《习题课 单调性与奇偶性的综合应用》函数的概念与性质PPT
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函数的单调性与奇偶性PPT课件
g(-x)=2×(－x)2 =2x
2
y
思考：通过练习你发现了什么？
f(－x)=－f(x), g(－x)=g(x)
0
x
函数的奇偶性
一、概念：
对于函数f(x),在它的定义域内，把任
意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。
①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫
做奇函数。
②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫 做偶函数。
思考题：
函数y＝5是奇函数还是偶函数 ？ 偶函数 函数y＝0是奇函数还是偶函数 ？ 是偶函数也是奇函数
Y Y＝５
５
Y
Y＝０
０
x
０
x
小结：
1、定义： 对于函数f(x),在它的定义域内，把任 意一个x换
成－x，（x,－x都在定义域）。
①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。
②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。
2、性质:奇函数的图象关于原点对称。
偶函数的图象关于y轴对称。 如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。 如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么这个函
数是偶函数。
作业：
课本第65页第14题
6 -2 。 0 -6 y。
2
x
2、已知：g(x)=2x2 ，画出函数图象，并求g(1)，g(－1),g(－x)。
解： g(1)=2×1 =2 g(-1)=2×(－1)2 =2
g(-x)=2×(－x)2 =2x
2
y
。 2 。 -1
思考：通过练习你发现了什么？
f(－x)=－f(x), g(－x)=g(x)
例：判断下列函数的奇偶性。
2
y
思考：通过练习你发现了什么？
f(－x)=－f(x), g(－x)=g(x)
0
x
函数的奇偶性
一、概念：
对于函数f(x),在它的定义域内，把任
意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。
①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫
做奇函数。
②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫 做偶函数。
思考题：
函数y＝5是奇函数还是偶函数 ？ 偶函数 函数y＝0是奇函数还是偶函数 ？ 是偶函数也是奇函数
Y Y＝５
５
Y
Y＝０
０
x
０
x
小结：
1、定义： 对于函数f(x),在它的定义域内，把任 意一个x换
成－x，（x,－x都在定义域）。
①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做奇函数。
②如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫做偶函数。
2、性质:奇函数的图象关于原点对称。
偶函数的图象关于y轴对称。 如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函 数是奇函数。 如果一个函数的图象关于y轴对称， 那么这个函
数是偶函数。
作业：
课本第65页第14题
6 -2 。 0 -6 y。
2
x
2、已知：g(x)=2x2 ，画出函数图象，并求g(1)，g(－1),g(－x)。
解： g(1)=2×1 =2 g(-1)=2×(－1)2 =2
g(-x)=2×(－x)2 =2x
2
y
。 2 。 -1
思考：通过练习你发现了什么？
f(－x)=－f(x), g(－x)=g(x)
例：判断下列函数的奇偶性。
高三数学复习课件-函数的奇偶性和单调性综合复习
(3)f(x)= (x-1) .
1 x 1 x
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： (1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)
之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其
例2：函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足： f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)≥3
[4，+∞）
注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域
练习 1、函数f(x)在（0，+∞）上是减函数求f(a2-a+1)与 f( 3 )的大小关系
3 f(a2-a+1) ≤f( ) 4 2－mx＋5 在区间 [－2，+∞) 上是增 2、函数 f(x)＝4x 函数，求f(1) 的取值范围。 f(1) ≥25 3、设f(x)是定义域为[-1，1]上的增函数， 解不等式f(x-1)<f(x2-1). （1， 2 ]
函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函 数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减 函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.
y
例1 、 画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像， 并指出函数的单调区间.
解：函数图像如下图所示，
当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-(x-1)2+4； 当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4.
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区间必须是其定义域的 子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单调性是由函数y=f(u)及 u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”
函数奇偶性及单调性的综合应用课件
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
《函数的奇偶性》函数的概念与性质PPT(第2课时函数奇偶性的应用)【品质课件PPT】
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栏目 导引
第三章 函 数
【解析】 因为函数 f(x)为 R 上的偶函数， 所以 f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
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设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x) 是增函数，则 f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品习题课件 第3章 函数的概念与性质 单调性与奇偶性的综合应用
则 f(-1),f(4),f
11
2
A.f(4)<f(-1)<f
C.f
11
2
的大小关系为( A )
11
2
B.f(-1)<f(4)<f
<f(4)<f(-1)
D.f(-1)<f
11
2
解析 因为 f(x+2)为偶函数,所以 f(x+2)=f(-x+2).
所以 f
因为
所以
11
2
=f
3
−2
,f(4)=f(0).
1
< 2.
1-ห้องสมุดไป่ตู้ > ,
故实数 m 的取值范围是
1
-1, 2
.
