模型举例 传染病 经济增长模型
数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
传染病模型助力疫情防控：原理与案例
传染病模型助力疫情防控：原理与案例一、传染病模型的原理1. 易感者数量（S）：指未感染病原体的人群数量。
2. 感染者数量（I）：指已感染病原体的人群数量。
3. 传播系数（β）：指感染者与易感者之间的传播概率。
4. 恢复系数（γ）：指感染者康复后不再具有传染性的概率。
5. 死亡率（μ）：指感染者因疾病导致的死亡率。
根据这些参数，传染病模型可以模拟传染病的传播过程，预测疫情的发展趋势。
常见的传染病模型有SEIR模型、SIR模型和SIS模型等。
这些模型通过对参数的调整和优化，可以更准确地描述传染病的传播特征。
二、传染病模型的案例分析1. 2003年SARS疫情2003年，我国爆发了严重急性呼吸综合征（SARS）疫情。
在此次疫情防控中，传染病模型发挥了重要作用。
研究人员根据疫情数据，建立了SARS传播模型，预测了疫情的发展趋势。
根据模型预测结果，政府采取了严格的防控措施，如隔离病患、限制人员流动等，有效遏制了疫情的蔓延。
经过大约半年的努力，我国成功控制了SARS疫情。
2. 2009年H1N1流感疫情2009年，甲型H1N1流感（又称“猪流感”）在全球范围内爆发。
我国研究人员迅速建立了H1N1流感传播模型，并预测了疫情的发展趋势。
根据模型预测结果，政府采取了大规模疫苗接种、隔离病患等措施，有效控制了疫情。
经过大约一年的努力，我国成功遏制了H1N1流感的传播。
3. 2013年H7N9禽流感疫情2013年，我国出现了人感染H7N9禽流感的病例。
研究人员根据疫情数据，建立了H7N9禽流感传播模型，预测了疫情的发展趋势。
根据模型预测结果，政府采取了严格的防控措施，如加强活禽市场监管、隔离病患等，有效遏制了疫情的蔓延。
经过大约两个月的努力，我国成功控制了H7N9禽流感疫情。
4. 2019年COVID19疫情2019年底，新型冠状病毒（COVID19）疫情爆发。
我国研究人员迅速建立了COVID19传播模型，并预测了疫情的发展趋势。
数学建模例题题
数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
数学建模传染病模型
传生病模型医学科学的发展已经可以有效地预防和控制好多传生病，但是依旧有一些传生病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传生病的流传，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、流传形式、流传能力、免疫能力等。
一般把传生病流行范围内的人群分成三类： S 类，易感者 (Susceptible) ，指未患病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后简单碰到感染； I 类，感病者 (Infective) ，指染上传生病的人，它可以流传给 S 类成员； R 类，移出者 (Removal) ，指被隔断或因病愈而拥有免疫力的人。
问题提出请建立传生病模型，并解析被传染的人数与哪些因素有关？如何预告传生病高潮的到来?为什么同一地区一种传生病每次流行时，被传染的人数大体不变？要点字 : 传生病模型、建模、流行病大纲：随着卫生设施的改进、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等从前残酷全球的传染性疾病已经获取有效的控制。
但是一些新的、不断变异着的传生病毒却静静向人类袭来。
20 世纪 80 年代十分险恶的爱滋病毒开始残酷全球，到此刻带来极大的危害。
还有近来的 SARS病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重要的损失。
长远以来，建立制止传生病延长的手段等，素来是各国有关专家和官员关注的课题。
不同样种类传生病的流传过程有其各自不同样的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可以能从医学的角度一一解析各种传生病的流传，而可是依照一般的流传模型机理建立几种模型。
模型 1在这个最简单的模型中，设时辰 t 的病人人数 x(t) 是连续、可微函数，方程（ 1）的解为结果表示，随着t 的增加，病人人数x(t) 无量增加，这显然是不吻合实质的。
建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，因此在改进的模型中必定差异健康人和病人这两种人。
数学建摸论文例子-传染病模型
传染病的传播摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。
而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。
并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。
运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合MATLAB编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。
同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。
关键词：微分方程 SARS 数学模型感染率1问题的重述SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。
