动力学方程

dt，得
3n
Ar xr A 0
(3.3.2)
r 1
约束方程限制质点系的位移和速度，求一阶导：
3n [ Ar xr
r 1
(
3n s1
Ar xs
xs
Ar t
)xr ]
(
3n s1
A xs
xs
A t
)
0
即
3n r 1
Ar xr
3n r 1
3n s1
Ar xs
xs
xr
3n r 1
Ar t
macos mgsin mar 0
解得：
a
2(
m sin 2 M msin 2
)
g
4
3.2 虚功率形式的动力学方程
3.2.1 虚功率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式的动力学方程
质点系：n个质点，d个完整约束，g个非完整约束。
任意瞬时，质点Mi：主动力 Fi，约束力 Ni ，惯性力 Fgi mi ai ，则：
Fi Ni Fgi 0
可在铅直面内摆动。设M1 、 M2的质量 分别为m1、 m2 ；杆长l，质量不计。试 建立系统的运动微分方程。
9
解：将物块及摆锤视为质点。系统为
两自由度，取广义坐标x1、。
x2= x1 -lsin ， y2= lcos
x2 x1 l cos, y2 l sin x2 x1 lcos l 2 sin , y2 lsin l 2 cos
束方程的统一形式为式(1.1.20)、(1.1.21)。为方便起见，选坐标
分解形式(1.1.21)：
n
(Aidxi Bidyi Cidzi ) A dt 0
i1
改写为： 3n
Ardxr A dt 0
r 1
(1.1.21)
( =1，2，…，d+g) (3.3.1)
22
式中系数Ar、 A都是时间和各质点位形的函数。故方程除以
i1 n
[mCz (Si ) JCz ('i i )] ' 0
i1
(3.2.11) (3.2.12)
J—转动惯量，i、 ’ i 碰撞前、后的角速度。
三、平面运动的情形
将平面运动分解为随质心的平动和绕质心的转动，由式 (3.2.5)、(3.2.12)，有
15
n
[Si mi (uCi vCi )] uCi
FgArA (FgBe FgBr cos )rBe
(FgBe cos Q sin FgBr )rBr 0
即：(Ma ma mar cos )rA (ma cos mg sin mar )rBr 0
因为 rA ,rBr 为互不相关的 独立虚位移，所以
Ma mamar cos 0
12
二、转动的情形
设质点系绕固定点O转动，理论力学知： 虚速度与虚角速度的关系为：
ri ri
(3.2.6)
代入式(3.2.1)，得
n
(Fi mai ) ( ri ) 0
( A)
i1
由矢量运算规则： a (b c ) b (c a ) c (a b )
(Fi mai ) ( ri ) [ri (Fi mai )]
ΔuCx=-0.5bΔ′， ΔuCy= 0.5bΔ′ (h )
(3)受力分析
重力非碰撞力，可忽略。角A承受碰 撞力，对应为Sx、 Sy 。
(4)建立碰撞过程的动力学方程 本题为刚体的平面运动，只有一个 刚体（i=1），由式(3.2.13) 得:
19
n
[Si mi (uCi vCi )] uCi
aB = aA ，e1= e2 = aA /r 7
虚加惯性力及惯性力偶如图。其中
FgA
P1 g
aA,
FgB
P2 g
aB
P2 g
aA
M gC
M gD
Q 2g
r 2e1
Qr 2g
aA
给A虚速度ΔvA，则
vB vA,
C
D
vA r
由式(3.2.1)
(P1 FgA)vA (P2 FgB )vB (M M gC )C M gDD 0
i1
n
[mCz (Si ) JCz (i' i )] ' 0
i1
(3.2.13)
式中vCi、uCi为碰撞前、后第i个刚体质心Ci的速度，Δ’ i及Δ uCi
为给定瞬时和位形上第i个刚体的虚角速度及质心的虚速度。
例 质量m、边长b的均质正方形块以v1 平移下落，其角A与凸缘B相撞，假设 碰撞是完全弹性的，求此方块碰撞后
即
(P1
P1 g
aA )vA
(P2
P1 g
aA )vA
(M
Qr 2g
aA
)
vA r
Qr 2g
aA
vA r
