勾股定理培优训练
八上第3章 勾股定理培优题含答案
第3章勾股定理综合提优卷（时间：60分钟满分：100分）一、填空题（每题3分，共30分）1．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底4米处，那么这棵树折断之前的高度是_______米．2．直角三角形一条直角边与斜边分别为4 cm和5 cm，则斜边上的高等于_______cm．3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则以AB为直径的半圆的面积为_______．4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，若AB＝4 cm，AD＝3 cm，CD＝12 cm，BC ＝13 cm，则四边形ABCD的面积是_______．5．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80 cm，宽为60 cm，对角线为100 cm，则这个桌面_______．（填“合格”或“不合格”）6．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了8 km，乙往南走了6 km，这时两人相距_______km．7．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．8．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝a，则图中阴影部分的面积为_______．9．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD ＝5，则CD＝_______．10．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BD ＝5．如图所示，折叠纸片使点A 落在边BC 上的A'处，折痕为PQ ．当点A'在边BC 上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在边AB 、AD 上移动，则点A'在边BC 上可移动的最大距离为_______．二、选择题（每题3分，共30分）11．下列各组数中，可以构成勾股数的是( )．A ．13，16，19B ．17，21，23C ．18，24，36D ．12，35，3712．下列命题中，是假命题的是( )．A ．在△ABC 中，若∠B ＝∠C ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△ABC 是直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形13．一直角三角形的三边分别为2，3，x ，那么以x 为边长的正方形的面积为( )．A ．13B ．5C ．13或5D ．414．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E 的面积是( )．A ．13B ．26C ．47D ．9415．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则点C 到AB 的距离是( )．A ．125B ．425C ．34D ． 9416．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800 cm 2，则斜边长为( )．A ．30 cmB ．80 cmC ．90 cmD ．120 cm17．底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．A ．10B ．8C ．5D ．418．如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC ，交AD 于点E ，AD ＝8，AB ＝4，则DE 的长为( )．A ．3B ．4C ．5D ．619．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )．A．B．4 C．D．4.520．如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n＋2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是( )．A．0 B．1 C D三、解答题（共40分）21．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．(1)求DC的长；(2)求AB的长．22．观察下列各式，你有什么发现？32＝4＋5，52＝12＋13，72＝24＋25，92＝40＋41，…这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．若132＝a ＋b，则a，b的值可能是多少？23．如图所示，一轮船以16 n mi1e／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 n mi1e／h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？24．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a ，b ，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)证明勾股定理．25．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC ＝1 km ，BD ＝3 km ，CD ＝3 km 现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元／千米，请你在河CD 边上选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？26．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒？参考答案1．8 2．2.4 3．16984．36 cm 2 5．合格 6． 10 7．8 8．22a 9．1.4 10．211．D 12．C 13．C 14．C 15．A 16．A 17．A 18．C 19．B 20．C21．(1)12 (2)2522．a=84，b=8523．2h后24．略25．作点A关于河CD的对称点A'，连接A'B交河CD于O点，点O就是水厂的位置，26．24秒。
勾股定理的培优专题
勾股定理的培优专题勾股定理培优专题一、基础知识1.勾股定理的逆定理是：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
2.勾股定理的逆定理和勾股定理的题设和结论相反，被称为互逆命题。
3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数3、4、5 等，称为勾股数。
巩固练：1.如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a+b=c，那么这个三角形是直角三角形，这个定理叫做勾股定理的逆定理。
2.如果两个命题中，第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
3.分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有 1、2、3 号。
4.若△ABC 中，(b-a)(b+a)=c，则∠B=90°。
5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC 是直角三角形。
6.若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以 a-2、a、a+2 为边的三角形的面积为 6(a-1)。
7.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
1) 两直线平行，同位角相等。
逆命题为：同位角相等，则两直线平行。
真。
2) 若 a>b，则 a>b。
逆命题为：若a≤b，则a≤b。
假。
二、例题和训练考点一：证明三角形是直角三角形例1：已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD·BD。
求证：△ABC 是直角三角形。
训练：已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，满足a+b+c+3√3=10a+24b+26c。
试判断△ABC 的形状。
例2：如图，在直角△ABC 中，∠B=90°，BD 垂直于AC，且 AD=CD。
勾股定理经典培优题
勾股定理的应用经典培优题类型之一 利用勾股定理解决平面图形问题图1－ZT －11．如图1－ZT －1，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于________．2．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝4，有一个内角为60°，P 是直线AB 上不同于A ，B 的一点，且∠ACP ＝30°，求PB 的长．类型之二 利用勾股定理解决立体图形问题3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图1－ZT －2所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．图1－ZT －2图1－ZT －34．如图1－ZT －3，将一根长为20 cm 的筷子置于底面直径为5 cm ，高为12 cm 的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度为________cm.类型之三 利用勾股定理解决折叠问题5．如图1－ZT －4(1)是一个直角三角形纸片，∠A ＝30°，BC ＝4 cm ，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，折痕为BD ，如图(2)，再将(2)沿DE 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，如图(3)，则折痕DE 的长为( )图1－ZT －4A.83cm B ．2 3 cm C ．2 2 cm D ．3 cm图1－ZT－56．如图1－ZT－5，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________．类型之四利用勾股定理解决实际问题7．如图1－ZT－6，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10 7千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风的影响，那么受台风影响的时间有多长？图1－ZT－6详解详析1．82．解：若∠ACB 为60°，当点P 在线段AB 上时(如图①)，由直角三角形的性质得BC ＝2AC ，PC ＝2AP ，由勾股定理，得AB ＝BC 2－AC 2＝42－22＝2 3.再设AP ＝x ，∵∠PCB ＝∠ACB －∠ACP ＝60°－30°＝30°，∠B ＝90°－60°＝30°，∴∠PCB ＝∠PBC ，∴PC ＝PB ，则有PB ＝2x ＝23AB ＝43 3；当点P 在线段AB 外时(如图②)，可得PB ＝83 3；若∠ABC 为60°，当点P 在直线AB 上时(如图③)，可得PB ＝4.因此PB 的长为4 33或8 33或4.3．25 [解析] 把这个圆柱平均分成5段，将其中一段沿一条母线剪开，展开得到一个长方形，一条边(即这段圆柱的高)长4尺，另一条边长3尺，因此这一段葛藤长42＋32＝5(尺)．故葛藤的总长为5×5＝25(尺)．4．7 [解析]杯子内的筷子长度为122＋52＝13(cm)，则筷子露在杯子外面的长度为20－13＝7(cm)．5．A [解析] 在Rt △DC ′E 中，设DE ＝x ，则DE ＝AE ＝x ，AC ′＝AB －BC ′＝AB －BC ＝4，所以EC ′＝4－x .在Rt △AC ′D 中，∠A ＝30°，由勾股定理得DC ′＝43，在Rt △DEC ′中，根据勾股定理，得DE 2－EC ′2＝DC ′2，即x 2－(4－x )2＝(43)2，解得x ＝83. 6.32[解析] BC ＝AC 2－AB 2＝4. 由折叠的性质，得BE ＝B ′E ，AB ＝AB ′.设BE ＝x ，则B ′E ＝x ，CE ＝4－x ，B ′C ＝AC －AB ′＝AC －AB ＝2.在Rt △B ′EC 中，B ′E 2＋B ′C 2＝EC 2，即x 2＋22＝(4－x )2，解得x ＝32. 7．解：(1)过点A 作AC ⊥BF 于点C ，则AC ＝12AB ＝150千米<200千米， ∴A 市会受到台风的影响．(2)以点A 为圆心，200千米为半径画弧，交BF 于点D ，E ，则CE ＝CD ＝AD 2－AC 2＝2002－1502＝50 7(千米)，∴A 市受台风影响的时间为50 7×210 7＝10(时)．。
专题01 勾股定理的证明(专项培优训练)(教师版)
专题01 勾股定理的证明（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.57一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023•南康区一模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC，分别交EF，GH于点M，N．已知AH＝3DH，正方形ABCD的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A．4B．4.5C．4.8D．5解：∵S正方形ABCD＝24，∴AB2＝24，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝24，∴，根据题意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN ＝2S△CGN，∵S△AEM ＝S△CGN，∴S△FGN ＝S△AEM+S△CGN，∴阴影部分的面积之和为：＝＝＝＝2x2＝＝4.8．故选：C．2．（2分）（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（ ）A．128B．64C．32D．144解：∵AE＝5，BE＝13，∴AB＝＝＝，∴小正方形的面积为：（）2﹣×4＝194﹣130＝64，由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，∴EF2的值是64×2＝128，故选：A．3．（2分）（2021秋•卢龙县期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）A．76B．72C．68D．52解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝122+52＝169所以x＝13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．故选：A．4．（2分）（2022秋•衡东县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）A．12B．11C．10D．9解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵ab＝24，a2+b2＝129，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝129﹣2×24＝81，而a﹣b＞0，∴a﹣b＝9，故选：D．5．（2分）（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A．B．C．D．解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．6．（2分）（2023春•涧西区期中）在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（ ）A．甲B．乙C．甲，乙都可以D．甲，乙都不可以解：甲同学的方案：∵大正方形的面积＝小正方形的面积+直角三角形的面积×4，∴（a+b）2＝c2+ab×4，∴a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，因此甲同学的方案可以证明勾股定理；乙同学的方案：∵大正方形的面积＝矩形的面积×2+两个小正方形的面积，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴得不到a2+b2＝c2，因此乙同学的方案不可以证明勾股定理．故选：A．7．（2分）（2023春•樊城区期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为（ ）A．9B．10C．11D．12解：由题意知小正方形的边长是a﹣b，由勾股定理得：a2+b2＝129，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝129﹣2×24＝81，∴a﹣b＝9（a＞b），∴小正方形的边长为9．故选：A．8．（2分）（2022秋•榕城区期中）勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如图所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（ ）A．B．C．D．解：A．根据图形可知：＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，∵，∴a2+b2＝c2；故A选项不符合题意；B．不能用于证明勾股定理，故B选项符合题意；C．根据图形可知：S＝4×ab+c2＝2ab+c2，大正方形S＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，大正方形∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C选项不符合题意；D．根据图形可知：S＝c2，大正方形S大正方形＝（b+b+a）×b+（a+b+a）×a﹣2×ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故D选项不符合题意，故选：B．9．（2分）（2021秋•新绛县期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为S1，右边图中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式正确的是（ ）A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+abC．S2＝c2D．S2＝c2+ab解：观察图形可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，故选：B．10．（2分）（2022春•南浔区期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（ ）A．