2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件1提供的数据供参考。
3)说明建立传染病数学模型的重要性。
2 定义与符号说明N …………………………………表示为SARS 病人的总数；K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数；L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数；dt dN(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数；N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数；t …………………………………表示时间；R 2………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型3.1模型假设1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。
传染病数学模型
传染病数学模型（二）引言：在传染病研究中，数学模型是一种重要的工具，通过模拟传染病的传播过程，可以帮助研究人员更好地了解病毒传播的规律，并提供有效的预测和控制策略。
本文将介绍传染病数学模型的相关理论及其应用。
概述：传染病数学模型是基于数学方程和模拟计算的方法，用于描述传染病在人群中的传播过程。
通过构建数学方程来描述人群中的感染者、易感者和康复者之间的相互作用，可以模拟传染病的传播动态，并为疫情的预测和控制提供有价值的信息。
正文：一、传染病数学模型的类型1. 动力学模型：描述传染病在时间上的变化规律，常用的动力学模型有SIR模型、SEIR模型等。
2. 空间模型：考虑传染病在空间上的传播，可以帮助研究人员更好地理解传染病的传播路径和空间分布规律。
3. 随机模型：考虑传染病传播的随机因素，可以更真实地反映传染病的传播过程。
4. 网络模型：基于网络结构，模拟人群之间的联系和传播路径，适用于研究社交网络中的传染病传播。
二、传染病数学模型的基本假设1. 平均场假设：假设人群中的每个个体都具有相同的特性和行为，且与其他个体的接触频率相同。
2. 免疫假设：假设人群中的康复者对传染病具有免疫力，不再感染。
3. 独立性假设：假设人群中的个体之间的相互作用是相互独立的，即每个个体的感染概率与其他个体无关。
4. 恒定人口假设：假设人口总数在模拟过程中保持恒定，不存在人口的出生和死亡。
三、传染病数学模型的参数和变量1. 基本再生数（R0）：描述传染病在易感人群中的传播能力，是评估传染病传播速度的重要指标。
2. 感染率（β）：描述感染者与易感者之间的传播强度，与传染病的传播速度密切相关。
3. 接触率（c）：描述人群中个体之间的接触频率，是传染病传播过程中的重要参数。
4. 感染周期（1/α）：描述传染病的潜伏期长度，即感染者从感染到出现症状的时间。
5. 恢复率（1/γ）：描述感染者康复的速度，与传染病的严重程度相关。
四、传染病数学模型的应用1. 疫情预测：通过建立传染病数学模型，可以预测疫情的发展趋势和高发区域，为公共卫生部门提供决策依据。
传染病模型(一)
传染病模型（一）引言概述:传染病模型是一种用数学和统计方法来描述和预测传染病的传播和演变规律的工具。
通过构建传染源、易感人群和传播途径之间的数学模型，可以帮助我们理解传染病的传播机理，并为制定防控策略提供科学依据。
本文将从以下五个方面进行阐述传染病模型的相关内容。
正文:一、传染病模型的概念与分类1. 传染病模型的定义及其在传染病研究中的作用2. 基本传染病模型的分类与特点3. 传染病模型的发展历程及相关研究方法4. 传染病模型的应用领域和重要性5. 传染病模型与其他数学模型的区别与联系二、常见传染病模型的原理与应用1. SIR模型的基本原理及其应用案例2. SEIR模型的基本原理及其应用案例3. SI模型的基本原理及其应用案例4. SIS模型的基本原理及其应用案例5. 其他常见传染病模型的基本原理及其应用案例三、传染病模型参数与影响因素1. 传染病模型中的基本参数介绍与解释2. 个体感染力与感染率对传染病模型的影响3. 接触率与人群流动性对传染病模型的影响4. 传染病模型中的治疗率与死亡率的作用分析5. 其他可能影响传染病模型的因素及其研究方法四、传染病模型的参数估计与验证1. 传染病模型参数估计的基本原理与方法2. 贝叶斯统计在传染病模型参数估计中的应用3. 偏微分方程模型在传染病模型参数估计中的应用4. 经验估计方法在传染病模型参数估计中的应用5. 传染病模型参数估计结果的验证与评估方法五、传染病模型的局限性与未来发展方向1. 传染病模型中的假设与局限性分析2. 传染病模型的参数敏感性分析及误差传播评估3. 多尺度传染病模型的发展趋势与挑战4. 结合机器学习和传染病模型的混合方法的应用前景5. 传染病模型的未来发展方向与研究重点总结:传染病模型是一种重要的工具，能够帮助我们理解传染病的传播机制和预测疫情的发展趋势。
本文从传染病模型的概念分类、常见模型原理与应用、参数与影响因素、参数估计与验证以及局限性与未来发展方向五个大点进行了详细阐述。
数学建模——传染病模型
数学建模——传染病模型数学建模——传染病模型关键词：数学建模，传染病模型，预测，疫情，发展一、引言传染病模型是数学建模中的一个重要领域，旨在通过数学方法描述和预测传染病的发展趋势。
通过建立传染病模型，我们可以了解疾病传播的机制，评估各种干预措施的效果，并为制定有效的防控策略提供决策支持。
二、传染病模型概述传染病模型是基于生物学、流行病学和数学理论建立的，主要考虑个体之间的接触方式和疾病传播的动态过程。