变式探究1 在例2(2)中,将条件“f(1-m)<f(m)”改为“f(m)+f(m-1)>0”,其他不
变,求实数m的取值范围.
解 ∵f(m)+f(m-1)>0,∴f(m)>-f(m-1).
∵函数f(x)是奇函数,∴f(m)>f(1-m),
2
若 f(x)为偶函数,则必有
所以函数
x=- =0,则
2
b=0;
2
f(x)= 3 +1,其单调递减区间为(-∞,0].
x=-2 ,
1
3
,
1 2 3 4 5
4.定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则不等式f(a-2)>f(1)的
解集是 (1,3)
.
解析 因为定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,
2
(2)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)
11
2
A.f(4)<f(-1)<f
C.f
11
2
的大小关系为( A )
11
2
B.f(-1)<f(4)<f
<f(4)<f(-1)
D.f(-1)<f
11
2
解析 因为 f(x+2)为偶函数,所以 f(x+2)=f(-x+2).
所以 f
因为
所以
11
2
=f
3
−2
,f(4)=f(0).
1
< 2.
1-ห้องสมุดไป่ตู้ > ,
故实数 m 的取值范围是
1
-1, 2
.
变式探究1 在例2(2)中,将条件“f(1-m)<f(m)”改为“f(m)+f(m-1)>0”,其他不
变,求实数m的取值范围.
解 ∵f(m)+f(m-1)>0,∴f(m)>-f(m-1).
∵函数f(x)是奇函数,∴f(m)>f(1-m),
2
若 f(x)为偶函数,则必有
所以函数
x=- =0,则
2
b=0;
2
f(x)= 3 +1,其单调递减区间为(-∞,0].
x=-2 ,
1
3
,
1 2 3 4 5
4.定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则不等式f(a-2)>f(1)的
解集是 (1,3)
.
解析 因为定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,
2
(2)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)
函数的单调性与奇偶性的综合应用
【变式训练】设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调 递减，若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围。
【例4】若f(x)是定义在R上的偶函数，在（- ∞ ，0]上是减函 数，且f(2)=0。 ①求使得f(x)<0的x的取值范围； ②求使得xf(x)<0的x的取值范围；
【变式训练】函数y=f(x) (x≠0)是奇函数，且当x>0时，是增函数， 若f(1)=0,求不等式f(x-2)<0的解集；
（- ∞ ，-1）和（1，+ ∞ ）是关于原点对称的区间 （-1，0） 和 （ 1，0） 是关于原点对称的区间
题型一、比较大小
【例1】（1）已知偶函数f(x)在区间[0，4]上是增函数， 试比较f(-1),f(-2),f(-3)的大小关系_____________ 试比较f(-1),f(3),f(4)的大小关系______________
题型四、抽象函数中的单调性与奇偶性
【例5】设函数f(x)对于任意的x,y ∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0时，f(x)<0,f(1)=-2.
(1)证明f(x)为奇函数；
（2）证明f(x)在R上位减函数； （3）若f(2x+5)+f(6-7x)>4,求x的取值范围；
总结：
1. 函数单调性与奇偶性之间的关系
函数的单调性和奇偶性的综合应用
学习目标：
1.了解函数单调性与奇偶性之间的关系
2.利用函数单调性与奇偶性解决综合性的数学 问题
共同学习，合作探究
单调性与奇偶性的关系
作函数 f ( x) x 并观察两个函数的单调性及奇偶性
2
函数的奇偶性和单调性学习教材PPT课件
解： 设x<0,则-x>0
于是f(-x)=2(-x)[1-(-x)] = -2x(1+x) 又f(x)是奇函数，故f(-x)= -f(x)
所以，f(x)=2x(1+x)
即当x<0时，函数表达式为：f(x)=2x(1+x) 函数的表达式为： f(x)=
｛2x(;0） (x<0)
奇函数，偶函数的定义：
对于函数f(x)的定义域内任意一个x
① f(-x)=f(x) 〔或f(-x)-f(x)=0〕 f(x)为偶函数
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
偶函数
f(x)为奇函数
② f(-x)=－f(x) 〔或f(-x)＋f(x)=0〕
奇函数
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数 f(x)具有奇偶性
练习：
（1）如果定义在区间［3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，则
a =_____
(2)己知f(x)=x5 +
ax 3 +bx– 8,若f(-2)=10,则f(2)=___
(3)己知函数y=f(x)是偶函数，且在（－∞，0）上是增函数，则 y=f(x)在（0，＋∞）上是 A. 增函数 C. 不是单调函数 B. 减函数 D. 单调性不确定
增函数，减函数的定义：
设函数f(x)的定义域为I 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的 值x1 ,x 2 ,当x 1 < x 2 时，都有f(x 1)<f(x 2 ),那么就说f(x) 在这个区间上是增函数.