B．C．D．解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S 2＝CD 2＝32＝9，又∵小正方形EFGH 的面积为S 1，S 2＝5S 1，∴S 1＝，∴EF ＝FG ＝GH ＝HE ＝，∵将EG 延长交CD 于点I ，∴∠HGE ＝45°，在Rt △EHG 中，由勾股定理得：EG ＝＝，设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ，则AF ＝BG ＝CH ＝DE ＝x +，在Rt △CDH 中，由勾股定理得：CD 2＝DH 2+CH 2，即9＝x 2+（x +）2，解得：x 1＝，x 2＝﹣（不合题意，舍去），即AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ＝，∴DH ＝EH ＝，∴CH 垂直平分ED ，∴DG ＝EG ＝，∴∠DGH ＝∠HGE ＝45°，∴∠DGE ＝45°+45°＝90°，∴∠DGI ＝90°，在Rt △DGI 中，由勾股定理得：GI ＝＝＝，故选：A ．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023春•路北区期中）如图是一个“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分也是一个小正方形，若大正方形的边长为7，小正方形的边长为3，直角三角形的两直角边分别为a ，b ，则ab 的值为 20 ．解：∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，∴直角三角形的面积＝（大正方形面积﹣小正方形面积）÷4＝（72﹣32）÷4＝10，即ab ＝10，∴ab ＝20，故答案为：20．12．（2分）（2022秋•巴州区期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNPQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3＝45，则S 2的值是 15 ．解：设全等的直角三角形的两条直角边为a 、b 且a ＞b ，由题意可知：，因为S 1+S 2+S 3＝45，即（a +b ）2+a 2+b 2+（a ﹣b ）2＝45，3（a 2+b 2）＝45，所以3S 2＝45，∴S 2的值是15．故答案为：15．13．（2分）（2020秋•温州期中）如图1是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC ＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD 的周长是15，则这个风车的外围周长是 38 ．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周长是15，∴x+2y+2.5＝15则x＝6.5，y＝3．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案为：38．14．（2分）（2018•遵义一模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 76 ．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+52，∵△BCD的周长是30，∴x+2y+5＝30则x＝13，y＝6．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×19＝76．故答案为：76．15．（2分）（2018春•越秀区校级期中）如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积＝大正方形面积，即 4×ab + （b﹣a）2 ＝ c2 化简得：a2+b2＝c2．解：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积＝大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2＝c2故答案为：4×ab、（b﹣a）2、c2．16．（2分）（2023春•无棣县期中）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②xy＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9，其中说法正确的结论有 ①③ （填序号）．解：∵大正方形面积为49，∴大正方形边长为7，在直角三角形中，x2+y2＝72＝49，故说法①正确；∵小正方形面积为4，∴小正方形边长为2，∴x﹣y＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49﹣2xy＝4，∴xy＝，故说法②错误；∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，∴4×xy+4＝49，∴2xy+4＝49，故说法③正确；∵2xy+4＝49，∴2xy＝45，∵x2+y2＝49，∴x2+y2+2xy＝49+45，∴（x+y）2＝94，∴x+y＝，故说法④错误；故答案为：①③．17．（2分）（2021秋•成华区期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故答案为：318．（2分）（2021•高新区一模）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若＝，则的值为 ．解：∵＝，大正方形面积为m2，∴．设图2中AB＝x，依题意则有：，即4××x2＝，解得：（负值舍去）．在Rt△ABC中，AB2+CB2＝AC2，∴，解得：（负值舍去）．∴．故答案为：．19．（2分）（2020春•济南期末）如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是 ．解：将四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，x+4y＝，所以S2＝x+4y＝，故答案为：．20．（2分）（2019秋•秦都区校级月考）在如图的弦图中，已知正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的边长＝ ．解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，，∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，在Rt△AEF中，EF＝＝＝，故正方形EFGH的边长是．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2023•滕州市校级开学）如图是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，中间的部分是一个小正方形．若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．解：∵大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，∴a2+b2＝c2＝100，（a﹣b）2＝4，∴a2+b2﹣2ab＝4，即100﹣2ab＝4，∴2ab＝96，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196．22．（6分）（2022秋•屯留区期末）阅读与思考阅读下列材料，完成后面的任务：赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a ，b ，斜边长为c 的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD 的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN 的面积．任务：（1）在图2中，正方形ABCD 的面积可表示为 （a +b ）2 ，正方形PQMN 的面积可表示为 （a ﹣b ）2 ．（用含a ，b 的式子表示）（2）根据S 正方形ABCD ＝8S 直角三角形+S 正方形PQMN ，可得（a +b ）2，ab ，（a ﹣b ）2之间的关系为 （a +b ）2＝4ab +（a ﹣b ）2 ．（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a +b ＝5，ab ＝4，求（a ﹣b ）2的值．解：（1）∵大正方形边长为（a +b ），小正方形边长为（a ﹣b ），∴大正方形面积为（a +b ）2，小正方形面积为（a ﹣b ）2；故答案为：（a +b ）2；（a ﹣b ）2．（2）根据S 正方形ABCD ＝8S 直角三角形+S 正方形PQMN ，可得，故答案为：（a +b ）2＝4ab +（a ﹣b ）2．（3）∵a +b ＝5，ab ＝4，∴52＝4×4+（a ﹣b ）2，∴（a ﹣b ）2＝9，∴（a ﹣b ）2的值为9．23．（8分）（2023春•前郭县期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．证明：【尝试探究】梯形的面积为S＝（a+b）（b+a）＝ab+（a2+b2），利用分割法，梯形的面积为S＝S△ABC +S△ABE+SADE＝ab+c2+ab＝ab+c2，∴ab+（a2+b2）＝ab+c2，∴a2+b2＝c2；【定理应用】∵a2c2+a2b2＝a2（c2+b2），c4﹣b4＝（c2+b2）（c2﹣b2）＝（c2+b2）a2，∴a2c2+a2b2＝c4﹣b4．24．（8分）（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．证明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由图可知：S梯形ADEB ＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化简，得：a2+b2＝c2．25．（8分）（2022秋•凌海市期中）我国数学家赵爽（又名婴，字君卿．三国时吴国人，一说魏晋人或汉人．籍贯、生卒年不详，约生活于公元3世纪初，数学家，天文学家）为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．根据此图证明勾股定理．（如图每个直角三角形斜边为c两个直角边分别为a、b）证明：∵，，∴，整理得a2+b2＝c2．26．（8分）（2022春•广汉市期中）勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是 直角 三角形，结论是 a2+b2＝c2 （三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；解：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案为：直角；a2+b2＝c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°．∵S梯形ABCD ＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2＝c2．27．（8分）（2022秋•宝丰县期中）在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：c2+4•（ab），即（a+b）2＝c2+4•（ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2＝x2+2xy+y2．解：（1）由图可得：大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2，四个直角三角形面积和为：4×ab，由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，则有：c2＝（b﹣a）2+4×ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2，即：c2＝a2+b2．（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，因为它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2，所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立．28．（8分）（2022秋•南海区校级月考）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，如图，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，直角三角形ADE 与直角三角形AGE 全等，直角三角形BFE 与直角三角形BGE 全等，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形DEFC 中，DE ＝EF ＝CF ＝CD ＝x ．小明发明了一种求正方形边长的方法：由题意可得BF ＝BG ＝a ﹣x ，AD ＝AG ＝b ﹣x ，因为AB ＝BG +AG ，所以a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得x ＝．（1）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S △ABC ＝S △AEB +S △AEC +S △BEC 可以得到x 与a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；（2）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（1）解：连接EC ，如图，∵Rt △BEF ≌Rt △BEG ，Rt △AED ≌Rt △AEG ，∴ED ＝EG ＝EF ＝x ，∴S △AEC ＝bx ，S △BEC ＝ax ，S △AEB ＝cx ，S △ABC ＝ab ，∵S △ABC ＝S △AEB +S △AEC +S △BEC ，∴bx +ax +cx ＝ab ，即（a +b +c ）x ＝ab ，∴x ＝；（2）证明：∵x ＝，x ＝，∴＝，∴（a +b +c ）（a +b ﹣c ）＝2ab ，∴（a +b ）2﹣c 2＝2ab ，∴（a +b ）2﹣2ab ＝c 2，∴a 2+b 2+2ab ﹣2ab ＝c 2，故a2+b2＝c2．。
勾股定理培优训练
勾股定理培优训练一．选择题（共19小题）1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）（1题）（3题）A．2.4B．2.5C．4.8D．52．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5B．C．5或D．以上都不对3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，则CD的长为（）A．，2或3B．3或C．2或D．2或34．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a2﹣b2＝c2；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．能判断△ABC是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知△ABC三边分别为a、b、c，根据下列条件能判断△ABC为直角三角形的有（）①∠A＝∠B+∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a：b：c＝3：4：5；④a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）（6题）（7题）A．90°B．60°C．45°D．30°7．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的值是（）A．3.65B．2.42C．2.44D．2.659．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1C．n2﹣1D．n2+110．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列示意图中正确的是（）A．B．C．D．11．如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）（11题）（14题）（15题）A．10B．9C．8D．712．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，613．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝20°，∠B＝70°C．AB：BC：CA＝3：4：5D．14．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12m C．13m D．18m15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是（）A．S3+S4＝4（S1+S2）B．S4﹣S1＝S3﹣S2C．S1+S4＝S2+S3D．S4﹣3S1＝S3﹣3S216．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则10s后他们之间的距离为（）（16）（17）（18）（19）A．30m B．40m C．50m D．60m17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝6，BC＝3时，则阴影部分的面积为（）A．B．C．9πD．918．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则正方形G的边长是（）A．8B．C．D．519．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB ＝3，AD＝4，则ED的长为（）A．B．3C．1D．二．填空题（共11小题）20．如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为13米，高BC为5米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米．（20）（21）21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC最小值是．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC＝．（22）（23）（24）23．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为．24．如图，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，AD＝13cm，则图中此图形的面积是cm2．25．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝13cm，CD＝12cm，则四边形ABCD的面积cm2．