9下-§3.2 圆的对称性

9-§3.1 圆
一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）
1.圆的对称性：
（1）轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

（2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

2. 圆的相关性质：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
如图1，⊙O 和⊙O 1是两等圆，111AOB AO B ∠=∠，则AB=A 1B 1，AB=A 1B 1. 如图2，在⊙O 中，11AOB AOB ∠=∠，则AB=A 1B 1，AB=A 1B 1.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量都分别相等。

如图3所示，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，根据圆心角、弧、弦之间的关系填空： ① 若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ； ②若CD ，则AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD
，AB ＝CD ．
二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）
1.圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。

（圆的中心对称性是旋转不变性的特例）
2.在运用本节课所学的圆的相关性质时，一定要抓住“同圆，等圆”这一重要前提。

3.本节课采用的几何图形研究方法总结：折叠，轴对称，旋转，推理证明等。

三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）
【典例】如图，在⊙O 中，AB ，CD 为是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．
图1
图2
B D
A
C O
图3
(1) 如果AOB COD ∠=∠，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？
(2)如果OE =OF ， 那么AB 与CD 的大小有什么关系？CD 大小有什么关系？AOB ∠与COD ∠呢？为什么？
一读：关键词：(1)问中AOB COD ∠=∠，(2)问中OE =OF 。

二联：重要结论：在同圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量都分别相等。

重要方法：三角形全等，等腰三角形三线合一.
三解：解：（1）OE OF =
,,,9011
,22
OE AB OF CD OA OB OC OD OEB OFD EOB AOB FOD COD AOB COD EOB FOD
⊥⊥==∴∠=∠=︒
∠=∠∠=∠∠=∠∴∠=∠
在△EOB 和△FOD 中
,,OEB OFD EOB FOD OB OD
EOB FOD OE OF
∠=∠∠=∠=∴∆≅∆∴=
（2）∵,OE AB OF CD ⊥⊥ ∴90OEB OFD ∠=∠=︒ ∵在Rt ΔBEO 和Rt ΔDFO 中 OB =OD ,OE =OF
∴t t R BEO R DFO ∆≅∆ ∴BE DF =
,2OE AB OA OB
AB BE
⊥=∴=
,2OF CD OC OD
CD DF AB CD
⊥=∴=∴=
∴AB ＝CD, AOB COD ∠=∠
四悟：在同圆或等圆中，想要证明圆心角或弧或弦的相等关系，只需要证明它们所对应的另外两个量相等就可以了.
四、金题核思点拨（学习抓重点，思维抓核心，学必须学的.）
1.如图所示，AB 是半圆O 的直径，AB ＝4，BC 、CD 、DA 是弦，且BC ＝CD ＝DA ，则四边形ABCD 的面积为 ．
核思点拨:连接OD ，OC ，利用圆的性质和等边三角形的判定证明 ΔAOD ，ΔDOC ，ΔCOB 是等边三角形，再利用等边三角形面积 公式解决问题。

答案：
连接OD ，OC ∵BC ＝CD ＝DA
∴AOD DOC COB ∠=∠=∠
∵180AOD DOC COB ∠+∠+∠=︒ 60AOD DOC COB ∠=∠=∠=︒
OA OD OC OB ===
∴有等边ΔAOD ，ΔDOC ，ΔCOB
4AB =
∴2AO AD OD OD CD CB OB =======
2=332AOD ABCD S S ∆∴==四边形
2.如图，∠AOB ＝90°，C 、D 是的三等分点，连接AB 交OC 、OD 于E 、F ．则AF 、BE 有何大小关系？请说明理由．
核思点拨: 利用圆的性质，和三角形的全等来解决问题.
答案：∵C 、D 是
的三等分点 ∴ AD =BC
∴AOD BOC ∠=∠
OA OB
OAB OBA
=∴∠=∠
在△AOF 和△BOE 中
,,OAB OBA OA OB AOD BOC
AOF BOE AF BE
∠=∠=∠=∠∴∆≅∆∴=
B
O A
B
C
D
E
F。