0
8
即
(P1
P1 g
aA )vA
(P2
P1 g
aA )vA
(M
Qr 2g
aA
)
vA r
Qr 2g
aA
vA r
0
约去虚速度ΔvA，得
aA
M (P2 (P1 P2
P1)r Q)r
g
例 椭圆摆由物块M1和摆锤M2用直杆铰 接而成，可在光滑水平面滑动，摆杆则
这就是用动量矩和冲量矩表述的动力学方程。其中：
冲量矩
t t
mO (Si ) t mO (Fi )dt
lO ， LO为碰撞前、后的动量矩。
(3.2.8)
14
对质心C，同样有：
n
[mC (Si ) (LCi lCi )] 0
i 1
(3.2.10)
如果是绕定轴z或绕过质心C的轴转动，则
n
[mz (Si ) J z ('i i )] ' 0
的角速度和质心的速度。(P108例3-3)
16
解：平面运动，f=3，广义坐标：xC、
yC及转角。
（1）计算角A碰撞后的速度uAx 、 uAy
A碰撞前： vAx =0， vAy = - v1
（a）
B碰撞前后速度均为零，即
vBx =0， vBy =0； uBx =0， uBy =0 。
完全弹性碰撞，恢复系数 kx =1 ， ky =1。由碰撞公式：
uA uC uAC
投影，有 uAx uCx uAC cos 45 uAy uCy uAC sin 45
（e）
其中
uAC
2 b'
2
(f)
18
将式（c）、（f）代入（e），解得
uCx=-0.5b′， uCy= v1+0.5b′
(g )
对式（g）一阶等时变分，得虚角速度与质心虚速度的关系：
(Fi Ni Fgi ) ri 0
对理想约束，有
Ni ri 0
(Fi Fgi ) ri 0 或： (Fi mai ) ri 0
1
即： 受理想约束的质点系，在运动的任一瞬时，作用于质 点系的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的元功之和为零。 ——动力学普遍方程，又称达兰贝尔—拉格朗日方程。 ①解析式：
[( X i mi xi )xi (Yi mi yi )yi (Zi mi zi )zi ]0
②不考虑约束反力。 ③解题时，一般不必按上式建立方程，只需先虚加惯性力， 将动力学问题变成形式上的解静力学问题，然后用虚位移原 理求解。
2
例6 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于
光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为 。
10
将 x2, y2, x2, y2 代入并整理，得
[(m1 m2 )x1 m2lcos m2l 2 sin ]x1 (m2lx1 cos m2l m2gl sin ) 0
由于 x1, 彼此独立，欲上式成立，必须 (m1 m2 )x1 m2lcos m2l 2 sin 0 m2lx1 cos m2l m2gl sin 0
三、可能加速度
质点系在可能运动中，在给定瞬时和位形上，各质点的加
速度，称为可能加速度，用 r*或x* 表示。它要满足加速度约
束方程，与(3.3.3)类同，有
3n Ar xr*
r 1
3n r 1
3n s1
Ar xs
i1
n
[mCz (Si ) JCz (i' i )] ' 0
i1
[Sx m(uCx vCx )] uCx [Sy m(uCy vCy )] uCy
mC (Si ) JC ( ' )] ' 0
将式(d)、(g)、(h)及
mC
(Si
)
Sx
b 2
S
y
b 2
,
代入上式，并简化，得（注意mC的正向）
试求三棱柱A的加速度。
解：研究两三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，
具有两个自由度。
FgA Ma
FgB FgBe FgBr
FgBe ma , FgBr mar P Mg , Q mg
给A向左的虚位移δrA，B相对A的虚位移δrBr
rB rBe rBr , rBe rA
3
由动力学普遍方程：
第三章 动力学方程的三种基本形式
3.1 虚功形式的动力学方程——动力学普遍方程