（25）（26）（27）26．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．27．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4＝．28．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别是S1、S2、S3，且S2＝S1+S3，则线段DC与AB存在的等量关系是．（28）（29）29．如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy ＝12；④x+y＝40．其中正确的是（填序号）．30．如图，正方形网格中，每一小格的边长为2．P、A、B均为格点．（1）AP＝；（2）点B到直线AP的距离是；（3）∠APB＝；（4）S△APB ＝．三．解答题（共30小题）31．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．32．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a：b＝3：4，c＝75cm，求a、b；（2）若a：c＝15：17，b＝24，求△ABC的面积；（3）若c﹣a＝4，b＝16，求a、c；（4）若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；（5）若a、b、c为连续整数，求a+b+c．33．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．（1）如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端也将下滑1m吗？说明你的方法；（2）如果梯子的顶端下滑2m呢？说说你的理由．34．如图所示，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求水深是多少？35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，作DE⊥AC于点E．（1）若AD＝CD，求∠C的度数．（2）若AB＝6，BC＝8．①求AE的长度；②求△ACD的面积．36．在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．37．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝5千米，BD＝15千米，且CD＝15千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万．（1）请你在河流CD上设计选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省（作图）．（2）请你求出铺设水管的长及总费用是多少？38．一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？39．如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB及外角∠ACD的平分线，且CE交AB于点E，EF交AC于点M，已知EF∥BC．（1）求证：M为EF中点；（2）若EM=3，求CE²+CF²的值．40．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点．求CD 的长．41．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；（2）当t为多少时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形？42．若△ABC的三边长为a，b，c，根据下列条件判断△ABC的形状．（1）a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c（2）a3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2﹣b3＝0．43．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式当a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状（按角分类）．（1）请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6、8、9时，△ABC三角形：当△ABC三边长分别为6、8、11时，△ABC三角形．（2）小明同学根据上述探究．猜想：“当a2+b2＞c2时．△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝7、b＝24时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、钝角三角形？44．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足a2+b+|﹣2|＝10a+2﹣24，是判断△ABC的形状．45．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，AD是BC上的高，AD＝12，求△ABC的周长和面积．46．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．47．有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm．在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？解：由题意，得AC＝cm，AD＝cm，所以DB＝cm，在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB＝（cm）．48．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是多少？49．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC．（1）求证：OD＝OE．（2）若AB＝3，BC＝4，求AD的长．50．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm，求△ABC 的周长．51．如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求△ABC的面积．52．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B ﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？53．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（1）如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；（2）如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b与c的关系为，a与d的关系为．54．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）判断△ABC的形状．55．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB ＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A 站多少km处？56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BC＝4，BD＝2.5．（1）则点D到直线AB的距离为．（2）求线段AC的长．57．（1）如图，作直角边为1的等腰Rt△OA1A2，则其面积S1＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt △OA2A3，则其面积S2＝；以OA2为一条直角边，1为另一条直角边作Rt△OA3A4，则其面积S3＝，……则S4＝；（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示S n，并求+++...+的值．58．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，求证：DE2＝AD2+BE2；（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．59．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B ＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？60．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2cm/秒，设点P运动的时间为t秒．（1）当△PBC是以BC为斜边的直角三角形时，求t的值；（2）当△PBC为等腰三角形时，求t的值．。
勾股定理培优题
勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a 、b 、c ，其中c 为斜边）的三边关系，即a 2+b 2=c 2，它的变形式为c 2-a 2=b 2或c 2-b 2=a 2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法. 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a 的值是 .2.如图，图形A 是以直角三角形直角边a 为直径的半圆，阴影S A = .3.如图，有一个圆柱的高等于12cm ，底面半径3cm ，一只蚂蚁要从下底面上B 点处爬至上底与B 点相对的A 点处，所需爬行的最短路程是 .4.如图.在 △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AB =5，CD=BCD =30° ，则AC = . 5.的线段.6.在下列各组数中 ①5，12，13 ；②7，24，25；③32，42，52；④3a ，4a ，5a ；⑤a 2+1，a 2-1，2a (a ＞1)；⑥m 2-n 2，2mn ，m 2+n 2(m ＞n ＞0)可作直角三角形三边长的有 组.7.如图，四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，CD =2，AD =3，AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积是 .第2题图 第3题图 第4题图 第7题图8.如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC =14BC ，试判断△ AEF 的形状.三、综合.提高.创新BADCBADCBAFE DCB A【例1】（1）在三角形纸片ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，AC =3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长是多少？（2）如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =10，按如图所示折叠，使点D 落在BC 上的点E 处，求折痕AF 的长.（3）如图，正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA +PM 的最大值和最小值分别记作S 和T ，求S 2-T 2的值.【练】如图，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD =4，DC =3，求BE .【例2】（1）如图，△ABC 中，∠C =60°，AB =70，AC =30，求BC 的长.EDC BAFEDCBAPMCAD 'EDCB A（2）如图，在四边形ABCD 中，AB =2，CD =1，∠A =60°， ∠B =∠D =90°，求四边形ABCD 的面积.【练】如图，△ABC 中，A =150°，AB =2，BCAC 的长.【例3】（1）如图，△ABC 中，AB =AC =20，BC =32，D 为BC 上一点，AD ⊥AB ，求CD .（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 、E 分别是BC 、AC 中点，AD =5，BE=，求AB .【例4】如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ，求证：CBADCBACBADCBAEDC BA（1）222111a b h +=； （2）a +b ＜c +h ；（3）以a +b ，h 和c +h 为边的三角形是直角三角形.【例5】（1）如图，ABCD 为矩形，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，求证：PA 2-PB 2=PD 2 -PC 2.（2）锐角△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，若∠B =2∠C ，求证：AC 2=AB 2+AB ·BC .变式：如图，AM 是△ABC 的BC 边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).（3）如图，△ABC 中，AB =AC ，P 为线段BC 上一动点，试猜想AB 2，AP 2， PB ，PC 有何关系，并加以证明.D CBAPDCB ADCBAM BA变式：若点P 在BC 的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.（4）在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上取点P 并设s =AP 2+BP 2，试探求P 点位置变化时，s 与2CP 2的大小关系，并证明.变式：若点P 在BA 的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.【例6】（1）如图，△ABC 中，D 为BC 边上的中点，以D 为顶点作∠EDF =90°，DE 、DF 分别交AB 、AC 于E 、F ，且BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC =90°.P CB APC APCBACBAFED（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE，CF，EF之间的关系，并证明.AB C变式一:将（2）中△AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.AE变式二：如图，△AEF中∠EAF=45°，AG⊥EF于G，且GF=2，GE=3，求S△AEF.AG【例7】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.（2）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =CD ，求证BD 2=AB 2+BC 2.【例8】在等腰△ABC 中，AB =AC ，边AB 绕点A 逆时针旋转角度m ，得到线段AD . （1）如图1，若∠BAC =30°，30°＜m ＜80°，连接BD ，请用含m 的式子表示∠DBC ;（2）如图2，若∠BAC =90°，0°＜m ＜360°，射线AD 与直线BC 相交于点E ，是否存在旋转角度m，使AEBE若存在，求出所有符合条件的m 的值；若不存在，请说明理由.【例9】（1）已知点P 在一、三象限的角平分线上，且点P 到点A （3，6）的距离为PA =15，求点P 的坐标；PCBADCBADCB AE DCBA（2）已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断△ABC的形状；（3的最小值；（4）已知a＞0，b＞0.自我归纳：四、课后练习1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？2.在△ABC 中，A =30°，B =45°，BC =10cm ，求AB ，AC 及△ABC 的面积.3.（1）如图，把长方形沿ABCD 对角线折叠，重合部分为△EBD . 1）求证和：△EBD 为等腰三角形； 2）若AB =2，BC =8，求AE .（2）如图，折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上，已知AB =8cm ，CE =4cm ，求AD .4．如图，△ABC 是等腰三角形，∠BAC =90°，AB =AC ，D .E .是BC 上的两点，且∠DAE =45°，若BD =6，EC =8，求DE 的长.MDB A北C 'EDCB AFED CBA5．如图，在等腰三角形中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF. （1）求证：BE2+CF2=EF2；（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积.6．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，P为△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC，求∠CPA.7．（1）如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2. （2）①如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；C BAEDFC BAEPCB AAB CDP②如果点P移动到矩形ABCD的外部时，如图3，（1）中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明.归纳结论：8．如图，△ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB2-AC2=2BC·DE.9.10．试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n>0）的三角形是否为直角三角形？11．已知a，b，x，y.PDCBAPDCBAED C BA12．如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且AB PF+AC PE +BCPD=12，求PD、PE、PF的长.PFED CBA欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
完整版)勾股定理培优专项练习
完整版)勾股定理培优专项练习勾股定理练（根据对称求最小值）基本模型：已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D，请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