基本的传染病模型通常假设人群由易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类组成。
通过分析这三类人群的数量变化，可以揭示疾病传播的规律。
常见的传染病模型包括 SIR 模型、SEIR 模型等。
SIR 模型假设人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R），其中感染者与易感者接触后将传染疾病，感染后将进入康复阶段。
SEIR 模型则在 SIR 模型的基础上增加了潜伏期（E），即感染者并非立即变为易感者，而是进入潜伏期，一段时间后才具有传染性。
三、建模方法与步骤1、建立数学模型：根据传染病的基本假设，列出描述疾病传播的微分方程，确定变量及其含义。
2、参数估计：根据历史数据或实验结果，估计模型中的参数值。
这些参数包括感染率、恢复率、潜伏期等。
3、模型求解：通过求解微分方程，得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
4、模型检验：将模型的预测结果与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。
四、案例分析以某个地区的流感疫情为例，通过建立 SIR 模型预测疫情的发展趋势。
首先，根据历史数据估计模型的参数值，包括感染率和恢复率等。
然后，通过求解微分方程得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
根据预测结果，可以评估各种干预措施的效果，如隔离、疫苗接种等。
通过比较预测结果与实际数据的差异，可以不断修正和完善模型，提高预测精度。
五、结论传染病模型是数学建模中的一个重要领域，通过建立数学模型描述和预测传染病的发展趋势。
数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
M05
接触数 =1 ~ 阈值
t
0
t
1
0
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i小 健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
i ( t ) 按 S 形曲线增长
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i ( t ), s ( t ), r ( t )
0 , 1,
f0 0
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型） 资金来自贷款，利率 r 劳动力付工资 w 资金和劳动力创造的效益 S Q rK wL 求资金与劳动力的分配比例K/L(每个 劳动力占有的资金) ，使效益S最大
S K
KQ Q
K
0,
,
S L
y
f0y
dK dt
L
dy dt
Ly
Bernoulli方程
1 1
f0 f0 1 (1 ) t y (t ) ( y0 )e
y 0 K 0 / L0 , Q 0 f 0 K 0 L0
1
, K 0 Q0
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i (t t ) i (t ) i (t ) t
di dt i ( 0 ) i0 i
i ( t ) i0 e
t
ti ?
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
dQ/dt > 0
Modeling_传染病的数学建模与分析报告
二、基本的传染病动力学模型
在传染病动力学中.长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”（compartment）模型.它的基本思想由Kermack与McKendrick创立于1927年.但一直到现在仍然被广泛的使用和不断地发展着。下面我们以他们提出的一个经典的基本模型为例.来阐述建立仓室模型的基本思想和有关基本概念.并显示由模型能得到的主要结论。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。这里假设 时刻单位时间内.一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数 成正比.比例系数为 （称为传染系数）.从而在 时刻单位时间内被所有病人传染的人数（即新病人数）为 。
（3） 时刻.单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比.比例系数为 .从而单位时间内移出者的数量为 。显然. 是单位时间内移出者在病人中所占的比例.称为移出率系数.当不致混淆时也简称为移出率。当移出者中仅包括康复者时.移出率系数又称为恢复率系数或简称为恢复率。
表示在发病初期.一个病人在传染期内所传染的人数.称为基本再生数（具有很强的生物学意义）。
应当指出.（1-4）中的 表示平均移出时间.也就是平均患病期。事实上.由移出率系数 的定义可见.若病人数量为 .则单位时间内移出者的数目为 .故经过时间 .病人全部移出。
要防止疾病流行.必须减少 使它小于1.由表达式（1-4）可知.这可以通过加强治疗以缩短染病期 或采取杀菌等措施以减少疾病的传染力 .或通过隔离措施以减少与患病者可能接触的人数即这里的易感者 来实现。更为有效的方法是通过疫苗接种以使易感者成为免疫者而直接进入移出者类 .从而减少初始时刻易感者的数量 。
传染病增长中的几个数学模型
可指导学生利用数学软件包用多种函数进行拟合,
当然, 因为所给问题有现实背景, 一般在医院防疫统 计中有经验模型.
