模型举例 传染病 经济增长模型

2013年6月23日星期日
1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
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模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
dx d d 2x d [rx ( K x)] r[( K x) x ( K x)] 2 dt dt dt dt
r 2 x( K x)( K 2 x)
K d2x K d2x 当0 x 时， 2 0; 当 x K时， 2 0。 2 dt 2 dt
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
F为待定函数
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
Q(K , L) f 0 F (K , L) 每个劳动 z Q 每个劳动 y K 力的产值 力的投资 L L
静态模型 模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
z Q / L f0 g ( y)
提高 r0
群体免疫
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
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模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
SIR模型
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
希望能建立一个数学模型来描述它，并用来指导生产。记t时 已售出的产品数为x(t)。假设该产品使用方便，这些正在使用
的新产品实际上起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客，
使每一个新产品实际上在单位时间内平均吸引r个顾客，由此 得到下列关系式：
dx rx dt
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dx rx求函数x x(t )。 把它变形写成微分的形式： dt 1 dx rdt x 两边积分得： 1 xdx rdt 积分结果为： 下面根据
0
s(t)单调减相轨线的方向
1
P2
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/σ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ σ i(t)单调降至0
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i (s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
病人可以治愈！
(日接触率) tm
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模型3
增加假设 建模
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
dx K 因此 的最大值为 。 dt 2
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由以上讨论可知，当销售量小于最大需求量的一半时，销
售速度越来越大；当销售量大于最大需求量的一半时，销售速 度越来越小。而当销售量等最大需求量的一半时，销售速度最
大，产品最畅销。
国外学者普遍认为，对于某一新产品，当有30﹪~80﹪的 用户采用时，正是该产品大批量生产的合适期。当然，还应注
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
资金来自贷款，利率 r 资金和劳动力创造的效益 劳动力付工资 w
S Q rK wL
求资金与劳动力的分配比例K/L(每个 劳动力占有的资金) ，使效益S最大
S S 0, 0 K L
KQK LQL , 1 Q Q
为x(t)=0，显然不符合事实。原因是我们只考虑了实物广告的 作用，而忽略了厂家可以通过其它方式宣传新产品，从而打开
销路的可能性。
②在x(t)=x0ert中，若令t→+∞，则有x(t) →+∞，这也与事 实不符。事实上，x(t)应该有一个上界。设需求量的上界为K， 则尚未使用新产品的户数为K-x(t)。由统计规律可知，
即
lnx rt C1
x Ce rt
若x(0)=x0，则可得销售函数为
x x0 e rt
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当通过努力已有x0的产品投入使用，这时函数x(t)=x0ert使
在开始的阶段能较好地反映真实的销售情况。 但这个函数有缺陷：
①取t=0表示新产品诞生的时刻，即x(0)=0，这时销售函数
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni (t )t
di si dt
s(t ) i(t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
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模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
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di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
Logistic 模型
1 1 t 1 1 e i 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln 1 i 0 t i 1 ?
dx rx ( K x) dt
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dx dx 把 rx( K x)变形为 rdt。 两边积分得： dt x( K x)
1 [ln x ln( K x)] rt C1 K
写成显函数为
x(t ) K 1 Ce Krt
若x(0)=x0，则可得销售函数为
Kx 0 x(t ) x0 ( K x0 )e Krt
其图像称为增长曲线或Logistic曲线。 18
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下面讨论x(t )
Kx0 的性质。 Krt x0 ( K x0 )e
直接求导是麻烦的，我们转而考虑 dx rx ( K x) dt
意在初期可小批量生产并辅以广告宣传，而后期则应适时转产
或开发新产品，这样可以使厂家获得较高的经济效益。
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5.2
经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 • 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长 1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 Q(t) 资金 K(t) 技术 f(t) = f0 劳动力 L(t)
s(t ) i(t ) r (t ) 1
需建立
i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
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模型4
SIR模型
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i (s) 的图形，进行分析
0
D
s
1
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模型4
相轨线 i (s) 及其分析
i
1 D
SIR模型
1 s i( s) ( s0 i0 ) s ln s0
P4
di 1 di dt si i ds s 1 ds si i s s i0 dt i (0) i0 , s (0) s0
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
1
i

P1 0 s 1 /
x 2s0 ( s0
s0 - 1/ =
1

)
s0
s
小, s0 1
x 2
提高阈值1/ σ 来自百度文库降低 被传染人数比例 x
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新产品销售模型
经济学家和社会学家们一直关注新产品的销售速度问题，
Q( K , L) f 0 K L

1
QL ~ 单位劳动力创造的产值
KQK , Q
LQL 1 Q
KQK LQL Q
~ 资金在产值中的份额
1- ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数
Q( K, L) f0 K L , 0 , 1, f0 0
i(t t ) i(t ) i(t )t
di i dt i (0) i0
i(t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
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模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i(t ), s(t ) 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病
di i (1 i ) i dt i (0) i0
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
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模型3
di/dt
di i (1 i ) i dt i
>1
i0
1-1/
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微分方程模型
1 传染病模型 2 经济增长模型
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动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
1/ σ 传染病蔓延 ~ 传染病不蔓延 阈值
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模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
s0 i0 r0 1
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
1 i (t )
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模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
Q f0 L( K / L)
g ( y) y ,
0 1
g(y)
1 Q( K , L) f0 K L Douglas生产函数
Q Q , 0 K L
2Q 2Q , 2 0 含义？ 2 K L
0
y
1. Douglas生产函数
QK ~ 单位资金创造的产值
di 1 i[i (1 )] / dt
>1
i
1
di/dt < 0
i0 0 i0
0
1-1/
1 i
1 , 1 1 i ( ) 0, 1
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 i0 小 健康者人数不超过病人数