解：由于AE=1，所以DE=√3.连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=60°-x。
由正弦定理得：EN/ sinx = BN/sin(60°-x)。
=。
EN/BN = sinx/sin(60°-x)由于sinx/sin(60°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。
又由于XXX，所以问题转化为：在直线AD上找一点N，使得MN+EB最小。
连接AC，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=30°，BF=AB/2=2.由于AF=AD-DF=√3-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。
由于FN=AF-AN=AF-AE=√3-1，所以MN+EB=2+MN+√3-1=MN+3+√3.因此，EN+BN的最小值为3+√3，此时x=30°。
2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
解：连接BE，设∠EBN=x，则∠EBD=∠ABE-x=45°-x。
由正弦定理得：EN/sinx = BN/sin(45°-x)。
=。
EN/BN = sinx/sin(45°-x)由于sinx/sin(45°-x)在[0,1]内单调递增，所以EN/BN最小值对应的x值也是最小值。
又由于XXX，所以问题转化为：在对角线AC上找一点N，使得MN+EB最小。
连接BD，设交点为F，则∠ABF=∠FBD=45°，BF=AB/√2=2√2.由于AF=AD-DF=4-DF，所以MN+EB=BF+MN+EF=BF+FN。
勾股定理培优专项练习
勾股定理练习(根据对称求最小值)基本模型：已知点A 、B 为直线 m 同侧的两个点，请在直线m 上找一点M ，使得AM+BM 有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC 上一点E ，AE=1，AD ⊥BC 于D,请在AD 上找一点N ，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
2、.已知边长为4的正方形ABCD 上一点E ，AE=1，请在对角线AC 上找一点N ，使得EN+BN 有最小值，并求出最小值。
3、如图，已知直线 a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线 a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=2．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足30MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．124、已知AB=20，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=10，CB=5．（1）在AB 上找一点E ，使EC=ED ，并求出EA 的长；（2）在AB 上找一点F ，使FC+FD 最小，并求出这个最小值25、如图，在梯形ABCD 中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3 ，CD=2 ，M为BC上一动点，则△AMD 周长的最小值为．6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB．边上一点，则EM+BM的最小值为7、如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）66A．2 B．2C．3D．9、在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，cm连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.几何体展开求最短路径1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm？2、如图：一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。
完整版勾股定理培优专项练习
勾股定理练习(根据对称求最小值)基本模型：已知点A 、B 为直线m 同侧的两个点，请在直线m 上找一点M ,使得AM+BM 有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC 上一点E , AE=1 , AD 丄BC 于D,请在AD 上找一点N , 使得EN+BN 有最小值，并求出最小值。
2、.已知边长为4的正方形 使得EN+BN 有最小值, ABCD 上一点E , AE=1，请在对角线 AC 上找一点N , 并求出最小值。
且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到3、如图，已知直线 a // b , 直线b 的距离为3, AB=2 J 30 .试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN 丄a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时 AM+NB=( A . 6124 D 4题图4、已知 AB=20 , DA 丄 AB 于点 A , CB 丄 AB 于点 B , DA=10 , CB=5 .(1) 在AB 上找一点E ,使EC=ED ，并求出EA 的长；DD . a在梯形 ABCD 中，/ C=45° , / BAD= / B=90° , AD=3 , CD=2 42 ,BC 上一动点，则△ AMD 周长的最小值为 .等边△ ABC 的边长为6, AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AB5、如图，M 为 6如图，边上一点，贝U EM+BM 的最小值为7、如图/ AOB = 45 ° , P 是/ AOB 内一点，PO = 10, Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点, 求△PQR 周长的最小值.&如图所示，正方形ABCD 的面积为12, △ ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内, 在对角线AC 上有一点P ,使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）B . 2 恵C. 3 D . 76C . 39、在边长为2 cm 的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点, 连接PB 、PQ ，则^ PBQ 周长的最小值为10、在长方形 ABCD 中，AB=4,BC=8,E 且PQ=2,当四边形APQE 的周长最小时，求BP 的长.为CD 边的中点，若P 、Q 是BC 边上的两动点, Bcm52、如图：一圆柱体的底面周长为20cm,高AB 为4cm,BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从 点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C ,试求出爬行的最短路程.J/?3题图广 ------弓题團3、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯, 要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？（建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙 ）为了减小坡度,4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1处（三 条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？，Ci/D5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m ,底面周长为1m ,在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，求壁 虎捕捉蚊子的最短距离。
人教版八年级数学下册 第17章《勾股定理》培优试题
第17章《勾股定理》培优试题一．选择题1．一个直角三角形的直角边是24，斜边是25，则斜边上的高为（）A．7 B．C．168 D．252．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是（）A．3 B．4 C．15 D．7.23．如图．在Rt△ARC中，∠ABC＝90°，以Rt△ARC的三条边分别向外作等边三角形，其面积分别为S1、S2、S3，那么S1、S2、S3的关系是（）A．S2+S3＝S1B．S2+S3＞S1C．S2+S3＜S1D．S22+S32＝S124．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+C．12或7+D．以上都不对5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）A．6 B．C．D．6．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A ．B ．C ．D ．7．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A ．4B ．16C ．D ．4或8．设a 、b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab 的值是（ ） A ．1.5B ．2C ．2.5D ．39．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A ．4，5，6B ．1，1，C ．6，8，11D ．5，12，2310．给出下列长度的四组线段：①1，，；②3，4，5；③6，7，8；④a ﹣1，a +1，4a （a ＞1）．其中能构成直角三角形的有 （ ） A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．①②④11．下列各组数中是勾股数的是（ ） A ．4，5，6 B ．0.3，0.4，0.5C ．1，2，3D ．5，12，1312．如图，在一个高为5m ，长为13m 的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少应是（ ）A ．13mB ．17mC ．18mD ．25m13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC ＝4，BC ＝2时，则阴影部分的面积为（ ）A ．4B ．4πC ．8πD ．814．由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a ＝3，b ＝4，c ＝5 B ．a ＝12，b ＝13，c ＝5C ．a ＝15，b ＝8，c ＝17D ．a ＝13，b ＝14，c ＝1515．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2 16．如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN＝6，PN＝4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4 B．2C．7 D．817．在平面直角坐标系中，已知定点A（﹣，3）和动点P（a，a），则PA的最小值为（）A．2B．4 C．2D．418．如图，△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2二．填空题19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝1O，BC＝6，则AC＝，若CD ⊥AB，则CD＝．⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，20．如图，OP＝1，过P作PP得OP＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP＝．201221．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积＝16，AE＝1；则正方形EFGH的面积＝．22．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动米．23．某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC＝30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为米．24．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．三．解答题25．阅读材料并解答问题：我们已经知道，如图①完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．（1）如图②是由以边长为a和b的正方形和几个全等的长方形所拼成的大长方形，请根据图中意思写出所表示的代数恒等式：；（2）如图③已知四个全等的直角三角形直角边分别为a、b，斜边为c，现将四个直角三角形拼凑成如图的正方形ABCD，且四边形EFGH也为正方形，请利用面积法推恒等式方法，推出直角三角形三边a、b、c的关系．（3）应用（2）中结论：已知直角三角形ABC中，a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，其中直角边为a、b，斜边为c，求三角形斜边c．26．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：12+1＝2，S1＝，+1＝3，S2＝，+1＝4，S3＝（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律．（2）推算出OA10的长．（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．27．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h、h2．1（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；28．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连接DE并延长交AB于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，设EF＝x，则△ABD的面积用代数式可表示为；S＝c（c+x）你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．△ABD29．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝3，E为AB上一点，AE ＝4，ED＝5，求CD的长．30．如图，梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m，梯子的底端B 距离墙角C为6m．（1）求梯子AB的长；（2）当梯子的顶端A下滑2m到点A′时，底端B向外滑动到点B′，求BB′的长．参考答案一．选择题1．解：设斜边上的高h，由勾股定理得，直角三角形的另一条直角边＝＝7，则×24×7＝×25×h，解得，h＝，故选：B．2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，∵BC＝12，AC＝9，∴AB＝＝15，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•h，∴h＝＝7.2，故选：D．3．解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，根据勾股定理得：c2＝a2+b2，∵S1＝c2，S2＝a2，S3＝b2，∴S1＝S2+S3，即S2+S3＝S1．故选：A．4．解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝，此时这个三角形的周长＝3+4+，故选：C．5．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．6．解：如图所示：S＝×BC×AE＝×BD×AC，△ABC∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4即×4×4＝×5×BD，解得：BD＝．故选：C．7．解：当3和5都是直角边时，第三边长为：＝；当5是斜边长时，第三边长为：＝4．故选：D．8．解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5＝6，∴a+b＝3.5，①∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2＝2.52，②由②得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2.52∴3.52﹣2ab＝2.52ab＝3，故选：D．9．解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．10．解：∵①12+2＝2，故能构成直角三角形；②42+32＝52，故能构成直角三角形；③62+72≠82，故不能构成直角三角形；④（a﹣1）2+（a+1）2≠（4a）2，故不能构成直角三角形．∴能构成直角三角形的是①②．故选：C．11．解：A、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；B、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；C、∵12+22≠32，∴这组数不是勾股数；D、∵52+122＝132，∴这组数是勾股数．故选：D．12．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17米．故选：B．13．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）＝4，故选：A．14．解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．15．解：∵a+b＝14∴（a+b）2＝196∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96∴ab＝24．故选：A．16．解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN＝4，NE＝MN＝3，根据勾股定理得：PE＝＝5，在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，∴AE＝MN＝3，则AP的最大值为AE+EP＝5+3＝8．