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应用题新编选登
题 95 天燃气管道轮兰线管理公司 (以下简
称管道公司) 所管理的从塔里木盆地的轮南到兰州 的输气管道总长约 2500 公里, 管道半径 1 米. 管道 公司每天从塔里木油田购进的天燃气的纯度为 100◊ , 价格为 018 元 m 3, 输入管道的气速度为 10 米 秒. 管道公司每天分早、中、晚三次向兰州送气, 共送气 5 个小时 (因为兰州市每天用气高峰期是早、 中、晚三次做饭时间, 共约 4 小时, 兰州煤气公司已 将原来的煤气厂、液化气站建成了贮气仓库, 可将高 峰期时多送的天燃气贮存起来供非高峰期时使用). 在天燃气运输过程中, 管道公司建立了一些高压泵 站向管道内输送高压空气, 一方面提高气的运送速 度, 另一方面通过混入一定量的空气来降低气的纯 度 (气纯度太高, 运输途中和用户使用过程中易引起 爆炸) , 以杜绝事故, 增加售气收入. 兰州煤气公司要 求管道公司卖给他的气纯度必须在 40◊ ～ 45◊ 之 间 (气纯度太低就会影响用户使用) , 付给管道公司 的气价为 019 元 m 31 已知每个加压泵每秒钟可将 2m 3 的空气压入管道中, 每天的使用成本为 6 千元 (包括折旧、维修、电费等). 输气管道每天的使用成 本为 40 万元 (包括折旧、维修、员工工资等) ; 另外,
分析 这是对一份统计资料进行分析, 把握其 规律建立合理的数学模型, 对其进行定量分析是解 决问题的关键.
Modeling_传染病的数学建模与分析报告
二、基本的传染病动力学模型
在传染病动力学中.长期以来主要使用的数学模型是所谓的“仓室”（compartment）模型.它的基本思想由Kermack与McKendrick创立于1927年.但一直到现在仍然被广泛的使用和不断地发展着。下面我们以他们提出的一个经典的基本模型为例.来阐述建立仓室模型的基本思想和有关基本概念.并显示由模型能得到的主要结论。
传染病的数学建模与分析
时间：2010年9月7日地点：2楼阶梯教室
一、传染病建模的意义
传染病历来就是威胁人类健康的大敌.人类征服传染病的道路依然曲折漫长。近20年来像AIDS病、SARS、禽流感等重大传染病相继爆发.在全球蔓延。2008手足口病的爆发曾给婴幼儿的健康带来了极大的危害。2009年的H1N1又来侵害年轻的我们。结核、白喉、鼠疫、登革热等一些老的传染病也重新抬头.给人们工作、生活和国民经济的发展带来了极大的影响。2003年突发的SARS传染病给我们的公共卫生体系应对突发性传染病提出了新的要求.也给数学在研究传染病动力学性态和预测等方面提出了一系列新问题。因此.研究和分析传染病传播的数量规律.建立有效的防控机制既是摆在我们面前的一个困难问题.也是一项紧迫任务。
移出者（Removed）类 其数量记为 .表示 时刻已从传染病者类移出的人数。
设总人口为 .则有 。K-M的 模型是一个十分简单粗糙的模型。它的建立基于以下三个基本假设：
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。这意味着考虑一个封闭环境而且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时间变化显著得多.从而后者可以忽略不计。这样.此环境的总人口始终保持为一个常数.即 .或 。
11.5 传染病模型
si
i(0) i0 , s(0) s0
无法求出i(t), s(t)
的解析解
求数值解
i s 1 (通常r(0) r 很小）
0
0
0
传染病模型
MATLAB程序如下：
ts=0:50;
x0=[0.02,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0)
%调用ode45求解'ill'方程组
画出健康者和病人的变化曲线
传染病模型
结论： 在初始时刻健康者和病人百分比的总和为1；病人 的数量先增加然后下降，说明在某时刻传染病得到 抑制；而治愈的人群退出此系统，所以最后系统的 人群数量为0；这时所有的人群均是免疫者。
传染病模型
i0 0.7, 0.01, 0.2
传染病模型
i0 0.7, 0.3, 2
传染病模型
i0 0.3, 0.3, 2
传染病模型
不难看出，接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t)
感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数
传染病模型
需建立i ( t ) , s ( t ) , r ( t ) 的两个方程
模型4
SIR模型
N[i(t t) i(t)] Ns(t)i(t)t Ni(t)t
N[s(t t) s(t)] Ns(t)i(t)t
di
d
t
si
i
ds dt
传染病有免疫性——病人治愈
模型4 后即移出感染系统，称移出者 SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为i ( t ) , s ( t ) , r ( t )
疫情对中国经济增长的影响评估模型构建研究——以新冠肺炎为例