设质点系受理想约束，任取一质点： Mi : mi , Fi , Ni , ai ; 根据达兰贝尔原理，加上惯性力，则：
Fi Ni Fgi 0
对整个质点系： Fi Ni Fgi 0
给质点系任一虚位移，应用虚位移原理，有：
kx
uBx vAx
uAx vBx
,
ky
uBy vAy
uAy vBy
解得 uAx =0， uAy = v1
（c）
17
（2）运动分析 碰撞前，正方形作平移：
vCx =0， vCy = - v1，=0
（d）
碰撞后，正方形作平面运动，设质
心速度及角速度为：uCx， uCy，′
（图c）
以质心C为基点，则A点的速度（图d）：
(3.2.1)
i1
i1
这就是虚功率形式的动力学方程，也称若丹方程。即：具有
理想约束的质点系，在任意瞬时和位形上，作用于各质点上
的主动力和虚加的惯性力在任一虚速度上所做的元功率之和
等于零。其解析式：
6
n
[( Xi mixi )xi (Yi mi yi )yi (Zi mizi )zi ] 0
i1
(3.2.2)
解题时，同动力学普遍方程。一般不必按上式建立方程，只需
画上主动力，再虚加惯性力及惯性力偶，然后同解静力学问题
一样用虚功率原理求解。
例 升降机。被提升的重物A重P1，平衡锤B重 P2，轮C、D半径均为r，均重Q，可看作均质 圆盘，带的重量不计。轮C上作用有转矩M，
试求A的加速度。
解：设A向上的加速度为aA，则
其中
t t
Si t Fidt
——作用在Mi质点上主动力的冲量
将虚速度用ui 表示，则式(3.2.1)为
n
[Si mi (ui vi )]ui 0
i1
(3.2.5)
这就是用动量和冲量表述的动力学方程。可用于碰撞问题。
在碰撞问题中，主动力很大，作用时间很小，可认为位移为
零但速度有变化，故用虚速度比虚位移优越。
∴虚速度（定常约束：实速度是许多虚速度中的一个）
x2 x1 l cos, y1 0, y2 l sin
∵X1= X2 = 0， Y1 = P1= m1g ， Y2 = P2= m2g ，∴由式(3.2.2)有
(0 m1x1)x1 (m1g 0)y1 (0 m2x2)x2
(m2g m2y2)y2 0
xr
3n s1
A xs
xs
A t
0
( =1，2，…，d+g) (3.3.3)
这就是加速度的约束方程，它限制质点系的加速度。
23
二、实加速度
质点系在真实运动中，在给定瞬时和位形上，各质点的加
速度，称为实加速度，用 r或x 表示。它要满足运动微分方
程和运动初始条件，又要满足加速度约束方程(3.3.3)。
(
4 3
b
'2v1)
1 2
mb
'
0
JC
1 mb2 6
20
(
4 3
b
'2v1)
1 2
mb
'
0
由于Δ 的任意性，∴
4 b
3
'2v1
0
得 ' 3v1 (顺时针)
2b
由式(g) :
uCx
3 4
v1
(),
uCy
1 4
v1
()
21
3.3 高斯形式的动力学方程
3.3.1 虚加速度 一、加速度的约束方程
设质点系：n个质点、d个完整约束、g个非完整约束。约
又
ri
(miai
)
ri
d(mivi dt
)
d dt
(ri
mivi
)
d dt
LOi
13
ri Fi mO (Fi )
所以式（A）为
n
i 1
[mO
( Fi
)
d dt
LOi ]
0
(3.2.7)
动量矩
在t——t+t 时间内积分，得
n
[mO (Si ) (LOi lOi )] 0
i 1
(3.2.9)
在此瞬时和相应的位形上，给Mi虚速度
ri，则Mi的虚功率
Pi (Fi Ni Fgi ) ri 0
对质点系：
5
n
n
Pi (Fi Ni Fgi ) ri 0
i1
i1
由于虚速度与虚位移的方向相同，所以，对应理想约束：
n
Ni ri 0
于是上式成为：i1
n
n
Pi (Fi mai ) ri 0
这就是系统的运动微分方程。
3.2.2 用动量和冲量表述的动力学方程
虚功率形式的动力学方程：
n
(Fi mai ) ri 0
(3.2.1)
i1
11
一、一般情形
在t——t+t 时间内，对质点Mi：
tt
t
(Fi miai )dt
t t t
Fidt vuiid(mivi ) Si mi (ui vi )