量分析方法，广泛应用于数据降维、特征提取和可视化等领域。

在Matlab中，通过调用PCA函数，可以方便地实现主成分分析。

本文将介绍Matlab中的主成分分析方法，并通过实例分析展示其应用。

一、主成分分析方法概述主成分分析通过线性变换将原始数据转换为新的坐标系，使得转换后的变量彼此之间不相关。

在新的坐标系中，第一个主成分具有最大的方差，第二个主成分具有次大的方差，并且与第一个主成分无关，以此类推。

主成分分析的基本思想是将高维数据投影到低维空间上，保留数据中所包含的主要信息，尽可能地减少信息损失。

二、Matlab中的主成分分析函数在Matlab中，通过调用pca函数可以进行主成分分析。

该函数的基本用法如下：\[coeff, score, latent, tsquared, explained, mu] = pca(X)\]其中，X代表待分析的数据矩阵，coeff是主成分系数矩阵，score是数据在主成分上的投影，latent是各主成分的方差，tsquared是数据的Hotelling T平方统计量，explained是各主成分的方差贡献率，mu是数据的均值。

三、主成分分析的实例分析为了进一步说明主成分分析的应用，我们将通过一个实例来展示其具体步骤。

假设我们有一个数据集，包含了100个样本和5个特征。

首先，我们将数据加载到Matlab中，并进行标准化处理，即将每一列的均值变为0，方差变为1。

这样做可以消除不同特征之间的量纲差异。

接下来，我们调用pca函数对标准化后的数据进行主成分分析。

根据explained 中各主成分的方差贡献率，我们可以选择保留的主成分个数。

通常，我们会选择方差贡献率大于一定阈值（如80%）的主成分。

在实际应用中，保留的主成分个数需要根据具体问题进行调整。

主成分分析(PCA)原理详解_精品

主成分分析（PCA）原理详解_精品
PCA的基本思想是将原始数据通过线性变换，转化为一组新的互相独
立的变量，这些新变量是原始数据中的线性组合，且保留了原始数据的最
大方差。

这意味着通过选择保留方差较大的线性组合，可以有效减少数据
的维度，同时尽量保留数据的有用信息。

具体来说，PCA的实现过程如下：
1.数据标准化：首先，要对原始数据进行标准化处理，保证每个特征
的均值为0，方差为1、这是因为PCA是基于方差最大化的，如果特征的
尺度差异较大，会导致方差较大的特征主导整个PCA过程，而忽略了方差
较小但是有用的特征。

2.计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵，其中协方差
矩阵的第i行第j列表示第i个和第j个特征之间的协方差。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征
值和特征向量。

特征向量是协方差矩阵的特征值对应的单位长度向量。

4.选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征向量作为主成分，这些主成分对应的特征值表示了数据中的主要信息。

5.数据转换：将原始数据乘以选取的特征向量构成的变换矩阵，实现
数据的降维。

转换后的数据保留了原始数据的主要信息。

需要注意的是，PCA只能对线性关系进行降维，对非线性关系的数据
效果不好。

此时可以使用核主成分分析（Kernel PCA）来处理非线性关系
的数据。

总结起来，PCA通过将原始数据进行线性变换，得到一组新的互相独立的变量，以降低数据的维度和特征之间的相关性。

它能够在保留数据主要信息的同时，减少数据的冗余和噪音，提高数据分析和建模的效果。

主成分分析之PCA

主成分分析之PCAPCA的核心思想是将原始数据投影到一个新的坐标系中，使得在新的坐标系中，数据的方差最大。

在新的坐标系中，第一个主成分是原始数据的方差最大的方向，第二个主成分是在第一个主成分方向上方差最大的方向，以此类推。

每一个主成分都是原始数据中的一个线性组合，通过变换后的数据可以较好地保留原始数据中的结构和特征。

具体地，PCA的步骤如下：1.对原始数据进行归一化处理，使得各个特征具有相同的尺度。

2.计算原始数据的协方差矩阵。

3.对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4.将特征值按照降序排列，并选择前k个特征值对应的特征向量，构成投影矩阵。

5.将原始数据用投影矩阵进行线性变换，得到降维后的数据。

PCA的优点有：1.降维后的数据具有较好的可解释性，可以通过观察主成分所对应的特征向量来理解数据的结构和特征。

2.降维后的数据可以减少冗余信息，提高模型的计算效率。

但是1.PCA假设数据服从线性正态分布，对于非线性和非正态分布的数据效果可能不好。

2.PCA降维过程中，可能会损失一部分信息，尤其是对于低方差特征。

3.PCA的结果受到噪声的影响，对于含有大量噪声的数据，可能得到不好的结果。

在实际应用中，PCA经常用于数据压缩、可视化、特征选择和预处理等任务。

例如，在图像处理中，可以利用PCA将高维的图像数据映射到低维空间中，以减少图像存储和计算的复杂度；在数据分析中，可以使用PCA对特征进行选择，提取出最具代表性的特征，以便进行后续的分类和聚类分析。

总之，PCA是一种常用且有效的降维方法，通过投影矩阵的线性变换，将高维数据映射到低维空间中，以尽量保留数据的主要信息。

通过合理选择投影矩阵的维度，可以实现对数据的压缩和特征选择。

虽然PCA有一定的限制和缺点，但是在实际应用中，它仍然是一种非常重要和实用的工具。