一、问题的提出 2019 年年末，新冠肺炎疫情于武汉爆发，2020 年 1 月 23 日武汉宣布封城，截止 2020 年 1 月 27 日全国 31 个省市区均 启动了重大突发公共卫生事件应急响应，且除西藏外其余 30 个省市区均启动重大突发公共卫生事件一级响应。在国际方面， 2020 年 1 月 30 日世界卫生组织宣布将新冠肺炎疫情列为国际 关注的突发公共卫生事件，这也是继 2003 年“非典”疫情爆 发以来，第二次发生在中国的全球公共卫生突发事件。由此可 见，新冠肺炎疫情爆发对中国甚至世界的社会和经济都产生了 极为重大地影响。 根据以往经验，疫情的传播会对经济体的正常运行产生冲 击，进而演变为影响经济增长的重要外生因素 [1]。历次疫情爆 发都会对疫情爆发地，甚至是世界经济发展造成一定的影响。 历次疫情，尤其是被世界卫生组织列入国际重大突发公共卫 生事件的疫情爆发，其对经济和社会的影响都会成为国内外学 者重点关注的热点问题。例如，2003 年“非典”疫情爆发， Brainerd & Siegler(2002)[2] 预测“非典”过后经济将呈现向原有 经济发展趋势复归的倾向，甚至可能出现更高的经济增长率； 任若恩（2003）[3] 在假设 2003 年没有“非典”疫情的 GDP 增 速基础上，分别分析“非典”疫情对 GDP 产业结构和 GDP 分 布区域的影响，预测“非典”疫情对中国 GDP 的负面影响在 0.5 个百分点左右，进而预测 2003 年中国 GDP 增长应该能够达到 甚至超过 8.5%；内蒙古财经学院课题组（2003）[4] 预计“非 典”疫情将造成内蒙古地区 GDP 增幅下降 1.0-1.5%。对于新
新冠肺炎疫情的爆发对中国经济增长将会产生一定的负面 影响，这一点毋庸置疑，但是新冠肺炎疫情到底会对中国经济 增长造成多大的负面影响？我们应该采取什么样的措施来降低 这一负面影响？这些问题均需要予以回答与解决。针对于此， 本文拟以柯布 - 道格拉斯生产函数为基础构建疫情对中国经济 增长的影响效应的评估模型，评估新冠肺炎疫情对中国经济增 长的影响效应并以我国第一季度实际 GDP 进行检验影响效应 评估模型，并提出降低新冠肺炎疫情对中国经济增长影响的对 策建议。
传染病的社会经济影响评估与预警模型构建
传染病的社会经济影响评估与预警模型构建随着全球化的加剧和人口流动的增加，传染病成为我们社会发展中亟待解决的重大问题之一。
它不仅对个人健康造成威胁，还对社会经济带来巨大的负担。
因此，评估传染病的社会经济影响并构建预警模型成为了亟待研究的课题。
一、传染病的社会经济影响评估1. 个人医疗费用传染病在患者个人身上造成了巨大的医疗费用，包括药物、治疗、检测等费用。
这些费用不仅直接影响患者个人经济状况，还可能导致家庭贫困化。
2. 社会医疗资源压力传染病的爆发引发了社会医疗资源的严重压力。
大量感染的患者需要入院治疗，在系统资源有限的情况下，医疗机构可能无法及时提供足够的床位、诊疗设备和医务人员。
3. 生产力损失传染病不仅导致患者在疾病期间无法正常工作，还使得全民的生产力受到了限制。
许多企事业单位不得不暂时停业，导致生产活动减少，直接对经济发展造成了不利影响。
4. 社会心理影响传染病的爆发会引发社会的恐慌和紧张情绪，导致人们担心自身的健康和安全。
这种心理影响可能导致社会的恐慌情绪进一步扩大，加剧社会的不稳定。
二、预警模型的构建1. 数据收集与整理构建传染病预警模型的第一步是进行相关数据的收集与整理。
包括疫情数据、人口流动数据、环境数据等。
这些数据能够为模型提供基础依据，并进行后续的分析和预测。
2. 因素筛选与分析在数据收集完成后，需要对各种因素进行筛选与分析。
通过统计学方法和相关模型的建立，可以找到与传染病爆发与发展相关的主要因素，如人口密度、气候变化等。
3. 模型构建与验证在因素筛选与分析的基础上，可以开始模型的构建工作。
常见的预警模型包括时序模型、灰色关联分析模型等。
构建完成后，需要对模型进行验证，以确保其准确性和稳定性。
4. 预警系统建立在模型构建与验证完成后，可以将其应用于预警系统的建立。
预警系统可以实现对传染病爆发与发展的监测与预测，通过提前预警，协助相关部门制定针对性的防控措施，以降低传染病对社会经济的影响。
[课件]模型举例 传染病 经济增长模型PPT
![[课件]模型举例 传染病 经济增长模型PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/d31f6623b52acfc789ebc9f9.png)
i ( t t ) i ( t ) i ( t ) t
di i dt i ( 0 ) i0
i ( t) i e 0
t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
2018年12月8日星期六模 Nhomakorabea22018年12月8日星期六
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i ( t ), s ( t ), r ( t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s ( t ) i ( t ) r ( t ) 1
劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯douglas生产函数lqkq求资金与劳动力的分配比例kl每个劳动力占有的资金使效益s最大资金和劳动力创造的效益wlrk资金来自贷款利率r劳动力付工资w2资金与劳动力的最佳分配静态模型经济生产率增长的条件动态模型要使qtlt应满足的条件模型假设投资增长率与产值成正比用一定比例扩大再生产dtdkdtdkdtdllydtdydtdkdtdklydtdydtdkdtdydtdqdtdldtdydtdq产值qt增长dqdtdtdydtdz劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值ztqtlt增长dzdt0经济增长的条件dtdydtdz只考虑自然出生与死亡不计迁移人口发展方程的人口年龄人口分布函数drdtdt人口发展方程死亡率人数年龄人数年龄drdrdrdt一阶偏微分方程drdtdrdt人口发展方程已知函数人口调查生育率控制人口手段生育率的分解性别比函数女性生育数女性总和生育率h生育模式人口指数1人口总数2平均年龄3平均寿命t时刻出生的人死亡率按rt计算的平均存活时间4老龄化指数控制生育率控制nt不过大控制t不过高
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提高 r0
群体免疫
的估计
1
s s0 i0 s ln 0 s0
忽略i0
ln s0 ln s s0 s
2013年6月23日星期日
模型4
被传染人数的估计
记被传染人数比例 x s0 s
SIR模型
1 x s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
即
lnx rt C1
x Ce rt
若x(0)=x0，则可得销售函数为
x x0 e rt
16
2013年6月23日星期日
当通过努力已有x0的产品投入使用，这时函数x(t)=x0ert使
在开始的阶段能较好地反映真实的销售情况。 但这个函数有缺陷：
①取t=0表示新产品诞生的时刻，即x(0)=0，这时销售函数
di 1 i[i (1 )] / dt
>1
i
1
di/dt < 0
i0 0 i0
0
1-1/
1 i
1 , 1 1 i ( ) 0, 1
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1 i(t )按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 i0 小 健康者人数不超过病人数
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
F为待定函数
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
Q(K , L) f 0 F (K , L) 每个劳动 z Q 每个劳动 y K 力的产值 力的投资 L L
静态模型 模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
z Q / L f0 g ( y)
Kx 0 x(t ) x0 ( K x0 )e Krt
其图像称为增长曲线或Logistic曲线。 18
2013年6月23日星期日
下面 ( K x0 )e
直接求导是麻烦的，我们转而考虑 dx rx ( K x) dt
2013年6月23日星期日
1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
2013年6月23日星期日
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
模型4
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
SIR模型
消去dt /
1 di ds s 1 i s s i0
0
相轨线
相轨线 i (s) 的定义域
s i ( s ) ( s0 i0 ) s ln s0
希望能建立一个数学模型来描述它，并用来指导生产。记t时 已售出的产品数为x(t)。假设该产品使用方便，这些正在使用
的新产品实际上起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客，
使每一个新产品实际上在单位时间内平均吸引r个顾客，由此 得到下列关系式：
dx rx dt
15
2013年6月23日星期日
dx rx求函数x x(t )。 把它变形写成微分的形式： dt 1 dx rdt x 两边积分得： 1 xdx rdt 积分结果为： 下面根据
0
s(t)单调减相轨线的方向
1
P2
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 s0
im
P1 P3
0
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/σ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ σ i(t)单调降至0
