函数单调性第一课时(经典总结)解析
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（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是单调增函数；
y
y x2
o
x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
-1
4x
1 0
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
函数 y x 2在整个定义域内 y随x的增 大而增大；y
函数y -x 2 在整个定义域内 y随x的 增大而减小． y
4
4
3
3
2
2
1 0
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
-2
-3
函数
y
x2
-4
在
画出这一天8:00~20:00期间气温关于时间函数的一个可能图像，并说明所画函数的单 调区间.
3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函
数.
y
-1 0
1
23
4
5
x
课堂小结：
图象
图象 特征
增函数
y2 y
y1
O
x1 x2
自左至右，图象_上_升__.
减函数
y
y1
y2
xO
x1
x2 x
自左至右，图象_下_降_____.
数量 特征
y随x的增大而_增_大___.当任意 x1＜x2时，都有_y_1_＜_y_2____
y随x的增大而_减__小____.当任意 x1＜x2时，都有_y_1_＞_y_2___
课堂效果提升：教材P39习题1.3A组第1题，第4题
注意：如果有多个单调区间，各区间之间用“ ”隔 开
学习效果展示：
练习1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 生产效率
0
工人数
2.整个上午（8:00~12:00）天气越来越暖，中午时分（ 12:00~13:00 ）一场暴风雨使 天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.
三．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
y
10
8
6
4
2
I
Oห้องสมุดไป่ตู้
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
-2
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
函数的单调性
一、新课导入
下面是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
问题：观察图形，能得到什么信息？
二、归纳探索，形成概念
问题1：分别作出函数 y x 2, y
量变化时，函数值有什么变化规律？
x
2,
y
x2,
y
1 x
y
y
4
的图象，并且观察自变
4
3
3
2
2 1
0 -4 -3 -2 -1 1 2 3
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
合作交流：
例1、下图为函数y = f x, x [4, 7] 的图像，
指出它的单调区间。y
3 2 1
-1.5
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7x
-1 -2
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6]
， 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调 增 区间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为 f (x)的单调
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
[0, )
上 y随x的增大
而增大，在(, 0)上y随x的增大而减小．
1 0
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
-2
-3
-4
函小数，在y(1x,
在(0, )上 y随x的增大而减
0)上y随x的增大而减小．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
如果函数 f (x) 在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f (x) 在该区 间上为增函数；如果函数 f (x) 在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函 数 f (x)在该区间上为减函数．
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是单调增函数；
y
y x2
o
x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
-1
4x
1 0
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
-2
-2
-3
-3
-4
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函数 y x 2在整个定义域内 y随x的增 大而增大；y
函数y -x 2 在整个定义域内 y随x的 增大而减小． y
4
4
3
3
2
2
1 0
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
-2
-3
函数
y
x2
-4
在
画出这一天8:00~20:00期间气温关于时间函数的一个可能图像，并说明所画函数的单 调区间.
3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函
数.
y
-1 0
1
23
4
5
x
课堂小结：
图象
图象 特征
增函数
y2 y
y1
O
x1 x2
自左至右，图象_上_升__.
减函数
y
y1
y2
xO
x1
x2 x
自左至右，图象_下_降_____.
数量 特征
y随x的增大而_增_大___.当任意 x1＜x2时，都有_y_1_＜_y_2____
y随x的增大而_减__小____.当任意 x1＜x2时，都有_y_1_＞_y_2___
课堂效果提升：教材P39习题1.3A组第1题，第4题
注意：如果有多个单调区间，各区间之间用“ ”隔 开
学习效果展示：
练习1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系. 生产效率
0
工人数
2.整个上午（8:00~12:00）天气越来越暖，中午时分（ 12:00~13:00 ）一场暴风雨使 天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又开始转凉.
三．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
y
10
8
6
4
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I
Oห้องสมุดไป่ตู้
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
-2
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
函数的单调性
一、新课导入
下面是北京市2008年8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
问题：观察图形，能得到什么信息？
二、归纳探索，形成概念
问题1：分别作出函数 y x 2, y
量变化时，函数值有什么变化规律？
x
2,
y
x2,
y
1 x
y
y
4
的图象，并且观察自变
4
3
3
2
2 1
0 -4 -3 -2 -1 1 2 3
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
合作交流：
例1、下图为函数y = f x, x [4, 7] 的图像，
指出它的单调区间。y
3 2 1
-1.5
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 7x
-1 -2
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6]
， 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调 增 区间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为 f (x)的单调
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
[0, )
上 y随x的增大
而增大，在(, 0)上y随x的增大而减小．
1 0
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1
-2
-3
-4
函小数，在y(1x,
在(0, )上 y随x的增大而减
0)上y随x的增大而减小．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
如果函数 f (x) 在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f (x) 在该区 间上为增函数；如果函数 f (x) 在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函 数 f (x)在该区间上为减函数．