故选：D．17．解：PA＝＝＝，∴PA的最小值为＝4，故选：B．18．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝BC＝4，AD⊥BC，由勾股定理得，AD＝＝3，故选：C．二．填空题（共6小题）19．解：∵∠ACB＝90°，AB＝1O，BC＝6，∴AC＝＝＝8，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，即×10•CD＝×8×6，解得CD＝4.8．故答案为：8，4.8．＝＝，20．解：由勾股定理得：OP∵OP＝；得OP2＝；＝，依此类推可得OP＝，∴OP故答案为：．21．解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FE，∠FEH＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEH＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵在△AEF和△DHE中，，∴△AEF≌△DHE，∴AF＝DE，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB＝BC＝CD＝DE＝4，∴AF＝DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，在Rt△AEF中，EF＝＝，故正方形EFGH的面积＝×＝10．故答案为：10．22．解：由题意可知梯子的长是不变的，由云梯长10米，梯子顶端离地面6米，可由勾股定理求得梯子的底部距墙8米．当梯子顶端离地面8米时，梯子的底部距墙为6米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动8﹣6＝2（米）．23．解：过点C作CO⊥AB，垂足为O，∵BD＝900，∴OC＝900，∵∠EAC＝30°，∴∠ACO＝30°．在Rt△AOC中，∵AC＝2OA，设OA＝x，则AC＝2x，（2x）2﹣x2＝OC2＝9002，∴x2＝270000，∴x＝300∴AC＝600米．故答案为600．24．解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52＝（x+1）2，解得x＝12m．三．解答题（共6小题）25．解：（1）因为长方形面积＝（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为＝2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；（2）因为正方形的面积＝c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，所以直角三角形的三边关系为：a2+b2＝c2．（3）∵a2﹣b2＝28，a﹣b＝2，∴a+b＝14，∴a＝8，b＝6，∴c2＝82+62＝100，∵c＞0，∴c＝10．26．解：（1）结合已知数据，可得：OA n2＝n；S n＝；（2）∵OA n2＝n，∴OA 10＝．（3）S+S+S+…+S＝+++…＝＝＝．27．（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，AB＝AC，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）解：如图所示：h1﹣h2＝h．28．（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCE中，∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL）∴∠BAC＝∠EDC（全等三角形的对应角相等），∵∠AEF＝∠DEC（对顶角相等），∠EDC+∠DEC＝90°（直角三角形两锐角互余），∴∠BAC+∠AEF＝∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠AFE＝180°﹣（∠BAC+∠AEF）＝90°．∴DE⊥AB．（2）解：由题意知：S＝S△BCE+S△ACD+S△ABE＝a2+b2+cx，△ABD∵，∴．∴a2+b2＝c2．29．解：∵AD＝3，AE＝4，ED＝5，∴AD2+AE2＝ED2．∴∠A＝90°．∴DA⊥AB．∵∠C＝90°．∴DC⊥BC．∵BD平分∠ABC，∴DC＝AD．∵AD＝3，∴CD＝3．30．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8m，BC＝6m，∴AB＝＝＝10m；（2）∵梯子的顶端A下滑2m，∴CA′＝8﹣2＝6m，∴CB′＝＝＝8（m），∴BB′＝B′C﹣BC＝8﹣6＝2（m）．。
勾股定理培优训练
勾股定理培优一、知识要点1：直角三角形中，已知两边求第三边1.勾股定理：若直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，90=∠C ，则。
公式变形①：若知道a ，b ，则=c ； 公式变形②：若知道a ，c ，则=b ； 公式变形③：若知道b ，c ，则=a ； 例1：求图中的直角三角形中未知边的长度：=b ，=c .(1)在Rt ABC ∆中，若90=∠C ，4=a ，=b 3，则=c .(2)在Rt ABC ∆中，若oB 90=∠，9=a ，41=b ，则=c .(3)在Rt ABC ∆中，若90=∠A ，7=a ，5=b ，则=c .二、知识要点2：利用勾股定理在数轴找无理数。
例2：在数轴上画出表示5的点.在数轴上作出表示的点．三、知识要点3：判别一个三角形是否是直角三角形。
例3：分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13 （3）8、15、17（4）4、5、6，试找出哪些能够成直角三角形。
四、知识要点4：利用列方程求线段的长例4：如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？10练一练 915bc练一练 ADEBC五、巩固练习1、写出一组全是偶数的勾股数是.2、直角三角形一直角边为12 cm，斜边长为13 cm，则它的面积为.3、斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积是（）A．60 cm2B．30 cm2C．90 cm2D．120 cm24、已知直角三角形的三边长分别为6、8、x,则以x为.5、若一三角形三边长分别为5、12、13，则这个三角形长是13的边上的高是.6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm，16cm，20cm，则这块三角形铁皮余料的面积为cm2．7、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm．AB感悟中考：1.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．102．（2016海南3分）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A．6 B．6C．2D．33．（2016·四川内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )A B C．3D．不能确定4．（2016·四川宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A．B．2C．3 D．25.（2016·山东省东营市·3分）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10B．8C．6或10D．8或106.（2016·江西·3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．7. （2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=．8．（2016·四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是．9.（2016·福建龙岩·12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）（1）求1路车从A站到D站所走的路程；（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）。
勾股定理专题训练(培优篇)
专题：勾股定理专题分类训练【知识要点】：1.勾股定理：2.勾股定理逆定理：3.勾股数的推算公式① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。
③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫⎝⎛K 是一组勾股数。
④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
4.熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。
简单的勾股数有：3，4， _____； 5，12， _____； 7，_____，25； 8，_____，17； 9，_____，41。
【证明篇】(证法)1以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.（1876年美国总统Garfield 证明）(证法2)（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.(证法3)（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .【应用篇】应用一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在数轴上作出表示17的点．4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．5（2012，黔东南州，6）如图1，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的坐标为（ ）A 、（2，0）B 、（51,0-）C 、（101,0-）D 、（5,0）c bacb a ABCD EFGHMLK应用二、利用列方程求线段的长1．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？2．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．3（2012山东省荷泽市，16(2),6）(2)如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC 边上取一点D,将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标.应用三、判别一个三角形是否是直角三角形1、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）2、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有ADEBC3、若三角形的三别是a 2+b 2,2ab,a 2-b 2(a>b>0),则这个三角形是 .应用四、立体图形中的最短路径1、小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
勾股定理培优班习题
勾股定理培优班习题题型一：利用勾股定理解决实际问题训练1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？训练2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型二、与勾股定理有关的图形问题训练3．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．题型三、关于翻折问题训练4、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG.GB训练5、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.题型四、关于最短性问题训练6、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)题型五、关于勾股定理判定三角形形状训练11、已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
训练12：已知△ABC 的三边a 、b 、c ，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？题型六、关于旋转中的勾股定理的运用：训练13、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
数学数学勾股定理的专项培优练习题(及解析
一、选择题1．如图，点A的坐标是(2)2，，若点P在x轴上，且APO△是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A．（2，0）B．（4，0）C．（－22，0）D．（3，0）2．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（）A．8 B．9 C．10 D．123．一艘渔船从港口A沿北偏东60°方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援．有一救援艇位于港口A正东方向20（3﹣1）海里的B处，接到求救信号后，立即沿北偏东45°方向以30海里/小时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所用的时间为（）A．3小时B．23小时C．22小时D．232小时4．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA 的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）A ．5B ．8C ．10D ．12 5．已知△ABC 的三边分别是6，8，10，则△ABC 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．40D ．486．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=︒正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ）A ．6B ．42C ．8D ．107．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c === C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c ===8．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ） A ．0.6米 B ．0.7米 C ．0.8米 D ．0.9米9．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )A ．6，8，10B ．5，12，13C ．3，5，6D ．2，3，510．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．13．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．15．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.16．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．17．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.18．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．19．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．20．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，斜边AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，连接AD ，线段CD 的长为_________．三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米． （1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．24．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在ABD外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5； ②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③；④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．25．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+. 26．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.27．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ． （1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.28．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA＝52，求点B的坐标；（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．（3）①若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P 使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是．（写出你认为正确的点）29．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【详解】解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=22，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA= 22，∴OA=AP=22∴P的坐标是（-22，0）．故选D．2．C解析：C【解析】【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．3．C解析：C【解析】【分析】过点C作CD垂直AB延长线于D，根据题意得∠CDB=45°，∠CAD=30°，设BD=x则CD=BD=x，BC=2x，由∠CAD=30°可知tan∠CAD=3CDAD=即320(31)x=-+，解方程求出BD的长，从而可知BC的长，进而求出救援艇到达C处所用的时间即可.