dx d d 2x d [rx ( K x)] r[( K x) x ( K x)] 2 dt dt dt dt
r 2 x( K x)( K 2 x)
K d2x K d2x 当0 x 时， 2 0; 当 x K时， 2 0。 2 dt 2 dt
意在初期可小批量生产并辅以广告宣传，而后期则应适时转产
或开发新产品，这样可以使厂家获得较高的经济效益。
20
5.2
经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 • 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长 1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 Q(t) 资金 K(t) 技术 f(t) = f0 劳动力 L(t)
di i (1 i ) i dt i (0) i0
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
2013年6月23日星期日
模型3
di/dt
di i (1 i ) i dt i
>1
i0
1-1/
di i (1 i ) dt i (0) i0 i (t )
Logistic 模型
1 1 t 1 1 e i 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln 1 i 0 t i 1 ?
Q( K , L) f 0 K L
1
QL ~ 单位劳动力创造的产值
KQK , Q
LQL 1 Q
KQK LQL Q
~ 资金在产值中的份额
1- ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数
Q( K, L) f0 K L , 0 , 1, f0 0
Q f0 L( K / L)
g ( y) y ,
0 1
g(y)
1 Q( K , L) f0 K L Douglas生产函数
Q Q , 0 K L
2Q 2Q , 2 0 含义？ 2 K L
0
y
1. Douglas生产函数
QK ~ 单位资金创造的产值
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
无法求出 i(t ), s(t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i0 s0 1 (通常r (0) r0很小）
2013年6月23日星期日
SI 模型
~日
接触率
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni (t )t
di si dt
s(t ) i(t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
2013年6月23日星期日
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
1 i (t )
2013年6月23日星期日
模型4
假设
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t )
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
dx rx ( K x) dt
17
2013年6月23日星期日
dx dx 把 rx( K x)变形为 rdt。 两边积分得： dt x( K x)
1 [ln x ln( K x)] rt C1 K
写成显函数为
x(t ) K 1 Ce Krt
若x(0)=x0，则可得销售函数为
2013年6月23日星期日
微分方程模型
1 传染病模型 2 经济增长模型
2013年6月23日星期日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程
• 分析对象特征的变化规律
• 预报对象特征的未来性态
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
i
1
1
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1}
在D内作相轨线 i (s) 的图形，进行分析
0
D
s
1
2013年6月23日星期日
模型4
相轨线 i (s) 及其分析
i
1 D
SIR模型
1 s i( s) ( s0 i0 ) s ln s0
P4
di 1 di dt si i ds s 1 ds si i s s i0 dt i (0) i0 , s (0) s0
1/ σ 传染病蔓延 ~ 传染病不蔓延 阈值
2013年6月23日星期日
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
s0 i0 r0 1
1
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2s0
1
i
P1 0 s 1 /
x 2s0 ( s0
s0 - 1/ =
1