高中数学—16—椭圆双曲线(A)-教师版

教师日期

学生

课程编号课型

课题椭圆与双曲线

教学目标

1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程；掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y 轴）

2．掌握椭圆的几何性质和应用

3.掌握双曲线的定义和焦距顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程

4掌握椭圆的几何性质和应用

5.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；

6.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想

教学重点

1．椭圆和双曲线的几何性质和应用；

2.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；

3.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想

教学安排

版块时长

1 知识梳理15

2 例题解析50

3 巩固训练35

4 师生总结10

5 课后练习10

椭圆与双曲线

1．已知点A （2，3）、B （1，5）则直线AB 的倾角为（ ）

A.arctan2

B.arctan(－2)

C.2π+arctan2

D. 2π+arctan 2

1

【难度】★ 【答案】D

2．下列四个命题中的真命题是（ ）

A.经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-．

B.经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程都可以用方程

121121()()()()y y x x x x y y --=--表示． C.不经过原点的直线方程都可以用方程1x y

a b

+=表示．

D.经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示．

【难度】★ 【答案】B

3．在ABC ∆中，a 、b 、c 为三内角所对的边长，且C 、B 、A sin lg sin lg sin lg 成等差数列，则直线

a A y A x =+sin sin 2和c C y B x =+sin sin 2的位置关系是

．

【难度】★★

【答案】两直线重合

4．设),(y x P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点，要使不等式m y x ++≥0恒成立，则m 取值范围是（

）

A ．m ≥0

B ．m ≥12-

C ．m ≥12+

D ．m ≥21-

【难度】★★ 【答案】B

5．过圆52

2

=+y x 内点⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛23,25P 有n 条弦，这n 条弦的长度成等差数列{}n a ，如果过P 点的圆

的最短的弦长为1a ，最长的弦长为n a ，且公差)3

1

,61(∈d ，那么n 的取值集合为 ．

【难度】★★ 【答案】{}7,6,5

热身练习

一、椭圆

1．椭圆定义：平面内到两个定点1F ，2F （12||2F F c =）的距离的和等于常数2(0)a a c >>的 点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．这两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点（foci of an

ellipse ），两个焦点的距离12||2F F c =叫做焦距（distance between two foci ）．

注意：若设动点为P ，则 （1）当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆． （2）当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段．

（3）当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程及性质（Standard equations and properties of ellipse ）：

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

标准方程

22

22

22201a b x y b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭

22

22

22201a b y x b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭

图形

焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c -

焦距 2c

2c

范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤

b x b -≤≤，a y a -≤≤

对称性 x 轴、y 轴和原点对称

顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -，(0,)b ，(0,)b -

(,0)b ，(,0)b -，(0,)a ，(0,)a -

两轴 长轴长2a ，短轴长2b

3．椭圆的其他性质：

①椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．

②椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是a c +，最小距离是a c -．

知识梳理

③设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大．

④椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 4．椭圆中的相关结论：

①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是； ②若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦

的直线方程是； ③ 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点

，则椭圆的焦点角形的面积为； ④是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则

，即； ⑤已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一

点，且，均存在，则．

⑥过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交椭圆于点M 和N ，若

1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则2

1222a b

λλ+=-．

5．直线与椭圆的位置关系(The positional relation between a line and an ellipse) 联立方程，看∆． 0∆>2

1||

k a ∆

+（其中a 为二次项系数）； 0∆=，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点；

0∆<，直线与椭圆无交点．

000(,)P x y 2222

1x y a b +=0P 00221x x y y

a b +=000(,)P x y 22

221x y a b +=0P 12P P 、12P P 002

21x x y y

a b

+=22

221x y a b

+=0a b >>12,F F P 12F PF γ∠=122tan 2

F PF S b γ

∆=AB 22

221x y a b

+=00(,)M x y AB 22OM AB b k k a ⋅=-020

2y a x b K AB -=22

221x y a b

+=y kx =A B P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 2

2b a

=-