【详解】如图：过点C作CD垂直AB延长线于D，则∠CDB=45°，∠CAD=30°，∵∠CDB=45°，CD⊥BD，∴BD=CD，设BD=x，救援艇到达C处所用的时间为t，∵tan∠CAD=3CDAD=，AD=AB+BD，∴3320(31)x=-+，得x=20（海里），∴BC=2BD=202（海里），∴t=202=22（小时），故选C.【点睛】本题考查特殊角三角函数，正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键. 4．C解析：C【解析】分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出OE的长度，由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.详解：如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：∵DP ⊥BP ，AC 为直径；∴∠DPB=∠PBC=90°.∴PD ∥BC,且PD 为⊙O 的切线.∴∠PDE=90°=∠DEB,∴四边形PDEB 为矩形，∴AB ∥OE ，且O 为AC 中点，AB=6.∴PD=BE=EC.∴OE=12AB=3. 设PA=x ，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC ，EC=PD=6-x..在Rt △OEC 中:222OE EC OC +=,即：()()222363x x +-=+，解得x=2.所以AC=2OC=2×（3+x ）=10.点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理. 5．A解析：A【解析】已知△ABC 的三边分别为6，10，8，由62+82=102，即可判定△ABC 是直角三角形，两直角边是6，8，所以△ABC 的面积为12×6×8=24，故选A ． 6．A解析：A【分析】设CF=x ，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x ，再由AB 2+AC 2=BC 2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可．【详解】设CF=x ，则AC=x+2，∵正方形ADOF 的边长是2，BD=4，△BDO ≌△BEO ，△CEO ≌△CFO ，∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF=2，∴AB=6，BC=6+x ，∵∠A=90°，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴62+（x+2）2=（x+4）2，解得：x=6，即CF=6，故选：A ．【点睛】考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x ，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．7．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形；C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形． 8．B解析：B【解析】试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定（米）．故选B ．9．C解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】A 、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、222+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．10．C解析：C【分析】根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题．【详解】由题意可得，当3和4为两直线边时，第三边为：22+＝5，43当斜边为4时，则第三边为：2243-＝7，故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．二、填空题11．7【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．【详解】连接AC，交BD于点O，∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，∵CE∥AB，∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE＝3，∴DE＝AD−AE＝1，∵∠CED＝∠ADB＝60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE＝EF＝DF＝1，∴CF＝CE−EF＝2，OF＝OD−DF＝1，22OC CF OF3∴=-=，22BC=OB+OC=7∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．12．82【分析】根据S△PAD＝13S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．【详解】设△PAD中AD边上的高是h．∵S△PAD＝13S矩形ABCD，∴12AD•h＝13AD•AB，∴h＝23AB＝4，∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，DE22228882AE AD++=即PA+PD的最小值为2．故答案2．【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键．13．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标．【详解】解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP ＝22OP OC -＝2254-＝3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ， 在直角△PDM 中，PM ＝22PD DM -＝3，当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）；当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）．故P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.14．2【分析】连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD =+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.【详解】连接AD 、CD ，如图所示：由勾股定理可得，22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线， ∴225AC AD BD ===，在△ABC 和△DEB 中，AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.1510【分析】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422DC DB ===∵2OD =∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+ ∴33417OE = ∴22123417EC OC EO =-=∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90° ∴1634217FG EC == ∴2034BE BO OE =+=∴17342GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.16．258【分析】先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=2222AB+BC=3+4=5；∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴ADAC=FABC，即AD5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．17．3．【分析】作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B关于AD的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，∴BM+MN=B′M+MN=B′N，由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴33即BM+MN3．3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．18．4或25或10【分析】分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2222⨯=．在Rt△BAC中，BC2222=+=22，∴BD22222222BE DE（）（）=+=++= 25；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=222⨯=．又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC2222=+=22，∴BD222222210 BC CD=+=+=（）（）．故BD 的长等于4或．故答案为4或．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，19．【解析】【详解】∵（x-6）2=9，∴x-6=±3，解得：x 1=9，x 2=3，∵x ，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，∴当x=3时，x 、y =；当x=9时，x 、y =；当x=9时，x 为斜边、y 为直角边，则第三边为263922=-.故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题时注意一定不要漏解．20．78． 【解析】∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC ．∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，2223(4)x x +=- ，解得：78x =．故答案为：78． 三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(2y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM＝DN＝FN＝EM，然后根据线段的和差关系可得BE+CF＝2DM，BE﹣CF＝2BM，在Rt△BMD中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM＝3BM，进而可得BE+CF＝3（BE﹣CF），代入x、y后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12AB；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度22257-米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴BD+BE=DE=22CD CE -=222520-=15，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．23．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM = 【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出2232MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个， 故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==，∴2232MN MO NO p =-=， ∴32q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =，∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =，在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=，∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．24．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==， ∴()22227BE +=， 解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 4532HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 的距离为62，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+ 1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯11222322=⨯⨯+⨯⨯ 13=+，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：6EH HB ==， ∴622AH AE EH =+=+， 22222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+，故③正确； ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称，∴523AB BC ==+∴225231043AC BC ==+=+∴ min PC AC AP =-，10432=+⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =， 在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．25．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=D C=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB 上，∵BC=10，∴D′C=BC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，设D′E=BE=x ，在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．∴102-x 2=172-（9+x ）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.27．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，∴∠BED=90°，∴△BED 是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE =+=，∴2BD DE =.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.28．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题； （2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于。
勾股定理经典培优题及答案
勾股定理经典培优题类型之一勾股定理的验证1．小明利用如图17－X －1①所示的图形(三个正方形和一个直角三角形)验证勾股定理验证勾股定理，，他的方法如下：过点D 作直线FG ∥AC ，过点E 作直线GH ∥BC ，直线FG 与直线GH 交于点G ，与直线BC 交于点F ，直线GH 与直线AC 交于点H ，如图②所示．请你回答：(1)△ABC 与△BDF ，△DEG ，△EAH 有什么关系？为什么？(2)用含a ，b 的代数式表示正方形CFGH 的面积；(3)你能否根据图形面积之间的关系找到a ，b ，c 之间的数量关系？(4)你能得到什么结论？图17－X －1 2．勾股定理神秘而美妙勾股定理神秘而美妙，，它的证法多样它的证法多样，，其巧妙各有不同其巧妙各有不同，，其中的“面积法”给了小明灵感其中的“面积法”给了小明灵感，，他惊喜地发现他惊喜地发现，，当四个全等的直角三角形如图17－X －2摆放时摆放时，，可以用“面积法”来证明a 2＋b 2＝c 2.(请你写出证明过程) 图17－X －2 类型之二勾股定理及其应用3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，则它的腰长为() A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，，创制了一幅“弦图”创制了一幅“弦图”，，后人称其为“赵爽弦图”．如图17－X －3是由弦图变化得到的是由弦图变化得到的，，它由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3.若正方形EFGH 的边长为2，则S 1＋S 2＋S 3＝________. 图17－X －3 图17－X －4 5．图17－X －4①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝12，BC ＝10，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍的直角边分别向外延长一倍，，得到图②所示的数学“风车”得到图②所示的数学“风车”，，则这个数学“风车”的外围周长是________．6．知识回顾：在学习《二次根式》时知识回顾：在学习《二次根式》时，，我们知道：2＋3≠5； 在学习《勾股定理》时在学习《勾股定理》时，，由于2，3，5满足(2)2＋(3)2＝(5)2，因此以2，3，5为三边长能构成直角三角形．三角形．探索思考：请通过构造图形来说明：a ＋b ≠a ＋b (a ＞0，b ＞0)．(画出图形并进行解释) 7．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝20，D 是直线BC 上的一个动点上的一个动点，，连接AD ，如果线段AD 的长度最短是12，请你求△ABC 的面积．的面积．类型之三 勾股定理的逆定理及其应用8．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，，能构成直角三角形的有( ) A ．②B ．①②．①②C ．①③．①③D ．②③．②③ 9．如果△ABC 的三边长分别是m 2－1，m 2＋1，2m (m >1)，那么下列说法中正确的是( ) A ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为m 2＋1 B ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为2m C ．△ABC 是直角三角形是直角三角形，，且斜边长为m 2－1 D ．△ABC 不是直角三角形不是直角三角形10．若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足关系式(a ＋2b －60)2＋|b －18|＋c －30＝0，则△ABC 是________三角形．类型之四 勾股定理及其逆定理的综合应用图17－X －5 11．如图17－X －5，E 是正方形ABCD 内的一点内的一点，，连接AE ，BE ，CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置．若AE ＝1，BE ＝2，CE ＝3，则∠BE ′C ＝________°. 12．如图17－X －6，在4×3的正方形网格中有从点A 出发的四条线段AB ，AC ，AD ，AE ，它们的另一个端点B ，C ，D ，E 均在格点上(正方形网格的交点)．(1)若每个正方形的边长都是1，分别求出AB ，AC ，AD ，AE 的长度(结果可以保留根号)；(2)在AB ，AC ，AD ，AE 四条线段中四条线段中，，是否存在三条线段是否存在三条线段，，它们能构成直角三角形？如果存在它们能构成直角三角形？如果存在，，请指出是哪三条线段条线段，，并说明理由．并说明理由．图17－X －6 类型之五 勾股定理在实际生活中的应用图17－X －7 13．如图17－X －7是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌，，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为________米(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．14．如图17－X －8，A ，B 两地之间有一座山两地之间有一座山，，汽车原来从A 地到B 地需经过C 地沿折线ACB 行驶行驶，，现开通隧道后隧道后，，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC ＝10千米千米，，∠A ＝30°，∠B ＝45°则隧道开通后则隧道开通后，，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？(结果保留根号) 图17－X －8 。