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的 值x 1 ,x 2 ,当x 1 < x 2 时，都有f(x 1)＞f(x 2 ),那么就说f(x) 在这个区间上是减函数. 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就 说f(x)在这个区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y=f(x)的单调区间.
3.2函数的基本性质习题课课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
∵f(1)＝3，f(－1)＝－1，－f(1)＝－3，
∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1 不是偶函数，
又 f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1 不是奇函数，
∴y＝2x＋1 既不是奇函数，又不是偶函数．
(6)函数 f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，
故函数 f(x)不具有奇偶性．
1.设函数 y＝f(x)的图象如图所示； (1)写出该函数的定义域与值域； (2)写出该函数的最大值与最小值； (3)写出该函数的单调区间.
【解析】(1) 定义域为 x∈[-3，3]， 值域为 y∈[-1
1
2
-3 -2 -1 O 1 -1
-2
3x
(2) 当 x = -1 时，最大值为 2； 当 x = 2 时最小值为-1 .
y y=3-x,
ox
y
ox
y=x2+1,
y O f (x) x2
x
考点1: 函数的单调性
例 3．函数 y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是 ( C )
A．－12，＋∞
B．[－1，＋∞)
C．－∞，－12 D．(－∞，＋∞)
y
【解析】 y＝x2＋x＋1＝x＋122＋43，
对称轴为: x＝－12，在对称轴左侧单调递减， ∴当 x≤－21时单调递减．
25
对点练清：3 1. 下列函数是偶函数的是 ( A．y＝2x2－3 B．y＝x3
A)
C．y＝x2，x∈[0,1]
D．y＝x
【解析】对于 A：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，所以 f(x)是偶函数，
B，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性．
北师版高中数学必修第一册精品课件 第2章 函数 习题课——函数性质的综合应用
在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数又在关于原
点对称的区间上的单调性相反.
2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同;偶函数在
关于原点对称的区间上的单调性相反.
3.已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足f(x)<f(1)的
x的取值范围是(
)
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
x1,x2(x1<x2),然后向已知区间上转化,利用题设条件,最后运用
函数单调性的定义解决问题.
【变式训练2】 若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1.求证:
(1)y=f(x)-1为奇函数;
(2)f(x)是R上的增函数.
【例1】 已知定义在区间(-1,1)内的奇函数f(x)为减函数,且
f(1-a)+f(1-2a)>0,求实数a的取值范围.
解:由f(x)是定义在区间(-1,1)内的奇函数,且f(1-a)+f(1-2a)>0,
得f(1-a)>-f(1-2a)=f(2a-1).
因为f(x)在定义域上为减函数,
- < - < ,
习题课——函数性质的综合应用
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
规 范 解 答
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.掌握函数奇偶性与单调性的关系,能够运用这
种关系解决相关问题.
2.掌握抽象函数奇偶性与单调性的判断方法.
3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用.
4.感受数学抽象的过程,提高逻辑推理能力与数
的取值范围为(-2,2).
点对称的区间上的单调性相反.
2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同;偶函数在
关于原点对称的区间上的单调性相反.
3.已知奇函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足f(x)<f(1)的
x的取值范围是(
)
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
x1,x2(x1<x2),然后向已知区间上转化,利用题设条件,最后运用
函数单调性的定义解决问题.
【变式训练2】 若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立,且当x>0时,f(x)>1.求证:
(1)y=f(x)-1为奇函数;
(2)f(x)是R上的增函数.
【例1】 已知定义在区间(-1,1)内的奇函数f(x)为减函数,且
f(1-a)+f(1-2a)>0,求实数a的取值范围.
解:由f(x)是定义在区间(-1,1)内的奇函数,且f(1-a)+f(1-2a)>0,
得f(1-a)>-f(1-2a)=f(2a-1).
因为f(x)在定义域上为减函数,
- < - < ,
习题课——函数性质的综合应用
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
规 范 解 答
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.掌握函数奇偶性与单调性的关系,能够运用这
种关系解决相关问题.
2.掌握抽象函数奇偶性与单调性的判断方法.
3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用.
4.感受数学抽象的过程,提高逻辑推理能力与数
的取值范围为(-2,2).
《函数的基本性质》函数的概念与性质课件(第4课时奇偶性的应用)-高中数学A版必修一PPT课件
求f－x fx的解析式
奇――函→数
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标
1.会根据函数奇偶性求函数值或解
核心素养 1.利用奇偶性求函数的解析式，培养
析式．
逻辑推理素养．
2．能利用函数的奇偶性与单调性分 2．借助奇偶性与单调性的应用提升
析、解决较简单的问题.
逻辑推理、数学运算素养.
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合
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(1)函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x
＋1，求 f(x)的解析式；
(2)设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x－1 1，求函数 f(x)， g(x)的解析式．
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