数学数学勾股定理的专项培优练习题(附解析
一、选择题1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 2．在ABC ∆中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为（ ）A ．4或14B ．10或14C ．14D ．103．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．10 4．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ）A ．5B ．8C ．254D ．2585．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=30°，点E为AB的中点，DE⊥AB，交AB于点E，DE=3，BC=1，CD=13，则CE的长是（）A．14B．17C．15D．137．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE，以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．在ΔABC中,211a b c=+,则∠A( )A．一定是锐角B．一定是直角C．一定是钝角D．非上述答案9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（）A．5.3尺B．6.8尺C．4.7尺D．3.2尺10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）A ．3B ．5C ．4.2D ．4二、填空题11．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________12．如图，Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，13CD BC =，13CE AC =，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________13．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________.14．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.15．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.16．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．18．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．19．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛÷ ⎝ （2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．（1）求BF 的长；（2）求CE 的长．23．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有1个，即点O ．（1）“距离坐标”为(1，0)的点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线AB 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为(p ，q )，且∠BOD = 150︒，请写出p 、q 的关系式并证明；（3）如图3，点M 的“距离坐标”为(1,3)，且∠DOB = 30︒，求OM 的长．24．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）25．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．26．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．27．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．28．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．29．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．30．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合等边三角形得性质易证△ABE ≌△CAD ，可得∠FBG ＝30°，BF ＝2FG ＝2，再求解∠ABE ＝15°，进而两次利用勾股定理可求解．【详解】∵△ABC 为等边三角形∴∠BAE ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ，CD ＝AE∴△ABE ≌△CAD （SAS ）∴∠ABE=∠CAD∴∠BFD ＝∠ABE+∠BAD ＝∠CAD+∠BAF ＝∠BAC ＝60°，∵BG ⊥AD ，∴∠BGF ＝90°，∴∠FBG ＝30°，∵FG ＝1，∴BF ＝2FG ＝2，∵∠BEC ＝75°，∠BAE ＝60°，∴∠ABE ＝∠BEC ﹣∠BAE ＝15°，∴∠ABG ＝45°，∵BG ⊥AD ，∴∠AGB ＝90°，∴=AB 2=AG 2+BG 22)2=6．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明△ABG 为等腰直角三角形是解题关键．2．A解析：A【分析】根据AC =13，AD =12，CD =5，可判断出△ADC 是直角三角形，在Rt △ADB 中求出BD ，继而可得出BC 的长度．【详解】∵AC =13，AD =12，CD =5，∴222AD CD AC +=，∴△ABD 是直角三角形，AD ⊥BC ，由于点D 在直线BC 上，分两种情况讨论：当点D 在线段BC 上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=，则14BC BD CD =+=；②当点D 在BC 延长线上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=， 则4BC BD CD =-=．故答案为：Ａ．【点睛】 本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．3．C解析：C【分析】由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案.【详解】∵AP+CP=AC ，∴AP BP CP ++=BP+AC ，∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值，设AH ⊥BC ，∵56AB AC BC ===，∴BH=3，∴224AH AB BH =-=, ∵1122ABC SBC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8，故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.4．C解析：C【分析】根据ABP △为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP 的长度，从而求出t 值即可．【详解】在Rt ABC 中，222225316BC AB AC =-=-=，4BC cm ∴=，①如图，当AB BP =时， 5 ,5BP cm t ==；②如图，当AB AP =时，∵AC BP ⊥，∴28 BP BC cm ==，8t =；③如图，当BP AP =时，设AP BP xcm ==，则4,3( )CP x cm AC cm =-=，∵在Rt ACP 中，222AP AC CP =+，∴()22234x x =+-，解得：258x =， ∴258t =， 综上所述，当ABP △为等腰三角形时，5t =或8t =或258t =． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论．5．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D ，AE=A'E ，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC ，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC 的边长为1cm ，所以AB=BC=AC=1cm ，因为△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A'处，所以AD=A'D ，AE=A'E ，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC =1+1+1=3（cm ）．故选：D ．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．6．D解析：D【解析】【分析】连接BD ，作CF ⊥AB 于F ，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD ，AE=BE ，得出∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出BD=AD=2DE=23，AE=BE=3DE=3，证出△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF=12BC=12，CF=3BF=3，求出EF=BE+BF=72，在Rt △CEF 中，由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：连接BD ，作CF ⊥AB 于F ，如图所示：则∠BFC=90°，∵点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，∴BD=AD ，AE=BE ，∵∠DAB=30°，∴∠DBE=∠DAB=30°，BD=AD=2DE=，∵BC 2+BD 2=12+（2=13=CD 2，∴△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，∴∠CBF=180°-30°-90°=60°，∴∠BCF=30°，∠BFC=90°，∴∠BCF=30°，∴BF=12BC=12， ∴EF=BE+BF=72，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：= 故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．7．C解析：C【解析】试题分析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ． ∵在△BAD 和△CAE 中，AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ）．∴BD=CE ．本结论正确．②∵△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD=∠ACE ．∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°．∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°． ∴BD ⊥CE ．本结论正确．③∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABD+∠DBC=45°．∵∠ABD=∠ACE ，∴∠ACE+∠DBC=45°．本结论正确．④∵BD ⊥CE ，∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得：BE 2=BD 2+DE 2．∵△ADE 为等腰直角三角形，∴AD ，即DE 2=2AD 2．∴BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2．而BD 2≠2AB 2，本结论错误．综上所述，正确的个数为3个．故选C ．8．A【解析】【分析】根据211a b c=+以及三角形三边关系可得2bc＞a 2，再根据（b-c）2≥0，可推导得出b 2 +c 2＞a 2，据此进行判断即可得.【详解】∵211a b c =+，∴2b ca bc+ =，∴2bc=a（b+c），∵a、b、c是三角形的三条边，∴b+c＞a，∴2bc＞a·a，即2bc＞a 2，∵（b-c）2≥0，∴b 2 +c 2 -2bc≥0，b 2 +c 2≥2bc，∴b 2 +c 2＞a 2，∴一定为锐角，故选A．【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股定理等，题目较难，得出b 2 +c 2＞a 2是解题的关键.9．D解析：D【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+62=（10-x）2，解得：x=3.2，答：折断处离地面的高度OA是3.2尺．故选D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．解析：C【分析】根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．【详解】设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，由勾股定理可得：222=OA OB AB +即：()2224=10x x +-，解得：x ＝4.2故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．故答案选：C ．【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．二、填空题11．5【分析】由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．【详解】解：如图所示，连接BD ，∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ，在ACE 和BCD 中，AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ＝3，∠E ＝∠BDC ＝45°， ∴∠ADB ＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°，∴AB ＝22AD +BD =7+3=10，∵AB=2BC ，∴BC ＝2×AB=52， 故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．53或203【分析】 根据折叠后点C 的对应点H 与AC 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论．【详解】解：①当折叠后点C 的对应点H 在AC 的下方时，如下图所示∵Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，根据勾股定理可得2210AB AC += ∵13CD BC =，13CE AC =， ∴13CD BC ==103，13CE AC ==83 ∵DE AC ⊥根据勾股定理可得222CD CE -=由折叠的性质可得：DH=CD=103，CP=PH∴EH=DH－DE=4 3设CP=PH=x，则EP=CE－CP=83－x在Rt△PEH中，EP2＋EH2=PH2即（83－x）2＋（43）2=x2解得：x=5 3即此时CP=53；②当折叠后点C的对应点H在AC的上方时，如下图所示根据折叠的性质可得DH=CD=103，CP=PH∴EH=DH＋DE=16 3设CP=PH=y，则EP= CP－CE =y－8 3在Rt△PEH中，EP2＋EH2=PH2即（y－83）2＋（163）2=y2解得：y=20 3即此时CP=203．综上所述：CP=53或203．故答案为：53或203．【点睛】此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．13．23或2 【分析】 先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4，∴22224223AC AB BC =-=-=,当AC 为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3,设DE=x ，则AD=2x ，∵222AE DE AD +=,∴222(3)(2)x x +=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：32【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.1410【分析】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422DC DB ===∵2OD =∴32OC DC OD =-= ∴2234OB BD DO +=设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+ ∴33417OE = ∴22123417EC OC EO =-=∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90° ∴1634217FG EC == ∴2034BE BO OE =+=∴17342GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.15．5【分析】设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值【详解】如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x 尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）故填14.5 ,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键. 16．21【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．17．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可【详解】∵AC的垂直平分线FG，∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC）=30°，∴∠B=∠G，∴BF=FG，∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE，即（2AE）2=AE2+32，∴3即3同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，（2EF）2=EF2+32，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．18．4或25或10【分析】分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=2222⨯=．在Rt△BAC中，BC2222=+=22，∴BD22222222BE DE（）（）=+=++= 25；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=2222⨯=．又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC2222=+=22，∴BD222222210 BC CD=+=+=（）（）．故BD 的长等于4或25或10．故答案为4或25或10．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题， 19．3【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,∵15cm BC =，20cm AC =，∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=，∵90ACB ∠=︒，∴'A M AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有222(257)5m m +-=，解得3m =，所以MB '的长为3.【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.20．522,322++【分析】过B 作BF ⊥CA 于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC 的长．【详解】分两种情况：①当∠C 为锐角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，由折叠可得，折痕PE 垂直平分AB ，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP 是等腰直角三角形，∴BF=DF=22又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=221BC BF-=，∴AC=AP+PF+CF=5+22；②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=22又∵BC=3，∴Rt△BCF中，221BC BF-=，∴AC=AF-CF=3+22故答案为：5+223+22【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题21．（1）423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，6【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）1312248233⎛÷⎝=2(63343)233÷=28(3)(23) 3÷＝423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．【分析】（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，故BF 的长为6．（2）设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．23．(1)2；(2)32q p =；(3)27OM = 【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过M 作MN ⊥CD 于N ，根据已知得出MN q =，OM p =，求出∠MON ＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出223MN MO NO p =-=即可解决问题；（3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点，首先证明OM OE OF EF ===，求出2MF =，23ME =，然后过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，根据含30度直角三角形的性质求出1FG =，3MG =，再利用勾股定理求出EF 即可．【详解】解：（1）由题意可知，在直线CD 上，且在点O 的两侧各有一个，共2个，故答案为：2；（2）过M 作MN CD ⊥于N ，∵直线l AB ⊥于O ，150BOD ∠=︒，∴60MON ∠=︒，∵MN q =，OM p =，∴1122NO MO p ==， ∴2232MN MO NO p =-=， ∴32q p =； （3）分别作点M 关于AB 、CD 的对称点F 、E ，连接EF 、OE 、OF ，连接MF 、ME 分别交AB 、CD 于P 点、Q 点．∴OFP OMP △≌△，OEQ OMQ △≌△，∴FOP MOP ∠=∠，EOQ MOQ ∠=∠，OM OE OF ==，∴260EOF BOD ∠=∠=︒，∴△OEF 是等边三角形，∴OM OE OF EF ===，∵1MP =，3MQ =， ∴2MF =，23ME =，∵30BOD ∠=︒，∴150PMQ ∠=︒，过F 作FG QM ⊥，交QM 延长线于G ，∴30FMG ∠=︒，在Rt FMG △中，112FG MF ==，则3MG =， 在Rt EGF 中，1FG =，33EG ME MG =+=， ∴22(33)127EF =+=，∴27OM =．【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键．24．（1）见解析；（2）CD 2AD +BD ，理由见解析；（3）CD 3+BD【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE 2AD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH ＝32AD ，由AD ＝AE ，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH22AD AH32AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，故答案为：CD3+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.25．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =216;(3)BC=2OC=273,AB=10.【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23,再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中, AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB 2222126AB AO -=-3∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE 222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD ()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=所以BC=2OC=273,在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.26．（1131710，112；（2）图见解析；7．【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112， 故答案为13，17，10，112． （2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.27．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，在△FCE 和△HFG 中 CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD ==-=∴333CE DE DC =-=-∴点E 与点C 之间的距离为333-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.28．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.【分析】（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．理由如下：根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．因为2224222(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正。
勾股定理培优练习题
勾股定理培优练习题1. 已知直角三角形的直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
设斜边长度为x，则有3^2 + 4^2 = x^2。
计算可得5^2 = x^2，因此x = 5。
所以，斜边的长度为5cm。
2. 已知直角三角形的斜边为13cm，一直角边为5cm，求另一直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设另一直角边的长度为x，则有x^2 + 5^2 = 13^2。
计算可得x^2 + 25 = 169，即x^2 = 144。
所以，x = 12。
因此，另一直角边的长度为12cm。
3. 一座直角梯形的短边长度分别为6cm和8cm，斜边长度为10cm，求长边的长度。
解答：根据勾股定理，直角梯形斜边的平方等于长边的平方减去短边的平方。
设长边的长度为x，则有10^2 = x^2 - 8^2。
计算可得100 =x^2 - 64，即x^2 = 164。
所以，x = √164。
因此，长边的长度为√164cm。
4. 已知直角三角形某直角边的长度为9cm，斜边长度为15cm，求另一直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形一直角边的平方和等于斜边的平方。
设另一直角边的长度为x，则有9^2 + x^2 = 15^2。
计算可得81 +x^2 = 225，即x^2 = 144。
所以，x = 12。
因此，另一直角边的长度为12cm。
5. 一直角三角形的两直角边的长度之比为3:4，斜边长度为10cm，求两直角边的长度。
解答：设两直角边的长度分别为3x和4x。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
所以，有(3x)^2 + (4x)^2 =10^2。
计算可得9x^2 + 16x^2 = 100，即25x^2 = 100。
解方程得x^2 = 4，所以x = 2。
因此，两直角边的长度分别为3x = 6cm和4x = 8cm。
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八年级下勾股定理培优训练
一．选择题
1．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD 的长为（）
A．B．C．D．
2．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD 的面积是（）
A．B．C．2D．
3．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF ②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP ④S四边形AEPF=S△ABC
当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），则上述结论始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm
5．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要（）cm．
A．10n B．C．D．
6．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）
A．2 B．2.6 C．3 D．4
7．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交
AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为（）
A．B．C．1D．
8．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）
A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1
9．已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（）
A．B．1C．D．2
10．下列五个命题：
（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；
（2）如果a≥0，那么=a
（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；
（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．
其中不正确命题的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
12．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）
A．13 B．19 C．25 D．169
13．如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=8，将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）
A．7.5 B．6C．10 D．5
二．填空题
14．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC．若BE=，则CD= ．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是．
16．已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是．（只填序号）
①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，则四边形ABCD的面积是．
18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．若BE=2，AG=8，则AB的长为．
三．解答题
19．如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BC=3,AC=2，试求AB的长．
20．操作发现：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC
与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．
21．已知a，b，c为△ABC的三边长，且（++）2=3（++），试说明这个三角形是什么三角形．
22．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．
（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长．
24.已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．
D A
B C AD
AB AC AB BC ⋅++=222225.已知：△ABC 是钝角三角形，CD 垂直BA 延长线于D ，求证：
26．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．
27．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求
BD 的长．
28．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．
29．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．
30．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．。